Volumes e linhas de fluxo de aterros utilizando modelos digitais de elevação e de terreno

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DOI: 10.32749/nucleodoconhecimento.com.br/matematica/volumes-e-linhas
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ARTIGO ORIGINAL

PETTRES, Roberto [1]

PETTRES, Roberto. Volumes e linhas de fluxo de aterros utilizando modelos digitais de elevação e de terreno. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano 05, Ed. 08, Vol. 12, pp. 05-19. Agosto de 2020. ISSN: 2448-0959, Link de acesso: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/matematica/volumes-e-linhas, DOI: 10.32749/nucleodoconhecimento.com.br/matematica/volumes-e-linhas

RESUMO

Este trabalho apresenta uma formulação matemática para o processamento de dados de aerolevantamento feito com drones na forma de nuvem de pontos do sistema Universal Transversa de Mercator. A formulação faz uso de regressão múltipla, linear e não linear, para o cálculo estimado de volume de aterro e são empregadas curvas e superfícies de nível aos dados de relevo, bem como é apresentado um método iterativo para o cálculo do gradiente para essa superfície, a partir do qual, são traçadas as linhas de fluxo de água em caso de grande precipitação. Os modelos matemáticos, bem como os resultados desse trabalho são apresentados a seguir.

Palavras-Chave: regressão múltipla linear, regressão múltipla não-linear, modelos digital de elevação, modelo digital do terreno, linhas de fluxo.

INTRODUÇÃO

Projetos de engenharia voltados a edificações, construção de reservatórios, rodovias, entre outros, requerem o cálculo de volumes de taludes de corte e aterros. De maneira geral, estes volumes são calculados utilizando dados de levantamentos topográficos. Os trabalhos de movimentação de terra podem ser divididos em duas categorias, faixas longas e estreitas, como é o caso de rodovias e ferrovias e grandes áreas, como reservatórios. Para o cálculo de volumes, para o primeiro caso normalmente são utilizados os métodos baseados em seções transversais, no segundo caso, trabalha-se com malhas de pontos ou contorno (volumes calculados através das curvas de nível) (IRVINE, 2005).

Em ambos os casos, medições manuais in loco são necessárias, e, frequentemente adota-se um fator multiplicativo para o valor calculado, o qual, para a maioria das aplicações de engenharia é suficiente, porém, superestimando o volume a partir de um coeficiente que pode variar entre 5 e 25% a mais do valor real devido ao empolamento (GARCIA e PIEDADE 1984).

Segundo Oliveira e Jesus (2018), para o levantamento topográfico, equipamentos já consagrados, como a Estação Total e o GPS RTK são inquestionáveis quanto a sua acurácia, entretanto, demandam equipes de levantamento e prazo estendido para sua realização.

Cada projeto tem suas próprias características e, segundo elas, apresentam-se limitações de tempo e recursos. A disponibilidade de mão-de-obra qualificada e a metodologia utilizada são fatores chaves para obter-se o êxito do projeto. Em projetos públicos de licitações, onde o projeto básico deve ser confeccionado no menor tempo e orçamento mais enxuto possível, ressalta-se a importância em se refinar e descobrir novos métodos de levantamento topográfico que sejam eficientes e confiáveis.

Com a ampliação do número de aplicações baseadas em aerolevantamento de dados planialtimétricos, pode-se obter resultados com precisão significativa, com economia de tempo e recursos, acompanhamento periódico de execução da obra, além de segurança no levantamento dos dados em área de difícil acesso, utilizando-se técnicas de processamento de imagens e modelos matemáticos (OLIVEIRA e JESUS, 2018).

Entre os modelos de processamento de imagens de aerolevantamento, tem-se o Modelo Digital de Elevação (MDE) e do Modelo Digital do Terreno (MDT), os quais utilizam coordenadas cartesianas definindo uma cota z a cada par conjugado de pixels da imagem (PEDREIRA, 2017). A diferença entre estes dois métodos é que no MDT é desconsiderado a vegetação, as edificações e outros objetos sobre o terreno, muito utilizado em aplicações de engenharia, como a geração de curvas de nível, cálculo de volumes de corte e aterro, mapas de drenagem, entre outros (PEDREIRA, 2017).

Entre os modelos matemáticos, diferentes técnicas podem ser consideradas, entre elas, o ajustamento de superfície linear, quadrática ou de grau mais elevado dependendo do número de dados disponíveis e das grandezas que se pretende calcular a partir do modelo. Para o cálculo do volume de corte ou de aterro, o modelo de superfície de regressão múltipla linear, plano, permite uma boa aproximação do relevo real. Para o cálculo dos gradientes da superfície e/ou determinação das linhas de fluxo, a superfície quádrica é mais indicada, pois o vetores não são nem todos paralelos como no caso da superfície linear.

Dessa forma, subsidiar a solução de problemas de engenharia voltados para o cálculo de volumes e/ou outras grandezas constitui a principal motivação e justificativa para realização deste trabalho. Para tanto, a formulação matemática baseia-se em técnicas de regressão múltipla, linear e não linear, cujos dados utilizados na análise de regressão provém do levantamento com drones executado pela equipe de pesquisa do projeto Campus Map[2], realizado pela Universidade Federal do Paraná.

Em tempo, almeja-se com este trabalho, apresentar uma metodologia ou técnica para o ajustamento de superfícies a partir de dados de aerolevantamento, com vista em contribuir com a solução de problemas de engenharia abordados durante a formação e na atuação desse profissional.

MATERIAIS E MÉTODOS

O conjunto de dados cartesianos (x,y,z) para análise de regressão múltipla foi gerado a partir de aerolevantamento planialtimétrico (VEIGA, ZANETTI e FAGGION, 2012) e técnicas de processamento de imagens baseadas em fogravimetria. A Figura 1 ilustra uma determinada região do Centro Politécnico da Universidade Federal do Paraná (CPUFPR), apresentada à esquerda como uma imagem de isocores, às quais tons próximos ao vermelho representam maiores elevações, já tons próximo ao azul representam pontos de menor elevação.

Figura 1 – Imagem de elevação com isocores (esquerda) e foto aérea (direita) de parte do CPUFPR.

Fonte: O Autor.

 

A partir da Figura 1, à direita, foi selecionada uma área poligonal D ilustrada na Figura 2, a qual foi objeto de estudo para o ajustamento de superfície.

Figura 2 – Área destacada em azul para estudo de regressão múltipla.

Fonte: O Autor.

Os dados da região em azul tem a forma (x,y,z), onde x e y são coordenadas dadas de acordo com o modelo Universal Transversa de Mercator  (UTM) e z são os valores de elevação em relação ao nível do mar. A metodologia para a obtenção da superfície numérica foi desenvolvida no programa computacional MATLAB 15 ® e compreendeu a implementação dos algoritmos de regressão múltipla.

Os valores da componente z da matriz de dados foram são transladados para zero com base no menor valor observado para essa variável considerando-se o plano (x,y) como o limite inferior do aterro. O sistema de equações normais do modelo de regressão múltipla é dado em (1):

onde (xi, yi, zi) representa cada ponto do MDT e a, b, c, d, e e f são os coeficientes da equação da superfície quádrica que tem a forma

A regressão múltipla utilizada nesse trabalho, linear e não-linear, permite a obtenção de um plano e de uma superfície parabólica, respectivamente, cujo soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado (pontos da superfície numérica) e os dados observados (pontos de elevação do relevo) é mínima, minimizada pela solução do problema de mínimos quadrados.

Para o caso de regressão múltipla linear, d, e e f são nulos e tem-se um plano.

MDT E SUPERFÍCIES DE REGRESSÃO

A Figura 3 ilustra o MDT e as Figura 4 e 5 ilustram a as soluções obtidas para o modelo linear e quadrático de regressão múltipla.

Figura 3 – Superfície obtida a partir dos dados de levantamento do relevo.

Fonte: O Autor.

Figura 4 – Superfície de regressão linear múltipla para os dados do relevo.

Fonte: O Autor.

Figura 5 – Superfície de regressão quadrática múltipla para os dados do relevo.

Fonte: O Autor.

Figura 6 – Sobreposição das superfícies obtidas.

Fonte: O Autor.

A Figure 6 ilustra a sobreposição das duas superfícies calculadas, plano e quádrica, em relação aos dados transladados do relevo real. As equações obtidas para o plano de regressão linear, z(x,y)p, e superfície quádrica, z(x,y)q, são dadas em (3) e (4), respectivamente:

O volume do sólido limitado lateralmente pela fronteira poligonal D, inferiormente pelo plano (x,y) e superiormente pela superfície do relevo é igual 5078, 491774999969 m3. Os valor obtidos para o volume desse sólido em m3, porém, limitado superiormente pelas superfícies de regressão são:

O erro entre o valor real e os valores obtidos em (5) e depois em (6) são de 5,02950570×10-10 m3 e -2,79214873×10-10 m3, respectivamente.

CURVAS, SUPERFÍCIES DE NÍVEL E GRADIENTES

A partir dos dados planialtimétricos, pode-se delimitar as curvas de nível e seções da superfície cuja elevação é a mesma, ou seja, pode-se traçar as superfícies de nível do terreno.

Figura 7 – Superfície de nível com 10 faixas.

Fonte: O Autor.

Figura 8 – Superfície de nível com 100 faixas.

Fonte: O Autor.

A Figura 7 ilustra as superfícies de nível em 10 faixas cuja equidistância é de 0,42627 m e na Figura 8 foram  utilizada 100 faixas cuja equidistância é de 0,046426 m.

Uma aplicação importante do reconhecimento das curvas e superfícies de nível está na técnica de plantio em curvas de nível, a qual baseia-se no traçado de faixas com diferentes altitudes no terreno (ZONTA et al., 2012).

O reconhecimento das curvas de nível também é importante no cálculo do momento de transporte na movimentação de terra entre corte e aterro, além de também dar um perfil do terreno útil para o planejamento de dispositivos de drenagem em taludes de cortes e aterros ou na interseção do talude de aterro com o terreno natural e nas transições corte-aterro, o que pode evitar problemas de erosão, por exemplo.

Para o caso de linhas de fluxo de água no terreno, o cálculo é realizado a partir do gradiente em cada ponto do relevo, mais precisamente na direção oposta ao gradiente, pode ser realizado pela diferenciação parcial das equações (4) e (5), porém, nesse trabalho, optou-se em analisá-los a partir dos dados de relevo.

O gradiente foi calculado iterativamente a partir dos dados (x, y, z) levantados com o drone, onde utiliza-se uma submatriz que contém em cada iteração nove coordenadas (x, y, z), centrada em um ponto pivô aij representando o valor de z na respectiva posição (x, y). O gradiente, a partir de do pivô aij, apontará na direção do máximo valor na vizinhança de aij forma:

Caso o máximo valor da submatriz seja o próprio pivô, o gradiente será nulo, ou seja, a tangente em aij é horizontal com ponto local de máximo indicando um espigão ou separador de águas ou ainda uma subsuperfície totalmente horizontal. A Figura 9 ilustra o resultado da equação (7) aplicado aos dados do relevo para os (x1 , y1) pontos, tem-se o seguinte campo gradiente:

Figura 9 – Campo vetorial indicando o gradiente a partir de cada ponto (x, y, z).

Fonte: O Autor.

A partir do campo de vetores gradiente obtém-se as linhas de fluxo de água no terreno, como ilustra a Figura 10.

Figura 10 – Campo vetorial indicando as linhas de fluxo (em verde) e os vetores na direção do fluxo (em azul).

Fonte: O Autor.

Na Figura 10 as linhas de fluxo e vetores de direção representam o caminho preferencial que a água de uma chuva densa percorreria sobre o terreno após a saturação deste. O reconhecimento de tais linhas pode permitir a quantificação e controle do movimento da água através do solo com vistas em proporcionar uma proteção contra os efeitos nocivos deste movimento, como a liquefação em fundos de valas, erosão, entre outros.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Os modelos matemáticos utilizados nesse trabalho apresentam-se como ferramentas computacionais alternativas para análise de dados de elevação e de terreno obtidos com o uso de drones.

Com o uso de regressão múltipla, linear e não linear, obteve-se precisão significativa para a estimativa de volumes de aterro para o caso testado.

Com o uso dos dados do relevo, pode-se descrever quantitativa e qualitativamente as curvas e superfícies de nível do terreno, cujo reconhecimento permite o planejamento para novas obras, seja na forma de terraços de plantio assim como de estruturas civis.

Ainda utilizando os dados do relevo, pode-se calcular o gradiente de cada ponto da superfície, com os quais, em sua direção oposta prevê-se o escoamento de água em caso de grande precipitação, por exemplo, mais uma vez, são informações adicionais para o engenheiro no planejamento de obras no terreno.

Por fim, destaca-se o potencial para o uso da metodologia desenvolvida com o uso de drones, porém, salienta-se que o uso de drone não substitui equipamentos como o GPS RTK e Estação Total, por exemplo, sendo essa metodologia complementar aos métodos tradicionais para tal fim. Em qualquer situação, é fundamental um estudo sobre a melhor estratégia para alcançar eficiência na execução de determinado serviço especializado de engenharia.

REFERÊNCIAS

GARCIA, G. J.; PIEDADE, G. C. R. Topografia aplicada às ciências agrárias. Ed. 5, Nobel, São Paulo, 1984.

IRVINE, W. Surveying for construction. Ed. 5, McGraw-Hill, London, 2005.

OLIVEIRA, H. C.; JESUS, H. P. Análise comparativa de levantamentos planialtimétrico – topografia convencional, GPS e Drone, Monografia do Curso de Engenharia Civil, Escola de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade Federal de Goiás, 2018.

PEDREIRA, W. J. P. Avaliação da Acurácia Altimétrica de Mapeamento Cartográfico Topográfico Usando VANT. Monografia do Curso de Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas, Universidade Federal do Recôncavo da Bahia, 2017.

VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION, L. F. Fundamentos de Topografia. Material didático do curso de Engenharia Cartográfica e de Agrimensura, Universidade Federal do Paraná, 2012.

ZONTA, J. H.; SOFIATTI, V.; COSTA,  A. G. F.; SILVA, O. R. R. F.; BEZERRA, J. R. C.; SILVA, C. A. D. BELTRÃO, N. E. M.; ALVES, I.; FRANSCISO JÚNIOR, A. C.;  CARTAXO, W. V.; RAMOS, E. N.;  OLIVEIRA, M. C..; CUNHA, D. S.; MOTA, M. O. S.;SOARES, A. N.; BARBOSA,  H. F. Práticas de Conservação de Solo e Água, Circular Técnica, EMBRAPA, 2012.

APÊNDICE – REFERÊNCIA DE NOTA DE RODAPÉ

2. Link para informações sobre o projeto Campus Map: http://www.campusmap.ufpr.br/

[1] Doutorado em Métodos Numéricos em Engenharia pela Universidade Federal do Paraná, Mestre em Métodos Numéricos em Engenharia pela Universidade Federal do Paraná, Licenciado em Matemática pela Universidade do Contestado.

Enviado: Março, 2020.

Aprovado: Agosto, 2020.

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