Simulação Computacional: um estudo de caso com as loterias federais

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ARTIGO ORIGINAL

ALMEIDA, Arthur da Costa [1], ALMEIDA, Allan Teixeira [2]

ALMEIDA, Arthur da Costa. ALMEIDA, Allan Teixeira. Simulação Computacional: um estudo de caso com as loterias federais. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano 05, Ed. 10, Vol. 08, pp. 176-192. Outubro de 2020. ISSN: 2448-0959, Link de acesso: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/matematica/simulacao-computacional

RESUMO

Um fenômeno ou processo pode ser estudado de forma teórica, analítica, ou por meio de simulação em modernos computadores. Com o uso de simulação computacional é possível realizar sem grandes custos processos que demorariam anos para serem feitos de forma real. Mesmo assim, os resultados obtidos são em tudo semelhantes aos que seriam obtidos ao vivo, mas em um tempo muito menor. Por este e outros motivos, a simulação computacional deve ser usada nas pesquisas científicas e nos estudos de modelagem em várias áreas da ciência. Como exemplo da importância da atividade, para este trabalho foi feita uma simulação de quatro jogos das loterias nacionais, a Megasena, a Quina, a Lotomania e a Lotofácil, com o objetivo de se obter informações estatísticas e de probabilidade sobre eles. Para cada um dos jogos foram feitas 10 simulações de sorteios, cada uma com 1 milhão de apostas. Os resultados são mostrados em gráficos e tabelas, acompanhados de discussão e comentários. Como conclusão, temos que a Megasena é um dos jogos mais difíceis para alguém acertar o prêmio principal, enquanto a Lotofácil se revelou o mais fácil deles, mas ainda assim, muito difícil.

Palavras-chave: megasena, lotofácil, loterias, simulação.

1. INTRODUÇÃO

Arquimedes, por volta do ano 220 a. C., em sua obra O Método, usando a Lei da Alavanca, em sua imaginação, pesava fatias infinitesimais de áreas para encontrar áreas de figuras limitadas por curvas (BOYER, 2011) (NOEL, 2007). De posse do resultado experimental, procurava então as demonstrações geométricas para eles.

Segundo (HOEKSTRA, 2010), desde o século XVI, vem se desenvolvendo dois paradigmas na pesquisa científica, na maneira de se fazer ciência. O paradigma experimental, no qual são feitas observações e medidas e o paradigma teórico, onde se busca o conhecimento científico a partir de uma teoria baseada em princípios gerais, com deduções lógicas e matemáticas, mas que precisam ser comprovadas, ou rejeitadas, pelos experimentos posteriores.

Entretanto,  após a Segunda Guerra, uma nova metodologia de se fazer ciência vem se tornando cada vez mais popular, o uso do chamado paradigma computacional, onde a ciência é feita a partir de simulações computacionais, que são modelos matemáticos transformados em programas de computador, que ao serem executados nessas máquinas, fornecem resultados que devem ser validados também pelos métodos experimentais.

Hoje em dia, com a disponibilidade de computadores, essa tarefa de fazer matemática experimental e de modelar matematicamente a realidade, se tornou ainda mais fácil. Por último, os cientistas descobriram que muitas vezes, não é necessário implementar equações baseadas em modelos analíticos, às vezes muito complexos. Nesses casos, uma implementação do comportamento do próprio fenômeno observado pode ser usado como base do estudo. Simulação é o nome do processo usado em computadores que permite obter informação sobre a realização de processos complexos ou de difícil reprodução em laboratório.

Nos últimos anos, vimos um grande aumento no uso de modelos de computador para diversas atividades. Algumas aplicações típicas incluem modelos de dinâmica de fluidos computacional, modelos de análise de elementos finitos para investigar o comportamento de linhas de transmissão e distribuição de energia elétrica. Modelos de computador também são amplamente utilizados na previsão do tempo e no estudo de doenças e de sistemas biológicos.  Os pesquisadores podem usar esses modelos como substitutos dos sistemas físicos que eles representam porque, se forem calibrados e validados adequadamente, os experimentos no modelo podem fornecer basicamente as mesmas informações que os experimentos no sistema físico real por uma fração do tempo e do custo.

Uma área que tem recebido muita atenção recentemente é a área de simulação com autômatos celulares, pois esses sistemas tentam reproduzir o funcionamento do processo estudado baseando-se em princípios observados nos fenômenos, mesmo não dispondo de um modelo analítico que o represente no computador (GAYLORD, 1996),  (SCHIFF, 2009),(HOEKSTRA, 2010).

Muitos desses modelos são determinísticos, isto é, são sistemas de equações, normalmente equações diferenciais ordinárias ou parciais, sem componentes aleatórios (VELTEN, 2009).

Entretanto, computadores, mesmo sendo máquinas determinísticas, vem sendo usados também para simulações estocásticas, usando geradores de números pseudoaleatórios, que possuem a mesma aparência e comportamento estatístico de números aleatórios, com uma vantagem adicional. Como os algoritmos são determinísticos e geram uma sequência deles a partir de uma semente x_0 os programas e experimentos podem ser reproduzidos de forma idêntica.

Mesmo na área de educação, principalmente na formação de profissionais das áreas científica e tecnológica, vem sendo ressaltada a importância do uso de simulações computacionais como ferramenta apropriada nesses cursos (RUTTEN, 2012), (WINSBERG, 2010).

Neste trabalho, propõe-se mostrar um exemplo de como fazer simulação de um processo não determinístico, usando como estudo de caso algumas loterias federais. Nele, foi feita a simulação dos jogos da Megasena, Quina, Lotofácil e Lotomania. Como resultados, foram obtidas várias informações a respeito da distribuição dos acertos em cada um desses jogos. Comparando-se esses resultados obtidos com a simulação com os resultados teóricos, fáceis de encontrar neste caso particular, verifica-se a utilidade e usabilidade que simulações computacionais podem trazer em situações mais complexas e mesmo naquelas onde não se dispõe de um meio fácil de se obter resultados teóricos.

O tema das loterias federais foi escolhido para a simulação por ser um tema muito conhecido, interessando a várias pessoas no mundo inteiro (BAKER, 2009). Mesmo quem não costuma jogar sabe que o dinheiro arrecadado pelo Governo com esses jogos, serve para aumentar a arrecadação federal e para ser distribuído, em parte, para algumas entidades esportivas e educacionais do país. Além disso, possui um modelo analítico simples que pode ser usado para estimar a acurácia dos resultados da simulação.

2. METODOLOGIA DA SIMULAÇÃO

Para a simulação dos jogos, foi desenvolvido um programa na linguagem R (R, 2019), usando para exibição dos resultados o pacote gráfico ggplot2 conforme descrito em (WICKHAM, 2009). Esse programa foi executado em um computador equipado com processador Intel Core I5 e 16Gb de memória RAM, controlado pelo sistema operacional Ubuntu Linux. A escolha do ambiente R se deu por conta de seu amplo uso na comunidade que usa programação científica, numérica, e das áreas de engenharia e computação, conforme menciona (BLOOM, 2014), dentre outros.

Para criar o algoritmo implementado no programa foram usadas as recomendações detalhadas em (JONES, 2009). Segundo eles, os seguintes passos devem ser implementados: a) Identificar uma variável aleatória X de interesse no processo estudado e escrever um programa para simular essa variável; b) gerar uma amostragem X1, X2,…Xn com a mesma distribuição de X; c) usar a média para estimar a acurácia da estimativa. As amostras usadas foram geradas pelo mesmo algoritmo, de forma independente e com a mesma distribuição, pois uma amostra não possui memória do que aconteceu na geração das amostras anteriores.

Figura 1. Listagem parcial do programa usado.

Fonte: os autores (2020).

No caso deste trabalho, para estimar a acurácia da simulação foi usada a distribuição teórica, pois ela pode ser facilmente calculada utilizando-se princípios básicos da teoria das probabilidades.

Para cada um dos jogos, de acordo com as suas características, foram geradas de forma aleatória, uma amostra com 1 milhão de sequencias de apostas. Em seguida, elas foram conferidas com um resultado real do jogo, contabilizando-se o número de pontos feitos em cada uma delas.

Esse procedimento foi repetido 10 vezes, com 10 resultados reais, usando-se de cada vez 1 milhão de apostas diferentes, também. No final foi feita uma média dos diversos contadores, que acumularam o número de pontos feitos por cada aposta, em cada jogo. Essa média dos contadores, uma aproximação da distribuição teórica, deu origem às tabelas e aos gráficos apresentados como resultados.

Na Fig. 1 é mostrada uma listagem parcial do programa usado.

3. RESULTADOS E DISCUSSÃO

3.1 DISTRIBUIÇÃO TEÓRICA

Para validar os resultados das distribuições encontrados nas diversas simulações torna-se necessário calcular os valores exatos dessas distribuições para as quatro loterias estudadas.

O cálculo feito é simples e usa os princípios básicos da teoria elementar das probabilidades. De acordo com a definição elementar de probabilidade, ela é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos possíveis. Estes aspectos teóricos podem ser encontrados em vários textos de teoria de probabilidades, tais como (DEVORE, 2012).

O número de casos favoráveis, neste contexto, é dado pelo número de combinações dos n elementos k a k multiplicado pelo número de combinações dos elementos restantes (N-n) que não foram sorteados, tomados (n-k) vezes.

Considere-se um jogo que usa N dezenas, das quais sejam sorteadas n. Assim, a probabilidade de se acertar k pontos em um jogo onde se sorteiam n dezenas de um total de N, representada por P(k,n),  é dada por Eq. (1).

No caso da Megasena, por exemplo, temos N=60, n=6. A probabilidade de se acertar 4 pontos com um jogo simples de 6 dezenas marcadas, é dada pela Eq. 2.

Para a Lotomania, a Eq. 1 precisa de um pequeno ajuste, pois nas demais loterias estudadas, o jogo simples marca n dezenas que é o mesmo número de dezenas sorteadas, mas nessa loteria, o jogo simples é marcado com 50 dezenas, mas são sorteadas apenas 20. Assim, não sobram 80 dezenas, como seria no caso das outras loterias estudadas. Neste caso, sempre sobram 50 dezenas que não foram marcadas.

Neste caso, a Eq. 3 fica assim

Esses resultados teóricos serão mostrados a seguir, nas tabelas de 1 a 4, juntamente com os valores encontrados nas simulações, multiplicados por 100, para que sejam apresentados como porcentagens e possam ser mais facilmente comparados.

3.2 MEGASENA

No jogo da Megasena sorteiam-se 6 números de um total de 60 (1 a 60). Ganha quem acertar os 6 números sorteados.

Na Megasena, o total de resultados possíveis em cada sorteio é dado por

Portanto, a chance de se acertar a megasena com uma única aposta de 6 dezenas é de 1 para 50.063.860 de vezes, ou 2 vezes a cada 100 milhões de sorteios, ou igual a zero, em cada sorteio, para todos os efeitos práticos. Além do prêmio principal, ela também paga valores menores para quem acerta 5 (quina) ou 4 (quadra) números sorteados.

A Tabela 1 mostra os números da distribuição dos acertos na Megasena, em porcentagens, obtidos nas 10 simulações com 1 milhão de apostas cada. A  Fig. 2 é um gráfico dos resultados mostrados na Tabela 1.

Tabela 1: Distribuição de acertos na Megasena

Pontos 0 1 2 3 4 5 6
Simulado 51.5596 37.9383 9.4592 0.9955 0.0467 0.0007 0
Teórico 51.5884 37.9017 9.4754 0.9908 0.0428 0.0006 2.0×10-6

Fonte: os autores (2020).

Esta Tabela 2 informa que, em média,  51,5 do total de apostas em cada jogo, acerta zero pontos, 38% delas acerta 1 ponto, 9,45% acerta 2 pontos. Ou ainda, que o total destas 3 frequências somadas, 99,93% das apostas não ganha prêmio algum. Somente 0.07% das apostas vai ganhar alguma quadra ou quina e na maioria dos casos, nenhuma vai ganhar a sena.

Esta tabela permite que se estime a quantidade de apostas ganhadoras de quadra, quina ou sena, a cada sorteio, a partir da quantidade total de apostas informada pela Caixa no seu site de loterias[3].

Para isso, basta multiplicar o valor da distribuição para cada número de acertos pela quantidade de apostas feitas naquela edição particular do jogo. Esse número de apostas pode ser obtido diretamente no site da Caixa, dividindo-se o total arrecadado em Reais pelo valor de cada aposta simples.

Figura 2. Distribuição de acertos na Megasena

Fonte: os autores (2020).

3.3 QUINA

Na quina, sorteiam-se 5 dezenas dentre os números de 1 a 80. Dessa forma, o total de resultados possíveis em cada jogo é dado por

Portanto, a chance de se acertar a quina com uma única aposta de 5 dezenas é de 1 para 24.040.016 de vezes, ou de aproximadamente 4  vezes a cada 100 milhões de sorteios, ou igual a zero, em cada sorteio, para todos os efeitos práticos. Além do prêmio principal, ela também paga valores menores para quem acerta  4 (quadra), 3 (terno) e 2 (duque) números sorteados.

A Tabela 2 mostra os números da distribuição da quina, em porcentagens, obtidos em 10 simulações com 1 milhão de apostas, cada uma. A Fig. 3 mostra o gráfico dos resultados desta tabela.

Figura 3. Distribuição dos acertos da Quina.

Fonte: os autores (2020).

Tabela 2: Distribuição de acertos na Quina

Pontos 0 1 2 3 4 5
Simulado 71.8141 25.2566 2.8102 0.1178 0.0013 0
Teórico 71.7944 35.2797 2.8088 0.1154 0.0015 4.15×10-6

Fonte: os autores (2020).

Esta tabela informa que 71,8% do total de apostas em cada jogo, acerta zero pontos, 25% delas acerta 1 ponto. Ou ainda, que o total destas 2 frequências somadas, 97% das apostas, não ganha prêmio algum. Somente 3% das apostas vai ganhar algum duque, terno ou quadra, e na maioria dos casos, nenhuma vai ganhar a quina.

Esta tabela permite que se estime a quantidade de apostas ganhadoras de duque, terno, quadra, ou quina, a cada sorteio, a partir da quantidade de apostas informada pela Caixa no seu site de loterias.

Na Figura 3, observa-se o gráfico das distribuições das porcentagens para cada número de acertos por aposta. É uma curva que mostra um decaimento aparentemente exponencial, tendendo rapidamente para zero, indicando o pequeno número de apostas vencedoras.

3.4 LOTOFÁCIL

Na Lotofácil, sorteiam-se 15 dezenas dentre os números de 1 a 25. Dessa forma, o total de resultados possíveis em cada jogo é dado por

Portanto, a chance de se acertar os 15 pontos com uma única aposta de 15 dezenas é de 1 para 3.268.760 de vezes, ou de aproximadamente 30 vezes a cada 100 milhões de sorteios, ou igual a zero, em cada sorteio, para todos os efeitos práticos. Além do prêmio principal, ela também paga valores menores para quem acerta 11, 12, 13 ou 14 dos números sorteados. Comparando-se as chances de acerto com as da quina ou Megasena, justifica-se de certa forma, o nome de Lotofácil.

A Tabela 3 mostra os números da distribuição da Lotofácil em porcentagens, obtidos em 10 simulações com 1 milhão de apostas, cada uma.

Figura 4. Distribuição dos acertos da Lotofácil.

Fonte: os autores (2020).

Tabela 3: Distribuição de acertos na Lotofácil

Pontos 5 6 7 8 9 10
Simulado 0.0912 1.5367 8.8490 23.6258 32.1752 23.1306
Teórico 0.0918 1.5311 8.8588 23.6236 32.1543 23.1511
Pontos 11 12 13 14 15
Simulado 8.7885 1.6527 0.1457 0.0045 0
Teórico 8.7693 1.6703 0.1445 0.0045 3.05×10-5

Fonte: os autores (2020).

Na Lotofácil, pelas próprias condições do jogo, ninguém acerta menos de 5 pontos. A explicação é simples: são 25 números, dos quais são escolhidos 15. Sobram 10 que não saíram. No pior caso, no próximo jogo, vão sair os 10 que não saíram desta vez, mas tem que repetir 5 que saíram na vez anterior. Portanto, ninguém pode acertar menos de 5 pontos. Por isso, a Tabela 3 já começa com 5. Esta tabela informa que 0.09% do total de apostas em cada jogo, acerta 5 pontos, 1,5% delas acerta 6 pontos, 8,8% acertam 7 pontos, 23,6% acertam 8 pontos, 32%, maior parcela, acertam 9 pontos, 23% acertam 10 pontos, ou ainda, que o total destas 6 frequências somadas, 90% das apostas, não ganha prêmio algum. Mas 10% das apostas vai ganhar algum prêmio com 11, 12, 13 ou 14 pontos, e na maioria dos casos, nenhuma vai ganhar o prêmio principal, 15 pontos. Dentre as loterias analisadas aqui, esta é a que mais paga prêmios proporcionalmente ao número de apostadores, 10%, embora os prêmios sejam de pequeno valor.

Na Fig.  4 observa-se o gráfico das distribuições das porcentagens para cada número de acertos por aposta. É uma curva que mostra uma distribuição aproximadamente normal, com uma média de 9 pontos por aposta.

3.5 LOTOMANIA

Na Lotomania, sorteiam-se 20 dezenas dentre os números de 1 a 100. Mas a aposta é feita com 50 dezenas. Dessa forma, o total de resultados possíveis em cada jogo é dado por mas como a aposta, de tipo único, é feita com 50 dezenas, isso dá um total de  apostas em cada jogo.

Portanto, a chance de se acertar os 20 pontos com uma única aposta de 50 dezenas na Lotomania é de

Figura 5. Distribuição dos acertos na Lotomania.

Fonte: os autores (2020).

Ou de 1 para 11.372.636, ou de aproximadamente 9 vezes a cada 100 milhões de sorteios, ou igual a zero, em cada sorteio, para todos os efeitos práticos. Além do prêmio principal, ela também paga valores menores para quem acerta  15, 16, 17, 18, 19 ou nenhum dos números sorteados. Observando-se o gráfico de distribuições de porcentagens (Fig 5) e a Tabela 4, entende-se o motivo de também premiarem quem marca zero pontos. É quase tão difícil fazer zero pontos como fazer os 20 pontos do prêmio principal.

Tabela 4: Distribuição de acertos na Lotomania

Pontos 15 16 17 18 19 20
Simulado 0.8860 0.2072 0.0361 0.0031 0 0
Teórico 0.8897 0.2115 0.0360 0.0041 0.0002 8.79×10-6

Fonte: os autores (2020).

Na Fig. 5 observa-se o gráfico das distribuições das porcentagens para cada número de acertos por aposta. É uma curva que mostra uma distribuição aproximadamente normal, com uma média de acertos de 10 pontos por aposta, o que não dá direito a prêmio.

3.6 ESTIMATIVA DO ERRO

Nesta seção será feita a estimativa do erro entre as distribuições exatas e as distribuições obtidas por simulação em cada um dos casos das loterias analisadas.

Para cada um dos jogos simulados, foi calculado o erro, entendido aqui como  a distância euclidiana entre o vetor dos valores exatos e o vetor das medidas obtidas na simulação. Isto é, será usada a equação Eq. 4.

Onde n é o número de pontos e k é o ponto onde está sendo calculada a diferença entre o valor obtido na simulação sk e o valor exato ek.

O resultado é mostrado na Tabela 5, onde se verifica que os erros entre os resultados simulados e os exatos são bastante pequenos, o que sugere o uso da simulação computacional como método de aquisição de conhecimento em algumas situações.

Tabela 5. Distância euclidiana entre os vetores (erro).

Jogo Megasena Quina Lotofacil Lotomania
Erro 0.76225 0.64780 0.87816 0.92746

Fonte: os autores (2020).

3.7 ANÁLISE DAS PREMIAÇÕES

Nas loterias federais brasileiras, menos da metade da arrecadação se destina aos prêmios dados aos apostadores. Somente 43,35% do valor arrecadado se destina a ser distribuído aos apostadores. Além disso, em cima desse montante, ainda incide o tributo do Imposto de Renda, com cerca de 27%. Outra parte, 19,13% vai para o custeio do serviço e o restante para entidades ligadas a diversos setores da sociedade brasileira, alguns das áreas culturais, esportivas ou da educação.

Nesta seção, entretanto, usando-se informação importante obtida na simulação, será feita uma análise para comparar a quantidade relativa de apostas premiadas em cada um dos jogos.

Observando-se os valores mostrados na Tabela 6, verifica-se que o jogo que premia o maior número de apostadores é a Lotofácil, com quase 10%, e o que menos premia é a Megasena, com menos de 0.05%.  Isto significa que, em média, para cada 10000 apostas feitas na Megasena, cerca de 5 recebem algum prêmio, enquanto na Lotofácil, de cada 10000 apostas feitas, cerca de 1000 recebem prêmios pequenos.

Entretanto o valor dos prêmios, em dinheiro, é muito menor nesta última do que na primeira, o que pode explicar porque os apostadores preferem arriscar mais dinheiro na Megasena, mesmo sabendo que possuem muito menos chance de ganhar.

Tabela 6. Porcentagem de apostas premiadas

Jogo Megasena Quina Lotofácil Lotomania
Apostas(%) 0.0437 2.9293 10.5893 1.1415

Fonte: os autores (2020).

4. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Usando-se os princípios básicos do funcionamento de cada um dos quatro jogos de loteria analisados, foi desenvolvido um programa na linguagem R com o objetivo de se fazer uma simulação desses jogos das loterias nacionais, a Megasena, Quina, Lotofácil e Lotomania. Com essa simulação foi possível obter de forma experimental as porcentagens (abordagem frequentista da probabilidade) das distribuições de número de pontos feitos nesses 4 jogos de loteria.

Esses resultados, neste caso estudado, também podem ser obtidos, de forma exata, a partir dos conceitos e teoremas básicos da teoria elementar das probabilidades e foram efetivamente calculados para que pudesse ser feita a validação dos resultados obtidos nas simulações.

Entretanto, o objetivo principal deste trabalho é mostrar o uso do paradigma de pesquisa científica baseado na simulação computacional, onde se constrói um programa de computador, contendo os princípios de funcionamento do processo estudado e esse programa, uma vez executado dá como respostas, aproximadas ou exatas, as respostas que seriam dadas por um estudo teórico ou experimental do processo.

Em casos mais complexos, entretanto, quando não existe ainda um referencial teórico ou experimental que dê as respostas procuradas, este paradigma de simulação computacional, pode trazer luz e indicar caminhos experimentais ou teóricos para o avanço da Ciência.

Analisando o caso particular dos resultados obtidos na modelagem das loterias, observa-se que fica mais fácil entender, por exemplo, porque a Megasena acumula tantas vezes e que mesmo assim, quando sai o prêmio acumulado, na maioria das vezes, sai para uma única aposta. Em porcentagem, a probabilidade de se acertar a Megasena com uma aposta é de 2,0 x 10-6

Nas dezenas de simulações feitas neste trabalho, envolvendo milhões de apostas, nenhuma das vezes aconteceu de acertar o resultado da Megasena. Já na Lotofácil, em várias simulações, aconteceu o acerto das 15 dezenas, justificando assim o nome dado a essa loteria.

Os resultados também mostram que fica difícil de se acreditar que possa existir algum truque, ou atalho, ou método “científico”, para se acertar a Megasena ou qualquer um desses jogos analisados. Os números obtidos autorizam a ser descrentes de qualquer método que prometa acertar em alguma dessas loterias.

Espera-se ter mostrado também o potencial do uso de simulações feitas em computador, como um recurso valioso de pesquisa científica e na tarefa de despertar interesse e curiosidade nos estudantes de matemática ou computação, para que possam se sentir motivados a ir além do que é ensinado nas salas de aula.

REFERÊNCIAS

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BLOOMFELD, V. (2014). Using R for Numerical Analysis in Science and Engineering, CRC Press, Boca Raton, FL, USA.

BOYER, C., MERZBACH, U., (2011). A History of Mathematics, John Wiley Sons, Inc.,3d edn, Hoboken, New Jersey, USA.

DEVORE, J. (2012). Probability and Statistics for Engineering and Sciences, Brooks/Cole, Boston, MA.

GAYLORD, R., NISHIDATE, K., (1996). Modeling Nature: Cellular Automata Simulations with Mathematica, Springer-Verlag, New York, USA.

HOEKSTRA, A., KROC, J., and SLOOT, P. (eds) (2010). Simulating Complex Systems by Cellular Automata, Springer, Heidelberg, Germany.

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NETZ, R., NOEL, W., (2007). Codex Arquimedes, Ed. Record Ltda, Rio de Janeiro, Brasil.

R, Core Team (2019). R: A Language and Environment for Statistical Computing, R Foundation for Statistical Computing,  Austria. Available at https://www.R-project.org/.

RUTTEN, N., Joolingen, W., and Veen, J. (2012). The learning effects of computer simulations in science education, Computers & Education 58: 136-153. https: //doi:10.1016/j.compedu.2011.07.017.

SCHIFF, J. (2008). Cellular Automata: A Discrete View of the World, Wiley-Interscience, Hoboken, New Jersey.

VELTEN, K. (2009). Mathematical Modeling and Simulation: Introduction for Scientists and Engineers, Wiley-VCH, Weinheim, Germany

WICKHAM, H. (2009). ggplot2: Elegant Graphics for Data Analysis, 1 edn, Springer, Houston, TX.

Winsberg, E., (2010). Science in the Age of Computer Simulation, The University of Chicago Press, London, England.

APÊNDICE – REFERÊNCIA DE NOTA DE RODAPÉ

3. http://www.caixa.gov.br/Paginas/home-caixa.aspx#itemQuatro

[1] Doutor em Engenharia Elétrica, Mestre em Matemática Aplicada, Bacharel em Matemática.

[2] Tecnólogo em Sistemas de Informação.

Enviado: Maio, 2020.

Aprovado: Outubro, 2020.

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