Considérations sur les ensembles vides à la lumière de la définition de l’inclusion entre ensembles

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ARTICLE ORIGINAL

PEREIRA, Olavo de Carvalho [1]

PEREIRA, Olavo de Carvalho. Considérations sur les ensembles vides à la lumière de la définition de l’inclusion entre ensembles. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. An 05, Ed. 01, Vol. 01, p. 39 à 45. janvier 2020. ISSN : 2448-0959, Lien d’accès: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/olympiades-mathematiques/ensembles-vides ‎

RÉSUMÉ

L’article analyse l’ensemble vide du point de vue de son inclusion dans tout ensemble qui a un élément, arrivant à la conclusion divergente de l’établi, c’est-à-dire que l’ensemble vide ne peut être contenu dans aucun ensemble qui a des éléments.

Mots-clés : Ensemble vide, théorie des ensembles.

1. INTRODUCTION

Le présent article vise à passer en revue l’affirmation selon laquelle l’ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble qui a un élément, à la lumière de ce qui est insaugé des définitions contenues dans la théorie des ensembles, afin d’établir sa formulation correcte, en soulignant la situation réelle à considérer.

1.1 ENSEMBLE VIDE

Avant de commencer par les définitions qui apparaîtront dans cet article, nous soulignons que toutes, ainsi que la théorie exposée ici, ont la même écriture dans les livres de Giovanni et Bonjorno (2005), Lima (1978), Dante (2011) ainsi que Iezzi et Murakami (1991):

« C’est ce qu’on appelle un ensemble vide qui n’a pas d’élément. Le symbole habituel de l’assemblage vide est Ø. Nous obtenons un ensemble vide lorsque nous décrivons un ensemble à l’intermédiaire d’une propriété P logiquement fausse. (p. 22A) »

Selon l’enseignement actuel des mathématiques, ici au Brésil, l’ensemble vide, qui est l’ensemble qui n’a pas d’élément, est contenu dans tout ensemble qui a un élément (Ø⊂ A, quel que soit l’ensemble A).

La relation d’inclusion stipule qu’un ensemble A est contenu dans un ensemble B(A⊂B) lorsque tous les éléments de A sont également des éléments de B, c’est-à-dire lorsque A est un sous-ensemble de B.

Exemple : être A={a,b,c} et B={a,b,c,d,e}

Les éléments de A sont a, b et c;

Les éléments de B sont a, b, c, d et e;

Nous voyons que les éléments de A – a, b et c – sont des éléments de B. Mais, non seulement cela, nous observons que certains éléments de B – a, b et c – sont des éléments de A.

En conclusion : Si A ⊂ B,alors A et Bont des éléments en commun, dans l’exemple donné, les éléments a, b et c qui sont des éléments de A et B en même temps.

De la définition de l’inclusion, nous pouvons conclure que si tous les éléments de A sont des éléments de B, alors certains ou certains éléments de B sont des éléments de A (précisément les éléments de B qui sont aussi les éléments de A).

Conclusion: Pour inclure un ensemble A dans un ensemble B, il est nécessaire que les deux aient un ou plusieurs éléments en commun (en fait, A et B doivent avoir tous les éléments de A en commun).

Nous avons observé que la définition de l’inclusion entre les ensembles « exige » qu’ils aient un élément.

Renforcement: Si A est contenu dans B (A ⊂ B), alors A et B ont un élément en commun.

En utilisant la définition de l’inclusion sur l’ensemble vide, nous concluons qu’il ne peut pas être contenu dans un ensemble qui a un élément, car il devrait avoir un élément en commun avec l’ensemble dans lequel il a été contenu, ce qui ne peut pas se produire parce qu’il n’a pas d’élément.

Conclusion: L’ensemble vide ne peut pas être contenu dans un ensemble qui a un élément, c’est-à-dire que l’ensemble vide ne peut pas être un sous-ensemble d’un ensemble qui a l’élément.

Renforcement : Ø ⊄ A, quel que soit A ≠Ø.

Les arguments utilisés pour justifier la position dominante dans l’enseignement des mathématiques, en plus de ne pas tenir compte de la conséquence de la définition de l’inclusion ci-dessus, ne sont pas non plus étayés par d’autres résultats résultant, également, des définitions présentes dans la théorie de l’ensemble.

Ci-dessous, nous exposerons de tels arguments avec la critique correspondante.

Nous savons qu’un ensemble A, autant qu’il a des éléments en commun avec un ensemble B, si au moins un des éléments de A n’appartient pas à B, nous disons que A n’est pas contenu dans B.

Exemple : si A={a, b, c, d, e} et B={a, b, c, d, f, g, h, i}

Les éléments de A, à l’exception de l’élément e, appartiennent à l’ensemble B, donc dans ce cas, comme l’un des éléments de A n’appartient pas à B, nous avons que A n’est pas contenu dans B (A⊄B).

Ainsi, les ensembles de données A et B ne sont pas vides, si la réponse à la question « y a-t-il un élément de A autre que l’élément de B? » est oui, nous concluons que A n’est pas contenu dans B; sinon, c’est-à-dire que si la réponse est non, nous concluons que tous les éléments de A sont des éléments de B et, dans ce cas, A est contenu dans B.

En utilisant la même expression interrogative, maintenant avec l’ensemble vide, nous ne pouvons pas tirer les mêmes conclusions, c’est-à-dire que si nous posons la question « y a-t-il un élément de l’ensemble vide autre que l’élément de B? » nous aurons « non » comme réponse, simplement parce que l’ensemble vide n’a pas d’élément.

Ce fait ne peut jamais nous amener à conclure, comme dans le cas ci-dessus où les deux ensembles avaient des éléments, que tous les éléments de l’ensemble vide sont des éléments de l’ensemble B, parce que l’ensemble vide n’a pas d’élément.

Nous pourrions aussi poser la question suivante : « Y a-t-il un élément dans l’ensemble vide qui est un élément de B ? » ; comme la réponse à cette question est également négative, nous pouvons conclure, également dans ce cas, que l’ensemble vide ne peut pas être contenu dans B.

De plus, par la définition même d’unensemble vide, on ne peut pas parler d’un élément par rapport à un tel ensemble.

Le point d’interrogation comme celui qui a été fait ci-dessus devient dénué de sens lorsqu’il est lié à l’ensemble vide.

Strictement parlant, l’expression « y a-t-il un élément de l’ensemble vide qui est (ou n’est pas) un élément de B ? » devrait être divisée en deux parties : 1) « y a-t-il un élément de l’ensemble vide » et 2) « qui est (ou n’est pas) élément de B ? ».

La réponse à la première partie 1) est non, car,par rapport à l’ensemble vide, nous ne pouvons pas parler d’élément.

Une fois la première partie répondue, la seconde n’a plus de sens car on ne peut plus parler d’« élément ».

Une autre définition de la théorie des ensembles dit que deux ensembles A et B sont disjoints lorsqu’ils n’ont pas d’élément en commun, c’est-à-dire lorsque l’intersection entre A et B est égale à l’ensemble vide:

Si A∩B = Ø, alors A et B sont dissépendants.

Exemple : A={a, b, c} et B={d, et, f, g}

Nous voyons que A et B n’ont aucun élément en commun.

Cela signifie qu’il ne peut y avoir de relation d’inclusion entre A et B, mais que A ne peut pas être contenu dans B, ni B dans A.

Si A∩B = Ø → A ⊄ B et B ⊄ A

Nous savons par la théorie des ensembles que l’intersection entre l’ensemble vide et un ensemble B, et non vide, n’importe lequel est égale à l’ensemble vide.

Ø ∩ B = Ø

Strictement parlant, nous ne devrions comparer que l’ensemble qui a un élément avec l’ensemble qui a l’élément, et non l’ensemble qui a un élément avec l’ensemble vide, qui n’a pas d’élément.

Ensuite, à côté de la définition des ensembles disjoints, on peut affirmer que l’ensemble vide et l’ensemble B sont disjoints. Cela signifie donc que l’ensemble vide ne peut pas être contenu dans B car il n’a aucun élément en commun avec B.

Si Ø ∩ B = Ø → Ø ⊄ B

Nous voyons que cette conclusion de la théorie des ensembles elle-même sous-tend le fait que l’ensemble vide ne peut pas être un sous-ensemble d’un ensemble qui a un élément.

Regardons maintenant l’ensemble vide sous un autre angle, lorsqu’il est contextualisé dans un ensemble donné.

D’après ce qui a été vu ci-dessus, si A et B sont des ensembles tels que A ∩ B = Ø et comme Ø ∩ B = Ø, nous pouvons identifier l’ensemble A comme un ensemble vide pour l’ensemble B et vice versa, dans le sens spécifié dans l’exemple ci-dessous en ce qui concerne les ensembles numériques.

Exemple. Si A={a, b, c} et B={d, et, f, g}, tels que A ∩ B = Ø, on peut dire que A est un ensemble vide pour B et vice versa, c’est-à-dire que les éléments de l’ensemble A n’appartiennent pas à l’ensemble B et que les éléments de l’ensemble B n’appartiennent pas à l’ensemble A, et donc si nous résolvons une équation dans l’ensemble A et obtenons comme résultat un élément de l’ensemble B, dans ce cas B serait un ensemble vide pour A, exactement comme décrit dans l’exemple suivant avec des ensembles numériques.

Autre exemple, si nous travaillons sur l’ensemble des nombres naturels, et si notre contexte est l’ensemble N et que nous voulons résoudre l’équation x + 5 = 0, nous savons que la réponse -5 n’appartient pas à l’ensemble en question. Nous disons donc que la solution est vide. On peut alors, sans préjudice de toute logique de la définition de l’ensemble vide, appliquée, dans ce cas, au contexte du naturel, dire que -5 appartient à l’ensemble vide.

En généralisant, tout nombre en dehors du contexte des naturels sera considéré comme appartenant à l’ensemble vide. Ainsi, les entiers négatifs, rationnels et irrationnels, c’est-à-dire l’union de ces ensembles formeront l’ensemble vide des naturels. Ainsi, nous nous rendons compte que l’ensemble vide, dans ce cas, dans le contexte des nombres naturels, du point de vue d’être vide parce qu’il n’a pas d’élément appartenant au naturel, a des éléments infinis.

Si le contexte était l’ensemble des entiers, l’ensemble vide de solutions serait l’union du rationnel, à l’exception des entiers, avec l’irrationnel et aurait, dans ce cas, des éléments infinis.

Et ainsi de suite, lorsque nous agrandissons l’ensemble, l’ensemble vide correspondant est réduit jusqu’à ce que nous atteignions l’ensemble des complexes pour lesquels l’ensemble vide doit être vraiment vide, ne contenant aucun élément.

Maintenant, pour revenir à l’exemple donné, x+5 = 0, dans l’ensemble des naturels, ayant comme réponse -5 appartenant au vide ; si l’ensemble vide était un sous-ensemble de n’importe quel ensemble, alors -5 appartiendrait aux ensembles naturels, et avec cela, la solution ne serait pas vide, c’est-à-dire appartenant à l’ensemble vide.

Nous entendons par làque, si l’ensemble vide était un sous-ensemble d’un ensemble, il aurait tous ses « éléments » en commun avec cet ensemble, c’est-à-dire que ses éléments appartiendraient à cet ensemble, et avec cela, il ne serait pas un ensemble vide.

2. CONCLUSION

Dans ce qui précède, nous montrons que l’ensemble vide n’est contenu dans aucun ensemble qui a un élément.

La thèse était basée sur la théorie établie elle-même, n’utilisant rien d’étrange pour la justifier.

Nous rapportons cette observation afin de corriger le sujet qui compose les fondamentaux des mathématiques, ainsi que de lui conférer une cohérence.

Les résultats de cette conclusion devraient être réévalués.

3. RÉFÉRENCES

DANTE, Luiz Roberto, Matemática, Volume Único, 2011.

GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto, Coleção Matemática Completa, 1ª Série, Ensino Médio, 2005.

IEZZI, Gelson e MURAKAMI, Carlos, Fundamentos de Matemática Elementar, volume 1, 1991.

LIMA, Elon Lages. Curso de Análise, vol. 1, 1978.

[1] Baccalauréat en mathématiques de l’Université de Brasília.

Soumis : Novembre 2019.

Approuvé : Janvier 2020.

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