“Differenza tra quadrati” nel Teorema di Pitagora

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ARTICOLO ORIGINALE

SOUZA JÚNIOR, Elias Pereira De [1]

SOUZA JÚNIOR, Elias Pereira De. “Differenza tra quadrati” nel Teorema di Pitagora. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Anno 05, Ed. 10, Vol.06, pagg. 05-13. Ottobre 2020. ISSN: 2448-0959, Link di accesso: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/olimpiadi-di-matematica/teorema-di-pitagora ‎

ASTRATTO

Questo articolo si propone di mostrare le applicazioni del contenuto del Teorema di Pitagora nella costruzione della conoscenza in classe, concentrandosi su una tecnica algebrica per la “differenza tra i quadrati”. In primo luogo, il documento esplora l’introduzione e l’applicazione del teorema di Pitagora come nuovo contenuto della classe all’interno di un esempio contestualizzato. Pertanto, il teorema è stato dimostrato dall’insegnante e gli studenti sono portati a mettere in discussione e ragionare metodi alternativi per ottenere risultati oltre al classico teorema di Pitagora dimostrato. Ben presto iniziarono ad emergere alcuni metodi, possibilità di soluzioni per l’esempio iniziale, una di queste forme era la nozione geometrica di Teorema, tuttavia gli studenti continuarono le loro indagini. La parte cruciale della classe era il ragionamento della procedura algebrica che ha attirato l’attenzione in modo diverso durante le indagini degli studenti, era la “differenza tra i quadrati” come soluzione del Teorema all’interno dell’insieme dei numeri naturali, poiché, non tutti gli insiemi numerici hanno risposto alla relazione. A questo punto, vengono create riflessioni per gli studenti su come esplorare la matematica e indagarla in modi diversi, poiché l’intenzione era di esplorare la diversità della matematica e affinare la sensibilità degli studenti per fare nuove scoperte. Il teorema di Pitagora è ben noto e applicato, può essere facilmente trovato in molte letterature matematiche, ma far trascendere gli studenti da formule e procedure significa insegnare a pensare.

Parole chiave: educazione, modellazione, insegnamento, Pitagora, apprendimento.

1. INTRODUZIONE

Il tema presentato in questo articolo è stato scelto grazie ad un’esperienza sviluppata in aula, che mirava ad esplorare le modalità di relazione e di applicazione del Teorema di Pitagora nella sua forma algebrica e geometrica secondo lo studio dei triangoli con enfasi sul triangolo rettangolo, esplorando l’idea del Teorema di Pitagora dal punto di vista dello studente, riuscendo così a formare diverse possibilità di risoluzione dei problemi legati al Teorema, tra cui la “differenza tra quadrati.

Tuttavia, questo articolo ha anche cercato di riportare un’esperienza vissuta a scuola, attraverso la raccolta di informazioni e calcoli osservati, cercando di comprendere l’importanza della costruzione della conoscenza da parte dello studente, facendo così la differenza nel processo di insegnamento-apprendimento. Perché, nella formazione del sapere degli studenti, diventa indispensabile una pratica diretta, investigativa o addirittura ludica in classe, nella quale si ritiene che da questa pratica nascano sfide, dubbi o certezze se questo è il percorso che lo studente vuole intraprendere seguire, come fare e cosa non fare per procedere, cercando così la comprensione ideale nel problem solving. In questa classe 36 studenti della prima elementare del liceo hanno partecipato alla classe “A” del Colégio Sagrada Família, Brasilia DF

Pertanto, diverse prospettive di studio vengono applicate al teorema di Pitagora. Quindi, verrà mostrata una semplice proposta in cui viene interpretato il Teorema, mettendolo in relazione con la differenza tra i quadrati. Ne risulta quindi un fatto interessante da mostrare, anche dal punto di vista educativo.

1.1 LA PROPOSTA DI CLASSE E IL TEOREMA DI PITAGORA

Istigare lo studente a cercare la soluzione di un problema o addirittura incoraggiare la ricerca in classe, in modi e possibilità differenti, è usare una metodologia diversa, cioè applicare la modellistica matematica. Di conseguenza, rende presto la classe un campo di ricerca e pratica, un luogo più interessante e attraente per gli studenti e fa la differenza.

L’educazione matematica va oltre il tradizionale, è innovare attraverso la diversità delle azioni che consentono innumerevoli metodi di insegnamento e apprendimento. Perché, sfidare lo studente a trovare soluzioni ai soli problemi è aprire possibilità a nuove scoperte, come un filo in cui la matematica viene scoperta in vari contesti applicabili, D’Ambrosio (1998), ha parlato delle idee sopra menzionate.

Quindi, la proposta fatta agli studenti si è basata sul seguente problema, una scala di 12 metri di lunghezza è sostenuta sotto un muro. La base delle scale è a 8 metri dal muro come mostrato nella figura sotto. Agli studenti è stato quindi chiesto di determinare l’altezza del muro.

Figura 1: applicazione del triangolo rettangolo

Fonte: https://produto.mercadolivre.com.br/MLB-1082280686-casa-de-tijolinho-m-para-maquete- ferromodelismo-ho-h2-_JM (2020)

Intuitivamente, gli studenti sono stati istruiti a cercare di trovare il valore della misura del muro utilizzando la definizione fondamentale per qualsiasi triangolo, un contenuto che era già stato studiato negli anni precedenti, che serviva da base per introdurre altri contenuti. In generale, per costruire un triangolo è possibile verificare la condizione di esistenza dei triangoli, ovvero la misura di entrambi i lati è minore della somma delle misure degli altri due e maggiore del valore assoluto della differenza tra questi misure, applicando un motivo geometrico. Si osserva il seguente schema:

Figura 2: Condizione di esistenza di un triangolo

Fonte: autore.

Gli studenti sono arrivati ​​ad alcuni valori possibili e pertinenti per calcolare la misura della scala, come un lato del triangolo. Tuttavia, per applicare il teorema di Pitagora è necessario che il triangolo abbia almeno uno dei suoi angoli di 90º. Pertanto, il passo successivo è stato quello di dimostrare il teorema di Pitagora.

1.2 DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA

Nel processo di apprendimento dopo l’indagine iniziale dei triangoli e della loro esistenza, il passo successivo è stato quello di acuire la curiosità degli studenti per formalizzare alcune curiosità e conclusioni iniziali. Quindi, in questa parte della classe gli studenti hanno messo in relazione diversi quadrati con le rispettive aree cercando di trovare schemi con la mediazione dell’insegnante. Ben presto, gli studenti iniziarono a vedere le proprietà che Pitagora usava per il teorema, che si basa sulla somma delle aree dei poligoni che formano una figura costruita da triangoli rettangoli congruenti, cioè per confrontare le aree come mostrato di seguito figure.

Figura 3 Dimostrazione del teorema di Pitagora

Fonte: autore.

Figura 4 Dimostrazione del teorema di Pitagora

Fonte: autore.

Considera che i 2 lati più piccoli di un triangolo sono chiamati collettori e il lato più lungo di un triangolo rettangolo è l’ipotenusa. Si noti che le figure sono state costruite utilizzando quattro triangoli rettangoli congruenti uguali ad “a” e “b” e ipotenusa “c” formando quadrati più grandi con lati uguali a (a + b). Se i quattro triangoli rettangoli congruenti delle due figure vengono rimossi, le figure rimanenti hanno la stessa area. Quindi c’è

Nella figura 3:

  • Somma delle aree dei quattro triangoli rettangoli = (T1 + T2 + T3 + T4)
  • Area rimanente Q1 + Q2 = a2 + b2

Nella figura 4:

  • Somma delle aree dei quattro triangoli rettangoli = (T1 + T2 + T3 + T4)
  • Area rimanente = Q3 = c2

Quindi, c2 = a2 + b2

Questa relazione può essere applicata a qualsiasi triangolo rettangolo. “C” è il lato più grande del triangolo chiamato ipotenusa, “a” e “b” il lato del triangolo come mostrato sopra.

1.3 RIPRESA DELL’ESEMPIO INIZIALE

È diventato chiaro agli studenti dopo che il teorema è stato dimostrato che la domanda è un’applicazione del teorema di Pitagora, in cui i lati sono chiamati cateteri e il lato più grande del triangolo opposto all’angolo di è chiamato ipotenusa. Quindi, la relazione pitagorica può essere scritta in questo modo:

(Ipotenusa) ² = (Cateto 1) ² + (cateto 2) ²

Figura 5: triangolo rettangolo

Fonte: autore.

Perciò:

Gli studenti hanno applicato l’elenco di cui sopra come segue:

  • L’ipotenusa è equivalente alla scala (12 m)
  • La distanza tra la scala e il muro è una gamba (8 m)
  • L’altezza del muro è l’altro lato, in questo caso “x”

applicando il teorema:

Sottraendo 8² da entrambi i lati dell’uguaglianza

A questo punto, uno studente ha posto una domanda sulla sottrazione dei quadrati: – “possiamo risolvere questa sottrazione solo dopo aver risolto i quadrati?”

Quindi, iniziarono le indagini su altri modi per sottrarre i quadrati.

1a soluzione:

2a soluzione:

Un modello è stato osservato dall’insegnante insieme agli studenti. Vedi sotto:

A questo punto si è notato uno schema per la differenza tra i quadrati, in cui i numeri appartengono all’insieme dei numeri naturali, nella forma

Esempio:

a = 23 e b = 19, applicando …

Fare il test:

L’uguaglianza è vera per i numeri

Dopo aver testato le operazioni sull’insieme dei numeri naturali, è stato applicato anche ad alcuni altri insiemi, come l’insieme dei numeri interi che funzionava anche loro e quelli reali, che in quest’ultimo caso alcuni numeri non riuscivano a stabilire la vera uguaglianza, fissando così questa applicazione per i numeri naturali.

2. PROVA DEL RAPPORTO

Rapporto per la differenza tra i quadrati:

Prendere in considerazione

a2 + b2 con a e b appartenenti a numeri naturali maggiori di zero, considerando  a > b, abbiamo la seguente proposizione per a e b:

Presto se

Poi

Ora, considerando m come qualsiasi numero naturale.

Se a e b sono veri, per a e b, ∈

, allora anche a = b + m, sarà vero, per m ∈

Prendendo m = 1, per

Presto,

Pertanto, la relazione

, è valido per qualsiasi

Come volevo dimostrare!

Questa dimostrazione è stata prontamente mostrata agli studenti che sono rimasti sorpresi dall’applicazione che avevano escogitato, trovando così una diversa relazione con il Teorema di Pitagora nella “differenza tra i quadrati”.

3. CONCLUSIONE

Lo scopo di spingere gli studenti a trovare modi diversi per risolvere i problemi è costruire la conoscenza utilizzando le competenze e le abilità già acquisite, fornendo le basi per nuovi apprendimenti e scoperte. Questo articolo ne è un esempio, poiché le istruzioni di base sono state fornite dall’insegnante e gli studenti stavano studiando modi per risolvere il problema.

Ciò che lo rende più interessante, è che nel bel mezzo delle indagini, ci possono essere diversi modi per raggiungere un risultato. Vedere questi modi e guidarli rende l’educazione matematica diversa e piacevole per gli studenti, giustificando così la modellizzazione matematica.

Quindi, seguendo le applicazioni del Teorema di Pitagora nell’esempio iniziale, l’insegnante con gli studenti ha discusso i modi per risolvere la differenza tra i quadrati, chiarendo sempre che la costruzione della conoscenza è la parte fondamentale della classe, l’insegnante è il mediatore e studenti fanno scoperte.

In uno dei processi in cui lo studente ha sollevato la domanda sul calcolo della differenza tra i quadrati nella risoluzione del problema, la classe con l’insegnante ha potuto affermare che il metodo osservato per la sottrazione dei quadrati è valido su alcuni punti rilevanti.

Pertanto, l’insegnante ha dimostrato l’applicabilità dell’operazione scoperta all’interno dell’insieme dei numeri naturali, risolvendo la questione dell’applicabilità dell’operazione, rendendo chiaro il metodo allo studente e alla classe. Presto, abbiamo concluso la domanda e risolto altri esempi con il metodo scoperto. Il ritorno dello studente in classe è stato la seguente riga “abbiamo scoperto una nuova formula, che è interessante”, per un insegnante di parole esatte non c’è modo che una riga possa essere più sorprendente come questa.

Lo studente ha chiesto una guida per studiare somme e dimostrazioni. Che un ragazzo della prima elementare delle superiori, lo sviluppo futuro di questo studente lascio nell’immaginario di chi legge questo articolo.

4. RIFERIMENTI

DANTE, Luiz Roberto. MATEMÁTICA: Contexto e Aplicações volume único / Luiz Roberto Dante, Fernando Viana – – 4. Edição – – São Paulo:  Ática, 2018.

HEFEZ, Abramo. Indução Matemática:\induçãofinal”. Estilo OBMEP – Rio de Janeiro – Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense, 2009. Disponível em: http://www.obmep.org.br/docs/apostila4.pdf. Acesso em: 04 maio de 2020. D’Ambrósio, U.Etnomatemática. São Paulo: Ática, 1998.

SANTOS. Marconi Coelho dos. Teorema de Pitágoras: suas diversas demonstrações. Campina Grande (PB):UEPB, 2011. 42f. Monografia (Especialização em Educação Matemática para professores do Ensino Médio) {Universidade Estadual da Paraíba, Centro de Ciências e Tecnologia, Campina Grande, 2011.

VIANA, M. C. V.; SILVA, C. M. Concepções de Professores de Matemática sobre a utilização da História da Matemática no processo de Ensino-Aprendizagem. In: ENCONTRO NACIONAL DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, 9., 2007, Belo Horizonte. Pôsteres… Belo Horizonte, 2007. Disponível: https://www2.unifap.br/matematicaead/_les/2016/03/TCC-REVISADO.pdf Acesso em: 04 maio de 2020.

[1] Post-laurea in Matematica.

Inserito: Settembre 2020.

Approvato: Ottobre 2020.

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