ARTÍCULO ORIGINAL
PEREIRA, Olavo de Carvalho [1]
PEREIRA, Olavo de Carvalho. Limite el cálculo de una función sin usar 
y 
. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Año. 06, ed. 08, vol. 04, pág. 05-31. Agosto 2021. ISSN: 2448-0959, Enlace de acceso: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/olimpiada-de-matematica/limite-el-calculo, DOI: 10.32749/nucleodoconhecimento.com.br/olimpiada-de-matematica/limite-el-calculo
RESUMEN
La bibliografía consultada no presenta, en ninguno de los casos analizados, un cálculo del límite de una función, sino que sólo “muestra” que los valores presentados como “límite” satisfacen la definición de límite de una función expresada a través de desigualdades implicando 
y 
, existe, por tanto, un vacío en este tema, que el presente artículo viene a llenar utilizando fundamentalmente el concepto de función definida, así como identificando la expresión “ 
tiende a un cierto número” con una igualdad correspondiente.
Palabras clave: Límite De Una Función, Cálculo De Límites, Límites Laterales, Límites Infinitos, Límites En El Infinito.
1. INTRODUCCIÓN
Este artículo presenta el “cálculo del límite de una función” con el fin de llenar un vacío existente en este tema.
La presentación del cálculo mencionado en la solución de varios límites es el objetivo principal del artículo.
De forma complementaria, pretendemos aclarar la necesidad real de calcular, o no, el límite de una función.
También discutiremos, de manera muy simple, el caso en que una función simple, definida en un cierto número, es continua en ese número.
Aunque la interpretación geométrica siempre es importante, aquí solo tomaremos un enfoque algebraico del “cálculo límite” presentado.
1.1 CÁLCULO DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
La definición del límite de una función se presenta en los libros de texto de matemáticas como una estimación.
Por ejemplo: Leithold (1994) presenta la definición de límite de una función de la siguiente manera:
Ser
una función definida para cada número en algún intervalo abierto que contiene 
, excepto posiblemente en el propio número 
El límite de 
cuando
tiende a 
será 
, escrito como 
si la siguiente afirmación es verdadera:
Ya
cualquiera, hay un 
, tal que, si 
entonces
.‘‘
La definición anterior establece que los valores de 
tienden a un límite
cuando
tiende a un número 
, si el valor absoluto de la diferencia entre 
y 
puede volverse tan pequeño como queramos, tomando
lo suficientemente cerca de 
, pero no igual a 
.
Lezzi, Murakami y Machado (1991) se expresan de la siguiente manera en la misma definición:
Sea 
un intervalo abierto al que pertenece el número real 
. Sea
una función definida para
Decimos que el límite de 
, cuando
tiende a 
, é 
, y escribimos 
si por todo
, existir 
tal que si 
então 
.
Munem y Foulis (1982) utilizan la siguiente definición:
Si 
es una función y 
es un número, entiende la notación 
como “el límite de 
” cuando
tende a 
es 
esto es,
se acerca al numero
cuando 
enfoques 
.
Como puede verse en las definiciones anteriores, se presenta un límite 
sólo para satisfacer la propia definición.
En ningún momento se presenta el cálculo de este límite.
Este artículo presenta el “cálculo del límite” de una función que se puede utilizar en todos los casos en los que es necesario realizar tal operación.
Ahora, vamos al argumento.
Para algunas funciones, no definidas en un número determinado, para saber, con la máxima precisión posible, cuál sería su valor en ese número, se acostumbra evaluarlas en valores cercanos a ese número para el que no están definido.
Ejemplo: 
establecer a todos 
excepto
.
Si reemplazamos el 
por 1, tenemos la indeterminación 
.
Como la función no está definida, es decir, no existe para el valor 1, evaluamos entonces su valor cercano a 1, ya que nuestro objetivo es conocer el valor de la función, al menos, cercano a 1, ya que no existe para 
.
Para valores de , diferente de 1, mayor o menor que 1, pero muy cercano a 1, 
, entonces
será igual a 1, y tendrá valores cercanos a 5, como veremos a continuación:
Vamos a asignar a
los valores
, es decir, estamos tomando valores de 
más y más cerca de 1, pero más pequeños que 1. Los valores de 
encontrados son:
Ahora vamos a asignar el 
los valores
,es decir, estamos tomando valores de 
más y más cerca de 1, pero mayor que 1. Los valores de
encontrados son:
Como puede verse, en ambos casos, como 
enfoques 1, se acerca a 5, lo que nos lleva a creer que este es el límite de 
.
Sin embargo, aquí no se hizo ningún “cálculo” límite, sino sólo una evaluación de
, cuando 
toma valores muy cercanos a 1.
Entonces, el valor 5 es “candidato” a ser el límite que aún necesitamos calcular.
Los autores consultados estructuran la definición de límite en términos de desigualdades a partir de ejemplos como este y asumen el valor estimado, en este caso 5, como realmente el límite de la función.
En este sentido, afirman que 
, porque para cualquier
,por pequeño que sea, hay un 
, tal que si 
entonces
.
La definición de límite dada al principio, que no tiene cálculo de límite, se usa para “probar” que números dados, sin indicación de dónde fueron tomados, son límites de funciones.
Mostraremos que la definición de límite no prueba, no demuestra, que un número dado sea el límite de una función, sino que sólo “muestra” que el número proporcionado es el límite.
Usemos un ejemplo para aclarar la diferencia entre un “espectáculo” y una “demostración”.
- Demostrar que 2 es la raíz de la ecuación
.
Esto significa que si reemplazamos el 
por 2, tendremos cero como resultado de la ecuación.
Veamos
.
Este fue un ejemplo de “demostración”, es decir, solo se mostró algo, no se demostró nada, no se calculó nada, solo se reemplazó el valor proporcionado.
Es diferente cuando dices: prueba que 2 es una raíz, es una solución de la ecuación 
.
En ese caso, tenemos que calcular, resolver la ecuación y ver si obtenemos 
.
Bueno, resolviendo tenemos: , luego 
,y sacando la raíz cuadrada en ambos lados tenemos:
, esto es, 
o
.
Entonces uno de los valores derealmente es 2.
Con esto se “demostró” que 2 es realmente la raíz de la ecuación
.
Veremos, en los ejemplos dados a continuación, que no hay prueba, sino solo una “muestra” de que el número dado es el límite de la función dada.
Ejemplo. Use la definición de límite para “probar” que 
.
Aquí no se dice cómo se llegó a la conclusión de que el límite es 5, ni se dice de dónde se tomó ese número.
Discutiremos, en términos generales, la solución presentada en los libros consultados:
El primer requisito de la definición es que
definirse en cada número de algún intervalo abierto que contenga 3, excepto posiblemente en 3. Como 
está definido para todos los números reales, cualquier intervalo abierto que contenga 3 satisfará este requisito. Tenemos que mostrar ahora que para todos 
existe uno 
, tal que si 
então 
tenemos que 
, luego 
y 
Tenemos entonces, 
e 
Esta declaración indica que
es un delta satisfactorio.
Con esta elección de 
tenemos el siguiente argumento:
, entonces
, entonces
entonces
entonces
, entonces 
Esto simplemente “muestra”, a partir de la definición de límite, que 
Como hemos visto, no había demostración, sino sólo un “show”, ya que, dado el número 5, simplemente lo sustituíamos y la función dada, en la definición del límite de una función.
Vayamos a un ejemplo más: usa la definición para “probar” que 
.
De nuevo, se da un número, en este caso el 4, como límite, pero no se dice de dónde se tomó este número.
Aquí está la solución, en términos generales:
Como 
está definido para todos los números reales, cualquier intervalo abierto que contenga 2 satisfará el primer requisito de la definición.
Tenemos que demostrar que para todos 
, existe uno 
, tal que
Si 
então 
Luego 
então 
Tenemos que poner una restricción a que nos da una desigualdad que implica 
. Tal restricción se hace para seleccionar el intervalo abierto requerido por la definición. Elegimos la gama 
y esto implica que 
. Entonces
y 
, entonces
entonces
entonces
. Entonces
.
Ahora tenemos 
y 
, entonces
como nuestro objetivo es conseguir
, debemos exigir 
Con este 
Usando esto
hemos completado la llamada “prueba”.
Como vimos anteriormente, de nuevo no se probó nada, sino solo que el número dado como límite, en este caso 4, satisface la definición de límite.
No hubo ningún cálculo que mostrara que el número 4 es realmente el límite.
A partir de aquí, presentaremos el cálculo límite de una función.
Antes de presentar el “cálculo” en sí, evaluemos 
en los mismos valores de
dado anteriormente, pero considerándolos como compuestos del número 1.
Esto mostrará, en términos generales, el razonamiento utilizado para calcular el límite de la función.
la funcion es 
, válido para todos
.
Para 
o 
, tenemos que
Para 
o 
, tenemos que
Para 
o 
tenemos que
Para 
o 
tenemos que
Para 
o 
, tenemos que
Para 
o 
, tenemos que
Para 
o 
tenemos que
Para 
o 
, tenemos que
Para 
o 
, tenemos que
Probamos algunos valores de
menos que 1.
Ahora evaluaremos 
en valores mayores a 1 pero cercanos a 1.
Para 
o 
, tenemos que
Para 
o 
tenemos que
Para 
o 
tenemos que
Para 
o 
tenemos que
Para 
o 
tenemos que
Para 
o 
tenemos que
Para 
o 
, tenemos que
Para 
o 
, tenemos que
Para 
o 
, tenemos que
De lo anterior, nos damos cuenta de que cuanto más
se aproxima a 1, más
tiende a 5, es decir, cuando 
tiende a 1, 
tienden a 1,
Observamos en los cálculos anteriores, en todos los valores asignados a 
, la aparición de una constante 
al que se le sumaba o restaba un valor, que tendía a cero, como 
se acercaba a la 1.
Esta constante es, por tanto, una “candidata” a ser el “límite” mencionado anteriormente, es decir, hay un indicio de que podemos tener .
Ahora expresaremos la situación anterior de una manera semigenérica para presentar el “cálculo del límite” en sí.
La expresion “
tiende a 1″, representado por 
,es equivalente a 
, o 
, cuando 
tiende a cero, 
, e 
.
Con esto, la expresión 
, reemplazando 
por 
o 
, es equivalente a
, o
, esto es,
, o 
.
A partir de la igualdad anterior, es posible “calcular” el valor del límite de
cuando 
tiende a 1, ya que basta con calcular el valor de 
, o 
.
Ahora haremos, usando la misma función que antes, el cálculo para
, cuando 
.
De esta forma, nos quedamos con:
entonces
a pesar de
, y 
tiende a cero cuando 
, es decir, es tan pequeño que se aproxima a cero tanto como queramos.
El calculo de 
, esto es, 
, es análoga y produce el mismo resultado.
Veamos:
Calcularemos ahora una serie de límites de funciones, para ejemplificar la aplicación del mencionado “cálculo”.
- Calculemos
.
Cómo
, podemos hacer, por ejemplo, 
, 
y 
.
Quédamonos con 
términos en 
que todo tiende a cero. Entonces el resultado será
.
- Calculemos
Cómo 
, podemos hacer, por ejemplo,
, 
y 
.
Quédamonos con
, porque el numerador tiende a 4 y el denominador tiende a 
.
- Calculemos
.
Como vimos arriba, al final nos quedaremos con
- Calculemos
conforme abajo.
.
Debemos calcular
,porque pase lo que pase
cuando 
.
Cómo 
, podemos hacer, por ejemplo, 
, 
y 
.
Quédamonos con 
, entonces
.
Sea 
, establecer a todos 
, excepto 
.
Consideremos 
esto es, 
, para el cual 
reduce a
.
- Calculemos el
. Tenemos que
una vez cuando 
la expresion
tiende a cero.
Entonces
Ahora consideremos el siguiente ejemplo: 
, establecer a todos 
, y calcule su límite cuando
tiende a 2.
Para 
condición de existencia de la función, 
, y cuando 
podemos hacer, por ejemplo, 
, con
y tendremos que calcular el limite
.
Cómo 
, la expresion 
tiende a 
, y el límite será entonces, 
.
En conclusión, nos quedamos con: 
.
Observación.
Podríamos haber aplicado “cálculo” directamente a la función, sin dividir primero el factor común al numerador y al denominador.
Veamos 
De hecho, podemos aplicar el “cálculo” directamente sobre la función, sin antes hacer una “preparación” sobre ella.
Ahora daremos algunos ejemplos de cálculo de límites que involucran funciones trigonométricas y exponenciales para ejemplificar el consolidado anterior.
Consideremos la función 
, establecer a todos 
, excepto
Recordando: 
significa, por ejemplo, que
, donde 
, 
.
Sustituyendo este valor de x en la ecuación original anterior, tenemos:
Entonces, 
y 
son independientes de
e o
, mientras que la 
.
Outro exemplo: consideremos a função 
establecer a todos 
, expceto 
.
- Calculemos el
- Haciendo la sustitución
para, por ejemplo, 
, con 
, 
. Tenemos: 
, porque el 
é 1 e 
a pesar de
.
Ahora calculemos el límite de las funciones dadas al principio para confirmar los valores de los límites dados.
- Calculemos
Cómo 
, podemos hacer, por ejemplo, 
, 
y 
y nos quedamos
- Calculemos
Cómo 
, podemos hacer, por ejemplo, 
, 
y 
y nos quedamos
Como se puede ver en los “cálculos” anteriores, los límites dados en los ejemplos anteriores eran correctos.
Demostraremos solo un teorema sobre los límites para ejemplificar el cálculo que se muestra aquí.
Teorema. Si 
e 
son constantes cualesquiera, entonces 
.
Simplemente calcule el límite haciendo, por ejemplo,
y 
Quédamonos con:
, entonces
tiende a cero, ya que 
tiende a cero.
Hay una inmensa sencillez en el “cálculo” presentado.
En este caso, no hay duda de que el límite es
.
Ahora usaremos el “cálculo de límites” presentado para calcular los límites de las funciones en varias circunstancias.
- Calculemos
Cómo 
, para que podamos hacer, por ejemplo, 
, 
y 
Quédamonos con 
una vez que 
tiende a 11 y 
tiende a 9.
- Calculemos
.
Cómo x → 5, por lo que podemos hacer, por ejemplo, 
, 
y 
Quédamonos con
Se observa que no fue necesario “preparar” la función para aplicar el “cálculo”, es decir, no fue necesario escribir la función como 
y, finalmente, cómo 
- Calculemos
.
En los casos de radicales, a los que se suma o resta un número real, cuando la sustitución directa del valor de 
conduce a la indeterminación 
tenemos que preparar la ecuación, porque la aplicación directa del “cálculo” no deshace la indeterminación, como veremos a continuación.
Lo que pasa en este caso es que hay un factor común tanto al numerador como al denominador, pero eso solo se expresa cuando dividimos, o el numerador por el denominador, o el denominador por el numerador.
Esto actualmente se traduce en matemáticas como racionalización.
Veamos en el ejemplo anterior: si dividimos el denominador por el numerador, ya que el exponente de 
en el denominador es 1 y el exponente de en el numerador es menor, es decir, vale
tenemos: 
y sustituyendo tendremos 
.
Por lo tanto, podemos expresar el factor común al numerador y al denominador.
La otra forma es dividir el numerador por el denominador, pero en este caso debemos hacer lo mismo es la racionalización, ya que el exponente de 
en el numerador es menor que el exponente de 
denominador, y por lo tanto necesita ser multiplicado por un factor en hacer su exponente al menos igual al exponente del denominador.
Esta es la famosa racionalización que hacemos.
Primero haremos el cálculo, sin preparación.
Cómo 
, podemos hacer, por ejemplo, 
,
y
.
Quédamonos con
Observamos la necesidad de racionalizar, ya que el límite aún no está determinado cuando en el numerador y denominador, tendiendo a 
Luego multiplicaremos y dividiremos por
, y estaremos con
Ahora haremos el cálculo, preparando la función antes de aplicarla.
.
Cómo la sustitución directa de 4 conduce a la indeterminación
significa que el numerador y el denominador tienen como factor común 
ou 
En este caso, al tratarse de un radical menos un número real, la forma que se utiliza para “liberar” el factor común es a través de la racionalización.
Antes de calcular el límite, multiplicaremos y dividiremos el numerador y el denominador de la función por 
Quédamonos con
. En esta función, ya podemos aplicar el cálculo. Veamos: 
Cómo 
podemos hacer, por ejemplo, 
, 
y 
Quédamonos con 
1.2 LIMITES LATERAIS
En los casos en que se define una función para cada número real excepto un número real
, cuando calculamos su límite con la variable independiente que tiende a 
, como en los ejemplos dados arriba, no importa si usamos
cuánto 
, 
y 
, ya que está configurado para todos los números a la izquierda y a la derecha de 
.
Y, por supuesto, esta no es una función de oración.
Cuando una función no está definida a la izquierda o a la derecha de un número 
y tenemos que calcular su límite con 
tendiendo a, debemos usar el valor de según el caso puede ser.
Cuando 
y lo hacemos 
o 
, 
y 
, entonces
indica que 
se acerca
para valores mayores que 
, y por lo tanto se acerca a la derecha.
El cálculo realizado con 
es, por tanto, el límite cuando 
tiende a 
a la derecha.
Es, por tanto, el límite de la derecha.
Usamos 
para calcular el límite izquierdo.
Sabemos que el límite existe solo cuando los límites unilaterales existen y son iguales.
- Calculemos
√x – 4.
Sabemos que la función existe sólo para 
, esto es, 
Por tanto, no hay límite por la izquierda y, por tanto, el límite en cuestión no existe.
Pero existe el límite de la mano derecha que se puede calcular sustituyendo
por
, 
y 
Seja
- Calculemos los límites unilaterales.
como son iguales,
En el cálculo anterior, hicimos 
,para calcular el límite derecho y 
para calcular el límite izquierdo.
Calculamos el límite de 
definido por
- Calculemos
Entonces debemos calcular
entonces haremos 
, 
y 
Quédamonos con
- Calculemos
Entonces debemos calcular
Lo haremos entonces, , y
Quédamonos con
- Calculemos
Cómo 
entonces 
no existe.
- Calculemos .
Entonces debemos calcular,
Lo haremos entonces, 
, 
y 
Quédamonos con
- Calculemos
Entonces debemos calcular, 
lo haremos entonces, 
, 
y 
Quédamonos con
- Calculemos
Cómo 
, entoncesexiste y es igual a cero.
1.3 LIMITES INFINITOS
Aquellos cuyos valores funcionales aumentan o disminuyen sin limitación, cuando la variable independiente se acerca cada vez más a un número fijo, pueden ser resueltos igualmente por el “cálculo” de límite aquí presentado, con la ventaja de no tener que preocuparse por teoremas.
Antes de aplicar el “cálculo”, recordemos las siguientes situaciones:
- Calculemos el siguiente límite
.
Cómo 
,debemos hacer 
, 
y 
Quédamonos con 
.
- Calculemos ahora
.
Cómo 
, debemos hacer 
, 
y 
Quédamonos con 
.
- Calculemos
.
Cómo 
, debemos hacer 
, 
y 
Quédamonos con 
, porque el numerador tiende a 2, mientras que el denominador tiende a cero a través de valores positivos.
- Calculemos ahora
.
Cómo 
, debemos hacer 
, 
y 
Quédamonos con 
, porque el numerador tiende a 2 y el denominador tiende a cero a través de valores negativos.
- Calculemos
Cómo 
, debemos hacer 
, 
y 
Quédamonos con 
porque el numerador tiende a 14, mientras que el denominador tiende a cero para valores positivos.
- Calculemos ahora
Cómo 
, debemos hacer 
, 
y 
Quédamonos con
, ya que el numerador tiende a 14, mientras que el denominador tiende a cero para valores negativos, ya que 
tiende a cero siempre para valores positivos.
En este caso el denominador es 
siempre que
, y cómo 
, el denominador es siempre negativo.
- Calculemos
.
Cómo 
, debemos hacer 
, 
y
Quédamonos con 
porque el numerador tiende a 2 y el denominador tiende a cero para valores positivos.
- Calculemos
Cómo 
, debemos hacer 
, 
y 
Quédamonos con 
, porque el numerador tiende a 2 y el denominador tiende a cero para valores positivos.
En estos dos casos, pudimos 
en el radical porque siempre es positivo.
- Calculemos
.
Cómo 
, debemos hacer 
, 
y 
Quédamonos con 
porque el numerador tiende a 4, mientras que el denominador tiende a cero para valores positivos.
Nota Podríamos haber sustituido directamente el valor de 
en la ecuación original.
- Calculemos
Cómo 
, debemos hacer 
, 
y 
Quédamonos con 
, porque el numerador tiende a 35, mientras que el denominador tiende a cero para valores negativos, ya que es negativo para < 1.
- Calculemos
Cómo , nosotros lo haremos , y
Quédamonos con 
, porque el numerador tiende a
y el denominador tiende a 
por valores positivos.
1.4 LÍMITES AL INFINITO
Al igual que para los límites mencionados hasta ahora, la literatura consultada tampoco presenta un cálculo de límites en el infinito, sino que solo evalúa la función cuando la variable independiente crece o decrece indefinidamente.
El resultado de la evaluación se utiliza como umbral.
Veamos.
Dada la función 
, atribuimos a
los valores
y así sucesivamente, permitiéndole crecer indefinidamente. Los valores funcionales correspondientes serán
Observamos que cuando
crece, tomando valores positivos, los valores funcionales se acercan a 2.
Cuando una variable independiente crece indefinidamente, a través de valores positivos, escribimos
el ejemplo dado, se llegó a la conclusión de que 
Como se vio anteriormente, del ejemplo dado, no se presentó ningún cálculo de límite de la función, pero solo se observó que, como 
aumentada, en valores positivos, la función se acercaba a 2.
Este valor 2 se usó luego como el límite de la función.
Presentaremos, a continuación, el “cálculo” de límite de funciones cuando el variable independiente tiende a
o el 
En los casos en que 
,nosotros lo haremos 
y 
,porque, como vimos anteriormente, cuando 
tiende a cero para valores positivos, 
tiende a 
, y, con eso, 
tiende a 
En los casos en que 
, nosotros lo haremos 
y 
, porque, como vimos arriba, cuando tiende a cero para valores positivos
,tiende a, y con eso, 
tiende a
.
- Calculemos
.
Cómo 
, haremos 
y 
Quédamonos con 
porque el numerador tiende a 2 y el denominador tiende a 1.
- Calculemos
.
Cómo 
, haremos 
y 
Quédamonos con 
,porque el numerador tiende a 2 y el denominador tiende a 1.
- Calculemos
Cómo 
, haremos
y
Quédamonos con 
, porque el numerador tiende a 4 y el denominador tiende a 2.
- Calculemos
Cómo 
, haremos
y 
Quédamonos con 
porque el numerador tiende a cero y el denominador tiende a -4.
- Calculemos
Cómo 
, haremos 
y 
Quédamonos con 
, porque el numerador tiende a 3 y el denominador tiende a 
- Calculemos
Cómo , haremos y
Quédamonos con 
, porque el numerador tiende a -3 y el denominador tiende a √2.
- Calculemos
Cómo
, haremos 
y 
Quédamonos con 
porque el numerador es 1 y el denominador tiende a cero para valores positivos.
- Calculemos
Cómo 
, haremos 
= 
φ > 0 y φ → 0.
Quédamonos con 
porque el numerador tiende a -1 y el denominador tiende a cero para valores positivos.
- Calculemos
Cómo , haremos y
Quédamonos con 
porque el numerador es 1 y el denominador tiende a 1.
- Calculemos ahora
Cómo 
, haremos 
y 
Quédamonos con 
, porque el numerador es -1 y el denominador tiende a 1.
- Calculemos
Cómo 
, debemos hacer 
, 
Quédamonos con 
, porque el numerador tiende a 
y el denominador tiende a cero para valores positivos.
- Calculemos ahora
Cómo 
, haremos 
e 
Quédamonos con 
porque el numerador tiende a 2 y el denominador tiende a 1.
Observación.
El cálculo de límites en el infinito no se puede aplicar, por ejemplo, a funciones trigonométricas, ya que algunas varían en un intervalo determinado, y otras aumentan o disminuyen indefinidamente, según el valor considerado.
Por ejemplo, si tratamos de calcular el
, recorreríamos todos los valores del rango infinitas veces
, porque, por todo
, 
, es decir, no llegaríamos a ningún valor definido.
De hecho, las funciones polinómicas, o funciones expresadas por cocientes entre polinomios, son las más adecuadas para aplicar límites.
2. OBSERVACIÓN
1) El cálculo del límite presentado surgió de la identificación de la expresión
tiende a un cierto número 
con igualdad 
, o 
, con
e 
, desde, realmente, cuando
, 
y 
tiende a 
y con eso, 
tiende a 
En el caso de límites en el infinito, la sustitución de la expresión 
tiende a 
él era 
, y la sustitución de la expresión
tiende a 
foi 
, con 
y 
La sustitución tiene más sentido, porque, en realidad, cuando
, siempre por valores positivos,
tiende 
y 
tiende a 
, haciendo que 
tienda realmente a 
o 
, según el caso puede ser.
Si sustituimos, en el caso de que
tiende a
o 
o 
por, 
o 
y 
, el resultado seria el mismo.
Un ejemplo.
- Calculemos
Haremos 
e 
Quédamonos con
2. Como se ve en los distintos ejemplos, el “cálculo límite” presentado es bastante “fluido” y de aplicación directa, sin necesidad de consultar teoremas ni de “organizar” la función antes de realizar el cálculo, salvo cuando tengamos que racionalizar.
Este hecho trae mucha tranquilidad a la hora de calcular el límite de una función, ya que el “cálculo” presentado es una verdadera síntesis de este tema.
Por ejemplo, “cálculo” se puede utilizar directamente sobre la función
, sin necesidad de organizarlo, es decir, de expresarlo como
Veamos. 
Cómo
, podemos hacer, por ejemplo, 
y 
Quédamonos con
Esto trae una enorme ventaja sobre la presentación actual de este tema que, además de no presentar ningún cálculo de límites, se muestra bastante “atascado” por la inmensa cantidad de teoremas que deben ser considerados en las “evaluaciones” de límites, así como de las “organizaciones” que debe hacerse sobre las funciones antes de “estimar” su límite.
3) Me gustaría añadir, al “cálculo de límites” presentado, algunas valoraciones de carácter práctico.
a) Sólo tiene sentido calcular el límite de una función cerca de un valor para el que no está definido.
Si la función está definida para cierto valor, es decir, si la función existe para cierto valor, no tiene sentido calcular el límite cerca de ese valor, ya que sabemos cuánto vale la función en ese valor.
Por ejemplo, ser 
Esta función está definida para todos 
, existe para todos
Por lo tanto, no sería razonable calcular, por ejemplo, 
,ya que la función existe para 
, es decir, ¿por qué calcular este límite si simplemente podemos sustituir 
por 3 en 
y obtenemos el valor de la función en 3, es decir, 
Con esto, cientos de ejercicios ya no tienen razón de existir.
Evidentemente las funciones consideradas en este artículo son de 
b) Usando el concepto de límite, haremos aquí una observación sobre la continuidad de una función.
Según el libro de cálculo de Lethold (1994), la definición de una función continua en un punto se traduce de la siguiente manera:
Decimos que la función 
es continua en el número a si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:
(i) 
existe;
(ii) 
existe;
(iii) 
Si una o más de estas condiciones no se verifican, la función
será discontinuo en 
.
Entonces lima (1978) define la continuidad de una función:
una función
se dice que es continua en el punto 
cuando es posible hacer 
arbitrariamente cerca de 
siempre y cuando se tome 
lo suficientemente cerca de 
En términos precisos, diremos que
es continua en el punto
cuando, por todos 
dado arbitrariamente, podemos encontrar 
tal que 
y 
implicar
Sabemos que si una función está definida en cierto intervalo, es decir, si existe para cada número contenido en cierto intervalo, entonces no tiene sentido calcular el límite de esa función para algún número en ese intervalo, ya que podemos simplemente evalúe la función en cada número en ese rango.
En términos más simples: si una función, representada por una sola expresión, por una sola oración, existe para un cierto número 
entonces es totalmente innecesario calcular el límite de la función para 
, ya que, simplemente, podemos calcular el valor de la función en
Por supuesto, si tuviéramos que calcular este límite, como lo hicimos anteriormente, sería 
Como se indicó anteriormente, solo tiene sentido calcular el límite de una función alrededor de un número para el que no está definido.
Por lo tanto, si estamos analizando funciones representadas por una sola expresión, diciendo que existe una función para cierto número 
, significa que hay un límite de esta función en siendo este límite el valor de la función en 
, y con eso no necesitamos calcular el límite de esta función en ese número 
Aplicando esto a la definición anterior de una función continua, los puntos (ii) y (iii) de la definición se volverán innecesarios, ya que en el punto (i) se establece que
existe.
Por lo tanto, para funciones representadas por “una sola expresión”, la simple declaración de que la función
, se define en un numero 
es decir, la simple afirmación de que
existe es suficiente para concluir que la función es continua en ese número
Asimismo, con esta observación sobre las funciones continuas, cientos de ejercicios pierden su razón de ser.
Ejemplo: dejar que la función 
que está definido para todo número real, es decir, existe para todo 
real.
Por lo tanto, no hay necesidad de calcular el límite de 
sin valor de 
,porque en este caso, se define en 
es sinónimo de tener un límite en y que este límite es igual al valor de la función en consideró.
Entonces la función
es continuo para todos
3. CONCLUSIÓN
En lo anterior mostramos que, de hecho, la teoría de los límites es deficiente en relación con un cálculo de límite y, por lo tanto, se rodea de una serie de argumentos basados en la definición de límite para llenar este vacío.
A continuación presentamos el “cálculo del límite de una función” y demostramos que sintetiza todo el tema mencionado, teniendo, por tanto, aplicación directa.
Esperamos estar contribuyendo a una mejor comprensión de un tema tan fundamental en las matemáticas.
REFERENCIAS
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos et all. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 8, 1991.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, 1994.
LIMA, Elon Lages. Curso de Análise, vol. 1, 1978.
MUNEM, Mustafa A. e FOULIS, David J. Cálculo, vol. 1, 1982.
[1]Licenciado en Matemáticas por la Universidad de Brasilia.
Enviado: Junio de 2021.
Aprobado: Agosto de 2021.
