Desvendando padrões em números primos por posição, uma abordagem computacional e matemática inovadora

ARTIGO ORIGINAL

POLEGATO, Marlon Fernando ^[1]

POLEGATO, Marlon Fernando. Desvendando padrões em números primos por posição, uma abordagem computacional e matemática inovadora. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano 09, Ed. 11, Vol. 01, pp. 05-98. Novembro de 2024. ISSN: 2448-0959, Link de acesso:  https://www.nucleodoconhecimento.com.br/matematica/desvendando-padroes, DOI: 10.32749/nucleodoconhecimento.com.br/matematica/desvendando-padroes

RESUMO

A investigação dos números primos constitui um dos pilares fundamentais da matemática, com repercussões diretas no campo da criptografia digital. Este trabalho introduz uma metodologia pioneira para a exploração de padrões inerentes aos números primos, iluminando suas potenciais aplicações no aprimoramento de algoritmos de criptografia e na melhoria da segurança de informações digitais. Através de uma abordagem analítica e computacional, desvelamos estruturas recorrentes que facilitam a identificação e a fatoração de números primos, provendo assim um caminho promissor para a otimização de procedimentos computacionais essenciais. Adicionalmente, exploramos a estrutura eletromagnética universal, utilizando padrões primos como um método de comprovação dessa estrutura e fornecendo análises visuais, numéricas e geométricas inovadoras. Este estudo também apresenta métodos otimizados para a localização de números primos especiais, como primos de Germain e primos de Mersenne, entre outras categorias, melhorando o entendimento da distribuição e contribuindo para a eficiência e eficácia na identificação desses números especiais.

Palavras-chave: Padrão Números Primos, Criptografia, Teoria dos Números, Teoria das Cores, Computação Fotônica.

1. INTRODUÇÃO

Historicamente, os números primos têm capturado a atenção de matemáticos devido à sua singularidade e ao seu papel central em diversas áreas de aplicação, destacando-se a criptografia (Hardy & Wright, 1979). A identificação de padrões subjacentes aos números primos não só propicia uma compreensão mais profunda dos primos, mas também indica vias inéditas para a melhoria da segurança de dados. Pesquisas anteriores, como o trabalho seminal de Riemann sobre a distribuição dos números primos (Riemann, 1859), e estudos mais recentes sobre algoritmos de crivo, como o Crivo de Eratóstenes e o Crivo de Atkin, têm abordado a distribuição dos números primos através de diversas metodologias (Atkin & Bernstein, 2003).

O problema central abordado neste estudo é a deficiência de métodos eficientes para identificar e fatorar números primos, o que é crucial para a criptografia digital e a segurança da informação com outras aplicabilidades em simulação das ciências naturais. Métodos tradicionais, como os algoritmos de crivo, embora eficazes, enfrentam limitações quando aplicados a grandes volumes de dados, demandando otimizações que possam oferecer respostas rápidas e precisas (Knuth, 1968). Além disso, a identificação eficiente de números primos de Mersenne, que são de grande interesse tanto teórico quanto prático, representa um desafio adicional.

Para superar essas limitações, este estudo desenvolve e aplica novas metodologias para a identificação e fatoração de números primos, explorando padrões subjacentes a esses números. A pesquisa combina teorias matemáticas clássicas com técnicas computacionais avançadas para otimizar a busca por números primos e fatores primos de números compostos para fortalecer a segurança digital. Além disso, exploramos a estrutura eletromagnética universal e suas interações com esses padrões.

Adicionalmente, incluímos uma análise de padrões cromáticos baseada na teoria de Newton (Newton, 1704), oferecendo uma abordagem visual inovadora para a identificação e estudo de números primos. Também implementamos teoria dos grafos para explorar a conectividade e distribuição dos números primos (Bollobás, 1998), utilizando conceitos avançados de grafos.

Este estudo também apresenta métodos otimizados para a localização de números primos de Mersenne, contribuindo para a eficiência na identificação desses números especiais. Além disso, investigamos a distribuição de primos em diferentes módulos, especialmente focando em 12k±c, onde 12k ± [1, 5, 7, 11] com k sendo ímpar, 10k ± [1, 3, 7, 9] com k sendo ímpar, e também a formulação 6n±1 (Hardy & Wright, 1979), para identificar padrões recorrentes e frequências significativas, utilizando técnicas avançadas para aprimorar a identificação de padrões de congruência (Polegato, 2022).

2. METODOLOGIA

Empregamos uma fusão de análise teórica e processos computacionais para sondar os padrões presentes entre os números primos e seus fatores. A metodologia desenvolvida consiste nas seguintes etapas:

Geração de Sequências: Utilizando a estrutura 12𝑘±[1,5,7,11] onde 𝑘 é um número inteiro positivo ímpar, geramos sequências que excluem múltiplos de 2 e 3. Isso cria uma base de dados focada em números potencialmente primos.

Otimizações de Algoritmos de Crivo: Desenvolvemos e otimizamos algoritmos de crivo, como o Crivo de Eratóstenes e o Crivo de Atkin (Atkin & Bernstein, 2003), para trabalhar com as sequências geradas, incorporando técnicas avançadas de marcação e exclusão de múltiplos para identificar números compostos de maneira mais eficiente.

Análise de Congruências: Investigamos a distribuição de primos em diferentes módulos, especialmente focando em 12𝑘±𝑐,10k±\pm\1,3,7,9\ e também 6𝑛±1 (Hardy & Wright, 1979), para identificar padrões recorrentes e frequências significativas. Utilizamos expressões congruência modular e projeções para aprimorar a identificação de padrões (Polegato, 2022).

Implementação Computacional: Desenvolvemos algoritmos em Python para automatizar a geração, marcação e análise das sequências, utilizando bibliotecas como sympy para testes de primalidade e numpy para cálculos eficientes além de métodos próprios de implementação indireta em python. Exemplos de algoritmos incluem a função soma_Polegato para geração de sequências e marcação de compostos.

Exploração da Estrutura Eletromagnética: Utilizamos os padrões primos para analisar a estrutura eletromagnética universal, fornecendo uma análise visual e geométrica dos padrões gerados. A relação entre cores e números foi mapeada e analisada, destacando interações cromáticas e numéricas.

Métodos Otimizados para Primos de Mersenne: Desenvolvemos métodos específicos para a localização de números primos de Mersenne, utilizando abordagens otimizadas que melhoram a eficiência na identificação desses números especiais.

Análise de Grafos: Implementamos teoria dos grafos para explorar a conectividade e distribuição dos números primos, utilizando conceitos avançados de grafos (Bollobás, 1998).

Análise de Cores Baseada na Teoria de Newton: Aplicamos a teoria das cores de Newton para mapear números em padrões cromáticos, permitindo uma nova abordagem visual para a análise desses números (Newton, 1704).

Visualização e Verificação: Utilizamos gráficos e visualizações para identificar padrões visuais e verificar a precisão dos algoritmos desenvolvidos. As interseções e curvas senoidais são exploradas para compreender melhor as relações entre os números gerados.

Terminações de dígitos de números primos que são sempre 1,3,7,9 (https://www.nature.com/articles/nature.2016.19550).

Mapa de multiplicação número (12) de Nicola Tesla e a importância dos números 3,6,9 podendo revelar a chave do universo (Santos, 2017).

Esta abordagem permite não só a identificação eficiente de números primos, mas também a exploração de novas fronteiras na análise e aplicação desses padrões, especialmente no contexto da segurança digital e da estrutura eletromagnética.

2.1.  ESTRUTURA GERAL DOS NÚMEROS NATURAIS INTEIROS POSITIVOS NA ESTRUTURA \(12k ± c \)

Dentro desta estrutura, podemos diferenciar entre números primos e compostos, assim:

2.1.2. NÚMEROS PRIMOS

Números Primos nas Quatro Colunas Especiais:

– Todos os números primos maiores que 3 estão em uma das quatro progressões aritméticas: (12k±1), (12k±5), (12k±7), e (12k±11), onde ( k ) é um inteiro não negativo ímpar. Isso ocorre porque se um número primo fosse congruente a 2, 4, 6, 8, 10 ou 12 módulo 12, ele seria divisível por 2, e se fosse congruente a 3 ou 9, seria divisível por 3, contrariando a definição de um número primo.

2.1.3.   CASOS ESPECIAIS – PRIMOS 2 E 3

– Os números primos 2 e 3 são os únicos primos que não estão contidos nas quatro colunas especiais. Eles precisam ser tratados como casos diferenciados pois são os menores e mais básicos números primos.

2.1.4. NÚMEROS COMPOSTOS

Múltiplos de 2 (exceto o primo 2):

– (12k ± 2) (também múltiplo de 3)

– (12k ± 4)

– (12k ± 6) (também múltiplo de 3)

– (12k ± 8)

– (12k ± 10)

– (12k ± 12) (também múltiplo de 3)

Múltiplos de 3 (exceto o primo 3):

– (12k ± 3)

– (12k ± 6) (também múltiplo de 2)

– (12k ± 9)

– (12k ± 12) (também múltiplo de 2)

– Onde todos os números compostos possuem os fatores primos maiores que 3 dentro dessa projeção 12k ±(1,5,7,11) sendo k um inteiro positivo ímpar, sendo suficiente para comprovar sua divisibilidade e também encontrar seus fatores primos maiores que 3.

2.1.5.  GERAÇÃO DE TODOS OS NÚMEROS NATURAIS POSITIVOS

Para gerar todos os números naturais positivos inteiros, mantemos ( k ) como um número inteiro positivo ímpar e variamos ( ± c ) de 1 a 12. Isso cria uma estrutura onde:

– As colunas com ( c = 1, 5, 7, 11 ) contêm todos os números primos maiores que 3.

– As colunas com ( c = 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12 ) contêm apenas números compostos, exceto pelos primos 2 e 3, que são casos especiais e não se enquadram na estrutura de colunas.

Figura 1: Tabela 12k pm c onde c = 1 até 12

Dessa forma, essa abordagem não apenas gera todos os números naturais positivos, mas também organiza os números de uma maneira que destaca os números primos e compostos, facilitando a identificação e o estudo de suas propriedades.

A compreensão de que todos os números primos maiores que 3 se situam nas formas 6n±1 (Hardy & Wright, 1979), representa uma visão inicial sobre a distribuição dos números primos na teoria dos números. Esta formulação é, de fato, uma consequência da natureza ímpar dos números primos (com exceção de 2) e da necessidade de que estes não sejam divisíveis por 2 e 3, evitando assim números que seriam automaticamente compostos. Expandindo essa visão, a estrutura 12k±c, com \(c\) sendo específicamente 1, 5, 7, ou 11, oferece uma compreensão mais detalhada e precisa da distribuição dos números primos, indo além da simplificação fornecida por 6n±1 onde \(n\) são todos os números naturais positivos inteiros.

2.1.6. GERAÇÃO DA SEQUÊNCIA

A sequência é gerada com base na fórmula \( 12k \pm [1, 5, 7, 11] \) para \( k \) ímpares. Isso cria uma sequência de números que exclui automaticamente todos os múltiplos de 2 e 3, já que os números são sempre formados ao redor de múltiplos de \( 12k\pm[1,5,7,11]\) para \(k\) ímpares com deslocamentos que evitam esses múltiplos menores.

– A sequência ordenada correta (com os números inseridos alternadamente no início e no final) seria [47, 41, 35, 29, 23, 17, 11, 5, 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49].

3. PADRÃO DE RISCAR

O processo de riscar é aplicado aos números primos na sequência. Cada número primo é utilizado para riscar números compostos adjacentes, contando um número de passos igual ao valor do número primo para a esquerda e para a direita na sequência, partindo do próprio número primo.

3.1.  EXEMPLO DE RISCAM

– Número Primo 5:

– Para a esquerda: A partir do 5, conta-se 5 passos para a esquerda, riscando o número 35.

– Para a direita: A partir do 5, conta-se 5 passos para a direita, riscando o número 25.

– Número Primo 7:

– Para a esquerda: A partir do 7, conta-se 7 passos para a esquerda, riscando o número 35.

– Para a direita: A partir do 7, conta-se 7 passos para a direita, riscando o número 49.

Obs: o código continua acrescentando próprio valor absoluto de cada número primo ao número que foi riscado dando continuidade ao processo de riscar até o fim da sequência tanto pela esquerda quanto pela direita, considerando o número um como central e contabilizando o mesmo.

3.1.2. MARCAÇÃO DOS NÚMEROS COMPOSTOS

Após o processo de riscagem, os números compostos identificados são marcados como “X” na sequência. Os números primos permanecem inalterados. Isso proporciona uma visualização clara da distribuição dos números primos na sequência.

3.1.3. EXEMPLO COM A SEQUÊNCIA COMPLETA

– Sequência original: [47, 41, 35, 29, 23, 17, 11, 5, 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43].

– Sequência após riscar os compostos: [47, 41, ‘X’, 29, 23, 17, 11, 5, 1, 7, 13, 19, ‘X’, 31, 37, 43, ‘X’].

A extensão para \( 12k \pm c \), onde k é um inteiro positivo ímpar e \( c \) é 1, 5, 7 ou 11, é uma maneira mais detalhada de expressar essa ideia, já que \( 6n \pm 1 \) é equivalente a \( 12k \pm 1 \), \( 12k \pm 5 \), \( 12k \pm 7 \), e\( 12k \pm 11 \),. Portanto, essa formulação é uma forma expandida de um conceito já conhecido, embora apresente uma estrutura mais granular e detalhada para a classificação de números primos e compostos, onde apenas os números primos 2 e 3 ficam de fora, já o número 1 que é considerado um número composto permanece na lista mas não é incluso no processo de riscar pois a inclusão do mesmo no método  riscaria todos os números sem exceção, o mesmo é utilizado como referência central além de ser sempre contabilizado durante o processo.

4. EXPLICAÇÃO DE ONDE SAIU O PADRÃO \( 12k ± c \)

Gráfico de união, envio E processamento de luz, foi obtido um padrão entre cores e números, no qual as cores foram numeradas e ordenadas a partir das quais todo conteúdo apresentado neste artigo foi obtido. Os padrões numéricos triangulares com suas respectivas cores onde a sequência (1, 4, 7) representa as cores primárias na escala RGB determinada por padrões encontrados e a sequência (8, 5, 2) representa as cores secundárias da mesma escala. Na sequência (6, 9, 3) seguindo padrões sugeridos no mapa de multiplicação de Nicolas Tesla (Universidade Estadual do Centro-Oeste (UNICENTRO). O mapa da multiplicação) o número 9 é, ao mesmo tempo, a nulificação e união entre os pares inversamente iguais, e (3, 6) são as projeções em um terceiro plano, proporcionando não apenas a expansão numérica e cromática, mas também entrelaçando-as de forma que a soma dos seus opostos numéricos resulta em 9 e, cromaticamente, resulta na cor branca, dando contexto numérico a teoria das cores de Newton (Newton, 1704).

Figura 2: padrões de intercessão números/luz

Figura 3: Tabela de intercessões, luz e filtros

Ao enviar dados, utilizamos os números com suas respectivas cores, sendo elas:

# Atualização do mapa de cores sem Medium Blue e Medium Turquoise

mapa_cores_rgb_sem_linhas = {

0: (0, 0, 0),        # Preto

1: (255, 0, 0),      # Vermelho

2: (255, 255, 0),    # Amarelo

3: (128, 128, 0),    # Oliva

4: (0, 128, 0),      # Verde

5: (255, 0, 255),    # Magenta

6: (238, 130, 238),  # Violeta

7: (0, 0, 255),      # Azul

8: (0, 255, 255),    # Ciano

9: (255, 255, 255),  # Branco

10: (255, 165, 0),   # Laranja

11: (86, 180, 233),  # Celeste

12: (64, 224, 208),  # Turquesa

13: (255, 192, 203)  # Rosa

}

Figura 4: Intercessão passo 1

Figura 5: Intercessão passo 2

Figura 6: Intercessão passo 3

Figura 7: Intercessão passo 4

4.1. TABELA PADRÕES 3,6,9 ONDAS ELETROMAGNÉTICAS

Para preencher, além de seguir os padrões circulares, foi necessário seguir as geometrias platônicas, completando a somatória de dígitos resultante aos números 3, 6 e 9, além dos padrões (1, 4, 7); (8, 5, 2), sem deixar um número sem um divisor ao seu redor, não sendo possível qualquer outro tipo de configuração nesta geometria específica além de manter um padrão de somatório dividido em 12 eixos principais somatórios 12 e em alguns pontos o número 23. Além disso, todos os números seguem um fluxo de interferência com os demais ao seu redor que retorna ao mesmo número, e esses padrões contêm em si o padrão geométrico dos números primos, onde podem ser observados nas linhas de 1, 5, 7 e 11 e mais 4 linhas fora do centro onde seguem o fluxo. Não entraremos em detalhes, pois este não é o objetivo do trabalho; cabe a cada um interpretá-lo. Porém, adianto que este gráfico geométrico será o mapa em direção à evolução tecnológica e química unificando as ciências naturais na qual se podem ver padrões de ligações e famílias periódicas conhecidas e novas a serem exploradas, refletindo também a geometria e ligações entre objetos astronômicos como por exemplo estrelas, planetas e até mesmo galáxias tendo grandes potenciais para juntar forças como por exemplo trabalhos de análises gráficas de (Bollobás, 1998).

Figura 8: Matriz eletromagnética universal

Figura 9: Grafo Padrões 3,6,9 /(12k±C)/ Interações de Ondas Eletromagnéticas

4.2.  CARACTERÍSTICAS

Com os métodos apresentados acima pode ser criado um novo método de envio e processamento de dados de acordo com os padrões de interações da luz.

Assim, todos os números primos passam por essas 4 colunas, estando na eliminação pela soma de 12 até o número 12; temos as seguintes eliminações exceto o número 5 que não entra na soma 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 e 12, que serão enquadrados em alguns dos padrões de eliminação que serão apresentados em breve. Todos os números primos devem ter como último dígito os números 1, 3, 7 e 9, isso é porque trabalhamos com informações numéricas decimais onde nessas condições todos os números primos maiores que 5 são congruentes a 1, 3, 7, 9, módulo 10 que são subprodutos da soma inicial do número 12 com os números primos triviais que são 1, 5, 7 e 11 que vamos explorar na tentativa de comprovar os padrões citados até o momento.

Exemplo 1: 

Vamos utilizar o número (11) pegaremos seu último dígito [1] e vamos somar com o último dígito de (12) que é [2] então teremos (1 + 2) = 3; fazendo isso com todos os números primos sempre vamos retornar com o último dígitos de acordo com as terminações citadas, comprovando os padrões encontrados em terminações de números primos com exceção dos triviais de um digito, (Lamb. 2016)

Exemplo 2:

1 + 2 = 3

3 + 2 = 5

5 + 2 = 7

7 + 2 = 9

9 + 2 = 11 → 1

Tabela 1: Tabela 4 colunas

Column 1	Column 2	Column 3	Column 4
1	5	7	11
13	17	19	23
25	29	31	35
37	41	43	47
49	53	55	59
61	65	67	71
73	77	79	83
85	89	91	95
97	101	103	107
109	113	115	119
121	125	127	131
133	137	139	143
145	149	151	155
157	161	163	167
169	173	175	179
181	185	187	191
193	197	199	203
205	209	211	215
217	221	223	227

Fonte: Marlon Fernando Polegato, 2021. Autoria própria.

5. PLICAÇÕES EM CÓDIGOS PYTHON ALGORITMOS M.F.POLEGATO COM A SEQUÊNCIA 12K EM VÁRIAS APLICAÇÕES

Notação: Às vezes me confundo na notação de congruências e projeção.

5.1. CONCEITO GERAL DOS ALGORITMOS

O algoritmo `crivo_soma_Polegato` que será descrito de diversas abordagens são variações do Crivo de Eratóstenes para encontrar números primos, mas utilizando abordagens que os diferenciam de forma inovadora.

Vamos analisá-lo em termos de suas operações e verificar se ele utiliza métodos de divisão, multiplicação ou teste de primalidade direta:

5.1.2.   “PROCESSO DE CRIVO” VISÃO GERAL

– O algoritmo percorre cada número na lista (`primo = lista[i]`).

– Para cada número `primo`, o algoritmo inicia um segundo loop com `j` igual ao valor de `primo`.

– Dentro deste loop, `j` é incrementado pelo valor de `primo` a cada iteração (`j += primo`).

– Se `j` estiver presente na lista, ele é removido (`lista.remove(j)`), e o contador de passos é incrementado.

– Este processo continua até que `j` seja maior que o último número na lista.

Saída do Algoritmo:

– O algoritmo retorna a lista de números primos `primos` e o total de passos `passos` realizados para remover os múltiplos.

Pré Análise:

– Métodos de Divisão ou Multiplicação: O algoritmo não realiza divisão ou multiplicação direta. Ele simplesmente incrementa `j` pelos valores de `primo` e verifica se `j` está na lista.

– Teste de Primalidade Direta: O algoritmo não faz um teste de primalidade direto em cada número. Em vez disso, ele remove os múltiplos dos números (que são compostos) da lista, o que é uma característica do Crivo de Eratóstenes.

– Operações Principais: As operações principais do algoritmo são incrementos, comparações e remoções de elementos da lista.

5.1.3. IDENTIFICAÇÃO DE MÚLTIPLOS

– Para um número primo \( p \) na lista, os múltiplos de \( p \) são identificados por adicionar repetidamente prováveis primos \( p \) inicial aos valores prováveis \( p \) subsequentes. Por exemplo, se \( p = 2 \), então seus múltiplos seriam obtidos por \( 2 + 2 = 4 \), \( 4 + 2 = 6 \), \( 6 + 2 = 8 \), e assim por diante.

– Essa abordagem é uma forma de “contagem de passos”, onde cada passo é um acréscimo do número primo \( p \). Essencialmente, estamos contando \( p, 2p, 3p, \ldots \) por meio de adições sucessivas.

5.1.4.  REMOÇÃO DOS MÚLTIPLOS

– Quando um múltiplo é identificado (conforme descrito acima), ele é removido da lista. Essa remoção é baseada na verificação se o número calculado está presente na lista e não através de uma verificação de divisibilidade, calcular os múltiplos de \( p \) por meio de adições sucessivas, ou seja, \( p, p + p, p + 2p, \ldots, p + kp \) até que \( p + kp > n \).

– Para cada múltiplo calculado de \( p \), se estiver na lista, removê-lo.

– **Lista de Números**: \( L = \{2, 3, 4, \ldots, n\} \)

– **Para cada número primo \( p \) em \( L \)**:

– **Para cada \( k \) tal que \( p + kp \leq n \)**:

– Se \( p + kp \) está em \( L \), então remova \( p + kp \) de \( L \).

– Incremente o contador de passos a cada remoção.

5.2.  PROVAS

Objetivo: Identificar números primos em uma lista de números específicos.

Entrada: Uma lista de números inteiros positivos.

Saída: Uma lista de números primos encontrados na lista original e o total de passos realizados durante o processo.

5.3. ALGORITMO GERAR SEQUÊNCIA 12K UTILIZANDO CONGRUÊNCIA, E RETIRADA DE MÚLTIPLOS SIMILAR AO CRIVO DE ERATÓSTENES

Código Completo:

Figura 10: Resultados python

5.4.  OTIMIZAÇÃO CONTAR E RISCAR COM 12K ATÉ A RAIZ QUADRADA DO MAIOR NÚMERO DA SEQUÊNCIA

Tabela 2: resultado do código anterior em python

Número	Status	Riscado Por		Número	Status	Riscado Por		Número	Status	Riscado Por
1	Não Riscado			59	Não Riscado			115	Riscado	5
5	Não Riscado			61	Não Riscado			119	Riscado	17
7	Não Riscado			65	Riscado	5		121	Riscado	11
11	Não Riscado			67	Não Riscado			125	Riscado	5
13	Não Riscado			71	Não Riscado			127	Não Riscado
17	Não Riscado			73	Não Riscado			131	Não Riscado
19	Não Riscado			77	Riscado	11		133	Riscado	7
23	Não Riscado			79	Não Riscado			137	Não Riscado
25	Riscado	5		83	Não Riscado			139	Não Riscado
29	Não Riscado			85	Riscado	17		143	Riscado	11
31	Não Riscado			89	Não Riscado			145	Riscado	5
35	Riscado	5		91	Riscado	7		149	Não Riscado
37	Não Riscado			95	Riscado	5		151	Não Riscado
41	Não Riscado			97	Não Riscado			155	Riscado	5
43	Não Riscado			101	Não Riscado			157	Não Riscado
47	Não Riscado			103	Não Riscado			161	Riscado	7
49	Riscado	7		107	Não Riscado			163	Não Riscado
53	Não Riscado			109	Não Riscado			167	Não Riscado
55	Riscado	11		113	Não Riscado			169	Riscado	13

Fonte: Marlon Fernando Polegato, 2023. Autoria própria.

Eficiência:

– O `crivo_M.F.Polegato` oucrivo_contagem_unidirecional_otimizado(n) e suas variações que estarão nos demais códigos adiciona a contagem de passos ao processo, fornecendo uma medida da quantidade de operações realizadas.

– Semelhante ao Crivo de Eratóstenes, e crivo de Atkin, é eficiente, mas o processo de remoção de múltiplos pode ser mais custoso do que a simples marcação, especialmente em linguagens onde a remoção de elementos de uma lista é uma operação de custo mais alto.

**`gerar_sequencia_12k_ordenada_correta(intervalo)`**:

– Este algoritmo gera uma sequência de números baseada na fórmula `12k ± {1, 5, 7, 11}` para `k` ímpar.

– **Multiplicação e Subtração**: O algoritmo utiliza multiplicação (por exemplo, `12 * k`) e subtração/adição (por exemplo, `12 * k – 11`) para gerar a sequência. Não há divisão direta ou teste de primalidade.

– **Contagem de Passos**: Conta os passos necessários para riscar números para a direita e para a esquerda considerando o número 1 central. Não realiza teste de primalidade ou divisão direta.

5.4.1. PRÉ ANÁLISE DOS ALGORITMOS

`gerar_sequencia` e `calcular_indices_para_riscar_com_contagem` (versão simplificada)

**`gerar_sequencia(intervalo)`**:

– Gera uma sequência de números com base em uma fórmula simples envolvendo subtrações e adições a partir do número 1.

– Não utiliza multiplicação, divisão direta ou teste de primalidade.

**`calcular_indices_para_riscar_com_contagem(sequencia)`**:

– Similar ao primeiro algoritmo, calcula os índices para riscar com contagem de passos, sem realizar teste de primalidade ou divisão direta.

Pré Conclusão:

O uso de multiplicação está presente na geração da sequência no primeiro conjunto de algoritmos, mas é uma multiplicação simples para definir a estrutura da sequência, não relacionada a testes de primalidade atuais.

5.5.  OTIMIZAÇÃO CONTAR E RISCAR COM 12K +- 5 e 7 SEQUÊNCIA REDUZIDA

Resultados:

Sequência completa: [355, 343, 331, 319, 307, 295, 283, 271, 259, 247, 235, 223, 211, 199, 187, 175, 163, 151, 139, 127, 115, 103, 91, 79, 67, 55, 43, 31, 19, 7, 5, 17, 29, 41, 53, 65, 77, 89, 101, 113, 125, 137, 149, 161, 173, 185, 197, 209, 221, 233, 245, 257, 269, 281, 293, 305, 317, 329, 341, 353]

Números  não riscados após processo: [331, 307, 283, 271, 223, 211, 199, 163, 151, 139, 127, 103, 79, 67, 43, 31, 19, 7, 5, 17, 29, 41, 53, 89, 101, 113, 137, 149, 173, 197, 233, 257, 269, 281, 293, 317, 353]

Números riscados e responsável:

341: riscado por 31

209: riscado por 19

247: riscado por 19

77: riscado por 7

161: riscado por 7

245: riscado por 7

329: riscado por 7

91: riscado por 7

175: riscado por 7

259: riscado por 7

343: riscado por 7

65: riscado por 5

125: riscado por 5

185: riscado por 5

305: riscado por 5

55: riscado por 5

115: riscado por 5

235: riscado por 5

295: riscado por 5

355: riscado por 5

221: riscado por 17

187: riscado por 17

319: riscado por 29

[Program finished]

Obs: Similar ao método anterior utilizando congruência 1, 5, 7, 11 mod 12, é importante aproveitar os padrões observados na congruência 5 e 7 módulo 12 para reproduzir os métodos de forma mais eficiente para os números primos e compostos dentro dessa categoria.

Padrão dos números congruentes a 5 e 7 módulo 12: Todos os números compostos > 3  possuem ao menos um fator primo congruentes a 5 e 7 módulo 12 sendo possível testar sua primalidade e também encontrar seus produtos primos a partir dessa mesma projeção, mas nem sempre os divisores estarão dentro da raiz quadrada de n sendo assim o mesmo é mais eficaz para encontrar divisores do que teste de primalidade.

Números primos de Mersenne: Foi observado que todos os números primos de Mersenne são congruentes a 7 módulo 12, excluindo o caso de \( n <= 3 \).

– Após verificar os números primos de Mersenne, constatou-se que todos conhecidos até o momento com \( n > 3 \) são de fato congruentes a 7 módulo 12, sendo assim é possível testar sua primalidade testando a divisão pelos números 2 e 3 e números dentro dessa projeção, e os números compostos dentro desse formato 2**p-1 pode encontrar seus fatores primos da mesma forma.

Detalhes dos Códigos Utilizados: Geração e ordenação de sequência 12k ± [5, 7].

– Foi criada uma função para gerar uma sequência ordenada de números com base na forma 12k ± [5, 7].

– Essa sequência foi usada para marcar e riscar números compostos.

Processo de riscagem: Implementou-se um algoritmo que risca números compostos a partir da sequência gerada, verificando se eles possuem divisores dentro da mesma projeção, mas sem divisão direta apenas contando os valores absolutos a esquerda e a direita.

Resultados: Identificou-se os números que não foram riscados (primos) e aqueles que foram riscados (compostos) com seus respectivos divisores.

Essas observações fornecem insights sobre padrões específicos na distribuição de números primos e compostos em congruências modulares, especialmente relacionados aos números primos de Mersenne.

5.6. ALGORITMO COM SEQUÊNCIA SIMPLES E CONTAGEM DE PASSOS

Neste método devemos considerar o valor absoluto dos números desconsiderando sinal negativo.

Código Completo:

Figura 11: Resultados python

5.7. SEQUÊNCIA 12K GERANDO CURVA SENOIDAIS IDENTIFICANDO NÚMEROS PRIMOS

Código Completo:

Resultado:

Números selecionados (excluindo o primeiro e o último): [89, 83, 71, 59, 53, 47, 41, 29, 23, 17, 11, 5, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73]

Gráfico 1: análise visual

Nesse processo ao invés de contar e riscar utilizamos uma função de onda considerando o valor absoluto do número onde sua curvatura faz o papel de marcar os números compostos, sendo os números primos os números que ficaram apenas com uma intersecção ou nenhuma acima de uma intersecção são os compostos proporcionando além além de gráficos de visualizações também uma nova abordagem.

5.7.1. ENCONTRANDO PONTOS DE INTERSECÇÃO ÚNICO COM CURVAS SENOIDAIS

Código Completo:

Gráfico 2: Curvas senoidais marcando compostos sequência unidirecional

Figura 12: curvas intercessão

Figura 13: Padrão de ondas

Gráfico 4: Primeiros primos marcando compostos dentro de um limite

Os códigos fornecidos abrangem desde a visualização gráfica da sequência `12k`, análise de pontos de interseção até a otimização da detecção de números primos.

5.8. CRIVO MISTO ATKIN E CONGRUÊNCIAS M.F.P OTIMIZADO

Este método é uma melhoria considerável em métodos de crivos, o mesmo sendo eficiente para grandes volumes de dados em grandes sequências pois elimina números compostos juntando as abordagens quadráticas do crivo Atkin (Atkin & Bernstein, 2003), as congruências modulares conhecidas na literatura que todos os números primos maiores que 5 se enquadram (n % 10 in {1, 3, 7, 9}), (Hardy, G.H, 1979), e os novos padrões abordados nesse artigo (n % 12 in {1, 5, 7, 11}); (Polegato, 2022).

Código Completo:

5.9. ALGORITMO PARA FATORES APROVEITANDO OS PADRÕES DE CONGRUÊNCIAS

Esse código visa priorizar os incrementos de acordo com as propriedades estudadas que são probabilisticamente melhores para encontrar os divisores

Código Completo:

5.10.  PADRÕES DE PROJEÇÃO 5 e 7 +12 PARA FATORES

Código Completo:

5.11. PADRÃO DE DISTRIBUIÇÃO DOS PRIMOS GÊMEOS, PRIMEIRO CONJUNTO CONGRUÊNCIA COM 5 E 7 MÓDULO 12

Lógica Matemática: A estratégia baseia-se na observação de que todos os números primos, exceto 2 e 3, são congruentes a 1, 5, 7 ou 11 módulo 12. Focando nas colunas 5 e 7, que são adjacentes nessa representação módulo 12, há uma tendência de encontrar pares de primos gêmeos. Isso é explorado ao gerar candidatos a partir de suas posições relativas nessas colunas, onde a posição é definida pela sequência dos números nessas colunas.

Fórmula para Calcular Números nas Colunas 5 e 7: O número \(N\) em uma dada posição \(P\) e coluna \(C\) (sendo \(C\) 5 ou 7 para nossos propósitos) é dado por:

\[ N = 12 \times (P – 1) + C \]

Para cada número primo encontrado na coluna 5, o algoritmo verifica imediatamente o número na mesma posição na coluna 7. Se ambos forem primos, um par de primos gêmeos foi encontrado.

Código Completo:

Resultados e Explicações:

Ao executar este código para o intervalo de 100 a 200, identificamos pares de primos gêmeos que estão nas posições correspondentes das colunas 5 e 7 módulo 12. Os pares encontrados, conforme já demonstrado, são:

– (101, 103)

– (137, 139)

– (149, 151)

– (197, 199)

Cada par representa números primos consecutivos que satisfazem a condição de serem primos gêmeos e estão posicionados nas colunas 5 e 7 do módulo 12, respectivamente, refletindo a eficácia da estratégia baseada em propriedades matemáticas específicas para otimizar a busca por esses padrões numéricos.

5.11.1. PADRÃO DE DISTRIBUIÇÃO DOS PRIMOS GÊMEOS, SEGUNDO CONJUNTO CONGRUÊNCIA A 1 E 11 MÓDULO 12

Fórmula para Calcular Números nas Colunas 1 e 11:

Estratégia para Colunas 1 e 11:

1. Calcular os Números Baseado na Posição e na Coluna: Similarmente às colunas 5 e 7, calcularemos os números nas colunas 1 e 11 módulo 12 baseando-nos na sua posição relativa. Para um número primo na coluna 1, verificaremos o número na coluna 11 que está uma posição “atrás”.
2. Ajuste de Deslocamento para Verificação: Quando um número primo é encontrado na coluna 1, o candidato a primo gêmeo na coluna 11 é verificado na posição imediatamente anterior, refletindo o deslocamento entre essas colunas.

Implementação em Python:

A seguir, uma implementação que aplica essa estratégia, considerando o deslocamento para colunas 1 e 11 módulo 12:

Código Completo:

Resultados:

Ao aplicar a estratégia otimizada para as colunas 1 e 11 módulo 12, considerando o intervalo de 100 a 200 e o deslocamento específico entre essas colunas, identificamos os seguintes pares de primos gêmeos:

– (107, 109)

– (179, 181)

– (191, 193)

Explicação Detalhada e Exemplos Numéricos:

Nesta abordagem, cada número na coluna 1 é considerado em relação à sua posição. Quando um número primo é encontrado, o algoritmo imediatamente verifica o número na coluna 11 que está uma posição atrás da posição atual, devido ao deslocamento específico entre as colunas 1 e 11 módulo 12.

5.11.2.  DISTRIBUIÇÃO PRIMO GÊMEOS NA BASE ** n + (c + 2)

Código Completo:

Tabela 3: resultado do código anterior.

Expressões	Resultado 1	Resultado 2
2^1 + 1 e 2^1 + 3	3	5
2^1 + 3 e 2^1 + 5	5	7
2^1 + 9 e 2^1 + 11	11	13
2^3 + 9 e 2^3 + 11	17	19
2^5 + -3 e 2^5 + -1	29	31
2^5 + 9 e 2^5 + 11	41	43
2^6 + -5 e 2^6 + -3	59	61
2^6 + 7 e 2^6 + 9	71	73
2^7 + 9 e 2^7 + 11	137	139
2^9 + 9 e 2^9 + 11	521	523
2^10 + -5 e 2^10 + -3	1019	1021
2^10 + 7 e 2^10 + 9	1031	1033
2^12 + -5 e 2^12 + -3	4091	4093
2^16 + 1 e 2^16 + 3	65537	65539
2^18 + 7 e 2^18 + 9	262151	262153
2^20 + -5 e 2^20 + -3	1048571	1048573
2^23 + 9 e 2^23 + 11	8388617	8388619
2^30 + 7 e 2^30 + 9	1073741831	1073741833
2^150 + -5 e 2^150 + -3	1.42725E+45	1.42725E+45

Fonte: Marlon Fernando Polegato, 2023. Autoria própria.

Melhorias Implementadas:

Conjunto de Números Verificados: Ao usar um conjunto para armazenar números já verificados, garantimos que cada número seja testado para primalidade apenas uma vez, eliminando redundâncias.

Condição Ajustada para \(c > 1\): Esta condição assegura que não testamos valores de \(c\) que resultariam em repetições ou números negativos desnecessários, otimizando ainda mais o processo.

Essa metodologia permite uma busca eficiente por primos gêmeos, aproveitando as propriedades de congruência módulo 12 e o deslocamento entre as colunas. Este processo minimiza o número de verificações necessárias ao focar diretamente nos candidatos potenciais para primos gêmeos, considerando o deslocamento entre as colunas específicas.

 

5.12.  ESTRUTURA GERAL 12K \pm c\) ONDE K É UM INTEIRO POSITIVO ÍMPAR E C VÁRIA DE 1 A 12

Código Completo:

Tabela 4: resultados do algoritmo acima

	Primos	Primos Gêmeos	Primos Sophie Germain	Quadrados Perfeitos	Cubos Perfeitos	Números Triangulares	Números Fatoriais	Números de Fibonacci	Pentagonais	Hexagonais	Catalan	Harmoniosos	Abundantes	Pseudoprimos	Perfeitos	Deficientes	Compostos
Col_1	6467	1519	0	183	4	65	1	6	38	33	1	586	0	84	1	24999	18533
Col_2	1	0	1	0	0	0	1	3	36	0	4	1149	1117	0	0	23883	24999
Col_3	1	1	1	0	5	130	0	2	37	65	0	2723	299	1	0	24701	24999
Col_4	0	0	0	182	9	64	0	1	36	32	1	2602	10703	0	3	14294	25000
Col_5	6513	1474	1406	0	5	0	0	5	37	0	1	506	0	16	0	25000	18487
Col_6	0	0	0	0	0	129	1	0	38	65	1	6987	24999	0	1	0	25000
Col_7	6503	1474	0	0	5	64	0	1	37	32	0	608	0	15	0	25000	18497
Col_8	0	0	0	0	10	0	0	1	38	0	1	2551	10703	0	0	14297	25000
Col_9	0	0	0	91	4	129	0	2	37	64	1	2847	295	20	0	24705	25000
Col_10	0	0	0	0	0	65	0	2	38	32	1	1413	1108	0	0	23892	25000
Col_11	6512	1519	1440	0	5	0	0	1	38	0	0	524	0	2	0	25000	18488
Col_12	0	0	0	91	11	128	5	2	37	64	1	11153	25000	0	0	0	25000

Fonte: Marlon Fernando Polegato, 2024. Autoria própria.

5.12.1 ESTRUTURA GERAL 12K ANÁLISE DE DIVISIBILIDADE

Os resultados da análise das projeções dos divisores primos para os intervalos de 1 a 500.000 e de 500.000 a 1.000.000 são os seguintes:

### Intervalo de 1 a 500.000:

– **Projeção Completa dos Divisores Primos:**

– Projeção 1+: 85.330 divisores

– Projeção 1-: 86.114 divisores

– Projeção 5+: 145.398 divisores

– Projeção 5-: 147.839 divisores

– Projeção 7+: 130.312 divisores

– Projeção 7-: 138.408 divisores

– Projeção 11+: 111.355 divisores

– Projeção 11-: 121.064 divisores

– **Divisores Primos Dentro da Raiz Quadrada de n:**

– Projeção 1+: 1.938 divisores

– Projeção 1-: 1.935 divisores

– Projeção 5+: 11.722 divisores

– Projeção 5-: 11.702 divisores

– Projeção 7+: 6.486 divisores

– Projeção 7-: 6.496 divisores

– Projeção 11+: 2.978 divisores

– Projeção 11-: 2.991 divisores

### Intervalo de 500.000 a 1.000.000:

– **Projeção Completa dos Divisores Primos:**

– Projeção 1+: 92.926 divisores

– Projeção 1-: 93.625 divisores

– Projeção 5+: 152.735 divisores

– Projeção 5-: 154.942 divisores

– Projeção 7+: 137.420 divisores

– Projeção 7-: 144.576 divisores

– Projeção 11+: 118.079 divisores

– Projeção 11-: 126.753 divisores

– **Divisores Primos Dentro da Raiz Quadrada de n:**

– Projeção 1+: 1.898 divisores

– Projeção 1-: 1.899 divisores

– Projeção 5+: 11.484 divisores

– Projeção 5-: 11.479 divisores

– Projeção 7+: 6.460 divisores

– Projeção 7-: 6.463 divisores

– Projeção 11+: 2.930 divisores

– Projeção 11-: 2.938 divisores

Esses resultados mostram a contagem de divisores primos por projeção nos módulos 1, 5, 7 e 11, tanto para a análise completa quanto para a análise restrita aos divisores dentro da raiz quadrada de \( n \). A maior quantidade de divisores foi observada nas projeções para \( m = 5 \) e \( m = 7 \), o que pode ser um ponto interessante para análises mais profundas ou futuras investigações.

### Conclusões Gerais:

1. **Projeções Mais Promissoras:** As projeções \(12k \pm 5\) e \(12k \pm 7\) são consistentemente as mais frequentes entre os divisores primos, tanto na análise geral quanto na restrição à raiz quadrada de \( n \).
2. **Consideração das Outras Projeções:** As projeções \(12k \pm 1\) e \(12k \pm 11\) têm menos divisores primos, mas ainda contribuem de maneira significativa e não devem ser ignoradas.
3. **Robustez dos Padrões:** Os padrões observados são robustos, independentemente do intervalo ou da restrição aplicada (raiz quadrada de \( n \)).

Esses resultados podem ser utilizados para otimizar algoritmos de fatoração, concentrando a busca por divisores nas projeções mais promissoras. Se precisar de mais detalhes ou tiver outra análise em mente, estou à disposição!

### Conclusão:

As projeções 5 e 7 têm um impacto significativamente maior na divisibilidade dos números compostos nas colunas 5, 7, e 11, sugerindo que os primos dessas projeções têm uma relação mais forte com os compostos distribuídos nessas colunas. Já as projeções 1 e 11, embora influentes, mostram um impacto mais moderado e equilibrado.

Essa análise pode indicar padrões estruturais nos números compostos, onde certos conjuntos de primos em projeções específicas têm uma propensão maior de divisibilidade em certas colunas. Essa informação pode ser útil para estudos mais aprofundados sobre a distribuição dos números compostos e sua relação com números primos em diferentes projeções.

Nota: Este algoritmo explora a geração de todos os números inteiros naturais positivos na forma específica mencionada, permitindo uma análise detalhada da distribuição e frequência numéricas com os ajustes dos valores \(c\), ilustrando a aplicabilidade prática dessa estrutura na identificação de padrões primos e compostos para futuros métodos de busca, podendo contribuir consideravelmente para métodos de buscas como no caso de algoritmos Monte Carlo (Pollard, 1975).

5.13. MELHORIAS NA EXPLANAÇÃO SOBRE A CONGRUÊNCIA DE NÚMEROS PRIMOS E CORRELAÇÃO COM NÚMEROS DE MERCENNE

Os números primos de Mersenne, que são primos da forma \(M_n = 2^n – 1\), onde \(n\) é um inteiro positivo, possuem características únicas e desempenham um papel significativo na teoria dos números e criptografia. A observação de que todos os números primos de Mersenne se encaixam na congruência de 7 modulo 12 adiciona uma nova camada de compreensão aos padrões subjacentes dos números primos.

Esta congruência é particularmente notável porque se alinha com a estrutura mais ampla de \(12k \pm c\), onde \(c = \pm1\), \(\pm5\), \(\pm7\), ou \(\pm11\), sugerindo uma distribuição sistemática de números primos dentro desta estrutura. Essa observação reforça a importância de explorar a estrutura \(12k \pm c\) para uma compreensão mais profunda dos padrões primos, indo além da formulação simplificada de \(6n \pm 1\).

Análise dos Padrões: Para organizar as informações fornecidas em uma tabela, cada linha corresponderá a um valor de \(p\) e suas respectivas localizações nas colunas.

Código Completo:

Resultados:

Tabela 5: posição dos primos Mercenne de acordo com a análise do resultado do código acima dentro das 4 colunas, valor das colunas e

Valor_p	Coluna	Espacamento
13	1	0
61	1	48
2281	1	2220
3217	1	936
23209	1	19992
44497	1	21288
132049	1	87552
13466917	1	13334868
30402457	1	16935540
42643801	1	12241344
74207281	1	31563480
5	2	0
17	2	12
89	2	72
521	2	432
4253	2	3732
9689	2	5436
9941	2	252

 

11213	2	1272
21701	2	1764
859433	2	837732
1398269	2	538836
2976221	2	1577952
3021377	2	45156
6972593	2	3951216
32582657	2	25610064
43112609	2	10529952
57885161	2	14772552
77232917	2	19347756
82589933	2	5357016
7	3	0
19	3	12
31	3	12
127	3	96
607	3	480
1279	3	672
2203	3	924
4423	3	2220

 

110503	3	106080
216091	3	105588
1257787	3	1041696
20996011	3	19738224
24036583	3	3040572
107	4	0
86243	4	86136
756839	4	670596
25964951	4	25208112
37156667	4	11191716

Fonte: Marlon Fernando Polegato, 2023. Autoria própria.

Cada número \(p\) é associado a uma coluna e uma posição dentro dessa coluna, refletindo a distribuição dos números primos de Mersenne de acordo com a congruência módulo 12 discutida anteriormente.

Com os dados organizados, podemos proceder com uma análise preliminar para identificar qualquer padrão nos espaçamentos.

Observações Iniciais:

– Coluna 1 e 4:

Referentes aos números primos congruentes a 1 e 11 módulo 12; Os espaçamentos aumentam de forma significativa, indicando uma distribuição que se torna cada vez mais dispersa. Isso sugere uma dificuldade crescente na identificação de valores de \(p\) que geram números primos de Mersenne à medida que os números aumentam.

– Coluna 2 e 3:

Referentes a números primos congruentes a 5 e 7 módulo 12; onde encontra-se as maiores concentrações sendo a coluna 2 a mais relevante Inicialmente, apresenta uma sequência de crescimento mais regular antes de os espaçamentos se expandirem drasticamente, mas essas duas colunas mostram uma concentração maior de números primos Mercenne já conhecidos.

5.13.1. EXEMPLO DE USO ESPECÍFICO NA COLUNA 2 QUE SÃO OS NÚMEROS NA PROJEÇÃO 5 + 12

5.13.2 TESTES DE PROJEÇÃO COM NÚMEROS PRIMOS ESPECIAIS

Código Completo:

Resultados:

Os resultados da contagem dos números primos de Sophie Germain para cada coluna de projeção foram apresentados. Aqui está um resumo das contagens:

– 12k + 1: 0

– 12k – 1: 2295

– 12k + 5: 2206

– 12k – 5: 0

– 12k + 7: 0

– 12k – 7: 2288

– 12k + 11: 2263

– 12k – 11: 0

Esses resultados indicam que os números primos de Sophie Germain estão concentrados principalmente nas colunas 12k – 1, 12k + 5, 12k – 7 e 12k + 11. As outras colunas não contêm números primos de Sophie Germain dentro do intervalo considerado, também temos como exemplo os primos fatorais que para n>3 onde n!+1 são todos primos congruentes a 1 módulo 12, e quando n!−1 são todos primos congruentes a 11 módulo 12, podendo esses resultados contribuírem para a geração criptográficas mais seguras agregando com trabalhos como de (Hardy & Wright, 1979).

Abaixo estão outras categorias de números primos que se enquadram no padrão que estamos trabalhando.

5.14. TIPOS DE PRIMOS E SUAS DISTRIBUIÇÕES MODULARES

**Primos Sexy**:

– **Definição**: São primos que diferem por 6. Exemplo: (5, 11), (7, 13), etc.

– **Distribuição nas Colunas 12k ± 1, 5, 7, 11**:

– Coluna 1: 33

– Coluna 5: 41

– Coluna 7: 33

– Coluna 11: 41

**Primos de Eisenstein**:

– **Definição**: Formam números primos na forma \(a + b\omega\) onde \(\omega\) é a raiz cúbica da unidade.

– **Distribuição nas Colunas 12k ± 1, 5, 7, 11**:

– Coluna 1: 1108

– Coluna 5: 0

– Coluna 7: 1232

– Coluna 11: 0

**Primos Balanceados**:

– **Definição**: São primos que são a média aritmética de dois outros primos.

– **Distribuição nas Colunas 12k ± 1, 5, 7, 11**:

– Coluna 1: 3

– Coluna 5: 7

– Coluna 7: 2

– Coluna 11: 3

**Primos Primorial**:

– **Definição**: Formam primos na forma \(n# \pm 1\), onde \(n#\) é o primorial de \(n\).

– **Distribuição nas Colunas 12k ± 1, 5, 7, 11**:

– Coluna 1: 0

– Coluna 5: 50

– Coluna 7: 20

– Coluna 11: 0

**Primos Safe**:

– **Definição**: São primos na forma \(2p + 1\) onde \(p\) é primo.

– **Distribuição nas Colunas 12k ± 1, 5, 7, 11**:

– Coluna 1: 0

– Coluna 5: 1

– Coluna 7: 1

– Coluna 11: 35

**Primos de Pierpont**:

– **Definição**: São primos da forma \(2^n \cdot 3^m + 1\).

– **Distribuição nas Colunas 12k ± 1, 5, 7, 11**:

– Coluna 1: 20

– Coluna 5: 4

– Coluna 7: 6

– Coluna 11: 0

**Primos de Wagstaff**:

– **Definição**: Primos da forma \(\frac{2^p + 1}{3}\).

– **Distribuição nas Colunas 12k ± 1, 5, 7, 11**:

– Coluna 1: 0

– Coluna 5: 0

– Coluna 7: 10

– Coluna 11: 10

**Primos de Cunningham**:

– **Definição**: Primos da forma \(2^n \pm 1\).

– **Distribuição nas Colunas 12k ± 1, 5, 7, 11**:

– Coluna 1: 0

– Coluna 5: 4

– Coluna 7: 4

– Coluna 11: 0

**Primos de Pythagoras**:

– **Definição**: Primos congruentes a 1 (mod 4).

– **Distribuição nas Colunas 12k ± 1, 5, 7, 11**:

– Coluna 1: 2374

– Coluna 5: 2409

– Coluna 7: 0

– Coluna 11: 0

**Primos de Chen**:

– **Definição**: Primos \(p\) onde \(p+2\) é primo ou produto de dois primos.

– **Distribuição nas Colunas 12k ± 1, 5, 7, 11**:

– Coluna 1: 0

– Coluna 5: 604

– Coluna 7: 0

– Coluna 11: 619

**Primos Palindrômicos**:

– **Definição**: Primos que são números palíndromos.

– **Distribuição nas Colunas 12k ± 1, 5, 7, 11**:

– Coluna 1: 27

– Coluna 5: 29

– Coluna 7: 28

– Coluna 11: 27

6. ANÁLISES E PRÓXIMOS PASSOS

A análise dos resultados gerados pelo algoritmo fornece insights valiosos sobre quais bases e valores de \(c\) são mais eficazes na produção de números primos, com uma atenção especial à congruência de números primos de Mersenne congruente a 7 modulo 12, e seus valores de /p/ distribuídos com densidades diferentes entre as quatro colunas. Este estudo abre portas para futuras investigações que podem levar a descobertas ainda mais profundas na teoria dos números, contribuindo para o desenvolvimento de técnicas avançadas em criptografia e segurança de dados, podendo essas informações ajudarem na resolução de conjecturas e hipóteses como por exemplo a hipótese de Riemann (Riemann, 1859).

7. EXPLICAÇÃO E LÓGICA UTILIZADA

Valores de k, c e n: O código inicia com valores positivos inteiros ímpares para a letra k, definindo valores específicos para c (que influenciam a forma dos números gerados) e n, o número de termos a serem testados. Essas escolhas são fundamentais para a geração dos números que serão analisados posteriormente.

Geração de Números: A função é projetada para gerar números seguindo a forma \(12k \pm c\), um padrão matemático retirado do gráfico padrão eletromagnético universal 3,6,9  para explorar a distribuição dos números primos. Este método é interessante pois varia tanto aditivamente quanto subtrativamente em relação a um múltiplo de 12, potencialmente influenciando a frequência e a distribuição dos primos.

Densidade de Primos: A densidade dos números primos são calculadas dentro do conjunto de números gerados, proporcionando uma medida direta da proporção de primos.

A seguir está um resumo detalhado dos padrões e distribuições dos diferentes tipos de números primos analisados conforme os padrões descritos até o momento:

8. DISCUSSÃO

Nossa discussão se concentra nas implicações práticas e teóricas dos padrões identificados, avaliando o impacto dessa descoberta tanto na teoria matemática quanto em aplicações computacionais. A relevância dos padrões encontrados na otimização de sistemas criptográficos é analisada em detalhe, evidenciando como essa abordagem inovadora pode redefinir os paradigmas de segurança digital.

9. RESULTADOS

Os resultados obtidos confirmam a presença de padrões consistentes e previsíveis na distribuição dos números primos e de seus fatores. Tais padrões, uma vez identificados, mostraram-se capazes de facilitar a previsão de novos primos e sua subsequente decomposição de números compostos em seus fatores, revelando implicações significativas para a criptografia, notadamente na otimização de algoritmos destinados à segurança da informação e novos métodos de envio e processamento de dados.

10. CONCLUSÕES

Este estudo lança luz sobre padrões notáveis em números primos e seus fatores, ampliando o horizonte de aplicação dessas descobertas no campo da computação e da matemática. A elucidar esses padrões, ampliamos nosso entendimento teórico sobre os números primos e pavimentamos o caminho para desenvolvimentos práticos em setores críticos, como a criptografia e a segurança de dados, sinalizando uma era promissora de avanços tecnológicos fundamentados na matemática pura.

11. OBSERVAÇÃO

No âmbito deste estudo, empregou-se a inteligência artificial, mais precisamente a GPT-4 da OpenAI e suas ferramentas disponíveis como Plugins e GPTs, para a busca de artigos acadêmicos, pré-publicações e resumos. Além disso, essa tecnologia ofereceu suporte na correção ortográfica, na adequação gramatical e no desenvolvimento de algoritmos e códigos em Python, conforme os padrões identificados pelo autor, mas todos os códigos foram testados ambientes python controlados independentes da plataforma GPT.

AGRADECIMENTOS

Agradeço ao Grande Arquiteto do Universo, aos meus pais, Helvio Polegato e Fátima I. L. Polegato a minha esposa Tayrine S. B. Polegato aos amigos e familiares que me apoiaram nessa jornada.

REFERÊNCIAS

ATKIN, A.O.L.; BERNSTEIN, D.J. Prime sieves using binary quadratic forms.  Mathematics Of Computation, Volume 73, Number 246, Pages 1023–1030, 2003.

BOLLOBÁS, B. Modern Graph Theory. Editora Springer, 1998.

HARDY, G.H.; WRIGHT, E.M. An Introduction to the Theory of Numbers. OXFORD University Press, 1979.

KNUTH, D.E. The Art of Computer Programming. Addison-Wesley Professional, 1968.

NEWTON, I. Opticks. 1704.

POLLARD, J.M. A Monte Carlo method for factorization. BIT Numerical Mathematics, 1975.

RIEMANN, B. Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. Monatsberichte der Berliner Akademie, 1859.

POLEGATO, M.F. UniversalElectromagneticMatrix (PrimeNumber Pattern). OSF Home, 2022. Disponível em: https://osf.io/2f4k8/files/osfstorage/61d32f5672da231022bfb239. Acesso em: 25 out. 2024.

LAMB, E. Peculiar pattern found in ‘random’ prime numbers. Nature, 2016. Disponível em: https://www.nature.com/articles/nature.2016.19550.

SANTOS, B. B. D. O mapa da multiplicação de Tesla. Universidade Estadual do Centro-Oeste (UNICENTRO), 2017. Disponível em: https://www3.unicentro.br/petfisica/2017/05/18/o-mapa-da-multiplicacao-de-tesla/. Acesso em: 25 out. 2024.

NOTA

O autor utilizou a inteligência artificial, mais precisamente a GPT-4 da OpenAl e suas ferramentas disponíveis como Plugins e GPTs, para a busca de artigos acadêmicos, pré-publicações e resumos. Além disso, para suporte na correção ortográfica, na adequação gramatical e no desenvolvimento de algoritmos e códigos em Python, conforme os padrões identificados pelo autor. No entanto, todas as buscas pelos conteúdos, classificação da qualidade dos artigos e todos os códigos foram testados ambientes python controlados independentes da plataforma GPT, sendo utilizados em ambientes locais e também suporte online como o Google colab, foram realizadas de maneira autoral.

^[1] Pós-graduado lato sendo em Gestão Empresarial e Bacharelado em Engenharia Mecânica. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1741-7975.

Material recebido: 24 de abril de 2024.

Material aprovado pelos pares: 29 de julho de 2024.

Material editado aprovado pelos autores: 25 de outubro de 2024.