Demonstração Da Conjectura (Forte) De Goldbach

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DOI: 10.32749/nucleodoconhecimento.com.br/matematica/demonstracao-da-conjectura
Demonstração Da Conjectura (Forte) De Goldbach
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ARTIGO ORIGINAL

SANTOS, Adecio da Silva [1]

SANTOS, Adecio da Silva. Demonstração Da Conjectura (Forte) De Goldbach. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano 04, Ed. 04, Vol. 06, pp. 05-10 Abril de 2019. ISSN: 2448-0959

RESUMO

A conjectura de Goldbach é um dos problemas abertos mais antigos da história da matemática, aproximadamente 300 anos sem solução. Ela foi proposta pelo matemático prussiano Christian Goldbach. Seu registo está em uma carta datada de 7 de junho de 1742 e destinada a Leonard Euler. Este, por sua vez, respondeu Goldbach em outra carta dizendo está absolutamente certo que esta conjectura era verdadeira, mas não era capaz de prova-la. Baseando nos nesta breve história e confiando na absoluta certeza de Euler, acreditamos que o método de demonstração por redução ao absurdo seja o mais viável para provar esse problema. Nosso artigo prova que esta famosa conjectura, de fato, é verdadeira. Além disto conjecturamos e provamos um resultado parecido com o de Goldbach, o chamemos de Conjectura de X. O mesmo está
exposto no APÊNDICE A. Por fim deixamos no APÊNDICE B, uma demonstração extra da Conjectura de Collatz como bônus.

Palavras-chave: Conjectura (forte), Demostração, Goldbach.

1. INTRODUÇÃO

Muitas vezes um problema simples de se entender pode ser difícil de se explicar. Este é o caso do conjectura (forte) de Goldbach. Pois ela afirma que qualquer número par maior que dois pode ser representado pela soma de dois primos. Intuitivamente somos levados a acreditar que tal afirmação é verdadeira. Mas este é o “x” da questão. Muitos matemáticos já tentaram, sem êxito, demonstra-la.

O portal do Geogebra (1) traz uma programação de verificação da Conjectura de Goldbach. O mesmo, também verifica para muitos números pares a veracidade da conjectura. Porém isto não é suficiente para provar que essa informação é de fato verdadeira e incontestável.

Baseando nos em nosso intuição, na crença da comunidade matemática e ainda nas várias verificações por computadores que a Conjectura de Goldbach é verdadeira. Entendemos que o
método de demonstração por redução ao absurdo é o mais viável para prova-la.

Nosso artigo expõe uma tentativa de resolver esse problema. Mostra, também, no APÊNDICE A, um resultado, chamado de Conjectura de X, semelhante ao de Goldbach e ainda fornece
um extra no APÊNDICE B da demonstração da Conjectura de Collatz.

Por fim, entendemos que é importante esclarecermos ao leitor que não é da área de matemática que não “estranhe” as citações neste artigo estarem mais nas seções da Introdução e do Referencial Teórico e nenhuma no corpo do texto, pois uma argumentação matemática de demonstração para um problema em aberto sempre é uma ideia original, além deste problema já ser conhecido por três gerações.

2. REFERENCIAL TEÓRICO

A conjectura de Goldbach é bem famosa, existem vários trabalhos sobre o tema. Mas nossas referências teóricas mais importante para chegarmos em nossos resultados foram as (2) e (3). Pois (2) nos forneceu a base de raciocínio lógico pelos princípios do terceiro excluído e 2 da não contradição, além de nos fornecer a estrutura da contra positiva para basearmos nossa prova na redução por absurdo. Já a referência (3) nos exercitou muito em seus exercícios para o amadurecimento de como ter uma ideia e como atacar a Conjectura (forte) de Goldbach.
Ao leitor interessa em conhecer mais sobre problemas matemáticos em aberto, problemas do milênio, ou conjecturas famosas, deixamos as referências (4), (5), (6) e (7) como indicações.

3. CONJECTURA (FORTE) DE GOLDBACH

Nesta seção apresentaremos o Conjectura (forte) de Goldbach e a prova da sua veracidade pelo método de demonstração por redução ao absurdo.
Conjectura (forte) de Goldbach: Todo número par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois primos.

Demonstração. Note que todo número par maior que 2 é a soma de dois primos ou é a soma de um primo com um ímpar composto ou é a soma de dois ímpares compostos.

Pelo fato da verificação em computadores que mostraram para vários números pares em sequência e muito grandes que os mesmos sempre são a soma de dois primos, iremos provar que
quaisquer somas de qualquer primo ímpar com qualquer ímpar composto ou a soma de quaisquer dois ímpares compostos, cuja as mesmas sejam maiores que 10, é a soma de dois primos.

Para tanto suponhamos, por absurdo, que algum número par maior que 10 fosse a soma de um número primo, p0, com um número ímpar composto, C0, ou seja p0+C0, e esta soma nunca fosse a soma de dois primos. Além disso, note que todo número par maior que 10 admite um número impar composto, digamos Cx, com Cx+2 sendo primo.

Agora, tomemos o maior número impar composto, digamos Cx, menor do que p0+C0 com Cx+2 sendo primo e o menor primo, digamos px, menor do que p0+C0 tais que Cx+ px < p0+
C0 . Veja que p0+C0=Cx+2+ px, contraria nossa suposição, pois px e Cx+2 são primos. Daí, pela minimalidade de px e pelo maximal de Cx, temos que Cx+px < p0+C0<Cx+2+px. Então, subtraindo o termo Cx+ px em todos os membros da expressão Cx+ px < p0+C0 <Cx+2+ px obtemos que 0 < p0 +C0 – (Cx + px) < 2. Ou seja, o número par p0+C0 -(Cx + px) = 1. ABSURDO!

Analogamente, suponhamos, por absurdo, que exista algum número par maior que 10 sendo a soma de dois números ímpares composto, digamos C0+C1, e esta soma nunca fosse a soma de dois primos. Além disto, podemos tomar um primo p0 <C0+C1 admitindo números ímpares compostos menores que ele.

Vamos, agora, tomar o maior número ímpar composto menor do que C0+C1, digamos Cx, e cujo seu sucesso impar seja primo e o menor primo ( que admita ímpares compostos menores que ele), digamos px, menor do que C0 +C1 , tais que Cx + px < C0 +C1. Isto implica, pela minimalidade de px e pelo maximal de Cx no seguinte resultado Cx+px <C0+C1 <Cx+2+px, pois, se C0 +C1 = Cx +2+ px, o fato de Cx+2 ser primo teríamos que a expressão C0 +C1 seria a soma de dois primos,o que contraria nossa suposição. Finalmente, subtraindo o termo  Cx + px em todos os membros da expressão Cx + px < C0 +C1 < Cx +2+ px obtemos que 0 <C0+C1- (Cx+ px) < 2. Ou seja, o número par C0+C1-(Cx+ px) = 1. ABSURDO!

Portanto, todo número par maior do que 10 pode ser representado pela soma de dois números primos, pois a mesma, como provamos acima, representa sempre a soma de um número primo com um ímpar composto ou é a soma de dois ímpares compostos. Além disto, temos que 2+2 = 4, 3+3 = 6, 3+5 = 8 e 5+5 = 10 . Então podemos concluir que todo número par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos.

4. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Provar um resultado matemático vai muito além de um simples estudo contemporâneo ou uma invenção tecnológica, pois se tal afirmação matemática for provada ela se torna uma verdade universal e imortal.

A Conjectura (forte) de Goldbach é um exemplo disto. Nosso artigo expõe um resultado importante de aproximadamente 300 anos sem solução com uma solução não tão pesada. Não menos importante, a Demonstração da Conjectura de Collatz também é uma grata surpresa neste trabalho. Além da Conjectura de X que pode ser explorada ainda mais em futuros trabalhos.

Esperamos com este artigo incentivar os leitores a se tornarem estudiosos ou até mesmo pesquisadores na área da Teoria dos números, análise real ou afins em prol do desenvolvimento
dessa brilhando conquista da humanidade chamada de matemática.

REFERÊNCIAS

1. Portal do geogebra. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/EmQ3jQdB. Acesso em 17 de abril de 2019.
2. ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. 18 Ed. São Paulo: Nobel,
1975.
3. LIMA, Elon Lages Análise Real. vol. 1 Coleção Matemática Universitária, SBM,. Rio de Janeiro, 2001.
4. Portal do obaricentrodamente. Disponível em: https://www.obaricentrodamente.com/2014/01/ conjecturas-de-seba-sobre-distancia_25.html. /PROBLEMAS_MATEMATICOS_DO_SECULO_XXI.pdf. Acesso em 14 de abril de 2019.
5. Portal do wikipedia. Disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Problemas_em_aberto_da_ma tem%C3%A1tica. Acesso em 17 de abril de 2019.
6. Portal do cienciahoje. Disponível em: http://cienciahoje.org.br/artigo/primos-que-podemfazer- historia/. Acesso em 17 de abril de 2019.
7. Portal do hypescience. Disponível em: https://hypescience.com/problemas-matematica/. Acesso em 17 de abril de 2019.

APÊNDICE A

Conjectura de X: A soma de quaisquer dois números primos ímpares, cuja essa soma é maior que 10, pode ser representada pela soma de um primo ímpar com um ímpar composto ou por a
soma de dois ímpares compostos.

Demonstração. De fato, suponhamos por absurdo, que exista uma soma de dois primos ímpares
maior do que 10, digamos px+py, que nunca seja igual a soma de um primo ímpar com um ímpar composto, ou nunca seja a soma de dois ímpares compostos. Agora, tomemos o maior ímpar
composto, digamos C0, e o menor primo ímpar, digamos p0, tais que C0+ p0 < px+ py. Observe que se C0+(2+ p0) = px+ py então px+ py seria a soma de um número ímpar composto, Co,
com um número ímpar primo ou impar composto, pois 2+ p0 pode ser ou ímpar primo ou ímpar composto, mas isto está em contradição com nossa suposição. Logo como C0 é o maior composto ímpar e p0 é o menor primo tais que C0 + p0 < px + py então temos, obrigatoriamente, que C0+ p0 < px+ py < (C0+2)+ p0. Daí encontraríamos 0 < (px+ py)-(C0+ p0) < 2, porém
como (px+ py); (C0+ p0) são ambos números pares, então (px+ py)-(C0+ p0) = 1 seria um número par. ABSURDO!

Mas esta contradição ocorreu devido termos suposto a conjectura falsa, logo ela é verdadeira.

APÊNDICE B

Conjectura de Collatz: Para todo número natural não nulo vale a seguinte regra: “Caso o número for par divida-o por 2, se for ímpar multiplique o por 3 e adicione 1, e fazendo assim
sucessivamente, chega-se sempre ao número 1.”

Demonstração. Suponhamos que exista pelo menos um número a natural não nulo que o procedimento dessa regra nunca chegue ao número 1. Ou seja, esse processo nunca tenha fim. Independente se esse número a seja par ou ímpar, teremos sempre uma expressão do tipo

Para simplificar a linguagem matemática escrevamos assim

Número natural não nulo que seja exceção a esta regra. Portanto, a Conjectura de Collatz é verdadeira.

[1] Graduado e mestre em Matemática, professor de matemática no IFPI-SRN.

Enviado: Março, 2019

Aprovado: Abril, 2019

4 COMENTÁRIOS

  1. O “e” sao as somas dos expoentes de base dois que se repetem infinitamente em cada etapa do processo. Obrigado por comentar!

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