«Différence entre les carrés» dans le théorème de Pythagore

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ARTICLE ORIGINAL

SOUZA JÚNIOR, Elias Pereira De [1]

SOUZA JÚNIOR, Elias Pereira De.«Différence entre les carrés» dans le théorème de Pythagore. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Année 05, éd.10, vol. 06, p. 05-13. Octobre 2020. ISSN: 2448-0959, Lien d’accès: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/olympiades-mathematiques/theoreme-de-pythagore

ABSTRAIT

Cet article vise à montrer des applications du contenu du théorème de Pythagore dans la construction des connaissances en classe, en se concentrant sur une technique algébrique pour la «différence entre les carrés». Premièrement, l’article explore l’introduction et l’application du théorème de Pythagore en tant que nouveau contenu de classe dans un exemple contextualisé. Par conséquent, le théorème a été démontré par l’enseignant, et les étudiants sont amenés à remettre en question et à raisonner des méthodes alternatives pour obtenir des résultats en plus du théorème de Pythagore classique démontré. Bientôt, des méthodes ont commencé à émerger, des possibilités de résolutions pour l’exemple initial, l’une de ces formes était la notion géométrique de théorème, cependant, les étudiants ont continué leurs recherches. La partie cruciale de la classe était le raisonnement de la procédure algébrique qui a attiré l’attention d’une manière différente lors des investigations des élèves, c’était la «différence entre les carrés» comme solution au théorème dans l’ensemble des nombres naturels, puisque, non tous les ensembles numériques ont répondu à la relation. Et à ce stade, des réflexions sont créées pour les étudiants sur la façon d’explorer les mathématiques et de les étudier de différentes manières, car l’intention était d’explorer la diversité des mathématiques et d’aiguiser la sensibilité des étudiants à faire de nouvelles découvertes. Le théorème de Pythagore est bien connu et appliqué, il peut être facilement trouvé dans plusieurs littératures mathématiques, mais amener les élèves à transcender les formules et les procédures, c’est apprendre à penser.

Mots clés: éducation, modélisation, enseignement, Pythagore, apprentissage.

1. INTRODUCTION

Le thème présenté dans cet article a été choisi en raison d’une expérience développée en classe, qui visait à explorer les façons de relier et d’appliquer le théorème de Pythagore dans sa forme algébrique et géométrique selon l’étude des triangles en mettant l’accent sur le triangle rectangle, en explorant l’idée du théorème de Pythagore du point de vue de l’étudiant, parvenant ainsi à former diverses possibilités pour résoudre des problèmes liés au théorème, parmi lesquels la «différence entre les carrés.

Cependant, cet article a également cherché à rendre compte d’une expérience vécue à l’école, à travers la collecte d’informations et de calculs observés, cherchant à comprendre l’importance de la construction des connaissances par l’élève, faisant ainsi une différence dans le processus d’enseignement-apprentissage. Car, dans la formation des connaissances des élèves, il devient indispensable à une pratique directe, investigatrice voire ludique en classe, dans laquelle on pense que des défis, des doutes ou des certitudes naissent de cette pratique si c’est le chemin que l’élève veut emprunter. suivre, comment faire et quoi ne pas faire pour procéder, recherchant ainsi la compréhension idéale dans la résolution de problèmes. Dans cette classe, 36 élèves de la première année du lycée ont participé à la classe «A» du Colégio Sagrada Família, Brasília DF

Par conséquent, plusieurs perspectives d’étude sont appliquées au théorème de Pythagore. Ensuite, une proposition simple sera montrée dans laquelle le théorème est interprété, en le reliant à la différence entre les carrés. Ainsi, il en résulte un fait intéressant à montrer, y compris du point de vue de l’éducation.

1.1 LA PROPOSITION DE CLASSE ET LE THÉORÈME DE PYTHAGORE

Inciter l’étudiant à chercher la solution d’un problème ou même encourager la recherche en classe, de différentes manières et possibilités, c’est utiliser une méthodologie différente, c’est-à-dire appliquer la modélisation mathématique. Par conséquent, cela fait bientôt de la salle de classe un champ de recherche et de pratique, un lieu plus intéressant et attractif pour les étudiants, et fait toute la différence.

L’enseignement des mathématiques va au-delà du traditionnel, il s’agit d’innover par la diversité des actions permettant d’innombrables méthodes d’enseignement et d’apprentissage. Parce que, mettre l’élève au défi de trouver des solutions aux problèmes seuls, c’est ouvrir des possibilités de nouvelles découvertes, comme un fil conducteur dans lequel les mathématiques sont découvertes dans divers contextes applicables, D’ambrosio (1998) a évoqué les idées mentionnées ci-dessus.

Ainsi, la proposition faite aux étudiants était basée sur le problème suivant, une échelle de 12 mètres de long est supportée sous un mur. La base de l’escalier est à 8 mètres du mur, comme le montre la figure ci-dessous. On a ensuite demandé aux élèves de déterminer la hauteur du mur.

Figure 1: application du triangle rectangle

Source: https://produto.mercadolivre.com.br/MLB-1082280686-casa-de-tijolinho-m-para-maquete- ferromodelismo-ho-h2-_JM (2020)

Intuitivement, les étudiants ont été invités à essayer de trouver la valeur de la mesure du mur en utilisant la définition fondamentale de n’importe quel triangle, un contenu qui avait déjà été étudié les années précédentes, servant de base à l’introduction d’autres contenus. En général, pour construire un triangle, il est possible de vérifier la condition de l’existence des triangles, qui est la mesure de chaque côté est inférieure à la somme des mesures des deux autres et supérieure à la valeur absolue de la différence entre ces mesures, en appliquant un motif géométrique. Le schéma suivant est observé:

Figure 2: Condition d’existence d’un triangle

Source: auteur.

Les élèves sont arrivés à des valeurs possibles et pertinentes pour calculer la mesure de l’escalier, comme un côté du triangle. Cependant, pour appliquer le théorème de Pythagore, il est nécessaire que le triangle ait au moins un de ses angles mesurant 90º. Par conséquent, l’étape suivante consistait à démontrer le théorème de Pythagore.

1.2 DÉMONSTRATION DU THÉORÈME DE PYTHAGORE

Dans le processus d’apprentissage après l’investigation initiale des triangles et de leur existence, l’étape suivante consistait à aiguiser la curiosité des élèves pour formaliser certaines curiosités et conclusions initiales. Ainsi, dans cette partie de la classe, les élèves ont lié plusieurs carrés avec leurs domaines respectifs en essayant de trouver des modèles avec la médiation de l’enseignant. Bientôt, les élèves ont commencé à voir les propriétés que Pythagore utilisait pour le théorème, qui est basé sur la somme des aires des polygones qui forment une figure construite de triangles rectangles congruents, c’est-à-dire pour comparer les aires comme indiqué ci-dessous. Les figures.

Figure 3 Démonstration du théorème de Pythagore

Source: auteur.

Figure 4 Démonstration du théorème de Pythagore

Source: auteur.

Considérez que les 2 plus petits côtés d’un triangle sont appelés collecteurs et que le côté le plus long d’un triangle rectangle est l’hypoténuse. Notez que les figures ont été construites en utilisant quatre triangles rectangles congruents égaux à «a» et «b» et l’hypoténuse «c» formant des carrés plus grands avec des côtés égaux à (a + b). Si les quatre triangles rectangles congruents des deux figures sont supprimés, les figures restantes ont la même aire. Par conséquent, il y a

Dans la figure 3:

  • Somme des aires des quatre triangles rectangles = (T1 + T2 + T3 + T4)
  • Zone restante Q1 + Q2 = a2 + b2

Dans la figure 4:

  • Somme des aires des quatre triangles rectangles = (T1 + T2 + T3 + T4)
  • Surface restante = Q3 = c2

Donc, c2 = a2 + b2

Cette relation peut être appliquée à n’importe quel triangle rectangle. “C” étant le plus grand côté du triangle appelé hypoténuse, “a” et “b” le côté du triangle comme indiqué ci-dessus.

1.3 REPRISE DE L’EXEMPLE INITIAL

Il est devenu clair pour les étudiants après la démonstration du théorème que la question est une application du théorème de Pythagore, dans lequel les côtés sont appelés cathéters et le plus grand côté du triangle qui est opposé à l’angle de s’appelle l’hypoténuse. Ainsi, la relation pythagoricienne peut s’écrire de cette manière:

(Hypoténuse) ² = (Cateto 1) ² + (cateto 2) ²

Figure 5: triangle rectangle

Source: auteur.

Par conséquent:

Les étudiants ont appliqué la liste ci-dessus comme suit:

  • L’hypoténuse équivaut à l’échelle (12 m)
  • La distance entre l’échelle et le mur est une jambe (8 m)
  • La hauteur du mur correspond à l’autre côté, dans ce cas “x”

application du théorème:

Soustraire 8² des deux côtés de l’égalité

À ce stade, un élève a posé une question sur la soustraction des carrés: – “ne pouvons-nous résoudre cette soustraction qu’après avoir résolu les carrés?”

Par conséquent, des recherches sur d’autres façons de soustraire des carrés ont commencé.

1ère solution:

2ème solution:

Un modèle a été observé par l’enseignant avec les élèves. Voir ci-dessous:

À ce stade, un modèle a été remarqué pour la différence entre les carrés, dans lequel les nombres appartiennent à l’ensemble des nombres naturels, sous la forme

Exemple:

a = 23 et b = 19, en appliquant …

Passer le test:

L’égalité est vraie pour les nombres

Après avoir testé les opérations sur l’ensemble des nombres naturels, il a également été appliqué à d’autres ensembles, tels que l’ensemble des nombres entiers qui fonctionnaient également et les réels, qui dans ce dernier cas, certains nombres n’ont pas réussi à établir une véritable égalité, fixant ainsi cette application pour les nombres naturels.

2. PREUVE DE LA RELATION

Rapport pour la différence entre les carrés:

Considérer

a2 + b2 avec a et b appartenant à des entiers naturels supérieurs à zéro, considérant a > b, nous avons la proposition suivante pour a et b:

Bientôt si

Puis

Maintenant, considérant m comme n’importe quel nombre naturel.

Si a et b sont vrais, pour a et b, ∈

, alors a = b + m, sera également vrai, pour m ∈

En prenant m = 1, pour

Bientôt,

Par conséquent, la relation

, est valable pour tout

Comment je voulais démontrer!

Cette démonstration a été rapidement montrée aux étudiants qui ont été surpris par l’application qu’ils avaient proposée, trouvant ainsi une relation différente avec le théorème de Pythagore dans la «différence entre les carrés».

3. CONCLUSION

Le but d’inciter les étudiants à trouver différentes façons de résoudre les problèmes est de développer des connaissances en utilisant les compétences et aptitudes déjà acquises, en fournissant la base pour de nouveaux apprentissages et découvertes. Cet article en est un exemple, puisque des instructions de base ont été données par l’enseignant et que les élèves recherchaient des moyens de résoudre le problème.

Ce qui le rend plus intéressant, c’est qu’au milieu des enquêtes, il peut y avoir plusieurs façons d’arriver à un résultat. Voir ces voies et les guider rend l’enseignement des mathématiques différent et agréable pour les élèves, justifiant ainsi la modélisation mathématique.

Ensuite, en suivant les applications du théorème de Pythagore dans l’exemple initial, l’enseignant avec les élèves a discuté des moyens de résoudre la différence entre les carrés, en précisant toujours que la construction de la connaissance est la partie fondamentale de la classe, l’enseignant est le le médiateur et les étudiants font des découvertes.

Dans l’un des processus dans lesquels l’élève a posé la question du calcul de la différence entre les carrés pour résoudre le problème, la classe avec l’enseignant a pu affirmer que la méthode observée pour soustraire les carrés est valide sur certains points pertinents.

Par conséquent, l’enseignant a démontré l’applicabilité de l’opération découverte dans l’ensemble des nombres naturels, résolvant la question de l’applicabilité de l’opération, rendant la méthode claire à l’élève et à la classe. Bientôt, nous avons mis fin à la question et résolu d’autres exemples avec la méthode découverte. Le retour de l’élève en classe était la phrase suivante «nous avons découvert une nouvelle formule, ce qui est cool», pour un enseignant de mots exacts, il n’y a aucun moyen qu’une ligne puisse être plus frappante comme celle-ci.

L’étudiant a demandé des conseils pour étudier les sommes et les démonstrations. Qu’un garçon de la première année du lycée, le développement futur de cet élève je laisse dans l’imagination de ceux qui liront cet article.

4. RÉFÉRENCES

DANTE, Luiz Roberto. MATEMÁTICA: Contexto e Aplicações volume único / Luiz Roberto Dante, Fernando Viana – – 4. Edição – – São Paulo:  Ática, 2018.

HEFEZ, Abramo. Indução Matemática:\induçãofinal”. Estilo OBMEP – Rio de Janeiro – Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense, 2009. Disponível em: http://www.obmep.org.br/docs/apostila4.pdf. Acesso em: 04 maio de 2020. D’Ambrósio, U.Etnomatemática. São Paulo: Ática, 1998.

SANTOS. Marconi Coelho dos. Teorema de Pitágoras: suas diversas demonstrações. Campina Grande (PB):UEPB, 2011. 42f. Monografia (Especialização em Educação Matemática para professores do Ensino Médio) {Universidade Estadual da Paraíba, Centro de Ciências e Tecnologia, Campina Grande, 2011.

VIANA, M. C. V.; SILVA, C. M. Concepções de Professores de Matemática sobre a utilização da História da Matemática no processo de Ensino-Aprendizagem. In: ENCONTRO NACIONAL DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, 9., 2007, Belo Horizonte. Pôsteres… Belo Horizonte, 2007. Disponível: https://www2.unifap.br/matematicaead/_les/2016/03/TCC-REVISADO.pdf Acesso em: 04 maio de 2020.

[1] Post-diplôme en mathématiques.

Soumis: Septembre 2020.

Approuvé: Octobre 2020.

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