Considerazioni sugli insiemi vuoti alla luce della definizione di inclusione tra insiemi

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ARTICOLO ORIGINALE

PEREIRA, Olavo de Carvalho [1]

PEREIRA, Olavo de Carvalho. Considerazioni sugli insiemi vuoti alla luce della definizione di inclusione tra insiemi. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Anno 05, Ed. 01, Vol. 01, pp. 39-45. gennaio 2020. ISSN: 2448-0959, Link di accesso: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/olimpiadi-di-matematica/insiemi-vuoti

L’articolo analizza l’insieme vuoto dal punto di vista della sua inclusione in qualsiasi insieme che ha elemento, raggiungendo la conclusione divergente da quella stabilita, cioè che l’insieme vuoto non può essere contenuto in alcun insieme che abbia elementi.

Parole chiave: Insieme vuoto, teoria degli insiemi.

1. INTRODUZIONE

Il presente articolo si propone di rivedere l’affermazione che l’insieme vuoto è un sottoinsieme di qualsiasi insieme che ha un elemento, alla luce di quanto insgiven delle definizioni contenute nella teoria degli insiemi, al fine di stabilirne la corretta formulazione, indicando la situazione reale da considerare.

1.1 INSIEMI VUOTO

Prima di iniziare con le definizioni che appariranno in questo articolo, sottolineiamo che tutte, così come la teoria qui esposta, hanno la stessa scrittura nei libri di Giovanni e Bonjorno (2005), Lima (1978), Dante (2011) così come Iezzi e Murakami (1991):

“Si chiama un insieme vuoto che non ha alcun elemento. Il simbolo usuale per l’assieme vuoto è Ø. Otteniamo un insieme vuoto quando descriviamo un insieme attraverso una proprietà P logicamente falsa. (p. 22A)”

Secondo l’attuale insegnamento della matematica, qui in Brasile, l’insieme vuoto, che è l’insieme che non ha elemento, è contenuto in qualsiasi insieme che ha elemento (Ø⊂ A, qualunque sia l’insieme A).

La relazione include afferma che un insieme A è contenuto in un insieme B(A⊂B) quando tutti gli elementi di A sono anche elementi di B, cioè quando A è un sottoinsieme di B.

Esempio: essere A={a,b,c} e B={a,b,c,d,e}

Gli elementi di A sono a, b e c;

Gli elementi di B sono a, b, c, d ed e;

Vediamo che gli elementi di A – a, b e c- sono elementi di B. Ma, non solo, osserviamo che alcuni elementi di B – a, b e c- sono elementi di A.

In conclusione: se A ⊂ B,allora A e Bhanno elementi in comune, nell’esempio dato, gli elementi a, b e c che sono elementi di A e B allo stesso tempo.

Dalla definizione di inclusione possiamo concludere che se tutti gli elementi di A sono elementi di B, allora alcuni o alcuni elementi di B sono elementi di A (precisamente quegli elementi di B che sono anche gli elementi di A).

Conclusione: Per includere un insieme A in un insieme B è necessario che entrambi abbiano elemento o elementi in comune (infatti, A e B devono avere tutti gli elementi di A in comune).

Abbiamo osservato che la definizione di inclusione tra insiemi “richiede” che abbiano elemento.

Rinforzo: se A è contenuto in B (A ⊂ B), allora A e B hanno elemento in comune.

Usando la definizione di inclusione sull’insieme vuoto, concludiamo che non può essere contenuto in alcun insieme che ha elemento, perché dovrebbe avere qualche elemento in comune con l’insieme in cui è stato contenuto, che non può verificarsi perché non ha elemento.

Conclusione: l’insieme vuoto non può essere contenuto in alcun insieme che ha elemento, cioè l’insieme vuoto non può essere un sottoinsieme di qualsiasi insieme che ha l’elemento.

Rinforzo: Ø ⊄ A, qualunque sia A ≠Ø.

Gli argomenti utilizzati per giustificare la posizione prevalente nell’insegnamento della matematica, oltre a non considerare la conseguenza della definizione di inclusione di cui sopra, non sono inoltre supportati da altri risultati derivanti, anche, dalle definizioni presenti nella teoria dell’insieme.

Di seguito, esporremo tali argomenti con le critiche corrispondenti.

Sappiamo che un insieme A, per quanto abbia elementi in comune con un insieme B, se almeno uno degli elementi di A non appartiene a B, diciamo che A non è contenuto in B.

Esempio: se A={a, b, c, d, e} e B={a, b, c, d, f, g, h, i}

Gli elementi di A, ad eccezione dell’elemento e, appartengono all’insieme B, quindi in questo caso, poiché uno degli elementi di A non appartiene a B, abbiamo che A non è contenuto in B (A⊄B).

Quindi, gli insiemi di dati A e B non sono vuoti, se la risposta alla domanda “c’è qualche elemento di A diverso dall’elemento di B?” è sì, concludiamo che A non è contenuto in B; altrimenti, cioè, se la risposta è no, concludiamo che tutti gli elementi di A sono elementi di B e, in questo caso, A è contenuto in B.

Usando la stessa espressione interrogativa, ora con l’insieme vuoto, non possiamo trarre le stesse conclusioni, cioè, se poniamo la domanda “c’è qualche elemento dell’insieme vuoto diverso dall’elemento di B?” avremo “no” come risposta, semplicemente perché l’insieme vuoto non ha elemento.

Questo fatto non può mai portarci a concludere, come nel caso sopra in cui entrambi gli insiemi avevano elementi, che tutti gli elementi dell’insieme vuoto sono elementi dell’insieme B, perché l’insieme vuoto non ha elemento.

Potremmo anche porre la seguente domanda: “C’è qualche elemento nell’insieme vuoto che è un elemento di B?”; poiché anche la risposta a questa domanda è negativa, possiamo concludere, anche in questo caso, che l’insieme vuoto non può essere contenuto in B.

Inoltre, per la definizione stessa di uninsieme vuoto, non possiamo parlare di un elemento in relazione a un tale insieme.

Un punto interrogativo come quello che è stato fatto sopra diventa privo di significato quando è correlato all’insieme vuoto.

A rigor di termini, l’espressione “c’è qualche elemento dell’insieme vuoto che è (o non è) elemento di B?” dovrebbe essere divisa in due parti: 1) “c’è qualche elemento dell’insieme vuoto” e 2) “che è (o non è) elemento di B?”.

La risposta alla prima parte 1) è no, poiché, in relazione all’insieme vuoto, non possiamo parlare di elemento.

Una volta che la prima parte viene risolta, la seconda è priva di significato perché non possiamo più parlare di “elemento”.

Un’altra definizione di teoria degli insiemi dice che due insiemi A e B sono disgiunti quando non hanno alcun elemento in comune, cioè quando l’intersezione tra A e B è uguale all’insieme vuoto:

Se A∩B =Ø, allora A e B sono disaccosi.

Esempio: A={a, b, c} e B={d, e, f, g}

Vediamo che A e B non hanno alcun elemento in comune.

Ciò significa che nonci può essere alcuna relazione di inclusione tra A e B, piuttosto, A non può essere contenuto in B, né B può essere contenuto in A.

Se A∩B = Ø → A ⊄ B e B ⊄ A

Sappiamo dalla teoria degli insiemi che l’intersezione tra l’insieme vuoto e un insieme B, non vuoto, è uguale all’insieme vuoto.

Ø ∩ B = Ø

A rigor di termini, dovremmo solo confrontare l’insieme che ha elemento con l’insieme che ha elemento, e non l’insieme che ha elemento con l’insieme vuoto, che non ha elemento.

Quindi, insieme alla definizione di insiemi disgiunti, possiamo dire che l’insieme vuoto e l’insieme B sono disgiunti. Ciò significa, quindi, che l’insieme vuoto non può essere contenuto in B perché non ha alcun elemento in comune con B.

Se Ø ∩ B = Ø → Ø ⊄ B

Vediamo che questa conclusione della teoria degli insiemi stessa è alla base del fatto che l’insieme vuoto non può essere un sottoinsieme di qualsiasi insieme che abbia un elemento.

Ora diamo un’occhiata all’insieme vuoto da un’altra angolazione, quando è contestualizzato in un dato insieme.

Da quanto visto sopra, se A e B sono insiemi tali che A ∩ B = Ø e come Ø ∩ B = Ø, possiamo identificare l’insieme A come un insieme vuoto per l’insieme B e viceversa, nel senso specificato nell’esempio seguente quando si tratta di insiemi numerici.

Esempio. Se A={a, b, c} e B={d, e, f, g}, come A ∩ B = Ø, possiamo dire che A è un insieme vuoto per B e viceversa, cioè che gli elementi dell’insieme A non appartengono all’insieme B e che gli elementi dell’insieme B non appartengono all’insieme A, e quindi se risolviamo un’equazione nell’insieme A e otteniamo come risultato un elemento dall’insieme B, in questo caso B sarebbe un insieme vuoto per A, esattamente come descritto nell’esempio seguente con insiemi numerici.

Un altro esempio, se stiamo lavorando sull’insieme dei numeri naturali, e se il nostro contesto è l’insieme N e vogliamo risolvere l’equazione x + 5 = 0, sappiamo che la risposta -5 non appartiene all’insieme in questione. Quindi diciamo che la soluzione è vuota. Possiamo quindi, fatta salva alcuna delle logiche della definizione di insieme vuoto, applicata, in questo caso, al contesto del naturale, dire che -5 appartiene all’insieme vuoto.

Generalizzando, qualsiasi numero al di fuori del contesto dei naturali sarà considerato come appartenente all’insieme vuoto. Quindi, interi negativi, razionali e irrazionali, cioè l’unione di questi insiemi formeranno l’insieme vuoto di naturali. Quindi, ci rendiamo conto che l’insieme vuoto, in questo caso, nel contesto dei numeri naturali, dal punto di vista di essere vuoto perché non ha alcun elemento appartenente al naturale, ha elementi infiniti.

Se il contesto fosse l’insieme degli interi, l’insieme vuoto delle soluzioni sarebbe l’unione del razionale, tranne gli interi, con l’irrazionale e avrebbe, in questo caso, infiniti elementi.

E così via, man mano che ingrandiamo l’insieme, l’insieme vuoto corrispondente viene ridotto fino a raggiungere l’insieme dei complessi per i quali l’insieme vuoto deve essere realmente vuoto, non contenente alcun elemento.

Ora, tornando all’esempio dato, x+5 = 0, nell’insieme dei naturali, avendo come risposta -5 appartenente al vuoto; se l’insieme vuoto fosse un sottoinsieme di qualsiasi insieme, allora -5 apparterrebbe a quelli naturali, e con ciò, la soluzione non sarebbe vuota, cioè appartenente all’insieme vuoto.

Con questo intendiamoche, se l’insieme vuoto fosse un sottoinsieme di qualche insieme, avrebbe tutti i suoi “elementi” in comune con quell’insieme, cioè i suoi elementi apparterrebbero a quell’insieme, e con quello, non sarebbe un insieme vuoto.

2. CONCLUSIONE

In quanto sopra mostriamo che l’insieme vuoto non è contenuto in alcun insieme che ha elemento.

La tesi si basava sulla teoria stabilita stessa, non usando nulla di strano per giustificarla.

Riportiamo questa osservazione al fine di correggere l’argomento che compone i fondamenti della matematica, nonché di conferirne coerenza.

I risultati risultanti da questa conclusione dovrebbero essere rivalutati.

3. RIFERIMENTI

DANTE, Luiz Roberto, Matemática, Volume Único, 2011.

GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto, Coleção Matemática Completa, 1ª Série, Ensino Médio, 2005.

IEZZI, Gelson e MURAKAMI, Carlos, Fundamentos de Matemática Elementar, volume 1, 1991.

LIMA, Elon Lages. Curso de Análise, vol. 1, 1978.

[1] Laurea in Matematica presso l’Università di Brasília.

Inviato: Novembre 2019.

Approvato: Gennaio 2020.

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