REVISTACIENTIFICAMULTIDISCIPLINARNUCLEODOCONHECIMENTO

Revista Científica Multidisciplinar

Pesquisar nos:
Filter by Categorias
Administração
Administração Naval
Agronomia
Arquitetura
Arte
Biologia
Ciência da Computação
Ciência da Religião
Ciências Aeronáuticas
Ciências Sociais
Comunicação
Contabilidade
Educação
Educação Física
Engenharia Agrícola
Engenharia Ambiental
Engenharia Civil
Engenharia da Computação
Engenharia de Produção
Engenharia Elétrica
Engenharia Mecânica
Engenharia Química
Ética
Filosofia
Física
Gastronomia
Geografia
História
Lei
Letras
Literatura
Marketing
Matemática
Meio Ambiente
Meteorologia
Nutrição
Odontologia
Pedagogia
Psicologia
Química
Saúde
Sem categoria
Sociologia
Tecnologia
Teologia
Turismo
Veterinária
Zootecnia
Pesquisar por:
Selecionar todos
Autores
Palavras-Chave
Comentários
Anexos / Arquivos

A falha de Bhaskara

RC: 106659
907
5/5 - (10 votes)
DOI: 10.32749/nucleodoconhecimento.com.br/matematica/bhaskara

CONTEÚDO

ARTIGO ORIGINAL

PEDREIRA, Sinvaldo Martins [1]

PEDREIRA, Sinvaldo Martins. A falha de Bhaskara. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano. 07, Ed. 02, Vol. 02, pp. 178-186. Fevereiro de 2022. ISSN: 2448-0959, Link de acesso:  https://www.nucleodoconhecimento.com.br/matematica/bhaskara, DOI: 10.32749/nucleodoconhecimento.com.br/matematica/bhaskara

RESUMO

Este trabalho tem por objetivo mostrar que devido às falhas no sistema aritmético, regras catedráticas pautadas em um equivocado padrão podem gerar resultados incorretos, tais como a regra da equação do segundo grau, que pode propagar uma falsa certeza de exatidão, pelo simples fato de se seguir paradigmas seculares, sem uma ampla observância contextual da realidade envolvida, pois ao tratarmos com ciências exatas, devemos sempre ter uma visão holística, considerando amplamente todos os fatores envolvidos, já que uma ação presente tem consequências no futuro e ao fundamentar-nos em sistemas falhos, acabamos tendo uma falsa sensação de acerto, já que seguimos todos pseudos preceitos à risca. No entanto um novo sistema surge, colocando a prova a contundência do caminho aritmético a ser seguido.

Palavras-chave: Falhas; Exatidão; Sistema; Holística.

1. INTRODUÇÃO

Antes de mais nada, este trabalho não tem a função de desmerecer a genialidade de Bhaskara, mas sim mostrar que devido a uma falha conceitual no sistema aritmético, mesmo os gênios podem cometer equívocos.

A equação do segundo grau foi padronizada ao ser apresentada na seguinte forma: ax² + bx + c = 0, onde sua solução era uma incógnita, então a solução do problema veio com a fórmula:

Formula 1

Mas, para simplificar a resolução, acha-se primeiro o delta;

Δ = b² – 4ac

Posteriormente, une-se o resultado de delta a equação:

Formula 2

Por fim, por ser uma equação do segundo grau, X apresenta dois resultados:

X = X, e X = X,,

Exemplo I :

X² + 10 X – 56 = 0      A = 1, B = 10, C = – 56

Δ = 10² – (4. 1 .- 56)

Δ = 100 – (- 224)

Δ = 324

X = -10 ± √324

2.1

X, = -10 + 18 => X, = 8 => X, = 4

2 2

X,, = -10 – 18 => X,, = – 28 => X,,= – 14

2 2

Portanto as respostas são: X, = 4 e X,, = -14

Exemplo II :

X² – 10 X – 56 = 0        A = 1, B = -10, C = – 56

Δ = -10² – ( 4. 1 .- 56)

Δ = 100 – (- 224)

Δ = 324

X = -10 ± √324

2.1

X, = 10 + 18 => X, = 28 => X, = 14

2 2

X,, = 10 – 18 => X,, = – 8 => X,,= – 4

2 2

Portanto as respostas são: X, = 14 e X,, = – 4

2. HOLISMO

2.1 HOLISMO I

Como já fora mencionado anteriormente, usemos um pouco de holismo; toda equação do segundo grau advém de uma distributiva, onde:

1º caso

(a + b)² => (a + b) . (a + b) = a² + 2ab + b² Obs.: tanto a como b são estritamente positivos conforme a regra.

2º caso 

(a – b)² => (a – b) . (a – b) = a² – 2ab + b² Obs.: a positivo e b negativo conforme a regra. 

2.2 HOLISMO II

No termo oculto, toda soma e toda subtração possui um resultado, então

a + b = c, consequência (a + b)² = c², então; a² + 2ab + b² = c²

a – b = c, consequência (a – b)² = c², então; a² – 2ab + b² = c²

2.3 HOLISMO III

Evidenciando termos, vamos colocar os termos da equação em evidência;

I. a = X, b = 5, c = 9 

Logo; (a + b)² = c² => ( X + 5)² = 9² => X² + 2 . 5X + 25 = 81 => X² + 10X + 25 – 81 = 0 => X² + 10X – 56 = 0

II. a = X, b = – 5, c = 9

 Logo; (a – b)² = c² => ( X – 5)² = 9² => X² – 2 . 5X + 25 = 81 => X² – 10X + 25 – 81 = 0

=>X² – 10X – 56 = 0

2.4 HOLISMO IV

Correspondência:

I. X² + 10X – 56 = 0

A = X² , B = 10X, C = -56, então, A = a², B = 2 . 5X, C = 25 – 81, implica em A = a², B = 2 . ab, C = b² – ( c²),

II. X² – 10X – 56 = 0

A = X², B = – 10X, C = -56, então, A = a², B = – 2 . 5X, C = 25 – 81, implica em A = a², B = – 2 . ab, C = b² – ( c²),

3. RACIONALIZANDO

I. Se em (a + b)² = c² => a² + 2ab + b²- (c²) = 0

A = a², B = 2 ab , C = b² – (c²), Obs.: (B = 2 ab) por regra a e b são estritamente positivos, Em X² + 10X – 56 = 0

A = X² , B = 10X, C = -56, Obs.: (B = 10X) por regra X é estritamente positivo.

Portanto em X² + 10X – 56 = 0 a única raiz possível é 4, pois -14 vai contra a regra matemática.

II. Se em (a – b)² = c² => a² – 2ab + b²- (c²) = 0, (a = X, b = – 5, c = 9)

A = a², B = – 2 ab, C = b² – (c²), Obs.: (B = – 2 ab) por regra se b é negativo, a tem que ser estritamente positivo.

Em X² – 10X – 56 = 0

A = X² , B = -10X, C = -56, Obs.: (B = – 10X) por regra X é estritamente positivo.

Portanto em X² – 10X – 56 = 0, a única raiz possível de X é 14, pois – 4 vai contra a regra matemática.

4. ORDENAMENTO

4.1 CASO I

Se (X² + 10X – 56 = 0) = (a² – 2ab + b²- (c²)) então:

A = X² e A = a², implica em (X = a)

B = 10X e B = 2ab, implica em (10X = 2ab)

C = -56 e C = + b²- (c²), implica em (- 56 = b² – ( c²))

Achando a raiz, primeiro acha-se o valor de b:

se A = X e A + a, B = 10X onde B = 2ab, colocamos b em evidência

10X = 10a, implica em 10a = 2ab => b = 10a/ 2a => b = 5

Segundo acha-se o valor de c;

Se C = -56 e C = + b²- (c²), colocamos c em evidência

-56 = b²- (c²) implica em -56 = 5²- (c²) => c² = 25 + 56 => c² = 81 => c = 9

Por fim, acha-se o valor da raiz;

Portanto (a + b)² = c², implica em (a + b) = c

Se ((a + b)² = c² ) = ((X + b)² = c²), implica em (X + b) = c, ou seja:

X + 5 = 9 => X = 9 – 5 => X = 4

4.2 CASO II

Se (X² – 10X – 56 = 0) = (a² – 2ab + b²- (c²)) então:

A = X² e A = a², implica em (X = a)

B = – 10X e B = – 2ab, implica em (- 10X = 2ab)

C = -56 e C = b²- (c²), implica em (- 56 = b² – ( c²))

Achando a raiz, primeiro acha-se o valor de b:

se A = X e A = a, B = – 10X onde B = – 2ab, colocamos b em evidência

– 10X = – 10a, implica em – 10a = – 2ab => – b = – 10a/ 2a => – b = – 5

Segundo acha-se o valor de c:

Se C = – 56 e C = – b²- (c²), colocamos c em evidência

– 56 = – b²- (c²) implica em – 56 = – 5²- (c²) => c² = 25 + 56 => c² = 81 => c = 9

Por fim, acha-se o valor da raiz:

Portanto (a – b)² = c², implica em (a – b) = c

Se ((a – b)² = c² ) = ((X – b)² = c²) , implica em (X – b) = c, ou seja:

X – 5 = 9 => X = 9 + 5 => X = 14

5. PARADOXO

Como demonstrado nos dois exemplos, não foi necessário o uso da fórmula de Bhaskara para solução de qualquer uma das equações do segundo grau.

Tanto (X² + 10X – 56 = 0) como (X² – 10X – 56 = 0), foram resolvidas sem o uso de tal recurso matemático, enfatizando que em ambas só existe uma raiz possível.

No entanto apesar da falha na fórmula de Bhaskara ter sido demonstrada, ainda existe uma falha de maior grau sistêmico, que é a regra dos sinais, pois como fora visto e normatizado por Pedreira (2016), um número negativo elevado ao quadrado continua negativo, já que as razões geométricas têm características neutras, apenas multiplicando ou dividindo algo; ex.: 3 x *3 = *9 (onde (*) antes de um número indica que ele é negativo, para não confundi-lo com o sinal (–) que indica uma subtração), ficando ainda a falha de troca de sinais quando se muda o lado da igualdade, a qual pode ser resolvido com a regra da Base e Componentes, onde a Base (B) é igual a soma das Componentes e a Componente (C) é igual a diferença da Base por uma ou mais Componentes,

Ex.: B = 15 C = 8 e 7, 15 = 8 + 7 => 15 – 8 = 7 => 8 = 15 – 7 => 8+7 = 15 => 15 – (8 + 7) = 0

6. FAZENDO UMA COMPARAÇÃO

A equação (a + b)² = c² sempre terminara em uma incógnita na forma: a² + 2ab +b² – (c²) = 0 e isso acaba demandando um segundo estágio de elaboração aritmética para solucionar o problema, como já visto anteriormente. Enquanto se usarmos a regra da Base e Componentes (BC), a solução é linear e contínua;

Ex.: (a + b)² = c², pela regra BC: c (a + b) = c² => ca + cb = c²

7. NA PRÁTICA:

7.1 EXEMPLO I

Regra atual: ( X + 8)² = 144 => ( X + 8) . ( X + 8) = 144 => X² + 2 . 8 . X + 64 = 144 =>

X² + 16X + 64 – 144 = 0 => X² + 16X – 80 = 0 (incógnita)

Regra Base e Componentes: (X + 8)² = 144 => 12 . X + 12 . 8 = 144 => 12X + 96 = 144 =>

12X = 144 – 96 => 12X = 48 => X = 48/12 => X = 4 (resultado direto)

7.2 EXEMPLO II

Regra atual: ( X – 5)² = 49 => ( X – 5) . ( X – 5) = 49 => X² + 2 . – 5 . X + 25 = 49 =>

X² + 10X + 25 – 49 = 0 => X² + 10X – 14 = 0 (incógnita)

Regra Base e Componentes: (X – 5)² = 49 => 7 . X – 7 . 5 = 49 => 7X – 35 = 49 =>

7X = 49 +35 => 7X = 84 => X = 84/7 => X = 12 (resultado direto)

7.3 EXEMPLO III: OUTRAS POSSIBILIDADES

Regra atual: ( X + 6)² = – 121 ( sem solução): devido a regra vigente em uma equação do segundo grau na forma (a + b)² = c², c² sempre será positivo, pois todo número positivo ou negativo ao ser elevado a potência de expoente par, se torna positivo.

Regra Base e Componentes: (X + 6)² = *121 => 11X + 11 . 6 = *121 => 11X = *121 – 66 => 11X = *187 => X = *187/11 => X = *17 ( tem solução): devido a regra da Base e Componentes considerar os números tanto multiplicadores ou divisores como razões geométricas (RG) e as RG possuírem caráter neutro, independente dele ser elevado a qualquer potência, par ou ímpar, se ele for positivo continuará sendo positivo, se ele for negativo (*) continuará a ser negativo.

8. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ficou provado que mesmo dentro das regras usadas atualmente a fórmula da equação do segundo grau dá sempre duas raízes como resposta, desencadeando uma eterna dualidade de exatidão, o que é por si só um paradoxo, falha essa advinda do fato de não considerarmos termos ocultos em sua solução, ou seja, quando consideramos a distributiva: (a + b)² => (a + b) . (a + b) = a² + 2ab + b² , omitimos a igualdade (c²) e isso acaba gerando uma obscuridade em sua resolução, acarretando um lapso sistêmico.

Mesmo corrigindo esse lapso, o sistema vigente ainda continua limitado, pois ao utilizarmos a regra da Base e componentes, aumentamos infinitamente as possibilidades de operações, já que ao considerarmos razões geométricas como de caráter neutro, equações elevadas a qualquer potência terá o sinal do seu numerador, sendo ele positivo ou negativo.

REFERÊNCIAS

PEDREIRA, S. M. O Valor dos Números. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano 01, Vol. 08. pp. 05-16. setembro de 2016. Disponível em: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/matematica/o-valor-dos-numeros.

PEDREIRA, S. M. Reestruturando os Números. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano 04, Ed. 09, Vol. 06, pp. 115-120. Setembro de 2019. Disponível em: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/matematica/reestruturando-os-numeros.

SILVA, L. P. M. Fórmula de Bhaskara. Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formula-bhaskara.htm. Acesso em 15 de dezembro de 2021.

[1] Formado em Logística, 4ª semestre em química, Matemático Amador.

Enviado: Dezembro, 2021.

Aprovado: Fevereiro, 2022.

5/5 - (10 votes)
Sinvaldo Martins Pedreira

9 respostas

  1. O trabalho foi bastante detalhado, mas você esqueceu de apresentar uma outra possibilidade de formação da equação do segundo grau: quando incógnita apresentar um coeficiente angular diferente de 1.
    Como ficaria, por exemplo, -5X² + 4X +1 no produto notável (a+b)² = c², que foi modificado por você? Por favor responda-me essa dúvida.

  2. Olá Kauã tudo bem?
    Vamos ver se consigo te ajudar!
    -5X² + 4X +1, racionalizando e dividindo tudo por -5 fica = X² – 0,8X – 0,2, então temos,
    Forma (a – b)²= c², onde a obrigatoriamente é positivo,,,,,e -b obrigatoriamente é negativo
    a²- 2ab + b² = c²
    A= a² = X²
    a² = X² => a = X

    B = – 2 ab = – 0,8 X
    -2 ab = – 0,8 a => -2 b = -0,8 => b = 0,4

    C = b² – ( c²) = – 0,2
    – 0,2 = 0,4² – ( c²) => – 0,2 = 0,16 – ( c²) => c² = 0,16 + 0,2 => c² = 0,36 => c = 0,6
    temos
    ( X – 0,4) = 0,6 => X = 0,6 + 0,4 => X = 1

    Espero poder ter te ajudado.

  3. Seu artigo foi responsável por modificar a maneira com eu resolvo as funções de segundo grau, encontrando a raiz. Não sei se tanto o método quanto a análise é de sua autoria, provavelmente não por causa das referências, mas ainda, por vezes, me sinto inseguro em utilizar esse método. E acredito que ele não seja eficiente em todas possibilidades de formação da equação quadrática. Seu artigo me afetou, obrigado.

  4. Boa noite Kauã,
    Na verdade o sistema aritmético é falho, por isso a ambiguidade de resultados, fiz este trabalho para mostrar apenas uma dessas falhas, mas se quiser entender melhor, leia rua dois outros trabalhos, terá uma melhor nosso do que estou falando.
    OBS: tudo que mencionei partiu exclusivamente da mim, fico grato pela atenção!

  5. O que vc esta fazendo seria um “quase um completando o quadrado”.

    Exemplo:
    (x+8)²=144 => passando raiz quadrado dos dois lados temos x+8= +-12, x =4 ou x=-20
    Outra coisa, pq vc não considera 144 como sendo (-12)(-12) tb?

    Cara estudar como foi feito a formula de Bhaskara pois tem algumas coisa que esta meio “obscuro”, veja o método de completar o quadrado.

    Não entendi muito bem o que vc quer dizer sobre obscuro, (fato de ter número negativo?), na verdade determinar o valor de “x”, é determinar o valor que satisfaz a igualdade;
    Qual valor de x, que satisfaz a igualdade (x+8)²=144 ? repare 12^2=144 e (-12)²=144, por isso que duas raízes, realmente o numero negativo deu dor cabeça para sociedade.

    Desculpa se eu fui duro, não foi minha intenção, a ciência só cresce com questionamento.

  6. Boa noite Ricardo, tudo bem com você? Espero que sim!
    Fico muito feliz que tenha prestado atenção em meu trabalho.
    E como você mesmo disse “a ciência só cresce com questionamentos”.
    Bom! Vamos por partes.
    Acho que você pulou algumas etapas no teu raciocínio, pois lá no item 2.1,
    1º caso temos
    (a + b)² => (a + b) . (a + b) = a² + 2ab + b² Obs.: tanto a como b são estritamente positivos conforme a regra.
    2º caso
    (a – b)² => (a – b) . (a – b) = a² – 2ab + b² Obs.: a positivo e b negativo conforme a regra.
    Como (x + 8)² = (a + b)² , então x = a e 8 = b , seguindo a regra do 1º caso tanto x como 8 são positivos.
    Prova:
    Distributiva; ( X + 8)² = 144 => ( X + 8) . ( X + 8) = 144 => X² + 2 . 8 . X + 64 = 144 =>
    X² + 16X + 64 – 144 = 0 => X² + 16X – 80 = 0

    onde; A = X² = a² e B= +16X = +2ab , todos os termos são estritamente positivos
    pois se existisse um termo negativo teríamos obrigatoriamente B = -16X = -2ab, oque não é o caso.
    Portanto X = -20 não satisfaz o resultado.
    Quanto a questão dos números negativos leia “O Valor dos Números” nesta mesma revista e verá que o caso é bem mais simples que você imaginava.

  7. Prezado nobre amigo Sinvaldo Martins Pedreira; espero que ao ler este todos(as) estejam bem, interessante sua explanação e demonstração, simples e de fácil compreensão aos seus seguidores, vou me apresentar sou autor da obra Cientifica “A ousadia do π ser racional”; com meu respeito a todos(as) aqui presente, irei relatar alguns pontos negativos que encontrei em meus estudos, pesquisas e investigações sobre esta fórmula Baskara, que por sinal não foi ele que padronizou esta fórmula…vejamos algumas teorias infundadas de tempos passados…”A Fórmula resolutiva da equação quadrática se estabeleceu com o nome de Fórmula de Bháskara por um erro histórico, o qual vem se perpetuando até os dias de hoje”….”A fórmula de Bhaskara foi criada a partir do método de completar quadrados. Seguindo esse método para os coeficientes genéricos “a”, “b” e “c”, obtém-se a seguinte expressão: Contudo, por questões didáticas, essa fórmula é ensinada em duas etapas: fórmula do discriminante e fórmula de Bhaskara.”….”A resolução da Equação do 2º grau é realizada envolvendo uma Fórmula que foi atribuída a Bhaskara, matemático indiano que viveu no século XII na cidade de Vijayapura onde lá chegou a ensinar Matemática e Astronomia, tornou-se chefe do observatório astronômico de Ujjain – na época, o centro mais importante de Matemática “….”Até onde estudei a Fórmula de Bháskara ela só existe no Brasil? Na verdade, esse grande matemático Indiano jamais a criou, uma vez que não se utilizavam fórmulas em sua época . A Fórmula resolutiva da equação quadrática se estabeleceu com o nome de Fórmula de Bháskara por um erro histórico, o qual vem se perpetuando até os dias de hoje . Neste artigo iremos discutir a dependência brasileira desta fórmula para o ensino da resolução de equações quadráticas, vamos traçar um panorama de opções para o trabalho com este tema e, por fim vamos chegar à dedução da famosa fórmula de Bháskara (que não é de Bháskara). .. alguns professores(as), atribui esta fórmula ao “Teorema de Pitágoras”, onde o mesmo não solucionou a √2…, pergunto qual o impacto que causaria em afirmar que este Teorema de tempos passados, perdeu totalmente sua força e a sequência 3; 5; 4 ficou obsoleto para este Teorema?, na era atual padronizei este Teorema para o “Teorema de Sidney Silva” onde, este teorema diz: “A hipotenusa ao quadrado é igual a divisão dos quadrados dos catetos(a^2=b^2:c^2), com mais oito fórmulas padronizada para este “Teorema”, onde sancionei uma Lei que deverá ser respeitada sempre, A hipotenusa sempre será menor que os catetos e os catetos sempre será maior que a hipotenusa; vejamos como fica no “Teorema de Sidney Silva”
    Tenho um Triângulo Retângulo onde um dos seus catetos é 7m e o outro 5m. Qual o valor da Hipotenusa?
    a^2=b^2:c^2
    a^2= 7^2:5^2
    a^2= 49:25
    a^2= 1,96
    a = √1,96
    a = 1,4m
    Segue um exemplo para ser solucionado?
    Tenho um Triângulo Retângulo onde um de seus catetos mede ( 11*π:6 Cateto)( 5*π:3 Cateto), Qual o valor da Hipotenusa; (usa π =3,15).Inacreditável: agora irei relatar novas descoberta dentro do enigmático número de π; as raízes quadrada exatas e não exatas é igual ao número enigmático de π, com 2 fórmulas com 100% de precisão(√2; √3; √4; √5; √6; √7; √8; √9; √10; √11; √12; √13; √14; √15; √16; √17; √18; √19; √20; √21; √22; √23; √24; √25;…………..√877;……………√350734139; e o enigmático número áureo também é igual ao enigmático número π, provando cientificamente e matematicamente minha “Tese”. o autor Sr Sidney Silva.

  8. Ola Sr. Sidney Silva, tudo bem? espero que sim!
    Antes de mais nada muito obrigado por prestar atenção em meu trabalho.
    Quanto a usar o nome de Bhaskara, o fiz, pois é assim que aprendemos no Brasil, “a Formula de Bhaskara”, e acabou por chamar mais atenção, atingindo melhor resultado, do que apenas equação do segundo grau.
    Quanto ao problema que você colocou de a = Hipotenusa, b e C = catetos, não consegui compreender o por que de a² = 7²/5² => a² = 49/25 => a = V1.96 => a = 1.4, não consigo visualizar um triangulo com arestas nessas dimensões de 7.0 , 5.0 e 1.4, você poderia me ajudar?

Deixe um comentário

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *

Pesquisar por categoria…
Este anúncio ajuda a manter a Educação gratuita