GRENZBERECHNUNG EINER FUNKTION OHNE VERWENDUNG VON Ε UND Δ

ORIGINALER ARTIKEL

PEREIRA, Olavo de Carvalho ^[1]

PEREIRA, Olavo de Carvalho. Grenzberechnung einer funktion ohne verwendung von und . Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Jahr. 06, Hrsg. 08, Bd. 04, p. 05-31. August 2021. ISSN: 2448-0959, Zugangslink: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/mathematischen-olympiaden/grenzberechnung, DOI:  10.32749/nucleodoconhecimento.com.br/mathematischen-olympiaden/grenzberechnung

ZUSAMMENFASSUNG

Die konsultierte Bibliographie enthält in keinem der analysierten Fälle eine Berechnung der Grenze einer Funktion, sondern „zeigt“ nur, dass die als „Grenze“ dargestellten Werte die durch Ungleichungen ausgedrückte Definition der Grenze einer Funktion erfüllen einbeziehen und , es gibt also eine lücke in diesem thema, die der vorliegende artikel zu füllen versucht, indem er den begriff der definierten funktion grundsätzlich verwendet und den ausdruck identifiziert“ tendiert zu einer bestimmten Zahl“ mit entsprechender Gleichheit.

Stichworte: Grenzwert einer Funktion, Grenzwertrechnung, Laterale Grenzwerte, Unendliche Grenzwerte, Grenzwerte im Unendlichen.

1. EINLEITUNG

Dieser Artikel stellt die „Grenzwertberechnung einer Funktion“ vor, um eine bestehende Lücke in diesem Fachgebiet zu schließen.

Die Darstellung der in der Berechnung erwähnten Lösung mehrerer Grenzwerte ist das Hauptziel des Artikels.

Ergänzend wollen wir klären, ob es wirklich notwendig ist, den Grenzwert einer Funktion zu berechnen oder nicht.

Wir werden auch auf sehr einfache Weise den Fall diskutieren, in dem eine einfache Funktion, die bei einer bestimmten Zahl definiert ist, bei dieser Zahl stetig ist.

Obwohl die geometrische Interpretation immer wichtig ist, werden wir uns hier nur algebraisch mit dem vorgestellten „Grenzwertkalkül“ befassen.

1.1 GRENZBERECHNUNG EINER FUNKTION

Die Definition des Grenzwerts einer Funktion wird in Mathematiklehrbüchern als Schätzung angegeben.

Zum Beispiel: Leithold (1994) präsentiert die Definition der Grenze einer Funktion wie folgt:

Seja uma função definida para todo número em algum intervalo aberto contendo , exceto possivelmente no próprio número  O limite de  quando tende a  será , escrito como  se a seguinte afirmativa for verdadeira:

Dado qualquer, existe um , tal que, se então .‘‘

A definição acima afirma que os valores de  tendem a um limite quando tende a um número , se o valor absoluto da diferença entre e puder se tornar tão pequeno quanto desejarmos, tomandosuficientemente próximo de , mas não igual a .

Andererseits äußern sich Lezzi, Murakami und Machado (1991) zu derselben Definition:

Seja um intervalo aberto ao qual pertence o número real . Seja uma função definida para Dizemos que o limite de , quando tende a , é , e escrevemos se para todo , existir tal que se

então .

Munem und Foulis (1982) verwenden die folgende Definition:

Se é uma função e é um número, entende-se a notação   como “o limite de ” quandotende a é isto é,  se aproxima do número quando se aproxima de .

Wie aus den obigen Definitionen ersichtlich ist, wird eine Grenze präsentiertnur um die Definition selbst zu erfüllen.

Eine Berechnung dieser Grenze wird zu keinem Zeitpunkt vorgelegt.

Dieser Artikel stellt die „Grenzwertberechnung“ einer Funktion vor, die in allen Fällen verwendet werden kann, in denen es notwendig ist, eine solche Operation durchzuführen.

Nun zur Argumentation.

Für einige Funktionen, die nicht in einer bestimmten Zahl definiert sind, ist es üblich, sie in Werten zu bewerten, die in der Nähe dieser Zahl liegen, für die sie es nicht sind, um mit der größtmöglichen Genauigkeit zu wissen, was ihr Wert in dieser Zahl wäre definiert.

Beispiel:auf alle setzen  außer .

Wenn wir die ersetzen mit 1 haben wir die Unbestimmtheit .

Da die Funktion nicht definiert ist, das heißt, sie existiert nicht für den Wert 1, bewerten wir dann ihren Wert nahe 1, da unser Ziel darin besteht, den Wert der Funktion zu kennen, der mindestens nahe 1 liegt es existiert nicht.

Für Werte von , anders als 1, größer oder kleiner als 1, aber sehr nahe bei 1, , danngleich 1 sein und Werte nahe 5 haben, wie wir unten sehen werden:

Lassen Sie uns zuweisen die Werte, das heißt, wir nehmen Werte von immer näher an 1, aber kleiner als 1. Die Werte von  gefunden sind:

Lassen Sie uns nun die zuweisen die Werte , das heißt, wir nehmen Werte von immer näher an 1, aber größer als 1. Die Werte von gefunden sind:

Wie ersichtlich, in beiden Fällen, wie Ansätze 1, nähert sich 5, was uns glauben lässt, dass dies die Grenze von ist .

Allerdings wurde hier keine Grenzwert-„Berechnung“ vorgenommen, sondern nur eine Bewertung, Wannnimmt Werte sehr nahe bei 1 an.

Der Wert 5 ist also „Kandidat“, um die Grenze zu sein, die wir noch berechnen müssen.

Die konsultierten Autoren strukturieren die Definition des Grenzwerts in Bezug auf Ungleichungen aus Beispielen wie diesem und nehmen den geschätzten Wert, in diesem Fall 5, als wirklichen Grenzwert der Funktion an.

Diesbezüglich behaupten sie das , denn für jeden , Egal wie klein es ist, es gibt eine , so dass wenn dann .

Die eingangs gegebene Grenzwertdefinition ohne Grenzwertrechnung dient dem „Beweis“, dass gegebene Zahlen ohne Hinweis darauf, wo sie genommen wurden, Grenzwerte von Funktionen sind.

Wir werden zeigen, dass die Definition von Grenzwert nicht beweist, nicht demonstriert, dass eine gegebene Zahl der Grenzwert einer Funktion ist, sondern nur „zeigt“, dass die gegebene Zahl der Grenzwert ist.

Lassen Sie uns anhand eines Beispiels den Unterschied zwischen einer „Show“ und einer „Demonstration“ verdeutlichen.

• Zeigen Sie, dass 2 die Wurzel der Gleichung ist .

Das heißt, wenn wir die ersetzenPelz 2,Wir werden Null als Ergebnis der Gleichung haben.

Mal schauen.

Dies war ein Beispiel für „Demonstration“, dh es wurde nur etwas gezeigt, nichts demonstriert, nichts berechnet, nur der gelieferte Wert ersetzt.

Anders ist es, wenn Sie sagen: Beweisen Sie, dass 2 eine Wurzel ist, es ist eine Lösung der Gleichung .

In diesem Fall müssen wir rechnen, die Gleichung lösen und sehen, ob wir sie bekommen .

Nun, wir haben es gelöst: , logo , und auf beiden Seiten die Quadratwurzel ziehen, erhalten wir: , das ist, oder .

Dann einer der Werte vonwirklich ist 2.

Damit wurde „bewiesen“, dass 2 wirklich die Wurzel der Gleichung ist .

Wir werden in den unten angegebenen Beispielen sehen, dass es keinen Beweis gibt, sondern nur einen „Zeigen“, dass die gegebene Zahl der Grenzwert der gegebenen Funktion ist.

Beispiel. Verwenden Sie die Grenzwertdefinition, um das zu „beweisen“..

Hier wird nicht gesagt, wie der Schluss gezogen wurde, dass die Grenze 5 ist, noch wird gesagt, woher diese Zahl genommen wurde.

Wir werden allgemein die in den konsultierten Büchern vorgestellte Lösung diskutieren:

Die erste Anforderung der Definition ist die auf jeder Zahl eines offenen Intervalls definiert werden, das 3 enthält, außer möglicherweise auf 3. As für alle reellen Zahlen definiert ist, erfüllt jedes offene Intervall, das 3 enthält, diese Anforderung. Das müssen wir jetzt allen zeigen  da ist einer , so dass wenn dann Wir müssen

, demnächst e

Wir haben dann, und

Darauf weist diese Aussage hin ist ein zufriedenstellendes Delta.

Mit dieser Wahl von wir haben folgende Argumentation:, dann, dann, danndann, dann

Dies „zeigt“ nur, von der Definition der Grenze, dass

Wie wir gesehen haben, gab es keinen Beweis, sondern nur eine „Show“, da wir bei der gegebenen Zahl 5 einfach diese und die gegebene Funktion in der Definition des Grenzwerts einer Funktion eingesetzt haben.

Gehen wir zu einem weiteren Beispiel: Verwenden Sie die Definition, um das zu „beweisen“ .

Als Grenze wird wieder eine Zahl angegeben, in diesem Fall 4, aber es wird nicht gesagt, woher diese Zahl stammt.

Hier ist die Lösung, allgemein ausgedrückt:

Wie für alle reellen Zahlen definiert ist, erfüllt jedes offene Intervall, das 2 enthält, die erste Anforderung der Definition.

Das müssen wir allen zeigen, da ist einer , so dass

Wenn dann

Demnächst dann

Wir müssen eine Einschränkung auferlegendas gibt uns eine Ungleichheit mit . Eine solche Beschränkung wird vorgenommen, um das von der Definition geforderte offene Intervall auszuwählen. Wir wählen das Sortiment und das impliziert das . Dann und , dann dann dann dann.

Jetzt haben wir e , dann Als unser Ziel ist es zu bekommen , wir müssen verlangen Mit diesem

Mit diesem wir haben den sogenannten „Beweis“ abgeschlossen.

Wie wir oben gesehen haben, wurde wieder nichts bewiesen, sondern nur, dass die als Grenze angegebene Zahl, in diesem Fall 4, der Definition von Grenze genügt.

Es gab keine Berechnung, um zu zeigen, dass die Zahl 4 wirklich die Grenze ist.

Ab hier stellen wir die Grenzwertrechnung einer Funktion vor.

Bevor wir die “Berechnung” selbst präsentieren, lassen Sie uns bewerten in den gleichen Werten von oben angegeben, aber als Verbindungen der Nummer 1 betrachtet.

Dies wird allgemein die Argumentation zeigen, die zur Berechnung des Grenzwerts der Funktion verwendet wurde.

Die Funktion ist, gültig für alle .

Zum oder , Wir müssen

Zum oder , Wir müssen Zum oder Wir müssen

Zum oder Wir müssenZum oder , Wir müssen

Zum ou , Wir müssen

Zum oder Wir müssen

Zum oder , Wir müssen

Zum oder  , Wir müssen

Wir haben einige Werte von getestet weniger als 1.

Jetzt werten wir aus bei Werten größer als 1, aber nahe 1.

Zum oder , Wir müssen

Zum oder Wir müssen

Zum oder Wir müssen

Zum oder , Wir müssen

Zum oder , Wir müssen

Zum oder Wir müssen

Zum oder , Wir müssen

Zum oder , Wir müssen

Zum oder , Wir müssen

Aus dem oben Gesagten erkennen wir das umso mehr nähert sich 1, desto mehr nähert sich 5, das heißt, wenn tendiert zu 1, tendiert zu 5.

Wir beobachteten in den Berechnungen oben, in allen zugewiesenen Werten, das Auftreten einer Konstante zu dem ein Wert addiert oder subtrahiert wurde, der gegen Null tendierte, als  näherte sich dem 1.

Diese Konstante ist daher ein „Kandidat“ für die oben erwähnte „Grenze“, das heißt, es gibt einen Hinweis, den wir möglicherweise haben .

Wir werden die obige Situation nun halb allgemein ausdrücken, um die „Grenzwertberechnung“ selbst darzustellen.

Der Ausdruck “ tendiert zu 1″, dargestellt durch , es ist äquivalent zu , oder , Wann tendiert gegen null, , und .

Damit der Ausdruck, ersetzen prooder , es ist äquivalent zu , oder, das ist,  , oder .

Aus der obigen Gleichheit ist es möglich, den Wert der Grenze von zu „berechnen“ Wann gegen 1 tendiert, da es ausreicht, den Wert von zu berechnen , oder .

Wir werden nun mit der gleichen Funktion wie zuvor die Berechnung für durchführen, Wann .

Auf diese Weise bleiben wir übrig:

dannEgal ob , und tendiert gegen Null, wenn , das heißt, sie ist so klein, dass sie sich beliebig weit Null nähert.

Die Berechnung für , das ist, , ist analog und liefert das gleiche Ergebnis.

Mal schauen:

Wir werden nun eine Reihe von Grenzwerten von Funktionen berechnen, um die Anwendung des erwähnten „Kalküls“ zu veranschaulichen.

• Lassen Sie uns rechnen .

Wie, können wir zB, , und .

Bleib bei Bedingungen ein die alle gegen Null gehen.

Dann wird das Ergebnis sein

• Lassen Sie uns rechnen

Wie , können wir zB, , und .

Bleib bei
, weil der Zähler gegen 4 tendiert und der Nenner gegen 4 .

• Lassen Sie uns rechnen.

Wie wir oben gesehen haben, werden wir am Ende bei uns bleiben

• Lassen Sie uns rechnen wie nachstehend.

.

Wir müssen rechnen, denn egal was passiert Wann .

Wie , können wir zB, und .

Bleib bei ,  dann.

Sei, auf alle setzen , außer .

Lassen Sie uns überlegen das ist, , wofür reduziert zu .

• Lassen Sie uns die berechnen . Wir müssen , einmal als , der Ausdruck tendiert gegen null.

Dann

Betrachten wir nun das folgende Beispiel: , auf alle setzen , und berechnen Sie seine Grenze wann tendiert zu 2.

Zum Existenzbedingung der Funktion, , und wann können wir zB, , mit und wir müssen die Grenze berechnen.

Wie, der Ausdruck neigt dazu , und die Grenze wird dann sein .

Als Fazit bleibt uns:.

Überwachung.

Wir hätten „Kalkül“ direkt auf die Funktion anwenden können, ohne zuerst den gemeinsamen Faktor von Zähler und Nenner zu dividieren.

Mal schauen

Tatsächlich können wir den „Kalkül“ direkt auf die Funktion anwenden, ohne zuerst eine „Vorbereitung“ darauf zu treffen.

Wir werden nun einige Beispiele für die Berechnung von Grenzwerten mit trigonometrischen und Exponentialfunktionen geben, um das Obige zu veranschaulichen.

Betrachten wir die Funktion , auf alle setzen , außer

Erinnern: bedeutet zum Beispiel das, Wo , .

Setzen wir diesen Wert von x in die obige ursprüngliche Gleichung ein, erhalten wir:

Dann, und sind unabhängig von es ist das, während .

Ein weiteres Beispiel: Betrachten Sie die Funktion  auf alle setzen , außer .

• Lassen Sie uns die berechnen
• Die Substitution vornehmen für zum Beispiel, , mit , . Wir haben: , weil dieist 1 und Egal ob.

Lassen Sie uns nun die Grenze der zu Beginn angegebenen Funktionen berechnen, um die Werte der angegebenen Grenzen zu bestätigen.

• Lassen Sie uns rechnen

Wie, können wir zB, , und und wir bleiben übrig

• Lassen Sie uns rechnen

Wie, können wir zB, , und und wir bleiben übrig

Wie aus den obigen “Berechnungen” ersichtlich ist, waren die in den vorherigen Beispielen angegebenen Grenzen korrekt.

Wir werden nur einen Satz über Grenzen demonstrieren, um den hier gezeigten Kalkül zu veranschaulichen.

Satz. Wenn und sind dann irgendwelche Konstanten .

Berechnen Sie einfach die Grenze, indem Sie zum Beispiel tun, und

Bleib bei: , dann gegen Null tendiert, da tendiert gegen null.

Die dargestellte „Rechnung“ ist von ungeheurer Einfachheit.

In diesem Fall gibt es keinen Zweifel, dass die Grenze ist.

Wir werden nun den vorgestellten „Grenzwertkalkül“ verwenden, um Grenzwerte von Funktionen unter verschiedenen Umständen zu berechnen.

• Lassen Sie uns rechnen

Wie , so können wir zb, , und

Bleib bei, einmal neigt zu 11 und tendiert zu 9.

• Lassen Sie uns rechnen .

Wie x → 5, so können wir zb, , und

Bleib bei

Es wird beobachtet, dass es nicht notwendig war, die Funktion „vorzubereiten“, um den „Kalkül“ anzuwenden, das heißt, es war nicht notwendig, die Funktion als zu schreiben und, schließlich, wie

• Lassen Sie uns rechnen .

In Fällen mit Radikalen, zu denen eine reelle Zahl addiert oder subtrahiert wird, wenn die direkte Substitution des Werts von führt zu Unbestimmtheit wir müssen die Gleichung aufstellen, denn die direkte Anwendung des „Kalküls“ hebt die Unbestimmtheit nicht auf, wie wir weiter unten sehen werden.

Was in diesem Fall passiert ist, dass Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor haben, der aber nur ausgedrückt wird, wenn wir entweder den Zähler durch den Nenner oder den Nenner durch den Zähler dividieren.

Dies wird derzeit in der Mathematik als Rationalisierung übersetzt.

Sehen wir uns das obige Beispiel an: Wenn wir den Nenner durch den Zähler dividieren, da der Exponent von im Nenner ist 1 und der Exponent von im Zähler ist kleiner, das heißt, es ist wert wir werden haben: und ersetzen, werden wir haben  .

Damit können wir den gemeinsamen Faktor von Zähler und Nenner ausdrücken.

Die andere Möglichkeit besteht darin, den Zähler durch den Nenner zu dividieren, aber in diesem Fall müssen wir das Gleiche tun, da der Exponent von im Zähler ist kleiner als der Exponent von Nenner und muss daher mit einem Faktor in multipliziert werden seinen Exponenten mindestens gleich dem Exponenten des Nenners zu machen.

Das ist die berühmte Rationalisierung, die wir machen.

Wir werden zuerst die Berechnung durchführen, ohne Vorbereitung.

Wie , können wir zB, , und .

Bleib bei  Wir beobachten die Notwendigkeit, zu rationalisieren, da die Grenze noch unbestimmt ist, wann im Zähler und Nenner, tendenziell

Wir werden dann multiplizieren und dividieren durch, und wir werden mit sein

Jetzt führen wir die Berechnung durch und bereiten die Funktion vor, bevor wir sie anwenden.

.

Wie die direkte Substitution von 4 zu Unbestimmtheit führto bedeutet, dass Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben  oder 

Da es sich in diesem Fall um eine Wurzel minus einer reellen Zahl handelt, wird der gemeinsame Faktor durch Rationalisierung „freigegeben“.

Bevor wir den Grenzwert berechnen, multiplizieren und dividieren wir Zähler und Nenner der Funktion mit

Bleib bei.  In dieser Funktion können wir den Kalkül bereits anwenden. Mal schauen:

Wie wir können zb,, und

Bleib bei

1.2 SEITLICHE GRENZEN

In Fällen, in denen eine Funktion für jede reelle Zahl außer einer reellen Zahl definiert ist, wenn wir seine Grenze berechnen, wobei die unabhängige Variable dazu tendiert, Wie in den oben angegebenen Beispielen spielt es keine Rolle, ob wir verwenden wie viel , und , da es auf alle Nummern links und rechts davon eingestellt ist .

Und natürlich ist dies keine Satzfunktion.

Wenn links oder rechts von einer Zahl keine Funktion definiert ist und wir müssen seine Grenze mit berechnen pflegen , wir müssen den Wert von verwenden wie es der Fall sein mag.

Wann und das tun wir  , oder , und , dann zeigt an, dass auf etwas oder jemanden zukommen für Werte größer als , und, daher nähert es sich Nach rechts.

Die Berechnung erfolgte mit ist daher die Grenze, wann neigt dazu Nach rechts.

Es handelt sich also um die rechte Grenze.

Wir gebrauchen um die linke Grenze zu berechnen.

Wir wissen, dass die Grenze nur existiert, wenn die einseitigen Grenzen existieren und gleich sind.

• Lassen Sie uns rechnen√x – 4.

Wir wissen, dass die Funktion nur für existiert, das ist,

Daher gibt es keine linke Grenze und daher existiert die betreffende Grenze nicht.

Aber es gibt die rechte Grenze, die durch Einsetzen berechnet werden kann pro , und

• Lassen Sie uns die einseitigen Grenzen berechnen.

Wie sind sie gleich,

In der obigen Berechnung haben wir gemacht , die rechte Grenze zu berechnen und um die linke Grenze zu berechnen.

Wir berechnen die Grenze von definiert von

• Lassen Sie uns rechnen

Wir müssen dann rechnen,

Dann machen wir das, , und

Bleib bei

• Lassen Sie uns rechnen

Wir müssen dann rechnen,

Dann machen wir das, , und

Bleib bei

• Lassen Sie uns rechnen

Wie dann ist die ist nicht vorhanden.

• Lassen Sie uns rechnen .

Wir müssen dann rechnen,

Dann machen wir das, , und

Bleib bei

• Lassen Sie uns rechnen

Wir müssen dann rechnen,

Wir werden dann tun,, und

Bleib bei

Lassen Sie uns rechnen

Wie, dannexistiert und gleich Null ist.

1.3 UNENDLICHE GRENZEN

Diejenigen, deren Funktionswerte ohne Begrenzung steigen oder fallen, wenn die unabhängige Variable immer näher an eine feste Zahl herankommt, können durch die hier vorgestellte Grenzwert-„Berechnung“ gleichermaßen gelöst werden, mit dem Vorteil, sich nicht um Theoreme kümmern zu müssen.

Bevor wir die „Berechnung“ anwenden, erinnern wir uns an die folgenden Situationen:

• Lassen Sie uns die folgende Grenze berechnen .

Wie, wir müssen tun , und

Bleib bei .

• Rechnen wir jetzt .

Wie, wir müssen tun , und

Bleib bei.

• Lassen Sie uns rechnen .

Wie , wir müssen tun , und

Bleib bei , weil der Zähler gegen 2 tendiert, während der Nenner durch positive Werte gegen Null tendiert.

• Rechnen wir jetzt .

Wie , wir müssen tun ,  und 

Bleib bei , weil durch negative Werte der Zähler gegen 2 und der Nenner gegen null strebt.

• Lassen Sie uns rechnen

Wie, wir müssen tun , und

Bleib bei weil der Zähler bei positiven Werten gegen 14 tendiert, während der Nenner gegen Null tendiert.

• Rechnen wir jetzt

Wie , wir müssen tun , und

Bleib bei, da der Zähler bei negativen Werten gegen 14 tendiert, während der Nenner bei negativen Werten gegen Null tendiert, da geht bei positiven Werten immer gegen Null.

In diesem Fall ist der Nenner wann immer , Es ist wie , der Nenner ist immer negativ.

• Lassen Sie uns rechnen

Wie , wir müssen tun , und

Wir sind wie
weil der Zähler bei positiven Werten gegen 2 und der Nenner gegen null tendiert.

• Lassen Sie uns rechnen

Wie , wir müssen tun , und

Bleib bei , weil der Zähler bei positiven Werten gegen -2 und der Nenner gegen Null tendiert.

In diesen beiden Fällen konnten wir dasins Radikal, weil es immer positiv ist.

• Lassen Sie uns rechnen

Wie, wir müssen tun , und

Bleib bei weil der Zähler bei positiven Werten gegen 4 tendiert, während der Nenner gegen Null tendiert.

Notiz Wir hätten den Wert von direkt ersetzen können in der ursprünglichen Gleichung.

• Lassen Sie uns rechnen

Wie, wir müssen tun , und

Bleib bei , weil der Zähler bei negativen Werten gegen 35 tendiert, während der Nenner bei negativen Werten gegen null tendiert, da  negativ für ist < 1.

• Lassen Sie uns rechnen

Wie , wir werden das machen , und

Bleib bei , weil der Zähler dazu tendiert und der Nenner tendiert dazu durch positive Werte.

1.4 GRENZEN IN DER UNENDLICHKEIT

Ebenso wie bei den bisher erwähnten Grenzen stellt auch die herangezogene Literatur keine Berechnung von Grenzen im Unendlichen dar, sondern wertet die Funktion nur dann aus, wenn die unabhängige Variable unendlich zunimmt oder abnimmt.

Das Bewertungsergebnis wird als Schwellenwert verwendet.

Mal schauen.

Die Funktion gegeben, wir schreiben zu die werteund so weiter, wodurch es unbegrenzt wachsen kann. Die entsprechenden Funktionswerte werden

Wir beobachten das wann wächst und positive Werte annimmt, nähern sich die Funktionswerte 2.

Wenn eine unabhängige Variable wächst unendlich, durch positive Werte schreiben wir dem gegebenen Beispiel wurde der Schluss gezogen, dass 

Wie oben zu sehen ist, wurde aus dem gegebenen Beispiel keine Grenzberechnung der Funktion präsentiert, sondern es wurde nur beobachtet, dass, as erhöht, um positive Werte näherte sich die Funktion 2.

Dieser Wert 2 wurde dann als Grenzwert der Funktion verwendet.

Wir werden im Folgenden die „Berechnung“ der Funktionsgrenze vorstellen, wenn die unabhängige Variable dazu tendiert oder der

In Fällen wo , wir werden das machen und , denn, wie wir oben gesehen haben, wann geht bei positiven Werten gegen Null, neigt dazu , und damit, neigt dazu

In Fällen wo , wir werden das machen und , denn, wie wir oben gesehen haben, wenn φ bei positiven Werten gegen Null geht, dazu neigt, und damit, neigt dazu .

• Lassen Sie uns rechnen.

Wie , wir werden das machen und

Bleib bei weil der Zähler gegen 2 tendiert und der Nenner gegen 1.

• Lassen Sie uns rechnen

Wie , wir werden das machen und

Bleib bei, weil der Zähler gegen 2 tendiert und der Nenner gegen 1.

• Lassen Sie uns rechnen

Wie , wir werden das machen und

Bleib bei, weil der Zähler gegen 4 tendiert und der Nenner gegen 2.

• Lassen Sie uns rechnen

Wie , wir werden das machen und

Bleib bei weil der Zähler gegen Null tendiert und der Nenner gegen -4 tendiert.

• Lassen Sie uns rechnen

Wie , wir werden das machen und

Bleib bei, weil der Zähler gegen 3 tendiert und der Nenner gegen √2 tendiert.

• Lassen Sie uns rechnen

Wie , wir werden das machen und

Bleib bei , weil der Zähler gegen -3 tendiert und der Nenner gegen √2 tendiert.

• Lassen Sie uns rechnen

Wie , wir werden das machen und

Bleib bei weil der Zähler 1 ist und der Nenner bei positiven Werten gegen Null geht.

• Lassen Sie uns rechnen

Wie , wir werden das machen  =  φ > 0 und φ → 0.

Bleib bei weil der Zähler bei positiven Werten gegen -1 und der Nenner gegen Null tendiert.

• Lassen Sie uns rechnen

Wie , wir werden das machen und

Bleib bei weil der Zähler 1 ist und der Nenner gegen 1 geht.

• Rechnen wir jetzt

Wie, wir werden das machen und

Bleib bei , weil der Zähler -1 ist und der Nenner gegen 1 tendiert.

• Lassen Sie uns rechnen

Wie , wir müssen tun ,

Bleib bei, weil der Zähler dazu tendiert und der Nenner geht für positive Werte gegen Null.

• Rechnen wir jetzt

Wie , wir werden das machen und

Bleib bei weil der Zähler gegen 2 tendiert und der Nenner gegen 1.

Überwachung.

Die Berechnung von Grenzen im Unendlichen kann beispielsweise nicht auf trigonometrische Funktionen angewendet werden, da einige von ihnen in einem bestimmten Intervall variieren und andere je nach betrachtetem Wert unbegrenzt zunehmen oder abnehmen.

Wenn wir zum Beispiel versuchten, die zu berechnen, wir würden alle Werte des Bereichs unendlich oft durchlaufen , denn für alle , , das heißt, wir würden zu keinem bestimmten Wert gelangen.

Tatsächlich sind Polynomfunktionen oder Funktionen, die durch Verhältnisse zwischen Polynomen ausgedrückt werden, am besten zum Anwenden von Grenzen geeignet.

2. KOMMENTARE

1) Die vorgestellte Grenzwertberechnung ergab sich aus der Identifikation des Ausdrucks tendiert zu einer bestimmten Zahl  mit Gleichberechtigung , oder , mit  e , seit, wirklich, wann , und dazu neigen und damit, neigt dazu

Bei Grenzen im Unendlichen die Substitution für den Ausdruck neigt dazu er war ,  und die Substitution für den Ausdruck neigt dazu er war , mit und

Die Substitution macht am meisten Sinn, denn eigentlich wann, immer für positive Werte, neigenund neigt dazu , verursacht wirklich dazu neigen Oder der , wie es der Fall sein mag.

Wenn wir ersetzen, in dem Fall, wo neigt dazu Oder der die  por, oder und , das Ergebnis wäre das gleiche.

Ein Beispiel.

• Lassen Sie uns rechnen

Wir werden das machen und

Bleib bei

2. Wie in den verschiedenen Beispielen zu sehen ist, ist der vorgestellte „Grenzwertkalkül“ ziemlich „fließend“ und direkt anwendbar, ohne dass die Notwendigkeit besteht, Theoreme zu konsultieren oder die Funktion vor der Durchführung der Berechnung zu „organisieren“, außer wenn wir rationalisieren müssen.

Diese Tatsache bringt viel Ruhe bei der Berechnung des Grenzwertes einer Funktion, denn die vorgestellte „Berechnung“ ist eine wahre Synthese dieses Themas.

Beispielsweise kann „Berechnung“ direkt über der Funktion verwendet werden, ohne die Notwendigkeit, es zu organisieren, das heißt, es auszudrücken als

Mal schauen

Wie, können wir zB, und

Bleib bei

Dies bringt einen enormen Vorteil gegenüber der derzeitigen Darstellung dieses Themas, das, abgesehen davon, dass es keine Grenzwertberechnung präsentiert, an der immensen Menge an Theoremen, die bei der „Auswertung“ von Grenzwerten berücksichtigt werden müssen, ziemlich „festgefahren“ ist, wie z sowie der „Organisationen“, die an den Funktionen durchgeführt werden müssen, bevor ihre Grenze „abgeschätzt“ wird.

3) Ich möchte der vorgestellten „Grenzwertrechnung“ einige Wertungen praktischer Natur hinzufügen.

a) Es ist nur sinnvoll, den Grenzwert einer Funktion in der Nähe eines Wertes zu berechnen, für den sie nicht definiert ist.

Wenn die Funktion für einen bestimmten Wert definiert ist, das heißt, wenn die Funktion für einen bestimmten Wert existiert, macht es keinen Sinn, die Grenze in der Nähe dieses Werts zu berechnen, da wir wissen, wie viel die Funktion bei diesem Wert wert ist.

Zum Beispiel sein

Diese Funktion ist für alle definiert , es existiert für alle

Daher wäre es unangemessen, beispielsweise zu berechnen,, , da die Funktion existiert für , das heißt, warum diese Grenze berechnen, wenn wir einfach ersetzen können um 3 Zoll und wir erhalten den Wert der Funktion bei 3, das heißt, 

Damit haben Hunderte von Übungen keine Daseinsberechtigung mehr.

Offensichtlich sind die in diesem Artikel betrachteten Funktionen von

b) Unter Verwendung des Grenzwertbegriffs machen wir hier eine Beobachtung über die Stetigkeit einer Funktion.

Nach Letholds Kalkülbuch (1994) wird die Definition einer stetigen Funktion an einem Punkt wie folgt übersetzt:

Dizemos que a função  é contínua no número a se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:

(i)  existe;

(ii) existe;

(iii)

Se uma ou mais de uma dessas condições não forem verificadas em , a função será descontínua em

So definiert Lima (1978) die Kontinuität einer Funktion:

Uma função diz-se contínua no ponto quando é possível tornar arbitrariamente próximo de desde que se tome suficientemente próximo de

Em termos precisos, diremos que é contínua no ponto quando, para todo dado arbitrariamente, pudermos achar tal que e impliquem

Wir wissen, dass, wenn eine Funktion in einem bestimmten Intervall definiert ist, das heißt, wenn sie für jede Zahl in einem bestimmten Intervall existiert, es keinen Sinn macht, den Grenzwert dieser Funktion für eine Zahl in diesem Intervall zu berechnen, da wir dies können werten Sie einfach die Funktion für jede Zahl in diesem Bereich aus.

Einfacher ausgedrückt: wenn eine Funktion, repräsentiert durch nur einen Ausdruck, durch nur einen Satz, für eine bestimmte Zahl existiert dann ist es völlig unnötig, den Grenzwert der Funktion für zu berechnen , da wir einfach den Wert der Funktion in berechnen können

Wenn wir diese Grenze berechnen würden, wie wir es oben getan haben, wäre es natürlich so

Wie oben erwähnt, ist es nur sinnvoll, den Grenzwert einer Funktion um eine Zahl herum zu berechnen, für die sie nicht definiert ist.

Wenn wir also Funktionen analysieren, die nur durch einen Ausdruck repräsentiert werden, sagen wir, dass eine Funktion für eine bestimmte Zahl existiert , bedeutet, dass diese Funktion in begrenzt ist diese Grenze ist der Wert der Funktion in , und damit brauchen wir den Grenzwert dieser Funktion nicht in dieser Zahl zu berechnen

Wendet man dies auf die obige Definition einer kontinuierlichen Funktion an, werden die Punkte (ii) und (iii) der Definition unnötig, da in Punkt (i) angegeben ist, dassexistiert.

Daher gilt für Funktionen, die durch „nur einen Ausdruck“ repräsentiert werden, die einfache Aussage, dass es sich um die Funktion handelt, ist in einer Zahl definiert das heißt, die einfache Aussage, dass  existiert, reicht aus, um zu schließen, dass die Funktion bei dieser Zahl stetig ist

Ebenso verlieren mit dieser Beobachtung über stetige Funktionen Hunderte von Übungen ihre Daseinsberechtigung.

Beispiel: let die Funktion die für jede reelle Zahl definiert ist, also für jede existiert  real.

Daher ist es nicht erforderlich, die Grenze von zu berechnen für keinen Wert von , weil in diesem Fall in definiert werden ist gleichbedeutend mit einer Begrenzung und dass diese Grenze gleich dem Wert der Funktion in ist betrachtet.

Dann die Funktion ist für alle stetig

3. FAZIT

Oben haben wir gezeigt, dass die Grenzentheorie in der Tat in Bezug auf eine Grenzenberechnung defizient ist und sich daher mit einer Reihe von Argumenten umgibt, die auf der Definition von Grenzen basieren, um diese Lücke zu füllen.

Wir stellen dann die „Berechnung des Grenzwerts einer Funktion“ vor und zeigen, dass sie alle genannten Themen synthetisiert und daher direkt anwendbar ist.

Wir hoffen, zu einem besseren Verständnis eines so grundlegenden Themas der Mathematik beizutragen.

VERWEISE

IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos et all. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 8, 1991.

LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, 1994.

LIMA, Elon Lages. Curso de Análise, vol. 1, 1978.

MUNEM, Mustafa A. e FOULIS, David J. Cálculo, vol. 1, 1982.

^[1] Bachelor-Abschluss in Mathematik von der Universität Brasília.

Gesendet: Juni 2021.

Genehmigt: August 2021.