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Números s-perfeitos ímpares

RC: 141857
831
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DOI: 10.32749/nucleodoconhecimento.com.br/matematica/numeros-s-perfeitos

CONTEÚDO

ARTIGO ORIGINAL

FERNANDES,  Hiller Alves [1]

FERNANDES,  Hiller Alves. Números s-perfeitos ímpares. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano. 08, Ed. 03, Vol. 02, pp. 96-107. Março de 2023. ISSN: 2448-0959, Link de acesso: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/matematica/numeros-s-perfeitos, DOI: 10.32749/nucleodoconhecimento.com.br/matematica/numeros-s-perfeitos

RESUMO

A teoria dos números é um campo da matemática que possui diversos problemas em aberto. Um número natural N é dito S-perfeito se a soma de todos os seus divisores positivos for igual a SN, isto é, em notação matemática σ(N)=SN. Um problema muito antigo é o da existência de números perfeitos ímpares. De modo geral, se sabe pouco sobre números S-perfeitos ímpares. Então, o intuito deste artigo é demonstrar e investigar certas propriedades sobre os números S-perfeitos ímpares, em especial, com S ímpar. Inicialmente, será realizada uma breve introdução sobre o tema. Em seguida, há 4 lemas que visam dar suporte e entendimento ao leitor para demonstrações posteriores. Logo após, será apresentado um teorema que é a pedra angular do artigo. Por fim, tem-se duas consequências em forma de corolários e uma breve conclusão da discussão.

Palavras-chave: Números s-perfeitos, Números perfeitos ímpares, Teoria dos números.

1. INTRODUÇÃO

A soma dos divisores positivos de N é denotada por σ(N). Um número inteiro positivo é S-perfeito se σ(N)=SN. Para S=2, é dito que N é perfeito. O presente artigo tem como objetivo mostrar um teorema inédito e original e dois corolários decorrentes dele. O problema central é sobre a existência de números S-perfeitos ímpares com S ímpar, que é uma generalização do problema sobre a existência de números perfeitos ímpares. As demonstrações dos resultados são dadas por redução ao absurdo ou contradição.

Um artigo recentemente sobre temas correlatos da teoria dos números foi publicado Poulkas em 2021. Seu artigo possui uma demonstração que prova a inexistência de números perfeitos ímpares. O mais interessante do artigo é que sua demonstração é simples, e se vale tão somente da matemática elementar. O ponto central é o fato dos divisores de N virem em pares. Além disso, sua demonstração se dá pela redução ao absurdo. Se os divisores formam pares, pode-se modificar a forma como trata-se a soma de todos os divisores positivos. De modo que,  Equação 1(POULKAS, 2021).

Também neste artigo, um dos pontos centrais é o fato dos divisores de N virem em pares. Contudo, como será demonstrado no lema [3], se N é um S-perfeito com N e S ímpares, então N é um quadrado perfeito. Logo,  Equação 2  , pois o lado direito soma duas vezes a Equação 3  . Então, o argumento necessita de uma pequena correção. Esta ligeira modificação está exposta no lema [4].

2. DEMONSTRAÇÕES

Lema [1]: seja N,S ∈ N. Se N é um número S-perfeito, então, existem pelo menos dois números primos distintos que dividem N.

Demonstração: seja N um inteiro positivo S-perfeito, isto é, σ(N)=SN, suponha-se, por absurdo, que N=pª com p, α ∈ N ∪{0} e p primo. Logo:

Equação 4

Contudo, Equação 5  , mas Equação 6  . Contradição, portanto, N tem pelo menos dois divisores primos distintos.

Lema [2]: seja N∈ N tal que N não é um quadrado perfeito, então, N tem uma quantidade par de divisores positivos, e a soma de seus divisores positivos pode ser dada por:

Equação 7

Demonstração: seja Equação 8o conjunto de todos os divisores positivos de N, então Equação 9. Ao definir Equação 10, o par de divisores Equação 11 é bem definido. O par de divisores (1,N) é o par trivial. Como N não é um quadrado perfeito, segue que Equação 13 para todo Equação 14. Portanto,

Equação 15

Como queria-se demonstrar. Além disso, N tem um número par de divisores, pois há Equação 16 pares distintos com Equação 17 para todo Equação 18.
Lema [3]: Sejam Equação 19 tais que ambos são ímpares e Equação 20. Se N é um número S-perfeito, então N é um quadrado perfeito.
Demonstração: suponha, por absurdo, que N>0 é um inteiro ímpar S-perfeito, mas não é um quadrado perfeito. Em outras palavras, Equação 23. Então, pelo Lema [2] N, possui uma quantidade par de divisores ímpares, consequentemente, Equação 24 é par. Mas, por hipótese, Equação 24 é ímpar, contradição. Portanto, N é um quadrado perfeito.
Lema [4]: seja Equação 25 tal que N é quadrado perfeito, então, a soma de seus divisores positivos pode ser dada por:

Equação 26

Demonstração: seja Equação 27 o conjunto de todos os divisores positivos de N, então, Equação 28. Ao definir Equação 29, o par de divisores Equação 30 é bem definido. Contudo, para algum j, tem-se Equação 31 pois N é um quadrado perfeito. Para não somar duas vezes sua raiz quadrada, basta subtrair Equação 32 após a realização da soma de todos os pares de divisores:

Equação 33

Teorema [1]: não existe número inteiro positivo ímpar S-perfeito com S ímpar.
Demonstração: seja k um número inteiro positivo, suponha, por absurdo, que Equação 34 é um número S-perfeito com S ímpar, isto é, σ(N)=SN com S e N ímpares. Pelo Lema [3], N é um quadrado perfeito. Então, pelo Lema [4]:

Equação 35

Extraindo o par trivial de divisores obtém-se:

Equação 36

Pode-se substituir Equação 37por Equação 38em (5). Existe Equação 39 tal que S=2s+1, logo:

Equação 40

Seja D o conjunto dos divisores positivos de N, pelo Lema [1], N não é primo. isso implica que Equação 41, isto é, o conjunto dos divisores positivos não triviais de N não é vazio. Portanto, pelo princípio da boa ordenação, existe um elemento em D que é o elemento mínimo, isto é, Equação 42 tal que para todoEquação 43 com Equação 44  tem-se Equação 45 , Por convenção, Equação 46 . Além disso, Equação 47é primo. De fato, se Equação 47 é composto, então existe Equação 48 tal que Equação 49 e, portanto, Equação 50 , mas Equação 51  contradição. Extraindo o par de divisores Equação 52obtém-se:

Equação 53

Observe que Equação 54 é par, então existe Equação 55 tal que Equação 56. Substituindo Equação 57 por Equação 58 em (7) obtém-se:

Equação 59

Multiplicando toda a equação (9) por Equação 60tem-se:

Equação 61

Observe que a equação (10) pode ser tratada como uma equação do segundo grau. Para descobrir o valor de Equação 62, basta aplicar a fórmula resolutiva da equação do segundo grau. Logo:

Equação 63

Portanto:

Equação 64

Com maior exatidão

Equação 65
Como
Equação 66, portanto, Equação 67 é um quadrado perfeito. Note que:

Equação 68

Caso contrário, Equação 69. Além disso:

Equação 70

De fato, pois:

Equação 71

Subtraindo a equação (15) de (16), tem-se:

Equação 72

Por comodidade,  Equação 73 Logo:

Equação 74

Por outro lado, Equação 75. Logo:

Equação 76

Porém, Equação 77, como demonstrado na equação (18). Consequentemente,  Equação 78. Portanto:

Equação 78 (20)

A equação (8) diz que Equação 79 substituindo em (20), obtém-se:

Equação 80

Substituindo Equação 81 por Equação 82, em (20), tem-se:

eQUAÇÃO

Contudo,  Equação 83. Contradição, pois, em (22), tem-se Equação 84. Portanto, não existe N inteiro positivo e ímpar S-perfeito com S ímpar.

Como observação: seja o conjunto M tal que Equação 85, então . Note que Equação 86 e que
Equação 87. O elemento mínimo de  Equação 88 Além disso, Equação 89.
Corolário [1]: a soma dos inversos dos divisores positivos de N não pode ser ímpar se N também é ímpar.

Demonstração: suponha, por absurdo, que a soma dos inversos dos divisores positivos de N ímpar é ímpar. Então:

Equação 90

Com x,k ϵ N ∪ {0} . Por outro lado, para cada Equação 91, existe um Equação 92 tal que:

Equação 93  (24)

Aplicando o conceito exposto na equação acima e utilizando a propriedade comutativa da divisão, segue que:

Equação 94

O que é uma contradição com o Teorema [1]. Portanto, a soma dos inversos dos divisores positivos de N não pode ser ímpar se N também é ímpar.

Corolário [2]: a soma dos inversos dos divisores positivos de N não pode ser um inteiro positivo se Equação 95 com N ímpar, Equação 96.

Demonstração: suponha, por absurdo, que a soma dos inversos dos divisores positivos de N é um inteiro positivo com Equação 97  ímpar. Pelo corolário [1], sabe-se que essa soma não pode ser ímpar. Portanto, precisa ser par. Logo:

Equação 98

Com Equação 99. Por outro lado, para cada Equação 100, existe um Equação 101 tal que:

Equação 102

Aplicando o conceito exposto na equação acima e utilizando a propriedade comutativa da divisão, segue que:

Equação 103

Portanto, a soma dos divisores positivos de N é par. Mas isso é um absurdo, pois a soma dos divisores positivos de um quadrado ímpar é ímpar. Consequentemente, a soma não pertence aos inteiros positivos, visto que todo número inteiro ou é par ou é ímpar.

3. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Os resultados apresentados são inéditos e originais. A teoria dos números é famosa por conter problemas de fácil entendimento, mas extremamente difíceis de demonstrar. Tais problemas são fantásticos, principalmente quando as soluções são, de certa forma, simples, por usar matemática elementar, mas de extrema elegância.

O ponto central do artigo é investigar a existência de números naturais ímpares e S-perfeitos com S ímpar. Pelo Teorema [1], é provado que tais números com essa propriedade não existem. A demonstração se vale de um artifício que é somar os divisores por pares do tipo Equação 104 e realizar uma ligeira correção, pois N é um quadrado perfeito.

Além disso, há duas consequências decorrentes do Teorema [1]: a primeira é que a soma dos inversos dos divisores positivos de N não pode ser ímpar se N também é ímpar. Em outras palavras, tal soma só pode ser um inteiro par ou um racional. A segunda consequência é que a soma dos inversos dos divisores positivos de N não pode ser um inteiro positivo se Equação 105 com N ímpar, Equação 106. São racionais e não inteiros. Resultados impressionantes e de cunho teórico.

REFERÊNCIA

POULKAS, Demetrius Chr. Very original proofs of two famous problems: “are there any odd perfect numbers?” (unsolved until to date) and “Fermat’s last theorem: a new proof of theorem (less than one and a half pages) and Its generalization”.
Advances in Pure Mathematics, v. 11, n. 11, p. 891-928, 2021.

[1] Mestrando em Matemática – (UFVJM), especialista em Matemática financeira e Estatística – (UCAM) e Licenciatura em Matemática – (UNIUBE). ORCID: 0000-0001-6957-6209. CURRÍCULO LATTES: 8992771071815999.

Enviado: 29 de Dezembro, 2022.

Aprovado: 01 de Março, 2023.

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Hiller Alves Fernandes

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