ARTICLE ORIGINAL
PEREIRA, Olavo de Carvalho [1]
PEREIRA, Olavo de Carvalho. Limiter le calcul d’une fonction sans l’utilisation de 
et 
. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. An. 06, éd. 08, Vol. 04, p. 05-31. Août 2021. ISSN : 2448-0959, lien d’accès : https://www.nucleodoconhecimento.com.br/olympiades-mathematiques/limiter-le-calcul
ABSTRAIT
La bibliographie consultée ne présente, dans aucun des cas analysés, un calcul de la limite d’une fonction, mais seulement “montre” que les valeurs présentées comme la “limite” satisfont à la définition de limite d’une fonction exprimée par des inégalités impliquant
et 
, il y a donc une lacune dans ce thème, que le présent article vient combler en utilisant fondamentalement le concept de fonction définie, ainsi qu’en identifiant l’expression “ 
tend vers un certain nombre » avec une égalité correspondante.
Mots clés : Limite D’une Fonction, Calcul Des Limites, Limites Latérales, Limites Infinies, Limites À L’infini.
1. INTRODUCTION
Cet article présente le « calcul de la limite d’une fonction » afin de combler une lacune existante dans ce sujet.
La présentation du calcul mentionné dans la solution de plusieurs limites est l’objectif principal de l’article.
De manière complémentaire, nous entendons préciser le réel besoin de calculer ou non la limite d’une fonction.
Nous aborderons aussi, de façon très simple, le cas où une fonction simple, définie à un certain nombre, est continue à ce nombre.
Bien que l’interprétation géométrique soit toujours importante, nous n’adopterons ici qu’une approche algébrique du « calcul limite » présenté.
1.1 CALCUL DE LIMITE D’UNE FONCTION
La définition de la limite d’une fonction est présentée dans les manuels de mathématiques comme une estimation.
Par exemple : Leithold (1994) présente la définition de la limite d’une fonction comme suit :
Être
une fonction définie pour chaque nombre dans un intervalle ouvert contenant
, sauf peut-être sur le numéro lui-même
. La limite de 
lorsque
tend à 
ce sera
, écrit comme 
si l’énoncé suivant est vrai :
Donné
n’importe lequel, il y a un 
, telle que, si
alors 
.‘‘
La définition ci-dessus stipule que les valeurs de
tendre vers une limite 
lorsque
tend vers un nombre 
, si la valeur absolue de la différence entre
et 
peut devenir aussi petit que nous le souhaitons, en prenant
assez proche pour
, mais pas égal à 
.
En revanche, Lezzi, Murakami et Machado (1991) s’expriment à peu près sur la même définition :
Être
un intervalle ouvert auquel appartient le nombre réel 
. Être
une fonction définie pour
On dit que la limite de 
, lorsque
tend à
, c’est 
,et nous écrivons
si pour tout
, exister
telle que si
alors 
.
Munem et Foulis (1982) utilisez la définition suivante :
Si
est une fonction et 
est un nombre, comprenez la notation
comme “la limite de
” lorsque
tend à 
c’est 
c’est
se rapproche du nombre 
lorsque
approches 
.
Comme on peut le voir à partir des définitions ci-dessus, une limite est présentée
juste pour satisfaire la définition elle-même.
Aucun calcul de cette limite n’est présenté à aucun moment.
Cet article présente le « calcul limite » d’une fonction utilisable dans tous les cas où il est nécessaire d’effectuer une telle opération.
Maintenant, passons à l’argumentation.
Pour certaines fonctions, non définies dans un certain nombre, afin de savoir, avec le maximum de précision possible, quelle serait leur valeur dans ce nombre, il est d’usage de les évaluer dans des valeurs proches de ce nombre pour lesquelles elles ne le sont pas. défini.
Exemple: 
mis à tous 
à l’exception
.
Si nous remplaçons le
par 1, on a l’indétermination 
.
Comme la fonction n’est pas définie, c’est-à-dire qu’elle n’existe pas pour la valeur 1, nous évaluons alors sa valeur proche de 1, puisque notre objectif est de connaître la valeur de la fonction, au moins, proche de 1, puisque il n’existe pas. 
.
Pour les valeurs de , différent de 1, supérieur ou inférieur à 1, mais très proche de 1,
, pois 
sera égal à 1, et aura des valeurs proche de 5, comme nous le verrons ci-dessous :
Attribuons à 
les valeurs
, c’est-à-dire que nous prenons des valeurs de
de plus en plus proche de 1, mais inférieur à 1. Les valeurs de 
trouvés sont :
Attribuons maintenant le
les valeurs
, c’est-à-dire que nous prenons des valeurs de
de plus en plus proche de 1, mais supérieur à 1. Les valeurs de 
trouvés sont :
Trouvés sont : Comme on peut le voir, dans les deux cas, comme
approches 1, approches 5, nous laissant croire que c’est la limite de 
.
Cependant, aucun “calcul” de limite n’a été effectué ici, mais seulement une évaluation de
, lorsque
prend des valeurs très proches de 1.
prend des valeurs très proches de 1.
Les auteurs consultés structurent la définition de la limite en termes d’inégalités à partir d’exemples comme celui-ci et supposent la valeur estimée, dans ce cas 5, comme réellement la limite de la fonction.
À cet égard, ils prétendent que
, car pour tout
, aussi petit soit-il, il y a un
, telle que si 
alors
.
La définition de limite donnée au début, qui n’a pas de calcul de limite, est utilisée pour “prouver” que des nombres donnés, sans indication de l’endroit où ils ont été pris, sont des limites de fonctions.
Nous allons montrer que la définition de limite ne prouve pas, ne démontre pas qu’un nombre donné est la limite d’une fonction, mais “montre” seulement que le nombre fourni est la limite.
Prenons un exemple pour bien faire la différence entre un “spectacle” et une “démonstration”.
- Montrer que 2 est la racine de l’équation
.
Cela signifie que si nous remplaçons le
par 2, nous aurons zéro comme résultat de l’équation.
Voyons voir
.
C’était un exemple de “démonstration”, c’est-à-dire que seulement quelque chose était montré, rien n’était démontré, rien n’était calculé, seule la valeur fournie était remplacée.
C’est différent quand on dit : prouver que 2 est une racine, c’est une solution de l’équation 
.
Dans ce cas, nous devons calculer, résoudre l’équation et voir si nous obtenons
.
Bon, en résolvant, on a : , bientôt
, et en prenant la racine carrée des deux côtés, nous obtenons: 
, c’est, 
ou alors 
.
Alors une des valeurs dec’est vraiment 2.
Avec cela, il a été “démontré” que 2 est vraiment la racine de l’équation
.
Nous verrons, dans les exemples donnés ci-dessous, qu’il n’y a pas de preuve, mais seulement une « démonstration » que le nombre donné est la limite de la fonction donnée.
Exemple. Utilisez la définition de la limite pour « prouver » que
.
Ici, il n’est pas dit comment la conclusion a été atteinte que la limite est de 5, ni d’où ce nombre a été tiré.
Nous aborderons, de manière générale, la solution présentée dans les ouvrages consultés :
La première exigence de la définition est que 
être défini sur tout nombre d’un intervalle ouvert contenant 3, sauf éventuellement sur 3. Comme 
est défini pour tous les nombres réels, tout intervalle ouvert contenant 3 satisfera à cette exigence. Il faut maintenant montrer que pour tout 
il existe une
, telle que si
alors
nous devons
, bientôt
e 
Nous avons alors, 
e 
.
Cette déclaration indique que
est un delta satisfaisant.
Avec ce choix de
on a l’argument suivant:
,alors 
, alors 
, alors 
alors 
, alors 
Cela “montre” simplement, d’après la définition de la limite, que
Comme nous l’avons vu, il n’y avait pas de preuve, mais seulement un « spectacle », puisque, étant donné le nombre 5, nous l’avons simplement substitué ainsi que la fonction donnée, dans la définition de la limite d’une fonction.
Prenons un autre exemple : utilisez la définition pour “prouver” que
.
Encore une fois, un nombre est donné, dans ce cas 4, comme limite, mais il n’est pas dit d’où ce nombre a été tiré.
Voici la solution, en termes généraux :
Comment 
est défini pour tous les nombres réels, tout intervalle ouvert contenant 2 satisfera la première exigence de la définition.
Il faut montrer que pour tout 
, il existe une 
,
tel que
Si
alors 
Bientôt
alors 
Nous devons mettre une contrainte sur ce qui nous donne une inégalité impliquant 
. Une telle restriction est faite pour sélectionner l’intervalle ouvert requis par la définition. Nous choisissons la gamme 
et cela implique que 
. Puis
et 
, puis
puis
puis
puis
.
Maintenant nous avons
et 
, puis
Comme notre objectif est d’obtenir
, nous devons exiger
. Avec ça 
En utilisant ceci 
nous avons terminé la soi-disant «preuve».
Comme nous l’avons vu plus haut, encore une fois rien n’a été prouvé, mais seulement que le nombre donné comme limite, dans ce cas 4, satisfait à la définition de limite.
Il n’y avait aucun calcul pour montrer que le nombre 4 est vraiment la limite.
A partir de ce point, nous présenterons le calcul limite d’une fonction.
Avant de présenter le « calcul » proprement dit, évaluons 
dans les mêmes valeurs de 
données ci-dessus, mais en les considérant comme des composés du nombre 1.
Cela montrera, en termes généraux, le raisonnement utilisé pour calculer la limite de la fonction.
La fonction est
, valable pour tous 
.
Pour
ou alors 
, nous devons
Pour
ou alors 
, nous devons 
Pour 
ou alors 
, nous devons
Pour 
ou alors 
nous devons
Pour 
ou alors 
, nous devons
Pour 
ou alors 
, nous devons
Pour 
ou alors 
, nous devons
Pour 
ou alors 
, nous devons
Pour
ou alors 
, nous devons
Nous avons testé quelques valeurs de 
moins que 1.
Nous allons maintenant évaluer 
à des valeurs supérieures à 1 mais proches de 1.
Pour
ou alors 
, nous devons 
Pour
ou alors 
nous devons 
Pour
ou alors 
nous devons 
Pour
ou alors 
, nous devons 
Pour
ou alors 
, nous devons 
Pour
ou alors 
nous devons 
Pour
ou alors 
, nous devons 
Pour
ou alors 
, nous devons 
Pour
ou alors 
, nous devons 
De ce qui précède, nous réalisons que plus
se rapproche de 1, plus
se rapproche de 5, c’est-à-dire lorsque 
tend vers 1,
tend vers 5.
Nous avons observé dans les calculs ci-dessus, dans toutes les valeurs attribuées à
, l’apparition d’une constante 
à laquelle une valeur a été ajoutée ou soustraite, qui tendait vers zéro, comme 
se rapprochait de 1.
Cette constante est donc un “candidat” pour être la “limite” mentionnée ci-dessus, c’est-à-dire qu’il y a une indication que nous pouvons avoir.
Nous allons maintenant exprimer la situation ci-dessus de manière semi-générique pour présenter le « calcul limite » lui-même.
L’expression“
tend vers 1″, représenté par 
, c’est équivalent à
, ou 
, lorsque
tend vers zéro, 
, et 
.
Avec cela, l’expression 
, remplacer
par
ou alors
, c’est équivalent à
, ou alors
,c’est, 
, ou alors 
.
A partir de l’égalité ci-dessus, il est possible de « calculer » la valeur de la limite de
lorsque
tend vers 1, puisqu’il suffit de calculer la valeur de
, ou alors 
.
Nous allons maintenant faire, en utilisant la même fonction que précédemment, le calcul pour
, lorsque
.
De cette manière, il nous reste :
alors
outre le fait que
, et 
tend vers zéro quand
, c’est-à-dire qu’il est si petit qu’il s’approche de zéro autant que nous le souhaitons.
Le calcul pour
, c’est, 
, est analogue et produit le même résultat.
Voyons voir:
Nous allons maintenant calculer une série de limites de fonctions, pour illustrer l’application du “calcul” mentionné.
- Calculons
.
Comment
, nous pouvons faire, par exemple,
, 
et 
.
Rester avec
. Le résultat sera alors
- Calculons
Comment
, nous pouvons faire, par exemple,
, 
et 
.
Rester avec
, car le numérateur tend vers 4 et le dénominateur tend vers 
.
- Calculons
.
Comme nous l’avons vu plus haut, à la fin il nous restera
- Calculons
comme ci-dessous.
.
Nous devons calculer 
, parce que peu importe ce qui arrive à 
lorsque
.
Comment
,nous pouvons faire, par exemple, 
et 
.
Rester avec
, alors
.
Être
, mis à tous
, à l’exception
.
Considérons
c’est, 
, pour qui
réduit à
.
- Calculons le
. Nous devons
, une fois, quand
l’expression
tend vers zéro.
Puis
Considérons maintenant l’exemple suivant :
, mis à tous
, et calculer sa limite lorsque
tend vers 2.
Pour
condition d’existence de la fonction, 
, et lorsque 
nous pouvons faire, par exemple, 
, avec
et nous devrons calculer la limite
.
Comment 
, l’expression 
tend à
,et la limite sera alors, 
.
En conclusion, il nous reste:
.
Observation.
Nous aurions pu appliquer le « calcul » directement à la fonction, sans d’abord diviser le facteur commun au numérateur et au dénominateur.
Vejamos 
En fait, on peut appliquer le « calcul » directement sur la fonction, sans faire au préalable une « préparation » sur celle-ci.
Nous allons maintenant donner quelques exemples de calcul de limite impliquant des fonctions trigonométriques et exponentielles afin d’illustrer la consolidation ci-dessus.
Considérons la fonction
, mis à tous 
, à l’exception
Se souvenir: 
signifie, par exemple, que
, où
, 
.
En remplaçant cette valeur de x dans l’équation d’origine ci-dessus, nous avons :
Puis, 
sont indépendants de 
c’est le 
, tandis que le 
.
Autre exemple : considérons la fonction
mis à tous 
, à l’exception
.
- Calculons le
- faire le remplacement
pour, par exemple, 
, avec
, 
. Nous avons: 
, parce que le
vaut 1 et 
outre le fait que
.
Calculons maintenant la limite des fonctions données au début pour confirmer les valeurs des limites données.
- Calculons
.
Comment
, nous pouvons faire, par exemple, 
, 
et 
et il nous reste
- Calculons
Comment
, nous pouvons faire, par exemple, 
, 
et 
et il nous reste
Comme on peut le voir d’après les « calculs » ci-dessus, les limites données dans les exemples précédents étaient correctes.
Nous allons démontrer un seul théorème sur les limites pour illustrer le calcul présenté ici.
Théorème. si 
et 
sont des constantes, alors
.
Calculez simplement la limite en faisant, par exemple, 
et 
Rester avec:
, alors 
tend vers zéro puisque 
tend vers zéro.
Il y a une immense simplicité dans le « calcul » présenté.
Dans ce cas, il ne fait aucun doute que la limite est
.
Nous allons maintenant utiliser le « calcul limite » présenté pour calculer les limites des fonctions dans diverses circonstances.
- Calculons
Comment
, donc on peut faire, par exemple, 
, 
et 
Rester avec
, puisque 
tend vers 11 et
tend vers 9.
- Calculons
.
Comment x → 5, donc on peut faire par exemple, 
, 
et 
Rester avec 
On observe qu’il n’était pas nécessaire de “préparer” la fonction pour appliquer le “calcul”, c’est-à-dire qu’il n’était pas nécessaire d’écrire la fonction comme 
et, enfin comment 
- Calculons
.
Dans les cas impliquant des radicaux, auxquels un nombre réel est ajouté ou soustrait, lorsque la substitution directe de la valeur de
conduit à l’indétermination 
il faut préparer l’équation, car l’application directe du « calcul » ne défait pas l’indétermination, comme nous le verrons plus loin.
Ce qui se passe dans ce cas, c’est qu’il existe un facteur commun au numérateur et au dénominateur, mais qui n’est exprimé que lorsque nous divisons, soit le numérateur par le dénominateur, soit le dénominateur par le numérateur.
Cela se traduit actuellement en mathématiques par la rationalisation.
Voyons dans l’exemple ci-dessus : si on divise le dénominateur par le numérateur, puisque l’exposant de 
au dénominateur est 1 et l’exposant de au numérateur est plus petit, c’est-à-dire qu’il vaut 
nous aurons: 
et en remplaçant, nous aurons
.
On peut ainsi exprimer le facteur commun au numérateur et au dénominateur.
L’autre façon est de diviser le numérateur par le dénominateur, mais dans ce cas, nous devons faire la même chose est la rationalisation, puisque l’exposant de 
au numérateur est inférieur à l’exposant de 
dénominateur, et doit donc être multiplié par un facteur dans rendre son exposant au moins égal à l’exposant du dénominateur.
C’est la fameuse rationalisation que nous faisons.
Nous ferons d’abord le calcul, sans préparation.
Comment
, nous pouvons faire, par exemple, 
,
et 
.
Rester avec
On observe la nécessité de rationaliser, car la limite est encore indéterminée quand au numérateur et au dénominateur, tendant à 
On va alors multiplier et diviser par 
, et nous serons avec
Nous allons maintenant faire le calcul, en préparant la fonction avant de l’appliquer.
.
Comment la substitution directe de 4 conduit à l’indétermination
, signifie que le numérateur et le dénominateur ont pour diviseur commun
ou alors 
Dans ce cas, comme il s’agit d’un radical moins un nombre réel, le moyen utilisé pour “libérer” le facteur commun passe par la rationalisation.
Avant de calculer la limite, nous allons multiplier et diviser le numérateur et le dénominateur de la fonction par
Rester avec 
. Dans cette fonction, nous pouvons déjà appliquer le calcul. Voyons voir: 
Comment 
nous pouvons faire, par exemple, 
, 
et 
Rester avec
1.2 LIMITES LATÉRALES
Dans les cas où une fonction est définie pour chaque nombre réel sauf un nombre réel
, quand on calcule sa limite avec la variable indépendante tendant vers 
,comme dans les exemples donnés ci-dessus, peu importe que nous utilisions
combien 
, 
et 
,puisqu’il est réglé sur tous les nombres à gauche et à droite de 
.
Et bien sûr, ce n’est pas une fonction de phrase.
Lorsqu’une fonction n’est pas définie à gauche ou à droite d’un nombre 
et nous devons calculer sa limite avec 
tendant à, nous devons utiliser la valeur de selon le cas.
Lorsque
et nous faisons 
, ou alors 
, 
et 
, então 
indique que 
approche 
pour des valeurs supérieures à 
, et s’approche donc sur la droite.
Le calcul fait avec 
est donc la limite lorsque 
tend à 
sur la droite.
C’est donc la limite de droite.
Nous utilisons 
pour calculer la limite gauche.
Nous savons que la limite n’existe que lorsque les limites unilatérales existent et sont égales.
- Calculons
√x – 4.
On sait que la fonction n’existe que pour 
, c’est, 
Il n’y a donc pas de limite à gauche et donc la limite en question n’existe pas.
Mais il y a la limite de droite qui peut être calculée en remplaçant
par
, 
et 
- Calculons les limites unilatérales.
Comme ce sont les mêmes,
Dans le calcul ci-dessus, nous avons fait 
, pour calculer la limite de droite et 
pour calculer la limite gauche.
On calcule la limite de 
défini par
- Calculons
Il faut alors calculer,
On va le faire alors, 
, 
et 
Rester avec
- Calculons
Il faut alors calculer ,
On va le faire alors, , et .
Rester avec
- Calculemos
Comment
puis le 
n’existe pas.
- Calculons .
Il faut alors calculer,
Nous ferons alors 
, 
et 
Rester avec
- Calculons
Il faut alors calculer, 
Nous ferons alors, 
, 
et 
Rester avec
Calculons
Comment
, alors existe et est égal à zéro.
1.3 LIMITES INFINIES
Ceux dont les valeurs fonctionnelles augmentent ou diminuent sans limitation, lorsque la variable indépendante se rapproche de plus en plus d’un nombre fixe, peuvent être résolus également par le “calcul” limite présenté ici, avec l’avantage de ne pas avoir à se soucier des théorèmes.
Avant d’appliquer le « calcul », rappelons les situations suivantes :
- Calculons la limite suivante
.
Comment
, nous devons faire 
, 
et 
Rester avec 
.
- Calculons maintenant
.
Comment 
, nous devons faire 
, 
et 
Rester avec 
.
- Calculons
.
Comment
, nous devons faire 
, 
et 
Rester avec 
, car le numérateur tend vers 2, tandis que le dénominateur tend vers zéro en passant par des valeurs positives.
- Calculons maintenant
.
Comment
, nous devons faire 
, 
et 
Rester avec 
, car le numérateur tend vers 2 et le dénominateur tend vers zéro via des valeurs négatives.
- Calculons
Comment
, nous devons faire 
, 
et 
Rester avec
car le numérateur tend vers 14, tandis que le dénominateur tend vers zéro pour les valeurs positives.
- Calculons maintenant
Comment 
, nous devons faire 
, 
et 
Rester avec 
, puisque le numérateur tend vers 14, tandis que le dénominateur tend vers zéro pour les valeurs négatives, puisque 
tend toujours vers zéro pour les valeurs positives.
Dans ce cas, le dénominateur est 
chaque fois que 
, c’est comme
, le dénominateur est toujours négatif.
- Calculons
.
Comment 
, nous devons faire 
, 
et
Nous sommes comme
car le numérateur tend vers 2 et le dénominateur tend vers zéro pour les valeurs positives.
- Calculons
Comment 
, nous devons faire 
, 
et 
Rester avec 
, car le numérateur tend vers -2 et le dénominateur tend vers zéro pour les valeurs positives.
Dans ces deux cas, nous avons pu 
dans le radical parce qu’il est toujours positif.
- Calculons
.
Comment 
, nous devons faire 
, 
et 
Rester avec 
car le numérateur tend vers 4, tandis que le dénominateur tend vers zéro pour les valeurs positives.
Noter Nous aurions pu remplacer directement la valeur de dans l’équation d’origine.
- Calculons
Comment
, nous devons faire
, 
et 
Rester avec 
, car le numérateur tend vers 35, tandis que le dénominateur tend vers zéro pour les valeurs négatives, puisque est négatif pour < 1.
- Calculons
.
Comment , nous ferons , et
Rester avec 
, car le numérateur tend à 
et le dénominateur tend à
par des valeurs positives.
1.4 LIMITES SUR L’INFINI
De la même manière que pour les bornes évoquées jusqu’ici, la littérature consultée ne présente pas non plus un calcul de bornes à l’infini, mais n’évalue la fonction que lorsque la variable indépendante croît ou décroît indéfiniment.
Le résultat de l’évaluation est utilisé comme seuil.
Voyons voir.
Compte tenu de la fonction
, nous attribuons à
les valeurs
et ainsi de suite, lui permettant de croître indéfiniment. Les valeurs fonctionnelles correspondantes seront
Nous observons que lorsque
croît, en prenant des valeurs positives, les valeurs fonctionnelles approchent 2.
Lorsqu’une variable indépendante croît indéfiniment, à travers des valeurs positives, on écrit 
l’exemple donné, la conclusion a été tirée que
Comme vu ci-dessus, à partir de l’exemple donné, aucun calcul de limite de la fonction n’a été présenté, mais il a seulement été observé que, comme 
augmenté, par des valeurs positives, la fonction approchée de 2.
Cette valeur 2 a ensuite été utilisée comme limite de la fonction.
Nous présenterons, ci-dessous, le « calcul » de limite de fonctions lorsque la variable indépendante tend vers 
ou la 
Dans les cas où 
, nous ferons 
et 
, car, comme nous l’avons vu plus haut, lorsque
tend vers zéro pour les valeurs positives, 
tend à 
, et avec cela, 
tend à
Dans les cas où
, nous ferons
et 
, car, comme nous l’avons vu plus haut, lorsque φ tend vers zéro pour les valeurs positives
, tend à, et avec cela,
tend à
.
- Calculons
.
Comment 
, nous ferons
et 
Rester avec
car le numérateur tend vers 2 et le dénominateur tend vers 1.
- Calculons
.
Comment 
, nous ferons 
et 
Rester avec
, car le numérateur tend vers 2 et le dénominateur tend vers 1.
- Calculons
Comment 
, nous ferons 
et
Rester avec
, car le numérateur tend vers 4 et le dénominateur tend vers 2.
- Calculons
Comment 
, nous ferons
et 
.
Rester avec
car le numérateur tend vers zéro et le dénominateur vers -4.
- Calculons
Comment 
, nous ferons 
et 
Rester avec 
, car le numérateur tend vers 3 et le dénominateur tend vers
- Calculons
Comment , nous ferons et
Rester avec 
, car le numérateur tend vers -3 et le dénominateur tend vers √2.
- Calculons
Comment 
, nous ferons
et 
Rester avec 
car le numérateur est 1 et le dénominateur tend vers zéro pour les valeurs positives.
- Calculons
Comment 
, nous ferons 
= 
φ > 0 et φ → 0.
Rester avec 
car le numérateur tend vers -1 et le dénominateur tend vers zéro pour les valeurs positives.
- Calculons
Comment , nous ferons et
Rester avec 
car le numérateur est 1 et le dénominateur tend vers 1.
- Calculons maintenant
Comment 
, nous ferons
et 
Rester avec 
, car le numérateur est -1 et le dénominateur tend vers 1.
- Calculons
Comment 
, nous devons faire 
, 
Rester avec 
, car le numérateur tend à 
et le dénominateur tend vers zéro pour les valeurs positives.
- Calculons maintenant
Comment
, nous ferons 
e 
Rester avec
car le numérateur tend vers 2 et le dénominateur tend vers 1.
Observation.
Le calcul des limites à l’infini ne peut s’appliquer, par exemple, aux fonctions trigonométriques, puisque certaines d’entre elles varient dans un certain intervalle, et d’autres augmentent ou diminuent indéfiniment, selon la valeur considérée.
Par exemple, si nous essayons de calculer le 
, on passerait par toutes les valeurs de la plage des temps infinis 
, car, pour tout
, 
, c’est-à-dire que nous n’arriverions à aucune valeur définie.
En effet, les fonctions polynomiales, ou fonctions exprimées par des rapports entre polynômes, sont les plus adaptées pour appliquer des limites.
2. OBSERVATIONS
1) Le calcul de limite présenté est issu de l’identification de l’expression
tend vers un certain nombre 
avec égalité 
, ou alors 
, com
et 
, depuis, vraiment, quand 
, 
e 
avoir tendance à 
et avec cela, 
tend à 
Dans le cas des limites à l’infini, la substitution de l’expression 
tend à 
il était 
, et la substitution de l’expression 
tend à 
il était 
, avec
et 
La substitution a le plus de sens, parce que, vraiment, quand 
, toujours pour des valeurs positives,
soigner
et 
tend à 
, fabrication 
ont vraiment tendance à 
ou la 
, selon le cas.
Si on substitue, dans le cas où 
tend à
ou la 
le
par, 
ou alors
e 
, le résultat serait le même.
Un exemple.
- Calculons
Nous ferons 
et 
.
Rester avec
2. Comme on le voit dans les différents exemples, le « calcul limite » présenté est assez « fluide » et d’application directe, sans qu’il soit nécessaire de consulter des théorèmes ou « d’organiser » la fonction avant d’effectuer le calcul, sauf lorsqu’il faut rationaliser.
Ce fait apporte beaucoup de tranquillité lors du calcul de la limite d’une fonction, car le “calcul” présenté est une véritable synthèse de ce sujet.
Par exemple, “calcul” peut être utilisé directement sur la fonction 
, sans avoir besoin de l’organiser, c’est-à-dire l’exprimer comme 
Voyons voir. 
Comment 
, nous pouvons faire, par exemple, 
et 
.
Rester avec
Cela apporte un énorme avantage par rapport à la présentation actuelle de ce sujet, qui, en plus de ne présenter aucun calcul de limite, se montre assez « coincée » par l’immense quantité de théorèmes qu’il faut considérer dans les « évaluations » de limites, ainsi que des “organisations” qu’il faut faire sur les fonctions avant “d’estimer” leur limite.
3) Je voudrais ajouter, au « calcul limite » présenté, quelques évaluations d’ordre pratique.
a) Cela n’a de sens que de calculer la limite d’une fonction proche d’une valeur pour laquelle elle n’est pas définie.
Si la fonction est définie pour une certaine valeur, c’est-à-dire si la fonction existe pour une certaine valeur, cela n’a aucun sens de calculer la limite près de cette valeur, puisque nous savons combien vaut la fonction à cette valeur.
Par exemple, être 
Cette fonction est définie pour tous 
, ça existe pour tout le monde 
.
Par conséquent, il serait déraisonnable de calculer, par exemple,
, puisque la fonction existe pour 
, c’est-à-dire, pourquoi calculer cette limite si nous pouvons simplement substituer
par 3 dans 
et nous obtenons la valeur de la fonction en 3, c’est-à-dire
Avec cela, des centaines d’exercices n’ont plus de raison d’être.
Évidemment, les fonctions considérées dans cet article sont de 
b) En utilisant la notion de limite, nous ferons ici une observation sur la continuité d’une fonction.
Selon le livre de calcul de Lethold (1994), la définition d’une fonction continue en un point se traduit comme suit :
On dit que la fonction 
est continue sur le nombre a si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites :
(i) 
exister;
(ii) 
exister;
(iii) 
Si une ou plusieurs de ces conditions ne sont pas vérifiées dans , la fonction
sera discontinu dans 
Ainsi Lima (1978) définit la continuité d’une fonction :
une fonction
est dit continu au point
quand est-il possible de faire 
arbitrairement proche de
tant qu’il est pris
assez proche pour 
En termes précis, nous dirons que 
est continue au point
quand, pour tout 
donné arbitrairement, on peut trouver 
tel que 
et 
impliquer
Nous savons que si une fonction est définie sur un certain intervalle, c’est-à-dire si elle existe pour chaque nombre contenu dans un certain intervalle, alors il est inutile de calculer la limite de cette fonction pour un certain nombre dans cet intervalle, puisque nous pouvons évaluez simplement la fonction sur chaque nombre de cette plage.
En termes plus simples : si une fonction, représentée par une seule expression, par une seule phrase, existe pour un certain nombre 
, alors il est totalement inutile de calculer la limite de la fonction pour 
, puisque, simplement, on peut calculer la valeur de la fonction dans 
Bien sûr, si nous devions calculer cette limite, comme nous l’avons fait ci-dessus, ce serait 
Comme indiqué ci-dessus, cela n’a de sens que de calculer la limite d’une fonction autour d’un nombre pour lequel elle n’est pas définie.
Par conséquent, si nous analysons des fonctions représentées par une seule expression, en disant qu’une fonction existe pour un certain nombre
, signifie qu’il y a une limite de cette fonction dans cette limite étant la valeur de la fonction dans 
, et avec cela nous n’avons pas besoin de calculer la limite de cette fonction dans ce nombre
En appliquant cela à la définition ci-dessus d’une fonction continue, les points (ii) et (iii) de la définition deviendront inutiles, car au point (i), il est indiqué que
exister.
Par conséquent, pour les fonctions représentées par “une seule expression”, la simple déclaration qu’elle, la fonction
, est défini en un nombre 
, c’est-à-dire la simple déclaration que 
existe est suffisant pour conclure que la fonction est continue à ce nombre
De même, avec ce constat sur les fonctions continues, des centaines d’exercices perdent leur raison d’être.
Exemple : laisser la fonction 
qui est défini pour tout nombre réel, c’est-à-dire qu’il existe pour tout 
réel.
Ainsi, il n’est pas nécessaire de calculer la limite de
pour aucune valeur de 
, car dans ce cas, être défini dans 
est synonyme d’avoir une limite dans et que cette limite est égale à la valeur de la fonction dans considéré.
Ensuite la fonction
est continue pour tout
3. CONCLUSION
Dans ce qui précède, nous montrons qu’en fait, la théorie des limites est déficiente par rapport à un calcul de limite et, par conséquent, elle s’entoure d’une série d’arguments basés sur la définition de la limite afin de combler cette lacune.
Nous présentons ensuite le « calcul de la limite d’une fonction » et montrons qu’il synthétise tout le sujet évoqué, ayant donc une application directe.
Nous espérons contribuer à une meilleure compréhension d’un sujet aussi fondamental en mathématiques.
RÉFÉRENCES
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos et all. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 8, 1991.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, 1994.
LIMA, Elon Lages. Curso de Análise, vol. 1, 1978.
MUNEM, Mustafa A. e FOULIS, David J. Cálculo, vol. 1, 1982.
[1] Licence en Mathématiques de l’Université de Brasilia.
Envoyé : Juin 2021.
Approuvé : Août 2021.
