Überlegungen zu leeren Mengen im Lichte der Definition der Inklusion zwischen Mengen

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ORIGINALER ARTIKEL

PEREIRA, Olavo de Carvalho [1]

PEREIRA, Olavo de Carvalho. Überlegungen zu leeren Mengen im Lichte der Definition der Inklusion zwischen Mengen. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Jahrgang 05, Ed. 01, Vol. 01, S. 39-45. Januar 2020. ISSN: 2448-0959, Zugangslink: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/mathematischen-olympiaden/leeren-mengen ‎

ZUSAMMENFASSUNG

Der Artikel analysiert die leere Menge unter dem Gesichtspunkt ihrer Einbeziehung in jede Menge, die ein Element hat, und kommt zu dem Schluss, dass die leere Menge nicht in einer Menge enthalten sein kann, die Elemente enthält.

Schlagworte: Leere Menge, Mengeenlehre.

1. EINLEITUNG

Der vorliegende Artikel zielt darauf ab, die Aussage, dass die leere Menge eine Teilmenge jeder Menge ist, die ein Element hat, im Lichte dessen, was in der Theorie der Mengen enthalten ist, zu überprüfen, um ihre korrekte Formulierung zu etablieren und auf die zu berücksichtigende reale Situation hinzuweisen.

1.1 LEERSATZ

Bevor wir mit den Definitionen beginnen, die in diesem Artikel erscheinen werden, betonen wir, dass alle von ihnen, sowie die hier gezeigte Theorie, die gleiche Schrift in den Büchern von Giovanni und Bonjorno (2005), Lima (1978), Dante (2011) sowie Iezzi und Murakami (1991) haben:

“Es wird eine leere Menge genannt, die kein Element hat. Das übliche Symbol für die leere Baugruppe ist Ø. Wir erhalten eine leere Menge, wenn wir eine Menge durch eine logisch falsche P-Eigenschaft beschreiben. (S. 22A)”

Nach der aktuellen Mathematiklehre ist hier in Brasilien die leere Menge, die die Menge ist, die kein Element hat, in jeder Menge enthalten, die Element (Ø⊂ A, welche Menge auch immer A) hat.

Die Include-Beziehung besagt, dass eine Menge A in einer Menge B(A⊂B) enthalten ist, wenn alle Elemente von A auch Elemente von B sind, dh wenn A eine Teilmenge von B ist.

Beispiel: be A={a,b,c} und B={a,b,c,d,e}

Die Elemente von A sind a, b und c;

Die Elemente von B sind a, b, c, d und e;

Wir sehen, dass die Elemente von A – a, b und c – Elemente von B sind. Aber nicht nur das, wir beobachten, dass einige Elemente von B – a, b und c – Elemente von A sind.

Fazit: Wenn A B ⊂, dann haben A und B ein Element gemeinsam, im gegebenen Beispiel die Elemente a, b und c, die gleichzeitig Elemente von A und B sind.

Aus der Definition der Inklusion können wir schließen, dass, wenn alle Elemente von A Elemente von B sind, einige oder einige Elemente von B Elemente von A sind (genau die Elemente von B, die auch die Elemente von A sind).

Schlussfolgerung: Um eine Menge A in eine Menge B aufzunehmen, ist es notwendig, dass beide Elemente oder Elemente gemeinsam haben (tatsächlich müssen A und B alle Elemente von A gemeinsam haben).

Wir haben beobachtet, dass die Definition der Inklusion zwischen Mengen “erfordert“, dass sie Ein elementar haben.

Verstärkend: Wenn A in B enthalten ist (A ⊂ B), dann haben A und B ein gemeinsames Element.

Unter Verwendung der Definition der Inklusion über die leere Menge schließen wir, dass sie in keiner Menge enthalten sein kann, die ein Element hat, weil sie ein Element mit der Menge gemeinsam haben müsste, in der sie enthalten war, was nicht auftreten kann, weil sie kein Element hat.

Schlussfolgerung: Die leere Menge kann in keiner Menge enthalten sein, die ein Element hat, dh die leere Menge kann keine Teilmenge einer Menge sein, die das Element hat.

Verstärkung: Ø ⊄ A, unabhängig von A ≠Ø.

Die Argumente, die zur Rechtfertigung der vorherrschenden Position im Mathematikunterricht verwendet werden, werden nicht nur nicht durch die Konsequenz der obigen Definition von Inklusion gestützt, sondern auch nicht durch andere Ergebnisse gestützt, die sich ebenfalls aus den Definitionen der Mengenlehre ergeben.

Im Folgenden werden wir solche Argumente mit der entsprechenden Kritik entlarven.

Wir wissen, dass eine Menge A, so sehr sie Elemente mit einer Menge B gemeinsam hat, wenn mindestens eines der Elemente von A nicht zu B gehört, sagen wir, dass A nicht in B enthalten ist.

Beispiel: wenn A={a, b, c, d, e} und B={a, b, c, d, f, g, h, i}

Die Elemente von A, mit Ausnahme von Element e, gehören zur Menge B, so dass in diesem Fall, da eines der Elemente von A nicht zu B gehört, A nicht in B (A⊄B) enthalten ist.

Wenn also die Antwort auf die Frage “Gibt es ein anderes Element von A als das Element von B?” ja ist, schließen wir, dass A nicht in B enthalten ist; Andernfalls, das heißt, wenn die Antwort nein ist, schließen wir, dass alle Elemente von A Elemente von B sind und in diesem Fall A in B enthalten ist.

Mit dem gleichen frageiven Ausdruck, jetzt mit der leeren Menge, können wir nicht die gleichen Schlussfolgerungen ziehen, das heißt, wenn wir die Frage stellen “Gibt es irgendein Element der leeren Menge außer Element von B?” werden wir “nein” als Antwort haben, einfach weil die leere Menge kein Element hat.

Diese Tatsache kann uns niemals zu dem Schluss führen, wie im obigen Fall, in dem beide Mengen Elemente hatten, dass alle Elemente der leeren Menge Elemente der Menge B sind, weil die leere Menge kein Element hat.

Wir könnten auch die folgende Frage stellen: “Gibt es ein Element in der leeren Menge, das ein Element von B ist?”; Da die Antwort auf diese Frage ebenfalls negativ ist, können wir auch in diesem Fall zu dem Schluss kommen, dass die leere Menge nicht in B enthalten sein kann.

Darüber hinaus können wir nach der Definition einer leeren Menge, wir können nicht von einem Element in Bezug auf eine solche Menge einstellen.

Eine Abfrage wie die obige ist bedeutungslos, wenn sie sich auf die leere Menge bezieht.

Streng genommen müsste der Ausdruck “Gibt es irgendein Element der leeren Menge, das Element von B ist (oder nicht?”, in zwei Teile unterteilt werden: 1) “Gibt es ein Element der leeren Menge” und 2) “das ist (oder ist nicht) Element von B?”.

Die Antwort auf den ersten Teil 1) ist nein, da wir in Bezug auf die leere Menge nicht über Element sprechen können.

Sobald der erste Teil beantwortet ist, ist der zweite bedeutungslos, weil wir nicht mehr von “Element” sprechen können.

Eine andere Definition der Mengenlehre besagt, dass zwei Mengen A und B unzusammenhängend sind, wenn sie kein Element gemeinsam haben, das heißt, wenn der Schnittpunkt zwischen A und B gleich der leeren Menge ist:

Wenn A∩B =Ø ist, dann sind A und B unzusammengeknüpft.

Beispiel: A={a, b, c} und B={d und f, g}

Wir sehen, dass A und B kein Element gemeinsam haben.

Dies bedeutet, dass es keine Inklusionsbeziehung zwischen A und B geben kann, sondern A kann nicht in B enthalten sein, noch kann B in A enthalten sein.

Wenn A∩B = Ø → A ⊄ B und B ⊄ A

Wir wissen aus der Mengelehre, dass der Schnittpunkt zwischen der leeren Menge und einer Menge B, nicht leer, gleich der leeren Menge ist.

Ø ∩ B = Ø

Streng genommen sollten wir nur die Menge, die ein Element hat, mit einer Menge vergleichen, die ein Element hat, und nicht die Menge, die ein Element hat, mit der leeren Menge, die kein Element hat.

Zusammen mit der Definition von disjunkten Mengen können wir also sagen, dass die leere Menge und die Menge B unzusammenhängend sind. Das bedeutet also, dass die leere Menge nicht in B enthalten sein kann, weil sie kein Element mit B gemeinsam hat.

Wenn Ø ∩ B = Ø → Ø ⊄ B

Wir sehen, dass diese Schlussfolgerung der Mengenlehre selbst die Tatsache untermauert, dass die leere Menge keine Teilmenge einer Menge sein kann, die ein Element hat.

Betrachten wir nun die leere Menge aus einem anderen Blickwinkel, wenn sie in einer bestimmten Menge kontextualisiert ist.

Wenn A und B Mengen sind, so dass A ∩ B = Ø und als Ø ∩ B = Ø sind, können wir Die Menge A als eine leere Menge für die Menge B identifizieren und umgekehrt, in dem im folgenden Beispiel angegebenen Sinne, wenn es um numerische Mengen geht.

Beispiel. Wenn A={a, b, c} und B={d und f, g}, wie A ∩ B = Ø, können wir sagen, dass A eine leere Menge für B ist und umgekehrt, das heißt, dass die Elemente der Menge A nicht zur Menge B gehören und dass die Elemente der Menge B nicht zur Menge A gehören und daher Wenn wir eine Gleichung in Menge A lösen und als Ergebnis ein Element aus Menge B erhalten, wäre B in diesem Fall eine leere Menge für A, genau wie im folgenden Beispiel mit numerischen Mengen beschrieben.

Ein anderes Beispiel, wenn wir an der Menge der natürlichen Zahlen arbeiten und wenn unser Kontext die Menge N ist und wir die Gleichung x + 5 = 0 lösen wollen, wissen wir, dass die Antwort -5 nicht zu der fraglichen Menge gehört. Also sagen wir, die Lösung ist leer. Wir können dann, unbeschadet der Logik der Definition der leeren Menge, in diesem Fall auf den Kontext des Natürlichen angewendet werden, sagen, dass -5 zur leeren Menge gehört.

Verallgemeinernd wird jede Zahl außerhalb des Kontextes der Naturalien als zur leeren Menge gehörend betrachtet. So bilden negative ganze Zahlen, rational und irrational, dh die Vereinigung dieser Mengen die leere Menge der Natürlichen. So erkennen wir, dass die leere Menge, in diesem Fall im Kontext der natürlichen Zahlen, aus der Perspektive des Leerseins, weil sie kein Element hat, das zum Natürlichen gehört, unendliche Elemente hat.

Wenn der Kontext die Gesamtheit der ganzen ganzen Zahlen wäre, wäre die leere Menge von Lösungen die Vereinigung des Rationalen, mit Ausnahme der ganzen Zahlen, mit dem Irrationalen und hätte in diesem Fall unendliche Elemente.

Und so weiter, wenn wir die Menge vergrößern, wird die entsprechende leere Menge reduziert, bis wir die Menge der Komplexe erreichen, für die die leere Menge wirklich leer sein muss und kein Element enthält.

Nun, um auf das gegebene Beispiel zurückzukommen, x + 5 = 0, in der Menge der Natürlichen, mit als Antwort -5, die zur Leere gehört; Wenn die leere Menge eine Teilmenge einer beliebigen Menge wäre, dann würde -5 zu den natürlichen gehören, und damit wäre die Lösung nicht leer, dh sie würde zur leeren Menge gehören.

Damitmeinen wir, dass, wenn die leere Menge eine Teilmenge einer Menge wäre, sie alle ihre “Elemente” mit dieser Menge gemeinsam hätte, dh ihre Elemente würden zu dieser Menge gehören, und damit wäre sie keine leere Menge.

2. FAZIT

Im obigen Zeigen wir, dass die leere Menge in keiner Menge enthalten ist, die ein Element hat.

Die These basierte auf der etablierten Theorie selbst und verwendete nichts Seltsames, um sie zu rechtfertigen.

Wir berichten über diese Beobachtung, um das Thema, das die Grundlagen der Mathematik bildet, zu korrigieren und ihm Konsistenz zu verleihen.

Die Ergebnisse, die sich aus dieser Schlussfolgerung ergeben, sollten neu bewertet werden.

3. VERWEISE

DANTE, Luiz Roberto, Matemática, Volume Único, 2011.

GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto, Coleção Matemática Completa, 1ª Série, Ensino Médio, 2005.

IEZZI, Gelson e MURAKAMI, Carlos, Fundamentos de Matemática Elementar, volume 1, 1991.

LIMA, Elon Lages. Curso de Análise, vol. 1, 1978.

[1] Bachelor-Abschluss in Mathematik von der Universität Brasília.

Eingereicht: November 2019.

Genehmigt: Januar 2020.

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