Aproximações para Enésimo Número Primo

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DOI: 10.32749/nucleodoconhecimento.com.br/matematica/enesimo-numero
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ARTIGO ORIGINAL

OLIVEIRA, Miguel Araújo [1]

OLIVEIRA, Miguel Araújo. Aproximações para Enésimo Número Primo. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano 05, Ed. 12, Vol. 06, pp. 64-72. Dezembro de 2020. ISSN: 2448-0959, Link de acesso: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/matematica/enesimo-numero, DOI: 10.32749/nucleodoconhecimento.com.br/matematica/enesimo-numero

RESUMO

Este artigo tem como principal objetivo apresentar uma fórmula algorítmica para calcular o enésimo número primo. Tal fórmula é essencial para partirmos do estado inicial para algum algoritmo mais desenvolvido no futuro. Grandes matemáticos deixaram suas pequenas e grandes descobertas, algumas podendo servir de suporte para a fórmula que será apresentada neste material. Futuramente, esse material pode ser usado para o progresso nos estudos relacionados à teoria dos números podendo enfim, concluirmos uma fórmula fechada para o termo primo geral. Cada contribuição é importante. Logo, todos os pequenos avanços nos fazem chegar mais próximos daquilo que realmente queremos alcançar. Dada a fórmula presente neste artigo, é de suma importância o total compreendimento para que futuros matemáticos possam tomar como inspiração do desenvolvimento possivelmente precoce após essa descoberta. Atribuído de todo o conhecimento sobre a definição de números primos, esse trabalho apresentará uma demonstração da fórmula podendo facilmente ser interpretada pelo leitor.

Palavras-Chave: Fórmula, enésimo termo, número primo.

INTRODUÇÃO

As sequências possuem padrões definidos. Alguns padrões são difíceis de encontrar, como por exemplo: 2, 8,666…, 10,888…, 11,6296296296…, 11,8765432099…, e assim por diante. O segredo por trás dessa sequência é:

onde a1 é o primeiro termo da sequência.

⅔+8 = 8,666… , 8,666…/3+8 = 10,888… e assim por diante.

A sequência dos números naturais obedece uma regra simples. (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … ). Observe que essa sequência aumenta de 1 em 1 conforme prossegue.

Veja que a equação nesse dois exemplos funciona para todos os termos da sequência se porventura funcionar para o primeiro. Verificando que a sequência é (1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … ) vemos que, a1 = 1, logo 1 + 1 = 2. Considerando 2 como a1, temos 2 + 1 = 3, e assim por diante. Nesses casos é muito simples definirmos o modelo que rege a sequência. Mas, se tratando de números primos o segredo é quase impossível de ser desvendado.

APROXIMAÇÕES PARA SEQUÊNCIAS SIMPLES

A sequência dos números pares e ímpares é bem interessante, pois as duas consiste na soma de 2 números em relação aos 2 primeiros. Assim como visto no exemplo anterior, podemos modificar o modo com que encontramos os valores da sequência. Exemplo:

Os números pares; (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, … ), observe que a regra por trás dessa sequência é:

pois, se a1 for 0, então 0 + 2 = 2, dado um novo a1 = 2, temos 2 + 2 = 4, e assim por diante. Mas, observe que temos outra forma para determinar os elementos dessa sequência:

dessa forma, usando as regras de arredondamento, podemos determinar os valores pares da sequência.

a1 + 51/30 com a1 = 0, temos 0 + 59/30 = 1,9666…, arredondando 1,9666… para inteiro, temos 2. Dado a1 = 2, temos 2 + 59/30 = 3,9666…, arredondando 3,9666… para inteiro, temos 4. Esse algorítmico serve para definir qualquer sucessor par, como por exemplo o número par depois de 12563456. Dado a1 = 12563456, temos 12563456 + 59/30 = 12563457,9666…, arredondando 12563457,9666… para inteiro, temos 12563458.

TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Com base no que já foi apresentado até aqui, podemos também determinar o enésimo termo de uma sequência. Dada a sequência dos números pares a seguir:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …

sabemos que o primeiro termo dessa sequência é 0, o segundo termo é 2, o terceiro termo é 4, o quarto termo é 6, e assim por diante. Mas, qual a regra por trás disso? Como podemos saber qual o quadragésimo oitavo termo dessa sequência sem ficar somando de 2 em 2 até chegarmos na resposta?

onde n é a posição do termo que queremos encontrar, nesse caso o 48° é n = 48, então 2 x 48 = 96, então 96 é quadragésimo oitavo termo da sequência dos números pares.

Por conseguinte, as sequências cuja possuem uma razão ≠ 2, temos a seguinte fórmula criada por Carl Friedrich Gauss (1777-1885).

onde an é termo geral a ser descoberto, a1 é o primeiro termo da sequência, n é a posição do termo geral e r a ordem de distribuição da sequência conhecida com razão. Vamos a um exemplo:

Dada a sequência (0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, …), sabemos que o primeiro termo é 0, o segundo termo é 3, o terceiro termo é 6 e logo percebemos que a ordem de distribuição é de 3 em 3, sabendo esses dados qual seria o milésimo sexto termo dessa sequência?

an = a1 + (n – 1) . r

an = 0 + (1006 – 1) . 3

an = 0 + (1005) . 3

an = 0 + 3015

an = 3015

Concluímos que, 3015 é o 1006° termo dessa sequência. No entanto, há sequências praticamente impossíveis de determinarmos sua razão, tornando muito difícil encontrar seu termo geral ou enésimo valor. Como exemplo temos a sequência dos números primos.

NÚMEROS PRIMOS

Os números primos são os átomos da Matemática, quando um número não é primo ele é composto por primos. Há casos quando um número não é nem primo e nem composto, como é caso dos números binários. Toda essa relação tem uma sintonia fina matemática por trás da aura do Universo. Cabe aos matemáticos descobrirem o que regem tais leis e determinar suas regras para fins evolutivos em espécie. Sabemos que os números primos estão aí, mas o que não sabemos é qual fórmula gera números primos. O principal intuito desse artigo é apresentar um algorítmico formular que consiste no encontro do termo geral primo.

Observando a sequência a seguir, vemos a beleza como que esses números se comportam:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

observe que, é praticamente impossível descobrir sua ordem de propagação. Veja que a razão entre os dois primeiros termos é 1, já a razão entre o quarto e quinto é 4. É evidente que a razão é particular em cada um dos casos, logo não podemos usar a fórmula de Gauss para determinar o termo geral dessa sequência.

ENÉSIMO TERMO PRIMO

A fórmula aproximada para a sequência dos números primos que será apresentada agora, é relativa ao modelo usado na “aproximação para sequências simples”. No entanto temos

Chamaremos “piso de w” a parte inteira de w, usando o símbolo 𝓟. Portanto, o termo geral da sequência de números primos fica assim

sabendo que o arredondamento de 𝓟(w) é par, o enésimo primo será o arredondamento de 𝓟(w), mais 1.

Veja este exemplo para n = 8:

Lembre-se que, relacionado a sequência de números pares, estamos bem próximos de descobrirmos um padrão para a sequência dos primos. Às vezes o valor de an não é tão próximo do valor, às vezes, conseguimos gerar primos de outras casas e por vezes a sua parte inteira é o primo em si. O mais lindo nisso tudo é que com essa visão podemos futuramente desvendar a fórmula fechada para números primos. Dentre alguns dos exemplos que pode acontecer com o valor de an citado temos um exemplo simples. Usando essa fórmula de aproximação para sequências, vamos calcular o quinto e milésimo número primo. Assim, temos

an = 10π^0,9595…/ 3 ⇨ 9,9975606656 arredondando para inteiro temos an = 10. Lembre-se que, se arredondamento de 𝓟(w) for par, então o valor de an=10+1. Logo, concluímos nesse exemplo que, o quinto número primo é 11.

Para n = 1000 usamos o mesmo processo com as mesmas regras e corolários. No entanto, é de suma importância fazermos os cálculos detalhadamente para não concluirmos o valor do n ésimo primo errado quando se trata de termos gerais grandes como vamos verificar no próximo:

an = 7921π0,9595…/3 ⇨ 7919,0678032296 arredondando para inteiro, temos an = 7919.

METODOLOGIA

Usa-se o maior número de dados possíveis para podermos definir um padrão. No entanto, o padrão real é quase que impossível. Porém, com pesquisas e com muito esforço conseguimos chegar ainda mais perto no que desejamos.

Verificamos que existem diversas fórmulas que nos mostram a aproximação para números primos. Todas elas em algum dia serão realmente úteis. Dentre estas fórmulas, temos

  1. FÓRMULA DE APROXIMAÇÃO PARA ENÉSIMO PRIMO ASSÍNTOTA.
Fonte: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/mersenne/node18.html.

Entendendo e absorvendo a aura de todas essas fórmulas, podemos criar uma nova, ainda mais próxima, para desvendar esse mistério. Contudo, a fórmula apresentada neste é graficamente, um pequeno avanço na compreensão dos números primos.

RESULTADOS E DISCUSSÃO

Este artigo apresentou uma forma de calcular o enésimo número primo. Tal forma é essencial para partirmos do estado inicial para algum algoritmo mais desenvolvido no futuro. Grandes matemáticos deixaram suas pequenas e grandes descobertas, algumas podendo servir de suporte para a fórmula que fora apresentada neste material. Futuramente, esse material pode ser usado para o progresso nos estudos relacionados à teoria dos números podendo enfim, concluirmos uma fórmula fechada para o termo primo geral. Cada contribuição é importante. Logo, todos os pequenos avanços nos fazem chegar mais próximos daquilo que realmente queremos alcançar.

Observe que, em nosso primeiro exemplo dos números pares o algorítmico que foi apresentado pode nos dar com precisão o número par, o que falta é descobrir o modelo por trás da sequência dos primos. Acredito que o modelo apresentado neste artigo pode ajudar no avanço da compreensão do real mistério que envolve os números primos.

Dada a fórmula presente neste artigo, é de suma importância o total compreendimento para que futuros matemáticos possam tomar como inspiração do desenvolvimento possivelmente precoce após essa descoberta. Atribuído de todo o conhecimento sobre a definição de números primos, esse trabalho apresentará uma demonstração da fórmula podendo facilmente ser interpretada pelo leitor.

DEMONSTRAÇÃO PARA PARTE INTEIRA DE 𝓟(W)

Dado n=1, temos an=2. Se o piso de [0,904554885-( 0,904554885√0,6348 )+√5 ]=2 quando n vale 1, então n ∈ IR. Logo a imagem de f(k)={k-[ k√0,6348 ]+√5} tem parte inteira um número primo, ∀ n ∈ IP.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E CONSIDERAÇÕES FINAIS

Sabemos que os números primos são infinitos e que qualquer descoberta voltada para um avanço significativo relativo aos números primos é de suma importância e gera prêmios e etc. No entanto, o principal foco desse artigo é avançar milimetricamente nesse campo contribuindo ativamente para sua compreensão assim como foi usado exemplo dos números pares a1+59/30.

Existe uma fórmula assintótica para encontrarmos os primos, com base nessa fórmula foi realizada alguns estudos no passado para entender o comportamento gráfico dos números primos. Um de seus principais mistérios é seu comportamento gráfico.

  1. FUNÇÃO π(x), PARA X ∈

Fonte: Pesquisa no Google[2]
Com base  nos conhecimentos obtidos por Bernhard Riemann (1826-1886), conseguimos entender com uma baixa precisão o comportamento dos números primos graças a sua descoberta. Com isso, deu-se mais um avanço significativo nesta área da Matemática. Esse conceito gráfico foi a fonte de inspiração para a elaboração desse artigo, pois sem os conhecimento obtidos por Bernhard Riemann não seria possível chegar aonde chegamos. No entanto, o que Riemann não conseguiu foi dar continuidade a fórmula para calcular o termo geral não composto. Contudo, essa tarefa fica para as próximas gerações pois Riemann já deixou sua contribuição.

REFERÊNCIAS

FÓRMULAS PARA PRIMOS E TESTE DE PRIMALIDADE: Disponível em: <http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/mersenne/node18.html>.

FUNÇÃO PARTE INTEIRA: Disponível em: <https://olimpedia.fandom.com/pt-br/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_Parte_Inteira#:~:text=A%20parte%20inteira%20de%20um,com%20%22arredondar%20para%20baixo%22.>.

FUNÇÃO DE CONTAGEM: Disponível em: <https://www.google.com/url?sa=i&url=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FRiemannPrimeCountingFunction.html&psig=AOvVaw0Wicgsmc2kX-YQ6vKBBYlH&ust=1602798217788000&source=images&cd=vfe&ved=0CA0QjhxqFwoTCPC8g6j5iOwCFQAAAAAdAAAAABAJ>.

NÚMERO PRIMO. In: WIKIPÉDIA: a enciclopédia livre. Wikipédia, 2020. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo>.

SÓ MATEMÁTICA: “Progressões” em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2020. Consultado em 14/10/2020 às 13:58. Disponível na Internet em: <https://www.somatematica.com.br/emedio/pa/pa3.php>.

BIOGRAFIA DE RIEMANN: Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann>.

APÊNDICE – REFERÊNCIA DE NOTA DE RODAPÉ

2. Disponível em:  https://www.google.com/url?sa=i&url=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FRiemannPrimeCountingFunction.html&psig=AOvVaw0Wicgsmc2kX-YQ6vKBBYlH&ust=1602798217788000&source=images&cd=vfe&ved=0CA0QjhxqFwoTCPC8g6j5iOwCFQAAAAAdAAAAABAJ

[1] Estudante de Licenciatura em Matemática no Centro Universitário Leonardo da Vinci, Técnico em Auxiliar administrativo pelo Instituto Federal do Pará. Vínculo com Centro Universitário Leonardo da Vinci.

Enviado: Outubro, 2020.

Aprovado: Novembro, 2020.

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