Matrizes e as Transformações Geométricas

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SANTOS, Antonio Sérgio Florindo dos [1]

SANTOS, Antonio Sérgio Florindo dos. Matrizes e as Transformações Geométricas. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Edição 04. Ano 02, Vol. 01. pp 208-2018, Julho de 2017. ISSN:2448-0959

RESUMO

Diante da grande dificuldade no ensino da Matemática, buscaremos com este trabalho mostrar caminhos que proporcionem, em especial ao ensino das Matrizes, aulas atrativas e dinâmicas, tendo em vista que o conteúdo de Matrizes é apresentado, muitas vezes, de forma mecânica e sistemática, sem apresentar nenhum convencimento sobre o motivo ou a origem das formas apresentadas nas suas operações. Este estudo é voltado à utilização do software geogebra, como recurso no processo ensino aprendizagem da matemática, no qual o aluno tem a oportunidade de comparar o ensino tradicional (aulas expositivas e estáticas) com um ensino dinâmico e participativo, em que os mesmos são levados a criar, explorando seu raciocínio e sua criatividade. O objetivo principal deste estudo é proporcionar novos caminhos na busca de um ensino de qualidade, voltado para o aluno, capaz de superar as barreiras naturais e históricas no ensino aprendizagem da matemática, apresentando uma reflexão sobre a sequência didática para o estudo das matrizes a partir das transformações geométricas.

Palavras-Chave: Matrizes, Transformações Geométricas, Geogebra.

1. INTRODUÇÃO

Segundo pesquisa realizada pela Fundação Getúlio Vargas – FGV-RJ, coordenada pelo economista Marcelo Neri, mostra que, apesar de estudos demonstrarem que a Educação tem um impacto na qualidade de vida e na renda dos indivíduos, em 2006, 17,8% de jovens entre 15 e 17 anos estavam fora da escola. De acordo com a pesquisa, 40% deles evadem simplesmente porque acredita que a escola é desinteressante e em segundo lugar a necessidade de trabalhar, com 27% das respostas. Para Marcelo Neri: “O que a pesquisa está mostrando é que n­ã­o basta garantir o acesso ou criar programas de transferência de renda para assegurar que esse jovem permaneça na escola, é preciso torná-la mais atrativa, interessante e cativante”.

Não podemos ficar parados diante dessa crise na educação e ensinarmos do mesmo modo que nos foi ensinado no passado.

No mundo globalizado e informatizado em que vivemos, o professor de matemática precisa incorporar nas suas aulas instrumentos que despertem a atenção e o interesse do aluno, promovendo, assim, aulas mais dinâmicas e atrativas.

Esse estudo visa à utilização de softwares na potencialização do ensino aprendizagem em matemática, de forma significativa e divertida para o aluno. Em especial, trataremos da aplicação do software Geogebra no ensino das Matrizes e suas aplicações, possibilitando o estudo de transformações geométricas simples (rotações, translações, dilatação, contrações, dentre outras) que podem ser, possivelmente, trabalhados no Ensino Médio, oportunizando a exploração a noção de matrizes e suas operações.

2. SOFTWARES EDUCATIVOS E O ENSINO DA MATEMÁTICA

Muito se tem falado sobre os softwares no ensino da Matemática, mas ainda é tímida sua utilização como recurso pedagógico. Segundo a Avaliação do Plano Nacional de Educação 2001-2008, a utilização das mídias educativas nas escolas brasileiras tem se dado de forma muito tímida, porque as escolas com acesso a essas mídias, em sua maioria, não sabem como integrá-las ao seu projeto político pedagógico. Encontrando ainda, a resistência de muitos professores na utilização desses recursos.

O professor deve melhorar suas competências e atualizar-se na utilização dessas novas Tecnologias de Informação e Comunicação na Educação.

Para Tarouco (et al., 2004), a importância do uso dos computadores e das novas tecnologias na educação deve-se não somente ao impacto desta ferramenta na nossa sociedade e às novas exigências sociais e culturais que se impõem, mas também ao surgimento da Tecnologia Educativa. Eles começaram a ser utilizados no contexto educativo a partir do rompimento com o paradigma tradicional e surgimento do construtivismo, que enfatiza a participação e experimentação do sujeito na construção de seu próprio conhecimento, através de suas interações.

O computador não se constitui apenas como uma ferramenta com propósitos educacionais e de práticas pedagógicas, mas também como estímulo e compreensão de mundo.

Segundo Romero, na sua concepção acerca do ensino com o auxílio de softwares em sala de aula:

A tecnologia, especificamente os softwares educacionais disponibiliza oportunidade de motivação e apropriação do conteúdo estudado em sala de aula, uma vez que em muitas escolas de rede pública e particular, professores utilizam recursos didáticos como lousa e giz para ministrarem suas aulas, este é um dos diversos problemas que causam o crescimento da qualidade não satisfatória de ensino, principalmente na rede estadual. (ROMERO, 2006, 1).

Romero (2006) salienta que “ensinar Matemática é desenvolver o raciocínio lógico, estimulando a criatividade e capacidade de resolver problemas, assim como procurar alternativas para aumentar a motivação pela aprendizagem, desenvolver a organização, concentração e a atenção dos estudantes em sala de aula”.

3. SURGIMENTO DAS MATRIZES

Sabemos que “existem indícios que as matrizes surgiram no século II a.C. com os babilônios que estudavam problemas e buscaram técnicas para a solução de sistemas lineares de duas variáveis e de duas equações por volta de 300 a.C. e preservaram esses problemas em tabletes de argila. Mas, por volta de 200 a.C. e 100 a.C., os chineses conseguiram chegar bem mais perto das matrizes com o texto “Nove Capítulos da Arte Matemática” que foi escrito durante a dinastia Han que contém o primeiro exemplo conhecido de método de matrizes”. (SANTOS, 2013, p.12).

Mas, segundo Kilhian (2010), o início da teoria das matrizes remonta a um artigo de Cayley em 1855. Nesse artigo Cayley fez questão de salientar que, embora logicamente a ideia de matrizes preceda a de determinante, historicamente ocorreu o contrário, de fato, os determinantes já eram usados há muitos anos na solução de sistemas lineares.

4. GEOMETRIA DINÂMICA

As mudanças e as transformações que o mundo vem sofrendo nos últimos anos, principalmente no que diz respeito às TICs são muito rápidas. Segundo Silva (2009) “essa velocidade com que a tecnologia avança causa a obsolescência dos objetos e do próprio conhecimento”. De acordo com Lévy (1999), a maioria das competências adquiridas por uma pessoa no início de seu percurso profissional estará obsoleta no final de sua carreira.

A grande evolução da informação e dos novos conceitos da geometria traz oportunidade de empregar novos recursos tecnológicos para o ensino, motivando ainda mais os alunos e propiciando melhoria no processo de aprendizagem (SCHMIDT, 2002, p. 4).

De acordo com Moraes (1996, p. 105 apud XAVIER 2000, p.28)

O novo senário cibernético, informático e informacional não vem marcando apenas o nosso cotidiano através das modificações socioeconômicas e culturais, mas também, vem mudando a maneira como pensamos, conhecemos e apreendemos o mundo. Isso porque a nova cidadania da cultura informatizada requer a aquisição de hábitos intelectuais de simbolização, formalização de conhecimento, manejo de signos, representações, utilizando equipamentos computacionais.

Para Penteado (2001) engajar-se em trabalhos que fazem uso de tecnologia de informática é algo como sair de uma zona de conforto proporcionada pela previsibilidade e o controle da situação, em que para atuar numa zona de risco se faz necessária uma avaliação constante das ações propostas.

Para Borba e Penteado (2001)

Ao caminhar em direção à zona de risco, o professor pode usufruir o potencial que a tecnologia informática tem a oferecer para aperfeiçoar sua prática profissional. Aspectos como incerteza e imprevisibilidade, geradas num ambiente informatizado, podem ser vistos como possibilidades para desenvolvimento […] do aluno, desenvolvimento do professor, desenvolvimento das situações de ensino aprendizagem (p.63).

Diante dos fatos, é preciso que o professor abrace essa causa, e estabeleça a ligação das TIC’s com o processo ensino aprendizagem. Como afirma SILVA (2009) “a necessidade de estudos e pesquisas envolvendo vários temas. Um desses temas é o trabalho com softwares de Geometria Dinâmica (GD) aliado ao desenvolvimento de atividade investigativa”.

5. TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS

As transformações geométricas há algum tempo são fortemente sugeridas pelos PCNs como tema de abordagem desde as séries finais do Ensino Fundamental e Médio e, no entanto, as mesmas são quase esquecidas, inclusive pelos livros didáticos, que apenas recentemente resolveram abordar o assunto, mas ainda de forma muito superficial, afirma Stormowski (2008, p. 2).

Barbosa (2013) afirma que “as transformações geométricas se apresentam como recurso ideal para dar significado geométrico às matrizes e às suas operações. Conteúdo que, em geral, é estudado de forma bastante mecânica, privilegiando os métodos algébricos” (BARBOSA, 2013, p.19).

Stormowski (2008) afirma também que as transformações geométricas possibilitam uma ampliação sobre os assuntos tratados na Geometria, que muitas vezes fica restrita ao cálculo de área de superfícies e volumes de sólidos. “Ao mesmo tempo propicia uma abordagem que relaciona geometria e álgebra, tópicos que quase sempre são estudados de forma muito estanque no colégio, indo de encontro ao estudo compartimentado da matemática” (STORMOWSKI, 2008, p. 3).

Segundo Santos (2013), o uso do computador possibilita a interatividade, a qual concretiza a ação mental do aluno, mostrando-as na tela do computador, possibilitando que ele manipule os objetos pensados. Assim, os alunos podem fazer diversas representações, as quais representam diferentes ideais, o que possibilita uma melhor exploração dos conceitos matemáticos (SANTOS 2013, p. 36).

6. HABERDASHER’S PUZZLE

Existem diversos quebra-cabeças matemáticos que podem ser usados explorando as transformações geométricas (translação, rotação, entre outras) na sua construção, utilizando ambientes da geometria dinâmica.

Esta atividade, propõe o uso do GeoGebra para explorar a construção dinâmica de um quebra-cabeças geométrico criado por Henry Dudeney [2] em 1902: o Haberdasher’s Puzzle.  O quebra-cabeça consiste em realizar diversos cortes retilíneos em um triângulo equilátero para montar um retângulo com os pedaços recortados, figura 1.

 Ilustração do Haberdasher’s Puzzle
Figura 1 – Ilustração do Haberdasher’s Puzzle

No Haberdasher’s Puzzle, para a montagem do retângulo é necessário obter pedaços com quatro ângulos retos para os quais são suficientes três cortes retilíneos. Esses cortes, dividem o triângulo equilátero em três pedaços quadrangulares e um pedaço triangular.

A seguir é apresentado um tutorial para construção do Haberdasher’s Puzzle no software GeoGebra.

  1. Crie os pontos A = (0,0) e B = (6,0).
  2. Insira a matriz rotação R = {{cos (60o), -sin(60o)},{sin(60o), cos(60o)}}.

Observação: o símbolo o da unidade de graus deve ser selecionado na caixa de escolha logo ao lado do campo de Entrada.

  1. Defina o ponto C = R*B.
  2. Crie o segmento a = Segmento [B, C].
  3. Crie o segmento b = Segmento [A, C].
  4. Crie o segmento c = Segmento [A, B].

Observação: desabilitar a exibição dos rótulos dos segmentos a, b e c.

  1. Defina o ponto médio D = PontoMédio [B, C].
  2. Defina o ponto médio E = PontoMédio [A, C].
  3. Defina o ponto F = Ponto [Segmento [A, PontoMédio [A, B]]].

Observação: provavelmente o ponto F será criado sobre o ponto A, movimente-o para próximo do vértice A.

  1. Crie o ponto G = F + Vetor [A, B]/2.
  2. Digite corte1 = Segmento [F, D] na Entrada de Comando e desabilite exibição de rótulo.
  3. Defina o ponto H = Interseção [corte1, Perpendicular [G, corte1]]].
  4. Crie o corte2 = Segmento [G, H] e desabilite Exibir Rótulo.
  5. Defina o ponto I = Interseção [corte1, Perpendicular [E, corte1]]].
  6. Crie o corte3 = Segmento [E, I] e clique em desabilitar exibição de rótulo.
  7. Defina o pedaço1 = Polígono [C, D, I, E], renomear seus lados de c_1, c_2, c_3 e c_4 e em seguida selecione em propriedade cor: Vermelho.
  8. Modifique as propriedades/estilo das linhas c_1, c_2, c_3 e c_4 para pontilhado e desmarque Exibir Rótulo.
  9. Defina o pedaço2 = Polígono [B, D, H, G], denominando seus lados de d_1, d_2, d_3 e d_4 e em seguida selecione em propriedade cor: Azul.
  10. Modifique as propriedades/estilo das linhas d_1, d_2, d_3 e d_4 para pontilhado e desmarque Exibir Rótulo.
  11. Construa um seletor de ângulo α, ferramenta F11: Controle deslizante, variando de 0o a 180o.
  12. Selecionando o pedaço2, defina propriedade, Avançado: condição para exibir objeto, para α = 0o.

Dica: o símbolo de graus não pode ser digitado pelo teclado, deve ser selecionado na janela de símbolos no canto direito, figura 2.

Condição para exibir objeto
Figura 2 – Condição para exibir objeto
  1. Defina o pedaço3 = Polígono [A, E, I, F], denominando seus lados de e_1, e_2, e_3 e e_4 e em seguida selecione em propriedade cor: Verde.
  2. Modifique as propriedades/estilo das linhas e_1, e_2, e_3 e e_4 para pontilhado e desmarque Exibir Rótulo.
  3. Selecionando o pedaço3, defina propriedade, Avançado: condição para exibir objeto, para α = 0o.
  4. Defina o pedaço4 = Polígono [F, G, H], denominando seus lados de f_1, f_2, f_3 e f_4 e em seguida selecione em propriedade cor: Amarelo.
  5. Modifique as propriedades/estilo das linhas f_1, f_2, f_3 e f_4 para pontilhado e desmarque Exibir Rótulo.
  6. Selecionando o pedaço4, defina propriedade, Avançado: condição para exibir objeto, para α < 180o.
  7. Na ferramenta F8: Ângulo com amplitude fixa será criado um ponto fixo D de modo que pedaço2 gire em função do ângulo correspondente do seletor α. Clique no B e em seguida no ponto D, que será o centro e então defina o ângulo α escolhendo a opção sentido anti-horário e dê OK. Será criado um novo ponto B’.

Faça o mesmo com os pontos G e H criando os pontos G’ e H’.

  1. Construa o polígono dos pontos D, B’, G’ e H’. Denomine-o de pedaço5 e seus seguimentos de g_1, g_2, g_3 e g_4 selecionando sua cor em Azul. Defina propriedade Avançado: condição para exibir objeto, para α = 180o.
  2. Na ferramenta F8: Ângulo com amplitude fixa será criado um ponto fixo E de modo que pedaço3 gire em função do ângulo correspondente do seletor α. Clique no ponto A e em seguida no ponto D, que será o centro e então defina o ângulo α escolhendo a opção sentido horário e dê OK. Será criado um novo ponto A’.

Faça o mesmo com os pontos F e I criando os pontos F’ e I’.

  1. Construa o polígono dos pontos A’, E, I’ e F’. Denomine-o de pedaço6 e seus seguimentos de h_1, h_2, h_3 e h_4 selecionando sua cor em verde. Defina propriedade Avançado: condição para exibir objeto, para α = 180o.
  2. Digite na Entrada de Comando: pedaço7 = Transladar [Transladar[Polígono[F, G, H], Vetor[F, C]], Vetor[F, A]] e aperte Enter. Defina-o cor amarelo.
  3. Selecionando o pedaço7, defina propriedade, Avançado: condição para exibir objeto, para α = 180o.
  4. Selecione para não Exibir Rótulo de todos os objetos, deixando apenas os rótulos dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H.
  5. Esconda os segmentos a, b, c, corte1, corte2 e corte3.
  6. Movendo o seletor α, o triângulo ABC (figura 3) se transforma em retângulo (figura 4).
Triângulo equilátero
Figura 3 – Triângulo equilátero
Haberdasher’s Puzzle
Figura 4 – Haberdasher’s Puzzle

Esta atividade ilustra várias transformações, rotação e translação, girando os pedaços para transformar o triângulo equilátero em um quadrilátero retângulo, pois os ângulos retos que estavam escondidos dentro do triângulo se tornaram os ângulos retos do retângulo. Dependendo da posição do ponto F o retângulo será um quadrado.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho mostra aplicação de matrizes, valorizando o ensino aprendizagem através da utilização do software geogebra buscando promover aos alunos aulas investigativas, participativas, desenvolvendo um raciocínio crítico. Mostrando um novo paradigma no ensino de matrizes, em que o aluno deixa de ser mero receptor de conhecimentos e se torna um agente ativo no processo, atuando na construção de seu conhecimento.

A utilização da informática no ambiente de aprendizagem leva o aluno a descobrir novos caminhos no ensino aprendizagem e estabelece uma relação com as TICs e a educação, pois, os mesmos, detêm um conhecimento nato, no que diz respeito à informática, sem perceber o poder de controle que têm nas mãos diante do processo de aprendizagem.

Certamente iniciativas que auxilia a aprendizagem de matemática é de suma importância, uma vez que grande parte dos jovens têm aprendizagem inadequada para com a mesma. E a utilização do software geogebra nas aulas de matemática vem propiciar ao aluno um desenvolvimento da aprendizagem de forma atrativa e motivadora.

REFERÊNCIAS

BARBOSA, M. O. H. O uso de Transformações Geométricas em temas do Ensino Médio. Disponível em: http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/299/2011_

MAURICIO_DE_OLIVEIRA_HORTA_BARBOSA.pdf?sequence=1. Acessado no dia 13/11/2015.

BORBA, M.C.; PENTEADO, M.G. Informática e Educação Matemática – 2. Ed. Belo Horizonte – Autêntica, 2001.

KILHIAN, Kleber (2010). Cayley e a Teoria das Matrizes. Disponível em:
http://obdm2.blogspot.com.br/2014/10/281110.html. Acessado no dia 26/09/2015.

LEVY, P. Cibercultura. Tradução de Carlos Irineu da Costa. São Paulo: Ed.34, 1999, 264p. (Coleção TRANS). Disponível em:

http://www.sinect.com.br/anais2009/artigos/10%20Ensinodematematica/Ensinodematematica_artigo17.pdf. Acessado no dia 10/11/2015.

MORAES, Maria Cândida de. O paradigma educacional emergente. Tese de doutorado – PUC/SP, 1996.

NERI, Marcelo. Motivo da Evasão Escolar. Disponível em:
http://www.institutounibanco.org.br/wpcontent/uploads/2013/07/motivos_da_evasao_escolar.pdf. Acessado no dia 13/11/2015.

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ROMERO, Claudia Severino. Recursos Tecnológicos nas Instituições de Ensino: planejar aulas de matemática utilizando Softwares Educacionais. UNIMESP – Centro Universitário Metropolitano de São Paulo. Novembro/2006. Disponível em:http://www.fig.br/fignovo/graduacao. Acessado no dia 20/10/2015.

SCHMIDT, Alexsandra. O Uso da Geometria Dinâmica na Transformação de Figuras. Disponível em: https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96621/Alexsandra_
Schimidt.PDF?sequence=1. Acessado no dia 13/11/2015.

SILVA, G. H. O Trabalho Docente com Geometria Dinâmica em uma Perspectiva Investigativa. Disponível em: http://www.sinect.com.br/anais2009/artigos/10%20

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SILVA, J. Barbosa, Estudo da Influência de Software Educativo para a Aprendizagem de Matemática, 2009. Disponível em: http://www.ffb.edu.br/sites/default/files/tcc-20092-josselene-barbosa-da-silva.pdf. Acessado no dia 15/04/2013.

STORMOWSKI, V. Estudando Matrizes a partir de Transformações Geométricas. 2008. 157f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) – Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre, 2008. Disponível em: http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/

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TAROUCO, L.; ROLAND, L., FABRE, M.C.; and KONRATH, M.R. (2004). Jogos educacionais. In Renote Revista Novas Tecnologias na Educação, no. 1, vol. 2:1-7. Porto Alegre: UFRGS.

2. Henry Ernest Dudeney (1857 – 1930) foi um matemático inglês autor de diversos jogos e quebra-cabeças matemáticos.

[1] Mestre em Matemática-Profmat.

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