Consideraciones sobre conjuntos vacíos a la luz de la definición de inclusión entre conjuntos

ARTÍCULO ORIGINAL

PEREIRA, Olavo de Carvalho ^[1]

PEREIRA, Olavo de Carvalho. Consideraciones sobre conjuntos vacíos a la luz de la definición de inclusión entre conjuntos. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Año 05, Ed. 01, Vol. 01, págs. 39-45. Enero de 2020. ISSN: 2448-0959, Enlace de acceso: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/olimpiada-de-matematica/conjuntos-vacios ‎

RESUMEN

El artículo analiza el conjunto vacío desde el punto de vista de su inclusión en cualquier conjunto que tenga elemento, llegando a la conclusión divergente del establecido, es decir, que el conjunto vacío no puede estar contenido en ningún conjunto que tenga elementos.

Palabras clave: Conjunto vacío, teoría de conjuntos.

1. INTRODUCCIÓN

El presente artículo tiene como objetivo revisar la afirmación de que el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto que tiene un elemento, a la luz de lo que se insgiven de definiciones contenidas en la teoría de conjuntos, con el fin de establecer su correcta formulación, señalando la situación real a considerar.

1.1 CONJUNTO VACÍO

Antes de comenzar con las definiciones que aparecerán en este artículo, destacamos que todas ellas, así como la teoría aquí expuesta, tienen la misma escritura en los libros de Giovanni y Bonjorno (2005), Lima (1978), Dante (2011) así como Iezzi y Murakami (1991):

“Se llama un conjunto vacío que no tiene ningún elemento. El símbolo habitual para el conjunto vacío es Ø. Obtenemos un conjunto vacío cuando describimos un conjunto a través de una propiedad P lógicamente falsa. (pág. 22A)”

De acuerdo con la enseñanza actual de las matemáticas, aquí en Brasil, el conjunto vacío, que es el conjunto que no tiene ningún elemento, está contenido en cualquier conjunto que tenga elemento (Ø⊂ A, cualquiera que sea el conjunto A).

La relación include establece que un conjunto A está contenido en un conjunto B(A⊂B) cuando todos los elementos de A son también elementos de B, es decir, cuando A es un subconjunto de B.

Ejemplo: ser A={a,b,c} y B={a,b,c,d,e}

Los elementos de A son a, b y c;

Los elementos de B son a, b, c, d y e;

Vemos que los elementos de A – a, b y c- son elementos de B. Pero, no solo eso, observamos que algunos elementos de B -a, b y c- son elementos de A.

En conclusión: Si A ⊂ B, entonces A y Btienen elementos en común, en el ejemplo dado, elementos a, b y c que son elementos de A y B al mismo tiempo.

De la definición de inclusión podemos concluir que si todos los elementos de A son elementos de B, entonces algunos o algunos elementos de B son elementos de A (precisamente aquellos elementos de B que también son los elementos de A).

Conclusión: Para incluir un conjunto A en un conjunto B es necesario que ambos tengan elemento o elementos en común (de hecho, A y B deben tener todos los elementos de A en común).

Observamos que la definición de inclusión entre conjuntos “requiere” que tengan elemento.

Refuerzo: Si A está contenido en B (A ⊂ B),entonces A y B tienen elementos en común.

Usando la definición de inclusión sobre el conjunto vacío, concluimos que no puede estar contenida en ningún conjunto que tenga elemento, porque tendría que tener algún elemento en común con el conjunto en el que estaba contenido, lo que no puede ocurrir porque no tiene elemento.

Conclusión: El conjunto vacío no puede estar contenido en ningún conjunto que tenga elemento, es decir, el conjunto vacío no puede ser un subconjunto de ningún conjunto que tenga el elemento.

Reforzando: Ø ⊄ A, lo que sea A ≠Ø.

Los argumentos utilizados para justificar la posición predominante en la enseñanza de las matemáticas, además de no considerar la consecuencia de la definición de inclusión anterior, tampoco están respaldados por otros resultados resultantes, también, de las definiciones presentes en la teoría de conjuntos.

A continuación, expondremos tales argumentos con la crítica correspondiente.

Sabemos que un conjunto A, por mucho que tenga elementos en común con un conjunto B, si al menos uno de los elementos de A no pertenece a B, decimos que A no está contenido en B.

Ejemplo: if A={a, b, c, d, e} y B={a, b, c, d, f, g, h, i}

Los elementos de A, excepto el elemento e, pertenecen al conjunto B, por lo que en este caso, como uno de los elementos de A no pertenece a B, tenemos que A no está contenido en B (A⊄B).

Entonces, los conjuntos de datos A y B no están vacíos, si la respuesta a la pregunta “¿hay algún elemento de A que no sea el elemento de B?” es sí, concluimos que A no está contenido en B; de lo contrario, es decir, si la respuesta es no, concluimos que todos los elementos de A son elementos de B y, en este caso, A está contenido en B.

Usando la misma expresión interrogativa, ahora con el conjunto vacío, no podemos sacar las mismas conclusiones, es decir, si hacemos la pregunta “¿hay algún elemento del conjunto vacío que no sea el elemento de B?” tendremos “no” como respuesta, simplemente porque el conjunto vacío no tiene ningún elemento.

Este hecho nunca puede llevarnos a concluir, como en el caso anterior donde ambos conjuntos tenían elementos, que todos los elementos del conjunto vacío son elementos del conjunto B, porque el conjunto vacío no tiene ningún elemento.

También podríamos hacer la siguiente pregunta: “¿Hay algún elemento en el conjunto vacío que sea un elemento de B?”; como la respuesta a esta pregunta también es negativa, podemos concluir, también en este caso, que el conjunto vacío no puede estar contenido en B.

Además, por la definición misma de unconjunto vacío, no podemos hablar de un elemento en relación con tal todo.

El signo de interrogación como el que se hizo anteriormente pierde sentido cuando se relaciona con el conjunto vacío.

Estrictamente hablando, la expresión “¿hay algún elemento del conjunto vacío que sea (o no sea) elemento de B?” tendría que dividirse en dos partes: 1) “¿hay algún elemento del conjunto vacío” y 2) “que es (o no es) elemento de B?”.

La respuesta a la primera parte 1) es no, ya que, en relación con el conjunto vacío, no podemos hablar de elemento.

Una vez que se responde a la primera parte, la segunda no tiene sentido porque ya no podemos hablar de “elemento”.

Otra definición de teoría de conjuntos dice que dos conjuntos A y B son inconexos cuando no tienen ningún elemento en común, es decir, cuando la intersección entre A y B es igual al conjunto vacío:

Si A∩B = Ø, entonces A y B están separados.

Ejemplo: A={a, b, c} y B={d, y, f, g}

Vemos que A y B no tienen ningún elemento en común.

Esto significa que no puede haber una relación de inclusión entre A y B, más bien, A no puede estar contenido en B, ni B puede estar contenido en A.

Si A∩B = Ø → A ⊄ B y B ⊄ A

Sabemos por la teoría de conjuntos que la intersección entre el conjunto vacío y un conjunto B, no vacío, cualquiera es igual al conjunto vacío.

Ø ∩ B = Ø

Estrictamente hablando, solo debemos comparar el conjunto que tiene elemento con el conjunto que tiene elemento, y no establecer que tiene elemento con el conjunto vacío, que no tiene ningún elemento.

Entonces, junto con la definición de conjuntos disjuntos, podemos decir que el conjunto vacío y el conjunto B son conjuntos. Esto significa, entonces, que el conjunto vacío no puede estar contenido en B porque no tiene ningún elemento en común con B.

Si Ø ∩ B = Ø → Ø ⊄ B

Vemos que esta conclusión de la teoría de conjuntos en sí misma sustenta el hecho de que el conjunto vacío no puede ser un subconjunto de ningún conjunto que tenga un elemento.

Ahora veamos el conjunto vacío desde otro ángulo, cuando está contextualizado en un conjunto dado.

Por lo que se vio anteriormente, si A y B son conjuntos tales que A ∩ B = Ø y como Ø ∩ B = Ø, podemos identificar el conjunto A como un conjunto vacío para el conjunto B y viceversa, en el sentido especificado en el ejemplo a continuación cuando se trata de conjuntos numéricos.

Ejemplo. Si A={a, b, c} y B={d, y, f, g}, como A ∩ B = Ø, podemos decir que A es un conjunto vacío para B y viceversa, es decir, que los elementos del conjunto A no pertenecen al conjunto B y que los elementos del conjunto B no pertenecen al conjunto A, y por lo tanto si resolvemos una ecuación en el conjunto A y obtenemos como resultado un elemento del conjunto B, en este caso B sería un conjunto vacío para A, exactamente como se describe en el siguiente ejemplo con conjuntos numéricos.

Otro ejemplo, si estamos trabajando en el conjunto de números naturales, y si nuestro contexto es el Conjunto N y queremos resolver la ecuación x + 5 = 0, sabemos que la respuesta -5 no pertenece al conjunto en cuestión. Así que decimos que la solución está vacía. Podemos entonces, sin perjuicio de ninguna de las lógicas de la definición de conjunto vacío, aplicar, en este caso, al contexto de lo natural, decir que -5 pertenece al conjunto vacío.

Generalizando, cualquier número fuera del contexto de los naturales se considerará como perteneciente al conjunto vacío. Así, los enteros negativos, racionales e irracionales, es decir, la unión de estos conjuntos formará el conjunto vacío de naturales. Así, nos damos cuenta de que el conjunto vacío, en este caso, en el contexto de los números naturales, desde la perspectiva de estar vacío porque no tiene ningún elemento perteneciente a lo natural, tiene elementos infinitos.

Si el contexto fuera el conjunto de los enteros, el conjunto vacío de soluciones sería la unión de lo racional, excepto los enteros, con lo irracional y tendría, en este caso, elementos infinitos.

Y así sucesivamente, a medida que ampliamos el conjunto, el conjunto vacío correspondiente se reduce hasta llegar al conjunto de complejos para los cuales el conjunto vacío debe estar realmente vacío, sin contener ningún elemento.

Ahora, volviendo al ejemplo dado, x+5 = 0, en el conjunto de naturales, teniendo como respuesta -5 perteneciente al vacío; si el conjunto vacío fuera un subconjunto de cualquier conjunto, entonces -5 pertenecería a los naturales, y con eso, la solución no estaría vacía, es decir, perteneciente al conjunto vacío.

Con estoqueremos decir que, si el conjunto vacío fuera subconjunto de algún conjunto, tendría todos sus “elementos” en común con ese conjunto, es decir, sus elementos pertenecerían a ese conjunto, y con eso, no sería un conjunto vacío.

2. CONCLUSIÓN

En lo anterior mostramos que el conjunto vacío no está contenido en ningún conjunto que tenga elemento.

La tesis se basó en la propia teoría establecida, sin utilizar nada extraño para justificarla.

Informamos de esta observación con el fin de corregir el tema que compone los fundamentos de las matemáticas, así como para conferirle consistencia.

Los resultados resultantes de esta conclusión deben ser reevaluados.

3. REFERENCIAS

DANTE, Luiz Roberto, Matemática, Volume Único, 2011.

GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto, Coleção Matemática Completa, 1ª Série, Ensino Médio, 2005.

IEZZI, Gelson e MURAKAMI, Carlos, Fundamentos de Matemática Elementar, volume 1, 1991.

LIMA, Elon Lages. Curso de Análise, vol. 1, 1978.

^[1] Licenciado en Matemáticas por la Universidad de Brasília.

Presentado: Noviembre de 2019.

Aprobado: Enero de 2020.