ARTIGO ORIGINAL
CARNEIRO, Tiago Isaac dos Santos [1]
CARNEIRO, Tiago Isaac dos Santos. Progressão Aritmética de ordem superior: Progressão Aritmética gerada por uma sequência de termos do tipo aKn. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano. 07, Ed. 07, Vol. 06, pp. 63-91. Julho de 2022. ISSN: 2448-0959, Link de acesso: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/matematica/ordem-superior , DOI: 10.32749/nucleodoconhecimento.com.br/matematica/ordem-superior
RESUMO
Atualmente o estudo da Progressão Aritmética de ordem superior é bastante limitado no quesito de uma formulação matemática mais simples. Alguns autores mencionam ordem superior, como uma equação polinomial de grau k. O objetivo deste trabalho é fazer um contraponto das definições apresentadas de outros trabalhos, através de uma fórmula matemática original que gera progressões aritméticas de qualquer ordem através das diferenças sucessivas de um termo 
pelo termo 
de cada linha, até que se obtenha uma sequência estacionaria na linha ou ordem k, chamada de progressão aritmética gerada de ordem superior.
Palavras-chave: Progressão Aritmética, Formulação Matemática, Ordem Superior, Diferenças Sucessivas.
1. INTRODUÇÃO
Atualmente o estudo da Progressão Aritmética de ordem superior é bastante limitado no quesito de uma formulação matemática mais simples. Alguns autores mencionam ordem superior, como uma equação polinomial de grau k. O objetivo deste trabalho é fazer um contraponto das definições apresentadas de outros trabalhos, através de uma fórmula matemática original que gerem progressões aritméticas de qualquer ordem, através das diferenças sucessivas de um termo pelo termo de cada linha, até que se obtenha uma sequência estacionaria na linha ou ordem k, chamada de Progressão Aritmética gerada de ordem superior.
Como diz Filho (2020), a formulação da Progressão teve grande contribuição do matemático Carl Friederich Gauss, quando o seu professor lhe pediu para somar os termos de 1 a 100, e este aos 7 anos de idade fez aplicando a fórmula da soma dos termos da PA.
De acordo com Diógenes e Lima (2020), a Progressão Aritmética de ordem k está relacionada com um polinômio de grau k. A definição de ordem segundo Nobre e Rocha (2018), é a aplicação do operador diferença entre os termos e , que resultará em linhas subsequentes, uma determinada sequência até chegar a uma ordem em que se obtenha uma sequência estacionária.
2. PROGRESSÃO ARITMÉTICA GERADA POR UMA SEQUÊNCIA DE TERMOS DO TIPO 
Seja n termos do tipo abaixo:
Os termos 
é a base geradora de uma Progressão Aritmética de ordem k, que também é uma Progressão Aritmética de ordem k=1. Os valores de k, que percorrem toda a sequência, é quem vai determinar em qual linha ou ordem está sendo gerada a nova Progressão Aritmética de razão 
2.1 PA DE ORDEM K=1
2.1.1 EXEMPLO
Seja uma PA 
, então
Aplicando o operador diferença dos termos, tem-se: 
, ou seja 
, como K=1 define a ordem ou linha que está sendo gerada uma nova PA, logo a PA gerada é a mesma da geradora, e seu termo geral já é conhecido:
2.2 PA DE ORDEM K=2
Fórmula Geral: 
2.2.1 EXEMPLO
Seja 
, como foi dito anteriormente segue o mesmo raciocínio para k=2.
Aplicando o operador diferença de cada termo nas linhas k=1 e k=2 , obtém-se:
Note que a PA de razão 
é maior que r que é a razão da nova PA gerada na linha 
. A PA gerada será denotada por 
. Note que
, o valor 
para 
. Analisando a diferença dos termos de cada linha de sequência obteremos uma expressão geral de uma PA gerada de , assim:
Que é o termo geral da PA gerada 
.
Demonstração:
Seja uma PA em que seus termos têm um expoente
2.2.2 EXEMPLO
Sejam 
, obtém-se a PA gerada:
onde 
está localizado em que mais uma vez determina a ordem da PA gerada e 
para 
.
2.2.3 EXEMPLO
Sejam, 
, obtém-se a sequência e a PA gerada:
onde está localizado em tal que 
2.3 PA DE ORDEM K=3
Fórmula Geral: 
2.3.1 EXEMPLO
Para 
, segue abaixo:
está localizado em 
Demonstração
Seja uma PA em que seus termos têm o expoente K=3
Substituindo os valores em
, temos:
2.3.2 EXEMPLO
Sejam 
, segue a sequência e a PA gerada.
2.4 PA DE ORDEM K=4
Fórmula Geral: 
2.4.1 EXEMPLO
PA de razão 
, obtem-se a PA gerada.
está localizado em 
Demonstração
Substituindo os valores em , temos:
Substituindo os valores em 
, temos:
Para termos superiores segue o mesmo raciocínio.
3. FÓRMULA GERAL DE UMA SEQUÊNCIA NUMÉRICA GERADA PARA K≥1
Reescrevendo as fórmulas de cada valor de 
dos exemplos anteriores:
Para se obter o padrão geral, basta observar os coeficientes para cada valor de
Ao somar todos os coeficientes acima, resulta em 
para o intervalo
Essa fórmula é geral apenas no intervalo 
, para achar a fórmula para todos os valores de , isto é, 
, basta dar continuidade nos valores para 
denota-se, 
como todos os coeficientes 
tal que 
, ou seja, segue todos os coeficientes de 1 até k:
Note também que os denominadores dos coeficientes podem ser escritos da seguinte forma:
1=1!
2=2!
6=3!
24=4!
Podemos reescrever a equação geral como:
Observe também os sinais dos coeficientes alternam à medida que cresce o valor de , portanto a fórmula geral de para , fica da seguinte forma:
3.1 RELAÇÃO ENTRE 
Pode-se também padronizar o valor da razão 
de uma PA gerada com a razão 
de sua PA geradora, tomando como base os exemplos anteriores para cada valor de k tem-se:
A relação pode ser padronizada para qualquer valor de , sendo:
Portanto analisando as relações dos diferentes valores de , tem-se a fórmula de geral de :
é chamado de razão de uma PA gerada.
Demonstração de
A demonstração da razão de uma PA gerada é feita pra indução finita.
Seja a razão da PA gerada tal que :
Tomemos para K =1 e substituindo na expressão acima obtém-se:
, ou seja, é a própria razão da PA geradora.
Hipótese de indução: assumindo que 
é verdadeira para 
, tem-se:
Tese de indução: assumindo que 
é verdadeira para 
, é o que segue:
Multiplicando os dois lados da igualdade por 
, obtem-se:
Como queríamos demonstrar ∎
3.2 FÓRMULA GERAL DA PA GERADA DE ORDEM K≥1 DO TIPO 
Para gerar uma Progressão Aritmética de ordem do tipo tem que haver uma PA de razão , em que seus termos sejam elevados ao grau ou potência .
Retomando os termos de uma PA elevado a um valor K:
Em que an é uma PA e é a ordem que se quer gerar a PA, para provar que isso é verdade toma-se como exemplo uma PA gerada para 
PA gerada para 
Utilizando a fórmula geral e calculando para temos:
Ou seja, a PA gerada é a própria PA inicial, observa-se que a fórmula da PA de ordem , já é conhecida como:
PA gerada para
Observamos anteriormente que a fórmula geral de uma sequência gerada para é:
Para os termos 
, tem-se:
Sabemos também que:
Substituindo os valores de 
na equação 
obtém-se a seguinte expressão:
Nota-se que o primeiro termo de cada equação se repete, variando apenas as incógnitas do segundo termo, portanto para cada termo há uma variação de um valor 
do 2º termo, para achar o valor de 
observa-se:
PA gerada para 
Idem ao raciocínio anterior para obter a fórmula geral de uma sequência gerada para é:
Calcularemos os termos 
, para então estabelecermos o padrão para essa ordem.
observe também que:
Substituindo os valores acima na equação 
tem-se a seguinte expressão:
Fazendo os mesmos cálculos para 
resulta:
Há uma variação de um valor 
no 2º termo, para acharmos o valor de 
:
, logo a fórmula padrão para é:
PA gerada para 
Calcula-se os termos , para então estabelecer o padrão para esta ordem.
Observa-se também que:
Substituindo os valores acima na equação tem-se a seguinte expressão:
fazendo os mesmos cálculos para 
, temos:
Utilizando o binômio de Newton para os termos:
Aplicando em 
, obtém-se:
Somando os todos os termos:
Seguindo o mesmo raciocínio para 
, tem-se:
De acordo com os valores apresentados para as ordens
observa-se que o primeiro termo sempre se repeti para qualquer ordem apresentada, havendo uma variação de um valor 
no 2ª termo apresentando os padrões anteriores para 
, obtém-se uma formula Geral para
, ou seja, basta analisar a expressão constante e a expressão variante, para então achar a formula de forma mais fácil para qualquer termo 
então:
Ao analisar essas equações observa-se as expressões constantes e variantes, ou seja :
A Fórmula acima representa qualquer PA gerada para qualquer ordem ou valor. Será possível calcular a expressão 
que é uma função de n para cada valor de K:
Calcula-se agora 
para estabelecer a fórmula geral para , para isso segue um exemplo:
3.2.1 EXEMPLO
Seja uma PA em que 
, para acharmos uma PA de e , basta elevarmos a potência cada termo o valor , que fica:
Calcula-se o valor de 
através da expressão :
Que vem da fórmula geral de qualquer sequência numérica gerada, procura-se achar o valor de para então substituir na fórmula da PA para , para se achar a expressão 
:
Substituindo na fórmula 
; tem-se:
Calcula-se agora o valor de 
através da expressão:
Que vem da fórmula geral de qualquer sequência numérica gerada, obtém-se agora o valor de 
para então substituir na fórmula da PA para , para achar a expressão 
:
Substituindo na fórmula 
; temos:
A expressão geral de uma função da reta é 
, que fica da seguinte forma: 
, tendo os pontos para encontrar a equação:
Substituindo :
Tendo o sistema: 
Resolvendo o sistema temos os valores de 
, obtendo a expressão 
, tirando o m.m.c., obtém-se a seguinte expressão:
Essa é a expressão 
para a fórmula geral da PA 
.
Dessa forma obtém-se uma fórmula geral para qualquer PA gerada 
obedecendo, a seguinte formula Geral da PA gerada por uma PA inicial elevada a potência , que o próprio estabelece em qual ordem ou linha que está localizada a PA gerada.
Sendo assim a fórmula geral da PA
é :
3.2 EXEMPLO
Seja uma PA gerada para , apresenta os valores calculados acima.
Expressão para 
.
Seja a PA gerada abaixo, obedecida pela fórmula da sequência gerada :
Substituindo o valor da PA na fórmula 
para achar a expressão 
tem-se:
Substituindo na fórmula 
, para achar a expressão 
tem-se:
Para acharmos a expressão , basta calcular a fórmula da sequência numérica gerada e substituir na fórmula da PA gerada, a expressão é uma função do 1º grau, bastando apenas de 2 pontos da reta para estabelecer a função geral, ou seja
A expressão geral de uma função da reta é 
, que fica da seguinte forma: 
, tendo os pontos para encontrar a equação:
(1;2) e (2;3)
Substituindo :
Tendo o sistema: 
Resolvendo o sistema temos os valores de 
, obtendo a expressão 
, obtém-se a seguinte expressão:
Essa é a expressão φ para a fórmula geral da PA 
.
Observação: Para achar expressão para qualquer valor k segue o mesmo raciocínio das expressões anteriores.
Sendo assim cada função representa uma PA de ordem 
diferente ou seja:
A formula padrão φ para qualquer ordem 
observa-se os valores de 
impares, ela é crescente e seu valor é sempre inteiro, enquanto os valores de pares , também é crescente , mas da forma racional, portanto a formula de 
quando for ímpar no lado das constantes tem-se: -1,0,1,2,3…, enquanto par tem-se: -1/2, 0 , 1/2, 3/2, 5/2, 7/2 ,ou seja, múltiplos de 1/2.
Se tirarmos a fração do termo n, observa-se que ela sempre somará com uma constante racional, logo a fórmula 
, é:
Efetuando o m.m.c. pode-se ainda escrever a equação da seguinte forma:
Substituindo na fórmula de 
Obtém-se:
Essa é a fórmula completa de qualquer PA gerada a partir de uma PA inicial elevada a potência , que é a ordem da PA gerada.
3.2.1 – DEMONSTRAÇÃO DA FÓRMULA 
POR INDUÇÃO:
Seja uma PA gerada tal que:
,
substituindo na expressão acima obtém-se:
, que é uma PA de primeira ordem, ou a própria PA geradora.
Hipótese de indução: assumindo que 
é verdadeira para
, temos:
Tese de indução: assumindo que 
seja verdadeira para 
é o que segue a demonstração:
Seja 
somando os dois lados da igualdade por 
obtém-se:
, na parte direita da igualdade.
Coloca-se o 
em evidência obtendo:
, em seguida multiplica-se a equação nos dois lados da igualdade por 
, tem-se:
, inserindo 
dentro do colchete obtém-se:
, arrumando ainda mais a expressão fica:
, essa igualdade é válida pois tanto no lado esquerdo como o direito da igualdade obtém-se:
como queríamos demonstrar ∎
4 – SOMA DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA GERADA DE ORDEM K
Sabe-se que a fórmula geral da soma de uma PA é :
A fórmula geral para a soma de uma PA gerada em função apenas da razão r da sequência geradora do tipo 
, é determinada com base nos estudos citados anteriormente. Seja dado a soma da PA gerada denotada por 
, ou seja, definida pela expressão abaixo:
Observando a expressão demonstrada anteriormente:
Substituindo na equação obtém-se a seguinte expressão:
Simplificando ainda mais a expressão obtém-se o termo geral da soma da PA gerada.
compactando ainda mais a expressão obtém-se:
A fórmula acima é chamada soma de termos de uma PA gerada a partir de uma PA de razão elevado a um grau K.
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
De acordo com o trabalho a expressão matemática estabelece um padrão para todos os valores k de uma PA geradora, que tem como objetivo de gerar outra PA na linha K, e claro que a PA gerada continua sendo de grau único, ou seja, não se deve confundir ordem com grau, pois o mesmo está relacionado com potência ou expoente. No desenvolvimento deste trabalho foi possível obter uma fórmula matemática que geram progressões de uma determinada ordem k a partir de uma progressão base elevado ao grau k, este mesmo grau é que define, qual a ordem ou localização que a outra PA está sendo gerada.
REFERÊNCIAS
DIOGENES, R. J; LIMA, E. J. S. Progressões Aritméticas de Ordem Superior e Recorrências Lineares. Ciências Exatas e da Natureza, Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, Bento Goncalves, RS, v. 6, n. 1, p. 1-12, 3 jun. 2020. DOI: https://doi.org/10.35819/remat2020v6i1id3700. Disponível em: https://periodicos.ifrs.edu.br/index.php/REMAT/article/view/3700/2602. Acesso em: 27 de abr. 2020.
FILHO, S. F. R. Progressão Aritmética de Ordem Superior. 2020. 102 p. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Centro de Ciências Exatas e tecnológicas, Universidade Federal do Maranhão, São Luís, 2020.
NOBRE, J. F. F ; ROCHA, R. A. Progressões Aritméticas de Ordem Superior. v. 5, n. 1, p. 35-48, jul./2018.
[1] Graduação em Matemática. ORCID: 0000-0002-2301-1496.
Enviado: Maio, 2022.
Aprovado: Julho, 2022.
