Matemática e música: uma abordagem analítica do som do trompete

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ARTIGO ORIGINAL

SILVA, Wellysson de Souza [1], FREITAS, Érica Danyelle Mendes de [2]

SILVA, Wellysson de Souza. FREITAS, Érica Danyelle Mendes de. Matemática e música: uma abordagem analítica do som do trompete. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano 04, Ed. 09, Vol. 06, pp. 21-33. Setembro de 2019. ISSN: 2448-0959, Link de acesso: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/matematica/matematica-e-musica

RESUMO

Este trabalho pretende descrever algumas relações matemáticas existentes no comportamento sonoro do trompete, mapeando, analisando e por fim descrevendo analiticamente o comportamento de algumas notas produzidas por ele. Nesse estudo, a utilização de softwares foi fundamental e decisiva na obtenção dos resultados. A metodologia utilizada foi à descritiva e experimental, pois a partir de um experimento, foi possível a análise sonora, visando através da análise de Fourier chegar às descrições dos resultados necessários. Para concluir identificaremos e descreveremos as relações matemáticas existentes nas estruturas sonoras do trompete. Descrever um fenômeno matematicamente, não é tarefa fácil, pois diversos parâmetros devem ser levados em consideração com muito rigor, prosseguindo dessa forma, este trabalho descreve não o fenômeno que ocorre na produção sonora do trompete, mas descreve algumas relações matemáticas no comportamento sonoro deste.

Palavras-chaves: Matemática, música, trompete, análise sonora, análise de Fourier.

INTRODUÇÃO

No estudo da matemática pura há uma ramificação chamada de análise matemática que deu início a partir de estudos sobre limites. O Cálculo Diferencial teve uma importância relevante na formulação teórica da Análise Matemática, sendo que este pode ser trabalhado não apenas no contexto dos números reais, como também no conjunto dos números complexos entre outros conjuntos. Com o desenvolvimento das ferramentas da análise, ramificou-se uma outra área de estudo da análise, também relacionado ao cálculo de séries, a análise de Fourier, abundantemente utilizada com o avanço da tecnologia, por exemplo, nos celulares, DVDs entre outras.

Na evolução histórica, a matemática tornou-se uma ferramenta fundamental para o desenvolvimento sociocultural da humanidade, o que se evidencia no avanço das diversas tecnologias. A matemática em conjunto com outras ciências, pode ser utilizada como ferramenta para o estudo de fenômenos naturais. Na física, por exemplo, diversos fenômenos naturais podem ser analisados e descritos matematicamente. Mas, vale apena ressaltar que outras fontes matemáticas também servem de base para que esse avanço tecnológico aconteça. Essas ferramentas matemáticas também contribuíram em diversas áreas do conhecimento humano.

A música, como uma área do conhecimento humano, teve um avanço significativo, que foi possível a partir dos Pitagóricos que conseguiram relacionar diversas noções de proporções aritméticas com conceitos musicais, matematizando assim a música. Como os Pitagóricos acreditavam que tudo podia ser escrito em forma de razão, estudaram a música relacionando conceitos matemáticos com razões sonoras, proporcionando assim um avanço na teoria musical.

No estudo da música, dependendo das ferramentas matemáticas utilizadas, pode ser simples, no entanto, pode ser muita mais complexa do que se pensa. No estudo de sua teoria, por exemplo, podem ser utilizados diversos conceitos matemáticos ditos triviais, como por exemplo, frações, logaritmos e outros. Quando se trata de estudos de comportamentos do som percebe-se que não é tão simples, pois aglomera diversos conceitos matemáticos, definições de equações diferenciais parciais entre outros, aos quais não são muito compreensíveis.

Nos dias atuais diversas são as estruturas musicais. Novas composições como a eletroacústica, a música fractal, estocástica entre outras. O fato do surgimento de novas estruturas musicais deu-se a partir dos avanços da teoria musical e das tecnologias com bases matemáticas.

Partindo dessas relações já existentes entre a matemática e a música, deu-se início ao estudo na produção sonora do trompete, a fim de mapear analiticamente possíveis relações existentes no som produzido por ele. Para levantamento de dados do estudo foi feita uma pesquisa do tipo experimental, a qual culminou com a gravação de algumas notas musicais produzidas pelo trompete, em seguida feita uma análise das mesmas.

Descrever um fenômeno matematicamente, não é tarefa fácil, pois diversos parâmetros devem ser levados em consideração com muito rigor, prosseguindo dessa forma, este trabalho descreve não o fenômeno que ocorre na produção sonora do trompete, mas descreve algumas relações matemáticas no comportamento sonoro deste.

RELAÇÃO MATEMÁTICA E MÚSICA

A relação matemática e música é uma relação muito antiga, pois o início se deu com o matemático Pitágoras, depois da descoberta das proporções relacionadas aos intervalos de oitava, os intervalos de quinta e de quarta. Nesta época, para os gregos, esta relação era tão óbvia que nas escolas de Pitágoras, Platão e Aristóteles a música era tida como parte que integrava a matemática, que em conjunto com a aritmética, a geometria e a astronomia, formavam quatro vias, as quais a matemática se dividia. Formato se fazia presente em diversos tratados matemático, no início de nossa era, ela foi adotada como pré-requisito para o estudo da filosofia, que durou até o fim da idade média.

Com o renascimento, a teoria musical tornou-se uma área independente, no entanto as ligações foram mantidas, até se tornarem mais notáveis. A matemática mostrou-se indispensável para que a música pudesse evoluir em vários aspectos: na construção de sistemas que determina cada som que ouvimos, na fundamentação teórica dos processos da análise e na composição musical. Todos esses aspectos estão relacionados através da acústica, e mais recentemente, na música digital e na síntese do som, mas não só a esses dois processos, além desses existem outros.

Segundo Abdounur (1999, p. 7):

A matemática e a música possuem laços profundos já conhecidos desde a Antiguidade. As primeiras manifestações de algum tipo de relação entre essas áreas aparentemente tão diferentes perdem-se, como dizem os historiadores, na noite dos tempos, uma vez que em quase todos os povos da Antiguidade encontram-se registros destas áreas em separado. Por exemplo, o poder conquistador supra-humano da música já se expressa na mitologia grega em Orfeu, cujo canto acompanhado de lira sustava rios, amansava feras e movias pedras. A matemática também faz-se presente desde os tempos mais remotos, por exemplo, na contagem de objetos.

Na antiguidade foram várias as civilizações que realizaram experiências no campo da acústica. Mas, os primeiros indícios estão relacionados à civilização Grega, por meio dos Pitagóricos.

Só existem registros, que nos datam, localizam e personificam trabalhos relativos ao som, a partir da Grécia antiga (há cerca de 2500 anos), quando grandes pensadores começam a tentar dar resposta às perguntas mais prementes. Assim, ainda que se suponha que o Homo Sapiens já suspeitava, há muitos anos a essa parte, ser o som um fenômeno ondulatório, idêntico ao que ocorre na superfície livre de um líquido, quando é perturbado, Aristóteles (384-322 a.C.) é um dos primeiros, de que há registro, a tentar explicar o som como o resultado do movimento do ar, movimento este produzido pela fonte sonora (HISTÓRIA… 2011, p. 3].

Para tal, muito terá contribuído o papel de relevo desempenhado pela música nas cerimônias gregas, assim como os instrumentos por eles utilizados: instrumentos de cordas, sobretudo a cítara, ligados ao culto de Apolo; e os de sopro, sobretudo a flauta, ligados ao culto de Dionísio. Tais instrumentos devem ter sido bastante sugestivos aos Pitagóricos, pois tanto as cítaras, com as suas cordas vibrantes, como a flauta, com os seus furos alinhados e regularmente espaçados, se prestam a observações que associam a acústica à aritmética.

Com relação a esses fatos históricos Abdounur (1999, p. 8) relata:

O primeiro registro científico, de fato, associando matemática e música ocorre por volta do século VI a.C. na Grécia Antiga, na escola pitagórica. Estes pensadores relacionaram intervalos musicais com o conceito matemático de frações, há mais de 2000 anos, fazendo uso de um instrumento de uma corda que denominavam monocórdio. Cientificamente como foi o primeiro registro, tal experiência promoveu um vasto número de discussões na Grécia e posterior à cultura grega sobre teoria musical possuindo razões matemática como característica principal.

Com essas discussões sobre teoria musical, foram impulsionadas várias descobertas inclusive o sistema harmônico o qual utilizamos na música dos dias atuais.

DIGITALIZAÇÃO DO SOM

O processo de gravação para digitalização do som pode ser descrito em analógico e o digital. Estes processos têm funções diferentes assim definidos por Henrique (2002, p. 718):

(…) gravação analógica a forma de onda de sinal é análoga a forma de onda do som original captado. A variação contínua da onda sonora( e amplitude e frequência) provoca uma variação contínua do sinal elétrica. Numa gravação digital o sinal acústico captado pelo microfone é digitalizado, isto é, convertido num sinal digital através de um dispositivo designado conversor analógico/digital (A/D). na reprodução, o som digital é transformado em analógico, para que possa ser difundido por altifalante, através de um conversor digita/analógico (A/D). A representação digital do som é codificado sendo o processo mais comum designado pulse code manipulation.

No processo analógico é comum ocorrem ruídos devidos alguns contatos na parte elétrica ou até mesmo na parte eletrônica. Já no digital maior parte dos ruídos e da distorção é eliminada. Henrique (2002, p. 719) esclarece o que ocorre no processo obtenção da digitalização do som:

Um sinal pode ser obtido discretizando um sinal contínuo. Note que essa discretização é feita em duas dimensões (Hartmann, 1999): é uma função discreta do tempo porque o sinal é samplado no tempo, e é também discreto na dimensão vertical (amplitude) em que o número de valores inteiros distintos que o sinal pode ter se específica pelo número bits. Ao fazer a digitalização de um sinal faz-se uma aproximação em degraus à onda analógica. A diferença entre duas ondas, a real e a aproximação, surge como um ruído. Definir o número de bits a usar na conversão corresponde a decidir qual será o nível de ruído de fundo.

No processo de digitalização do som é importante ressaltar a síntese sonora que diz respeito a um processo que constrói um determinado sinal a partir dos elementos que os constituem (o processo oposto é chamado de análise em que se decompõe o todo em partes). (HENRIQUE, 2002). Nessa síntese um instrumento musical eletrônico chamado de sintetizador, gerando formas de circuitos com processadores de sinal de áudio (RUBIN apud HENRIQUE, 2002). Esse instrumento é construído por vários módulos, são eles: geradores, filtros moduladores entre outros. Em geral a síntese do som está relacionada ao processamento digital do som.

CARACTERÍSTICAS DO EXPERIMENTO E FERRAMENTAS UTILIZADAS NA ANÁLISE SONORA

O experimento foi realizado no dia 31 de março de 2011 à 12h30min no estúdio de gravação, estúdio Z, localizado na Rua Coronel Nicácio, 170, bairro Dom Jaime Câmara, Mossoró- RN.

Na oportunidade aconteceu a gravação de algumas notas musicais do trompete. Para a realização desta gravação foi utilizado um trompete Weril série beta afinado em Síb (si bemol) com campana de 124 mm, com válvulas de aço e bocal Monette feito de bronze.

Além destes, foi utilizado um microfone condensador, com referência CO3 SANSOM CONDENSA, a resposta de frequência do CO3 DA SANSOM, vai de 40 Hz a 180 Hz, possui também uma chave de atenuação de 10 dB. Embora não tenha sido utilizado, ele possui um filtro chaveável para cortes de graves abaixo de 100 Hz (MICROFONE…, 2011). A placa de áudio utilizada foi a DELTA 1010 LT, ela grava em 24 bits a 96 kHz, possui um monitor de latência zero e um sistema de mixagem e roteamento digital. (PLACA…, 2011).

A mesa de som utilizada foi a behringer canais com referência TENAT 204 FX, e o software usado na gravação foi SONAR 08. O microfone constava de uma tela ANTI PUFF, que evita pequenos ruídos de sopro que podem ser causados no momento da gravação. Durante a gravação o termômetro marcava uma temperatura de 17ºC.

Neste processo de obtenção do áudio foram gravadas três notas musicais do trompete: o Síb3 com frequência de 236 Hz, o Fá3 com frequência de 353 Hz e o Síb4 com frequência de 454 Hz. A escolha dessas notas deu-se pelo fato delas estarem inseridas em um mesmo Harmônico do Síb, a qual é a nota em que o trompete está afinado. Cada uma dessas notas foi gravada três vezes e foram escolhidas aquelas amostras que mantiveram melhor qualidade sonora para que fosse feita análise.

Da sequência das amostras de áudio gravadas foram escolhidas a 2ª (segunda), a 5ª (quinta) e a 8ª(oitava). A primeira amostra escolhida foi a do Síb3, que teve uma duração de aproximadamente 8,5 segundos, já o Fá3 teve uma duração de aproximadamente 4 segundos e no Síb4 também durou aproximadamente 4 segundos.

Nestas amostras escolhidas foram descartados os extremos do áudio, ou seja, o ataque e o decaimento foram descartados. Com isso ficando apenas com a sustentação, da sustentação foram recortados aproximadamente 1 segundo.

Para o Síb3 foi analisado áudio no trecho compreendido entre 25 e 26 segundos. O Fá3 foi analisado no trecho de 46 a 47 segundos. A terceira Síb4 foi recortada para análise sonora no trecho entre 1 min. 12 s a 1 min.13 s. Vale apena ressaltar que na gravação dos áudios não foram inclusos nenhum tipo de efeito sonoro, apenas cortes.

Para melhor compreensão do que foi realizado nas amostras, observe as ondas produzidas pelo trompete em cada nota, das quais foram analisadas. A primeira representação da onda foi a do Síb3 com frequência 236 Hz.

Figura 1: Imagem Onda do Síb3 com frequência 236 Hz

Fonte: Autoral.

Todas as ondas foram analisadas na mesma escala. Na segunda representação da onda está a onda do Fá3.

Figura 2: Imagem da onda do Fá3 com frequência 353 Hz.

Fonte: Autoral.

Claramente é observado que as ondas do Sí3 e Fá3 são diferentes. Nesta última representação de onda está o Síb4 com frequência de 454 Hz. O qual também tem um comportamento diferente das demais.

Figura 3: Imagem da onda do Síb4 com frequência 454 Hz.

Fonte: Autoral.

Neste processo de análise sonora foi utilizado o software AUDACITY, que através das transformadas de Fourier gera uma tabela com todas as frequências e as amplitudes existentes no áudio. Além disso, fornece a representação espectral.

Com a tabela de frequência (Hz) e a amplitude (dB), foi possível através de outro software o Origin. 8.0 gerar o gráfico dos dados já obtidos. A partir destes gráficos fez-se uma interpolação para obtenção de outro gráfico, o qual se aproximasse ao máximo do gráfico dos dados, prosseguindo dessa forma foi possível chegar à função que estabelecesse o comportamento do som do trompete.

ANÁLISE DO SÍB3 COM FREQUÊNCIA DE 236 HZ

Inicialmente foi analisado o Síb3, onde gerou o seguinte espectro:

Figura 4: Espectrograma da Nota Síb3 Produzida Pelo Trompete

Fonte: Autoral.

O espectrograma foi analisado em 128 pontos, e sua representação foi através da função Gaussiana . Através de o ícone exportar, o software exporta todas as frequências e suas respectivas amplitudes. A partir desta tabela gerada encontrou-se utilizando o Origin. 8.0, o gráfico dos dados gerados:

Figura 5: Representação dos dados do Síb3, onde A são as frequências e B as amplitudes.

Fonte: Autoral.

Observando o comportamento da curva, percebeu que ela se comportava semelhante a uma curva exponencial, assim fez-se uma interpolação que gerou a seguinte relação entre os gráficos:

Figura 6: Gráfico de interpolação entre as curvas.

Fonte: Autoral.

Este gerou uma tabela que está representada todos os dados do gráfico de interpolação, inclusive a função:

Quadro 1: Valores de coeficientes da função obtida, e os erros.

Adj. R-square 0, 97297
Value Standard Error
B Y0 -72, 04804 760, 23799
B A1 44, 22312
B t1 2748, 82145
B A2 16, 18068 713, 21534
B t2 61862, 51276 3, 97367E6
B A3 23, 40893
B t3 2738, 70446

Fonte: Autoral.

A equação gerada pelo software para essa representação do Sí bemol com frequência 236 Hz é:

Os coeficientes Ai representam as amplitudes ,os ti são as constantes de decaimento, e Y0 é uma número real qualquer ,eles estão todos representados na tabela acima.

Outra relação interessante encontrada entre os parciais harmônicos e os não-Harmônicos do Síb3 é que tendo a frequência fundamental (236 Hz) é possível encontrar parciais não-harmônicos na vizinhança do parcial harmônico de ordem n.

A formula que representa o pacial não-harmônico antecessor ao parcial harmônico.

e

O e o são os parciais Não-harmônicos superior e o inferior ao harmônico, onde varia, . Assim conclui-se que o parcial harmônico é média aritmética entre e o :

ANÁLISE DO FÁ3 COM FREQUÊNCIA DE 353 HZ

De forma análoga ao Síb3 procedeu-se no Fá3, inicialmente gerou-se o espectrograma do áudio da amostra, onde gerou o seguinte espectro:

Figura 7: Espectrograma da Nota Fá3 Produzida Pelo Trompete.

Fonte: Autoral.

Ao analisar o espectrograma do Fá3, percebeu-se que o comportamento do gráfico gerado pelos dados exportados era semelhante ao gráfico Síb3.

Figura 8: Gráfico da representação dos dados do Fá3, onde A são as frequências e B as amplitudes.

Fonte: Autoral.

Observando o comportamento da curva, percebeu que ela se comportava semelhante a uma curva exponencial, assim fez-se uma interpolação que gerou a seguinte relação entre os gráficos:

Figura 9: Interpolação entre as curvas.

Fonte: Autoral.

A partir desta interpolação gerou a seguinte tabela, que também consta dos erros por não se tratar de uma curva onde intercepte todos os pontos:

Quadro 2: Valores de coeficientes da função obtida, e os erros.

Adj. R-square 0, 97297
Value Standard Error
B Y0 -63, 40917 1, 00299
B A1 24, 8025
B t1 3720, 8282
B A2 24, 8025
B t2 3720, 9532
B A3 24, 8025
B t3 3721, 1412

Fonte: Autoral.

A equação gerada pelo software para essa representação do Fá3 com frequência 353 Hz é:

Os coeficientes Ai representam as amplitudes ,os ti são as constantes de decaimento, e Y0 é uma número real qualquer e o x são as frequências, eles estão todos representados na tabela acima.

No Fá3 não foram encontradas nenhuma relação com os parciais harmônicos e os não harmônicos.

ANÁLISE DO SÍB4 COM FREQUÊNCIA DE 454 HZ

Na última nota analisada, o Síb4 produzido pelo trompete, foi possível através do Audacity gerar o seguinte espectrograma:

Figura 10: Espectrograma da Nota Síb4 Produzida Pelo Trompete.

Fonte: Autoral.

A partir dos dados gerados pelo Audacity foi possível através do Origin. 8.0 construir o gráfico:

Figura 11: gráfico da representação dos dados do Síb4, onde A são as frequências e B as amplitudes.

Fonte: Autoral.

O gráfico do Síb4 também tem o comportamento de uma função exponencial, desse modo, foi feita uma interpolação do gráfico dos dados obtidos com o gráfico de uma função exponencial.

Figura 12: Interpolação entre as curvas.

Fonte: Autoral.

A partir desta interpolação gerou a seguinte tabela, que também consta dos erros por não se tratar de uma curva onde intercepte todos os pontos:

Quadro 3: Valores de coeficientes da função obtida, e os erros.

Adj. R-square 0, 97297
Value Standard Error
B Y0 -55, 79916 1, 01348
B A1 22, 16793
B t1 3394, 3042
B A2 22, 16794
B t2 3394, 3048
B A3 22, 16728
B t3 3394, 3235 1, 2509E8

Fonte: Autoral.

A equação gerada pelo software para essa representação do Síb4 com frequência 454 Hz é:

Os coeficientes Ai representam as amplitudes ,os ti são as constantes de decaimento, e Y0 é uma número real qualquer e o x são as frequências, eles estão todos representados na tabela acima.

Nas amostras analisadas a função que mais se aproxima do comportamento das ondas sonoras produzidas pelo trompete é uma função exponecial,. Embora, os coeficientes A1, A2, A3, e as constantes de decaimento t1, t2, t3, sejam diferentes.

RESULTADOS E DISCUSSÕES

Na música como já visto, desde os primórdios já existia relações matemáticas as quais permitiram que ela pudesse ter um avanço no que diz respeito a seu aprimoramento. Nesta sessão será apresentado todas as relações que foram possíveis ser determinadas na produção sonora do trompete. A primeira relação matemática encontrada foi a do comportamento da curva produzida pelo Síb3 que gerou a seguinte função de aproximação.

Além dessa função, que representa o comportamento do som produzido pelo trompete, foi verificado outra relação entre os parciais harmônicos e o não harmônicos. A partir da frequência fundamental é possível encontrar os parciais não harmônicos da vizinhança de um parcial harmônico de ordem n.

As fórmulas representam os paciais não-harmônico antecessor e sucessor ao parcial harmônico.

e

Deste modo, é possível encontrar uma relação que represente o parcial harmônico.

No Fá3, também foi encontrada uma relação matemática a qual representa seu comportamento quando produzido pelo trompete.

Vale apena ressaltar que estas funções descritas são apenas aproximações como já foi visto na sessão anterior. No Fá3, neste estudo não foram encontradas outras relações matemáticas.

A terceira representa também o comportamento do Síb4 produzido pelo trompete, tendo como base uma função exponencial.

Por fim, estas são todas as relações matemáticas que foram possíveis ser descritas neste trabalho com o intuito de contribuição e enriquecimento a ciência. Entendemos que esse trabalho não é o fim de uma busca para determinar as relações matemática existentes nos objetos e principalmente nos instrumentos musicais.

CONCLUSÃO

Sabe-se que desde Pitágoras existe uma relação entre matemática e música através de noções de proporção aritméticas introduzidos por ele. A noção de proporção aritmética era tida como regra essencial na música. Na obra em latim de Re Oe dificatoria, publicada em Florença em 1485, Alberti expõe as condições necessárias a criação do belo, e defende que os intervalos agradáveis ao ouvido 8ª, 5ª e 4ª, obtidos por divisão de uma corda (1/2, 2/3, 3/4). A partir dessa descoberta em que a matemática está correlacionada direta ou indiretamente com a música, despertou o interesse na busca das relações matemáticas existentes na produção sonora do trompete.

Embora não tenham sido representadas todas as relações matemáticas existentes no som do trompete, foi possível identificar e representar algumas. Estas afinidades matemáticas representam de uma forma geral como o som do trompete se comporta nas notas, Síb3, Fá3, Síb4, as quais foram analisadas.

A pesquisa foi desenvolvida a partir da análise espectral com obtenção de dados através do software Audacity, neste há uma ferramenta que utiliza as transformadas de Fourier para chegar aos resultados da matriz das frequências e amplitudes geradas pelo espectrograma. Através dessa matriz foi utilizado outro tipo de software, o Origin.8.0, pelo qual foi possível gerar gráficos, e definir as funções apresentadas neste trabalho.

A análise sonora teve como parâmetros alguns conceitos acústicos como: o envelope acústico, digitalização do som entre outros. Muito embora durante a pesquisa fossem encontradas algumas dificuldades até mesmo no conhecimento de outros softwares que por sua vez viabilizassem certos parâmetros de comparação entre eles, no intuito de facilitar a análise matemática e até mesmo contribuir nos testes aqui realizados.

Resultados obtidos nos experimentos deste trabalho permitiram descrever algumas equações, as quais representam o comportamento do som produzido pelo trompete. Foi possível ainda descrever equações que representam os parciais não harmônicos e os harmônicos presentes no Síb3. A utilização de softwares foi fundamental para encontrar os dados necessários que facilitassem a pesquisa.

Este por se tratar de um trabalho interdisciplinar não foi tão fácil de desenvolvê-lo, pois são poucos os trabalhos já realizados referentes ao tema abordado. Porém, com todas as dificuldades encontradas, todos os objetivos que nortearam a pesquisa foram alcançados da forma mais conveniente possível. Com esses resultados alcançados neste trabalho, abre-se uma janela para trabalhos futuros, no que se refere à modelagem matemática na produção sonora dos instrumentos musicais. Além, desta possibilidade de modelação matemática, podem ser desenvolvidos softwares que permitam ouvir o som a partir do gráfico, ou a partir da função dada.

O presente estudo mostra também que se faz necessário uma busca maior a respeito das relações matemáticas existentes nos instrumentos musicais, a fim de mapeá-los e construir modelos matemáticos equivalentes, com o auxílio de softwares, que possibilitem aos fabricantes construírem instrumentos cujo som seja equivalente ao som “teoricamente perfeito”, por ele analisado.

Portanto, fica aberta a possibilidade de novos estudos acerca dos instrumentos musicais.

REFERÊNCIAS

ABDOUNUR, Oscar João. Matemática e música: O pensamento analógico na construção de significados. 2. ed. São Paulo: Escrituras Editora, 1999.

Henrique, Luiz L. Acústica Musical. 2. ed. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 2002. 718 p.

HISTÓRIA RELATIVA AO SOM. Disponível em: <http://gestaodoruido.no.sapo.pt/HistoriaRelativaSom.htm>. Acesso em: 05 abr. 2011.

MICROFONE CONDENSADOR. Disponível em: <www.samsom.com>. Acesso em: 05 abr. 2011

PLACA DE ÁUDIO. Disponível em: <http://www.delta.com>. Acesso em: 05 abr. 2011

[1] Pós- Graduado em Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio – IFRN. Graduado em Licenciatura em Matemática – UERN.

[2] Pós-graduanda a nível de Especialização em Ensino de Ciências Naturais e Matemática – IFRN, Graduada em Licenciatura Plena em Matemática – UERN.

Enviado: Maio, 2019.

Aprovado: Setembro, 2019.

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