Análise do comportamento da série de Fibonacci tender a uma PG com F(i) crescendo

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ARTIGO ORIGINAL

SOUZA, Erivelto Luís de [1], SOUZA, Edezio Alves de [2]

SOUZA, Erivelto Luís de. SOUZA, Edezio Alves de. Análise do comportamento da série de Fibonacci tender a uma PG com F(i) crescendo. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano 05, Ed. 05, Vol. 01, pp. 42-47. Maio de 2020. ISSN: 2448-0959, Link de acesso: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/matematica/serie-de-fibonacci

RESUMO

A série de Fibonacci é extremamente conhecida, tanto quanto estudada. Pode-se encontrar a mesma em várias áreas da matemática, tais como teoria dos números, teoria de grafos, álgebra, finanças, arte, arquitetura, música e, na prática, na própria natureza. Pode ser observada em vários seres vivos, tais como insetos, plantas, no próprio rosto humano, na cauda de um camaleão e em várias estruturas em um mesmo ser vivo. A série de Fibonacci é uma série recursiva onde o i-ésimo termo F(i) pode ser definido como F(i) = F(i-1)+ F(i-2), para i ≥ 3. O estudo aqui apresentado propõe uma análise sobre o comportamento desta série, quando o número de termos é bastante elevado, de se aproximar de uma Progressão Geométrica. A proposta é apresentar a análise tanto matemática quanto gráfica deste comportamento. A determinação do i-ésimo termo desta série, F(i), foi proposta por Jacques Binet, utilizando-se como base o número áureo, .

Palavras-chave: Série de Fibonacci, progressão geométrica, equação de Binet.

INTRODUÇÃO

A série de Fibonacci foi apresentada a primeira vez por Leonardo Fibonacci, em 1202, em uma publicação que fez de seu livro, “Liber Abaci” (JESUS, 2014, p. 1), sob a forma de um problema:

Um homem colocou um par de coelhos num local cercado por todos os lados. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir desse par ao fim de um ano, sabendo que, por mês, cada par gera um novo par, que se torna produtivo no segundo mês de vida?

Em função de ser encontrada em várias áreas, a Série de Fibonacci vem sendo estudada há anos, muitos pesquisadores vêm apresentados trabalhos sobre a mesma, destacando-se Yayenie (2011), Feng (2011), Sahin (2011) e, recentemente, Petronilho (2012). (JESUS, 2014)

Em 1843 o matemático francês Jacques Binet propôs a equação que calcula o n-ésimo termo da Sequência de Fibonacci. Esta equação, simplificada e atualizada, fica:

Para entendermos melhor essa equação, devemos entender o valor do símbolo, F, que representa o número áureo, ou relação áurea. Embora Fibonacci o tenha apresentado oficialmente em seu trabalho, o número áureo, ou número divino, acredita-se, remonta da antiguidade, tanto que seu símbolo, a letra grega (Phi, pronuncia-se ‘fi’) é dada em homenagem ao arquiteto grego Phideas (480 a 430 a.C.) que foi o arquiteto do Partenon em Atenas, templo que foi edificado entre 447 e 433 a.C., no mesmo existe um retângulo, em sua fachada, que apresenta a proporção de ouro entre sua largura e sua altura. Os pitagóricos também fizeram uso da razão áurea na estrela pentagonal. O matemático grego Endoxus (390 a 337 a.C.) em seus estudos pesquisou enfaticamente sobre a “seção áurea”. (SANTOS, 2017)

O número áureo, , aparece em várias citações antigas, até mesmo na arte. Da Vinci a utilizou nas proporções do seu “homem vitruviano”, bem como na construção do quadro da Monalisa. Diz-se que a relação entre a apótema da face da pirâmide de Gizé e a metade de sua base tem o valor áureo. O mesmo já foi encontrado em várias relações métricas da natureza. (YAYENIE, 2011)

Na dedução de seu valor, deduz-se a seguinte definição: “Tome-se um seguimento de reta, dividido em duas partes não iguais. A relação entre o todo e a parte maior deve ser igual à relação entre a parte maior e parte menor. A esta relação define-se como relação áurea.”

Tomando com base essa definição, encontra-se a equação:

tomando-se como definição: = y/x, temos que, y = x, então, com base na eq. 02:

Resolvendo a equação do 2º grau, temos:

Como a relação áurea, , é a razão entre o valor maior e o menor, y e x, ambos positivos, ela deve ser positiva, assim:

DESENVOLVIMENTO

O desenvolvimento deste trabalho se baseou em uma análise matemática, estudando o comportamento limite da função de Binet como uma progressão geométrica. Para tanto a relação entre os termos F(i)/F(i-1) → , para i  → ∞.

Pela própria definição de limites, sabendo que > 1, temos:

Assim:

Pela representação gráfica da série de Fibonacci e pela relação entre F(i)/F(i-1), percebemos que a relação aproxima-se de F à medida em que o valor do termo da série aumenta.

Tabela 1 – relação entre os termos (i), o valor de cada termo i de Fibonacci, F(i), e a razão entre o termo posterior e imediatamente anterior da Sequência de Fibonacci, F(i)/F(i-1).

(i) F( i ) F( i ) / F( i – 1 ) (i) F( i ) F( i ) / F( i – 1 )
1 1 26 121.393 1,61803398867044
2 1 1,00000000000000 27 196.418 1,61803398878024
3 2 2,00000000000000 28 317.811 1,61803398873830
4 3 1,50000000000000 29 514.229 1,61803398875432
5 5 1,66666666666667 30 832.040 1,61803398874820
6 8 1,60000000000000 31 1.346.269 1,61803398875054
7 13 1,62500000000000 32 2.178.309 1,61803398874965
8 21 1,61538461538462 33 3.524.578 1,61803398874999
9 34 1,61904761904762 34 5.702.887 1,61803398874986
10 55 1,61764705882353 35 9.227.465 1,61803398874991
11 89 1,61818181818182 36 14.930.352 1,61803398874989
12 144 1,61797752808989 37 24.157.817 1,61803398874990
13 233 1,61805555555556 38 39.088.169 1,61803398874989
14 377 1,61802575107296 39 63.245.986 1,61803398874990
15 610 1,61803713527851 40 102.334.155 1,61803398874989
16 987 1,61803278688525 41 165.580.141 1,61803398874989
17 1.597 1,61803444782168 42 267.914.296 1,61803398874989
18 2.584 1,61803381340013 43 433.494.437 1,61803398874990
19 4.181 1,61803405572755 44 701.408.733 1,61803398874989
20 6.765 1,61803396316671 45 1.134.903.170 1,61803398874989
21 10.946 1,61803399852180 46 1.836.311.903 1,61803398874990
22 17.711 1,61803398501736 47 2.971.215.073 1,61803398874989
23 28.657 1,61803399017560 48 4.807.526.976 1,61803398874989
24 46.368 1,61803398820532 49 7.778.742.049 1,61803398874989
25 75.025 1,61803398895790 50 12.586.269.025 1,61803398874989

Figura 1 – Gráfico da relação entre F(i)/F(i-1) e a evolução do elemento (i) da série de Fibonacci, e sua comparação com o valor áureo, F (1,61803398874989…).

CONSIDERAÇÕES FINAIS

O comportamento da razão F(i)/F(i-1) e os respectivos termos (i) da série de Fibonacci, após o 44º termo já toma um comportamento praticamente constante igual ao valor do número áureo, (1,61803398874989…). Nos termos iniciais, até próximo de i → 10, o valor da razão se aproxima, gradativamente do número F, partindo de um valor igual a 2 para F(3)/F(2). À partir do 11º termo da sequência, o grau de proximidade desta razão, F(i)/F(i-1), já pode ser considerado, dependendo da precisão adotada, igual ao número áureo.

Por fim, a finalidade deste artigo, com base no que foi proposto, é demonstrar a correlação da série de Fibonacci com uma P.G., tanto do ponto de vista gráfico quanto matemático, de forma simples e direta. Para mais detalhes e entendimentos sobre a Sequência de Fibonacci sugere-se um estudo nas referências apresentadas neste trabalho.

REFERÊNCIAS

FENG, J. “Fibonacci identities via the determinant of tridiagonal matrix”. Appl. Math. Comput. 217 (2011) 5978-5981.

JESUS, M. D. N. “Sucessão de Fibonacci e uma sua generalização”. Projeto Educacional I do Mestrado em Ensino de Matemática no 3 o ciclo do Ensino Básico e no Secundário. Departamento de Matemática. Faculdade de Ciências e Tecnologia. Universidade de Coimbra. 2014.

JESUS, M. D. N.; PETRONILHO, J. “On orthogonal polynomials obtained via polynomial mappings”. J. Approx. Theory 162 (2010) 2243-2277.

PETRONILHO, J. “Generalized Fibonacci sequences via orthogonal polynomials”. Appl. Math. Comput. 218 (2012) 9819-9824.

SANTOS, A. A.; ALVES, F. R. V. “A fórmula de Binet como modelo de generalização e extensão da sequência de Fibonacci a outros conceitos matemáticos”. Revista Eletrônica Paulista de Matemática. ISSN: 2316-9664. Vol. 9, jul. 2017.

SAHIN, M. “The generating function of a family of the sequences in terms of the continuant”. Appl. Math. Comput. 217 (2011) 5416-5420.

YAYENIE, O. “A note on generalized Fibonacci sequences”. Appl. Math. Comput. 217 (2011) 5603-5611.

[1] Engenharia de Materiais, D.Sc.; Engenharia de Materiais, M.Sc.

[2] Engenharia de Materiais, M.Sc.

Enviado: Abril, 2020.

Aprovado: Maio, 2020.

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