Demonstração da Conjectura de Andrica 

ARTIGO ORIGINAL 

SANTOS, Adecio da Silva ^[1]

SANTOS, Adecio da Silva. Demonstração da Conjectura de Andrica. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano 04, Ed. 04, Vol. 06, pp. 11-17 Abril de 2019. ISSN: 2448-0959

RESUMO

A Conjectura de Andrica é um dos problemas matemáticos até então sem nenhuma solução apresentada, desde 2007. Esta conjectura está relacionada diretamente com a distância entre dois primos consecutivos. E recebeu esse nome em homenagem ao matemático Dorin Andrica. Nosso artigo mostra, pelo método de demonstração por redução ao absurdo, que essa conjectura é, de fato, verdadeira. Além disto deixamos como extra a resolução de dois dos problemas de Landau (que são também conjeturas matemáticas em aberto), a saber o que afirma que existem infinitos primos da forma N²+1 e a Conjetura de Legendre. Estes resultados estão, respectivamente, nos APÊNDICES A e B.

Palavras-chave: Andrica, Conjectura, Demostração, Números Primos.

1. INTRODUÇÃO

A Teoria dos Números é uma das áreas da matemática que ainda possuem muitos problemas em aberto. Um deles é a Conjectura de Andrica que tem esse nome em homenagem ao seu propositor o matemático Dr. Dorin Andrica, o qual, segundo (1), é professor na Faculdad “Babe-Bolya”, de Matemática e Ciências da Computação, na cidade de Cluj Napoca, Romênia.

Sua Conjectura afirma que a desigualdade √P_n+1 – √P_n<1 é verdadeira ∀n ∈ Ν, sendo P_n a representação do n-ésimo número primo.

Segundo wikipedia: “A conjectura ainda não foi provada nem refutada, apesar de haver fortes indícios de que esta seja verdadeira.” (2)

Utilizando testes em computadores notou se que a conjectura é válida para números muito grandes. A título de curiosidade, o Portal do Geogebra disponibiliza (3), um programa para testar a conjectura para muitos números.

Os trabalhos acadêmicos, em português, sobre o assunto são muito raros. Porém, expomos neste artigo uma prova, utilizando o método de demostração por redução ao absurdo, da veracidade da Conjectura de Andrica. Além desta, existem outros problemas em aberto sobre números primos. Por isso, deixaremos, como extra, nos APÊNDICES A e B a solução da conjectura que afirma que existem infinitos números primos da forma N²+1 e a Conjectura de Legendre.

2. REFERENCIAL TEÓRICO

Conjectura Matemática é uma afirmação que muitos matemáticos acreditam que seja verdadeira, mas ainda não provaram sua veracidade.
Uma destas conjecturas é a de Dorin Andrica. A mesma afirma que a desigualdade √P_n+1 – √P_n<1 é verdadeira ∀n ∈ N, sendo P_n a representação do n-ésimo número primo. Analisaremos se é verdade isto. Mas para tanto usaremos os princípios lógicos, conforme Alencar Filho, do Terceiro Excluído e o da Não-Contradição. (4)

A partir daí, provaremos a Conjectura de Andrica para todos os números primos consecutivos, através de algumas manipulações algébrica e argumentações baseadas nas definições de limites, esta definições podem ser encontradas na referência (5). Também usaremos em nosso resultado o Teorema do Número Primo que diz, segundo canal do youtube de Khan Academy Brasil (6), que a densidade dos números primos em relação ao conjunto dos números naturais fica cada vez menor à medida que os números naturais tendem a ficarem cada vez maiores.

Por fim, deixamos ao leitor interessado as referências (7) e (8) que trazem mais informações sobre problemas matemáticos em aberto tais como a Conjectura (forte) de Goldbach, a Conjectura dos primos gêmeos, a Conjectura de Collatz, entre outras.

3. CONJECTURA DE ANDRICA

Nesta seção apresentaremos o Conjectura de Andrica e a prova da sua veracidade pelo método de demonstração por redução ao absurdo.

Conjectura de Andrica: A desigualdade √P_n+1 – √P_n<1 é verdadeira ∀n ∈ Ν, sendo p_n a representação do n-ésimo número primo.

Demonstração: Suponhamos, por absurdo, que ∃n₀ ∈ N tal que √P_n0 – √P_n0 ≥1, onde P_n0 é o _n0 – esimo primo.

Note, ainda, pelo Teorema do Número Primo, que as distâncias entre os números primos
tendem a ficarem cada vez maiores (salvo os casos dos primos gêmeos) à medida que os números
naturais crescem. Em outras palavras, a densidade dos primos no conjunto N tende para 0 (zero) quando n −→ ∞, onde n ∈ N.

Baseando nos nesta evidência e pelo fato do conjunto dos números primos ser infinito
podemos considerar que √P_n0 + 1 – √P_n0 = 1 nunca é verdade por maior que seja a distância entre √P_n0 + 1 e √P_n0. Mas como sempre existe um k ∈ N tal que P_n0 + 1 = P_n0 + 2K k este k mesmo que seja muito grande jamais tornará a expressão √P_n0 + 2K – √P_n0= 1 verdadeira. Em outras palavras, mesmo que K seja do “tamanho” de um infinito (∞) ainda assim não poderemos considerar √P_n0+2K – √P_n0=1 verdadeira.

4. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho visa despertar no leitor o prazer de descobrir algo original, de explorar o campo das ideias e de acreditar em sua capacidade de raciocínio lógico. E as conjecturas matemáticas são um primeiro passo para quem almeja pesquisar a fundo os assuntos mais complexos, porém fascinantes do mundo dos números em nossa volta.

A Conjectura de Andrica, juntamente com as Conjecturas de Legendre e dos primos da forma N² +1, ambas nos APÊNDICES deste artigo, podem servir de estimulo para o leitor iniciar uma brilhante caminhada no campo da matemática, além de se tornar um colega de pesquisa nesta área do conhecimento humano.

5. REFERÊNCIAS

1. Portal do dorinandrica. Disponível em: http://www.dorinandrica.ro/elementary.php. Acesso
em 17 de abril de 2019.

2. Portal do wikipedia. Disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjectura_de_Andrica.
Acesso em 14 de abril de 2019.

3. Portal do geogebra. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/a3v2hpxc. Acesso em 17
de abril de 2019.

4. ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. 18 Ed. São Paulo: Nobel,
1975.

5. LIMA, Elon Lages Análise Real. vol. 1 Coleção Matemática Universitária, SBM,. Rio de
Janeiro, 2001.

6. Portal do youtube, canal: Khan Academy Brasil. Disponível em: https://www.youtube.com
/watch?v=AQTIa02NNZ0. Acesso em 14 de abril de 2019.

7. Portal do ifba. Disponível em: http://www.ifba.edu.br/dca/Corpo_Docente /MAT/EJS.
Acesso em 14 de abril de 2019.

8. Portal do obaricentrodamente. Disponível em: https://www.obaricentrodamente.com/2014/01/
conjecturas-de-seba-sobre-distancia_25.html.
/PROBLEMAS_MATEMATICOS_DO_SECULO_XXI.pdf. Acesso em 14 de abril de
2019.

APÊNDICE A

Conjectura dos primos N² +1: Existem infinitos números primos da forma N² +1 sendo N um número natural par.

Demonstração. Vamos supor que existam finitos números primos da forma N² +1. E que o número natural par “m” satisfaça que m² +1 seja o maior número primo com esta forma.

Agora, ∀n ≥ 1 temos que (m+2n)² +1-2=(m+2n)²-1²=(m+2n-10).(m+2n+1). Ou seja, ∀n ≥ 1, o número ímpar antecessor a (m+2n)² +1 o qual é (m+2n)² -1, também é composto.

Por outro lado temos que existem infinitos ímpares compostos da forma p + 2 sendo p um número primo e p > m²+1. Pois, do contrário, existiria um número primo P_k tal que
o número ímpar composto P_k+2 seria o maior dos compostos da forma p+2 para p primo.

Daí tomando o menor primo, P1, maior do que Pk +2, isto é, P1 > Pk+2 teríamos que p1+2, não poderia ser composto, tornando o obrigatoriamente primo. Daí, P1 +4 também não poderia
ser composto, ou seja, P1+4 seria primo, e então todo n ≥ 1 os números p1 +2n seriam primos. E isto tornaria o conjunto dos números ímpares compostos finito, ABSURDO.

Note ainda que, para todo primo P>m² +1, temos que p+2≠(N⁰PAR)²+1-2⇒p=(N⁰PAR)²-1⇒p=(N⁰PAR)²-1²⇒p=(N⁰PAR-1).(N⁰PAR+1), ou seja, p seria um número primo
e composto simultaneamente, ABSURDO!

Agora, tomando para cada primo p_n > ··· > p3 > p2 > p1 > m¹+1 o menor natural par M_n  tal que (M_n – 2)²+1 <P_n  <P_n+2 < (M_n)²+1⇒(M_n – 2)²  <Pn-1 < (M_n)² ⇒ M_n – 2 < √P_n -1 < M_n  agora, dividindo esta última desigualdade por M_n obtemos que

Mas, só chegamos a está contradição, por admitirmos que eram finitos os números primos da forma N² +1 com N sendo um número natural par.

Enfim, os princípios, lógicos, do terceiro excluído e da não contradição nos garantem que existem infinitos números primos da forma N² +1.

APÊNDICE B

Conjectura de Legendre: Sempre existe um número primo entre dois quadrados perfeitos.

Definamos I = Conjunto dos Números Ímpares.
Definamos, agora, o conjunto C ⊂ N com a seguinte condição: C é o conjunto formado por todos os ímpares compostos maiores ou igual a n² _0. 

Definamos, também, o conjunto W com a condição: W é formado por todos os números ímpares que em sua composição em fatores primos apresente pelo menos um primo qk > (n₀+1)².

Portanto, sempre existe algum primo entre dois quadrados perfeitos sendo o menor deles ímpar.

Agora, tomando um número natural par m₀ tal que não exista nenhum primo entre m²₀ e (m₀+1)² teríamos que m²₀ +1, m²₀+3, m²₀+5, ···, m²₀+2m₀+1 seriam todos número ímpares
compostos.

Definamos, agora, o conjunto D ⊂ N com a seguinte condição: D é o conjunto formado por todos os ímpares compostos maiores ou igual a m²₀+1.

Definamos, também, o conjunto W^∗ com a condição: W^∗ é formado por todos os números ímpares que em sua composição em fatores primos apresente pelo menos um primo q^∗_k (m₀+1)²

Definamos o conjunto Y ⊂ N como sendo Y = {n. (m²₀+2.i-1)/n ∈ I – W^∗ e i ≤ m_o +1}.

Ou seja, chegamos a conclusão que entre os números consecutivos n_B −1 e n_B existe um número natural. OUTRO ABSURDO!

Porém, encontramos esta outra contradição por admitirmos que existia um número par m₀ tal que não existia nenhum primo entre m²₀ e (m₀+1)².

Logo, sempre existe algum primo entre dois quadrados perfeitos sendo o menor deles par.

Enfim, pelas conclusões expostas acima, independentemente se dois quadrados consecutivos o menor deles é par ou ímpar sempre existirá algum primo entre eles.

Portanto, a Conjectura de Legendre, de fato, é verdadeira.

^[1] Graduado e mestre em Matemática.

Enviado: Abril, 2019

Aprovado: Abril, 2019