O teorema do valor médio integral aplicado ao valor médio de funções

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ARTIGO ORIGINAL

MEDEIROS, Davison Machado [1]

MEDEIROS, Davison Machado. O teorema do valor médio integral aplicado ao valor médio de funções. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano 06, Ed. 03, Vol. 01, pp. 98-108. Março de 2021. ISSN: 2448-0959, Link de acesso: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/matematica/teorema-do-valor-medio

RESUMO

Este trabalho se propõe a aplicar o Teorema do Valor Médio para Integrais, que é um resultado do Cálculo Diferencial e Integral, para obter o valor médio de funções de números reais sob uma perspectiva geométrica e significativa que possa facilitar a compreensão e aplicação a respeito do tema abordado, uma vez que o mesmo é tido como de difícil entendimento; para tanto faz-se uso de exercícios-problema de aplicação na física, biologia e demografia.

Palavras-chave: Teorema do Valor Médio para Integrais, Cálculo, Valor médio de funções, Integral, função.

1. INTRODUÇÃO

Este trabalho busca enfatizar a importância da matemática na vida educacional, pessoal e social dos discentes, como ferramenta que interpreta problemas e os traduz em soluções; isto é, neste trabalho é dado significação a conhecimentos estudados nos cursos de Cálculo, a saber, o Teorema do Valor Médio para Integrais, e traz a resposta a perguntas como: para que serve isso, quando eu vou usar, etc. As quais muitas das vezes, até mesmo, professores experientes não conseguem responder para seus alunos, fazendo a matemática se tornar infrutífera e dissociada da realidade física corroborando com Silva e Borges Neto (1994) que nos dizem: “o ensino de Cálculo poderia se tornar mais significativo se os professores soubessem em que e como estão sendo aplicados, a posteriori, os conteúdos ensinados” (SILVA; BORGES NETO, 1994, p. 4)

O conceito de função é um dos mais importantes e abrangentes da matemática moderna. Nos mais variados ramos das ciências e em muitos processos funções aparecem como peça fundamental ao entendimento do mundo físico por meio da modelagem matemática ou por meio de definição de cumprimento de determinada lei de formação para algum processo. Tendo em vista essa importância requer-se um melhor entendimento de função, seus pontos de máximo, mínimo, pontos de inflexão, retas tangentes ao gráfico, área abaixo do gráfico, e o objetivo deste trabalho, o valor médio de uma função num intervalo.

Comumente é necessário analisar um conjunto de dados que não é muito interessante o valor unitário de cada elemento, mas sim o valor médio deste dado conjunto. A todo momento a sociedade está envolvida com a ideia de valor médio, quer seja simplesmente para calcular notas de alunos ou de maneira mais abrangente para se calcular o termo central, médio, de um conjunto de dados. No entanto, percebe-se que a definição e as técnicas usuais utilizadas para se calcular médias são ineficientes quando se trata de funções. A exemplo disso temos: um aluno realizou três atividades que têm mesmo peso, recebendo respectivamente as notas 6,8 e 10, sem dificuldade, é sabido que a nota média desse aluno é dada por isto é, a média é a soma dos elementos do conjunto dividido pela quantidade de termos; agora analisemos a seguinte situação, observou-se através de termômetros numa cidade que em um dado dia das 3 às 12 horas da manhã a temperatura em graus °C e t horas é dada pela função ƒ (t) = t +12, 3 ≤ t ≤ 12 pergunta-se qual a temperatura média na cidade nesse intervalo de tempo, com isso percebe-se que dar essa resposta não é algo trivial. Daí surge a necessidade da utilização de uma excelente ferramenta da matemática moderna, o Cálculo Diferencial e Integral, onde será enfatizado as aplicações do importante Teorema do Valor Médio para Integrais para resolver situações como a do exemplo supra.

2. TEOREMA DO VALOR MÉDIO PARA INTEGRAIS

Nos cursos de Cálculo, muitas das vezes, por se tratar de um conteúdo extenso para ser abordado num tempo muito reduzido ou por motivos diversos, a importância do Teorema do Valor Médio para Integrais, que chamaremos de TVMI, é ofuscada e com isso o desenvolvimento do conhecimento científico é prejudicado com a falta de aplicação deste; o que é uma incongruência histórica, uma vez que o Cálculo surgiu como resposta para problemas físicos reais:

Calcular a distância percorrida por um corpo em movimento, sua velocidade e aceleração; comprimentos de curvas; áreas; volumes; analisar os valores de máximo e mínimo de uma função; relacionar declividade de uma curva e taxa de variação, são alguns dos problemas, entre muitos outros, que levaram ao desenvolvimento do Cálculo (ZUIN, 2001, p. 14).

Um teorema que precede o TVMI, na verdade o TVMI é uma aplicação deste para integrais, é o Teorema do Valor Médio de Lagrange.

O Teorema do Valor Médio-TVM de Lagrange[2] nos diz o seguinte:

Se ƒ:[a, b] → é contínua e derivável no intervalo (a, b) então existe c ∈  (a, b) tal que

onde ƒ´ é a derivada da função ƒ.

Figura 1 – Interpretação geométrica do TVM

Fonte: Do autor (2019)

Isto é, o TVM nos diz que existe pelo menos um ponto de abscissa c no intervalo (a, b) em que a reta tangente ao gráfico de ƒ em c tem a mesma inclinação que a reta secante que passa pelos pontos de abscissas a e b.

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo tem-se que se ƒ  for integrável em [a, b] e se F  for uma primitiva de ƒ  em [a, b], então,

onde pelo TVM temos que existir tal que,

e com isso,

Geometricamente a expressão acima nos diz que existe um retângulo de base (b – a)  e altura ƒ(c)  de mesma área que a região delimitada pelas retas x = a, x = b e abaixo do gráfico da função ƒ.

Figura 2– Retângulo de base (a, b) e altura ƒ(c)

Fonte: Do autor (2019)

Com isso afirmamos queDe fato, observa-se que o conceito de média aritmética é dado por:

sejam os elementos x1, x2, … , xn de uma amostra com  valores da variável X. Define-se a média aritmética de X por,

Donde temos para a função ƒ,

particionando o intervalo [a, b]  em n partes iguais, obtém-se  de onde segue que

Daí,

onde aplicando limite tem-se por definição:

como queríamos mostrar.

Barbosa (2004) traz uma abordagem acerca da quase que imprescindibilidade da contextualização do saber no Cálculo:

A contextualização do saber é uma ferramenta indispensável para a questão da transposição didática, pois implica recorrer a contextos que tenham significado para o aluno, envolvendo-o não só intelectualmente, mas também afetivamente, sendo assim uma estratégia fundamental para a construção de significados. Sabemos que a falta de sentido da aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral origina-se, em parte, das dificuldades decorrentes dessa transposição. O aluno só compreende os vínculos do conteúdo estudado quando fica compreensível para ele essa passagem. Por isso, contextualizar no ensino de Cálculo vincularia os conhecimentos aos lugares onde foram criados e onde são aplicados, isto é, incorporar vivências concretas ao que se vai aprender e incorporando o aprendizado a novas vivências (BARBOSA, 2004, p. 41).

Partindo do pressuposto da importância da contextualização e da aplicação, a seguir traz-se alguns exemplos motivadores para efetivação do conhecimento abordado.

A seguir tem-se alguns exemplos de aplicações do TVMI.

2.1 APLICAÇÃO NA FÍSICA

No início desse trabalho trouxemos um exemplo simples de valor médio de uma função, porém sem a ferramenta necessária para estudá-lo. O exemplo nos dizia o seguinte: observou-se através de termômetros numa cidade que em um dado dia das 3 às 12 horas da manhã a temperatura em graus °C e t horas é dada pela função ƒ(t) = t +12, 3 ≤ t ≤ 12, qual a temperatura média na cidade nesse intervalo de tempo?

Solução. Aplicando o TVMI tem-se,

[Exemplo 1] Algo muito comum na física é o movimento de partículas dado por funções.

Imagine uma partícula cuja função deslocamento é expressa por ƒ(x) = x3 – 9x2 + 27x – 26, onde x é o tempo medido em segundos e ƒ(x) = y a distância em metros.

Daí, deseja-se obter a distância média a cada segundo percorrido dessa partícula no intervalo de tempo de 2 a 10 segundos. Observa-se que a velocidade instantânea da partícula em cada ponto é facilmente obtida através da derivada de ƒ(x) mas estamos interessados na distância média a cada segundo.

A figura abaixo nos mostra o comportamento dessa partícula.

Figura 3 – Partícula se deslocando por f(x)

Fonte: Do autor (2019)

Vê-se que o resultado desejado é facilmente obtido com a aplicação direta na integral do TVMI abaixo:

Donde se tem após simples aplicação de substituições:

[Exemplo 2] Um importante resultado da física com inúmeras aplicações na engenharia e em várias outras ciências é a Lei do Resfriamento de Newton[3], a qual tem a forma da expressão T (t) = Tm + c.e-kt, onde T(t) é a temperatura do corpo no instante t, Tm a temperatura do meio ambiente, t o tempo decorrido, c e k números reais. Esta equação nos diz que a temperatura de um corpo tende a se igualar à temperatura ambiente ao passar do tempo.

Vejamos o seguinte exemplo.

Num dado experimento observou-se com a ajuda de termômetro que a temperatura de um líquido ao sair de um aquecedor, t = 0 era de 81°C e um minuto depois a temperatura era de 79°C, sabendo que a temperatura da sala onde o líquido se encontra é controlada a 30°C:

a) Calcular a temperatura do líquido a 10 minutos.

Solução: Observa-se que pela lei do resfriamento e do problema de valor inicial tem-se,

e

Donde segue que a Lei do Resfriamento desse processo é dada por,

Logo a temperatura do líquido em 10 minutos é

b) Calcular o valor médio da temperatura do líquido no intervalo de 0 a 10 minutos.

Solução: Observa-se que o resultado desejado é facilmente obtido através da aplicação direta do Teorema do Valor Médio para Integrais no intervalo desejado, donde tem-se:

Donde obtêm-se o valor da temperatura média no intervalo de zero a dez minutos ≅ 72°C.

2.2 APLICAÇÃO NA BIOLOGIA E DEMOGRAFIA

Algo muito importante em todas as ciências biológicas e/ou demográficas é o de crescimento populacional médio.  O estudo do crescimento de bactérias pode ser uma tarefa muito difícil, uma vez que uma única bactéria pode se dividir formando uma nova bactéria, que se divide formando uma outra e o processo pode se estender até não haja mais condições favoráveis para que isso ocorra, por exemplo com o crescimento populacional chega um momento que não tem mais nutrientes para manter a população e com isso vindo a se estabilizar e posteriormente ao declínio. A função que dá o famigerado crescimento exponencial é a função com esse mesmo nome, que é do tipo: ƒ(x) = a. bx, aqui a, b>0. É fácil perceber que esse crescimento vai depender do tempo que uma bactéria demora para se dividir e criar uma nova. Pode-se perceber com isso que conforme o número de bactérias aumenta, a sua velocidade em aumentar também aumenta, por exemplo, se a quantidade de bactérias duplicar, a velocidade de crescimento duplicará também e assim por diante.

[Exemplo 3] Observou-se que o crescimento de uma determinada população de bactérias a cada hora num lugar ideal, com nutrientes abundantes, é dado pela fórmula em milhões, onde x representa horas, ƒ(x) = (1,6)x. Isto é exemplificado no quadro abaixo:

Horas decorridas(x) Quantidade de Bactérias em milhões (1,6x)
1 1,6
2 2,56
3 4,096
4 6,5536
5 10,48576

Fonte: Do autor (2020)

Pode-se perceber melhor o comportamento desse crescimento bacteriano através do gráfico de f(x) abaixo.

Figura 4– Gráfico de ƒ(x) = 1,6x

Fonte: Do autor (2020)

Daí, um cientista deseja saber o crescimento médio dessa população no intervalo de 5 a 11 horas de decorrida a observação inicial.

Isto é, o que se deseja é o resultado da integral definida,

De onde segue pelo Teorema Fundamental do Cálculo e com o auxílio de uma tabela de integrais que é igual a,

de onde segue,

Observa-se que o caso da aplicação na Demografia é análogo ao caso anterior.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste artigo procurou-se mostrar que a matemática não é estática, ela é viva e corresponde às necessidades de entendimento da realidade física em que vivemos. E isso é muito evidente com o Cálculo Diferencial e Integral, diga-se de passagem, no que diz respeito ao Teorema do Valor Médio para Integrais. Ressalta-se que aqui procuramos apenas dar um pontapé inicial e descortinar essa magnífica ciência que é a Matemática e o Cálculo uma ferramenta mais que útil, quase que imprescindível.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BARBOSA, M. A. O insucesso no ensino e aprendizagem na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral. 2004. 101f. Dissertação de Mestrado em Educação – Pontifícia Universidade Católica do Paraná, Curitiba, 2004.

SILVA, J. F.; BORGES NETO, H. Questões Básicas do Ensino do Cálculo. Artigo Científico. Laboratório de Pesquisa Multimeios da Faculdade de Educação da Universidade Federal do Ceará, 1994. Disponível em:<http://www.multimeios.ufc.br/arquivos/pc/artigos/artigo-questoes-basicas-do-ensino-de-calculo.pdf>. Acesso em: 21 de mar. 2019.

ZUIN, E. S. L. Cálculo: uma abordagem histórica. In: LAUDARES, J. B.; LACHINI, J. (Org.). Educação Matemática: a prática educativa sob o olhar de professores de Cálculo. Belo Horizonte: FUMARC, 2001.

APÊNDICES – REFERÊNCIAS DE NOTA DE RODAPÉ

2. Joseph Louis Lagrange (1736-1813), italiano, fez grandes contribuições para a teoria dos números e teoria das funções e para a matemática em geral.

3. Isaac Newton, inglês, (1642-1726) não declarou sua lei na forma acima em 1701. Preferencialmente ele notou depois de algumas manipulações matemáticas que a taxa de mudança de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e sua vizinhança.

[1] Pós-Graduação em Metodologia do ensino da Matemática e da Física pela Faculdade Única de Ipatinga-FUNIP, pós-Graduação em matemática financeira e estatística pela Faculdade Única de Ipatinga-FUNIP e Graduado em Licenciatura Plena em Matemática pelo Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Maranhão-IFMA.

Enviado: Junho de 2020.

Aprovado: Março de 2021.

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