Três formas de provar a conjectura dos primos gêmeos

REVISÃO INTEGRATIVA

COSTA, Bibiano Silva da ^[1]

COSTA, Bibiano Silva da. Três formas de provar a conjectura dos primos gêmeos. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano 09, Ed. 08, Vol. 01, pp. 135-151. Agosto de 2024. ISSN: 2448-0959, Link de acesso: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/matematica/conjectura-dos-primos-gemeos, DOI: 10.32749/nucleodoconhecimento.com.br/matematica/conjectura-dos-primos-gemeos

RESUMO

Este artigo tem por objetivo provar de três formas diferentes mas interligadas, a infinidade dos Primos Gêmeos, cuja conjectura diz o seguinte: Os primos Gêmeos são infinitos, ou seja, a sequência de primos gêmeos é infinita.  Pelo que se sabe até aqui, oficialmente, esta conjectura é uma das questões da Matemática ainda em aberto (Crilly, 2021) uma das mais antigas. Acredita-se ser correta a afirmação de que existem infinitos pares de primos gêmeos, mas ainda sem demonstração (Courant e Robbins, 2000). Os primos gêmeos são pares de primos da forma p e p+2, ou seja, são separados somente por um número par. Esta proposta tem como bases, o teorema dos números primos e a prova da Conjectura Forte de Goldbach (CFG), artigo publicado pela revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento em 08 de janeiro de 2024 (Costa, 2024), onde foi determinado, entre zero e um número par maior que 2, o cálculo de uma estimativa de pares de primos, cada par, incluindo os primos gêmeos, tendo como soma um número par maior que 2, o que prova que os pares de primos, desta natureza, formam uma sequência infinita, incluindo naturalmente os primos gêmeos. Diante deste fato, a Conjectura dos Primos Gêmeos pode ser considerada um caso particular ou até um corolário da Conjectura Forte de Goldbach. Para esta prova, fez-se uso de uma metodologia que levou em conta regularidades e padrões de sequências contendo múltiplos de 6, primos e semiprimos, com uso de induções e grupos de equações quadráticas com termos independentes formando uma PA limitada, fechando com o uso de médias geométricas e logaritmo natural. Desta forma foi possível provar de três formas distintas, que os pares de primos gêmeos de fato se constituem em uma sequência infinita de números.

Palavras chaves: sequências, primos gêmeos, função quadrática, progressões e logaritmo.

1. INTRODUÇÃO

A infinidade dos Primos Gêmeos intriga há séculos os estudiosos da matemática. Suspeita-se que os pares de primos gêmeos são infinitos, pois um grande número de pares de primos gêmeos de valores muito altos já foram encontrados (Ávila, 2010).  Essa conjectura de uma certa forma tem algo em comum com a Conjectura Forte de Goldbach (Costa, 2024) já que nas duas, a soma de dois primos gêmeos é um número par. As duas conjecturas fazem parte de um estudo regido pela teoria dos números. A maioria das proposições na Matemática, neste caso a teoria dos números, está relacionada a uma classe de objetos com alguma propriedade comum (Courant e Robins, 2000). Os primos gêmeos são elementos do conjunto dos pares de primos cuja soma é um número par maior que 2, sendo que a soma de dois primos gêmeos é um número par maior ou igual a 8 e a diferença igual a 2.

Os números primos são objetos de estudo  desde a antiguidade, tanto que Euclides (cerca 300 a.C) deixou sua contribuição com a demonstração que provou a infinidade dos primos. De acordo com o livro 9 dos Elementos de Euclides, existem infinitos números primos, enquanto Eratóstenes mostrou o seu crivo para números primos (Ávila, 2010). Outros que deixaram sua contribuição na teoria dos números. São: Diofanto de Alexandria, Euler, Gauss, Legendre, Dirichlet, Rieman e Fermat (Courant e Robbins, 2000) Graças a estas contribuições, hoje podemos fazer uso de ferramentas com recursos mais sólidos e mais avançados para demonstrar conjecturas relacionadas à teoria dos números, como a Conjectura forte de Goldbach e a Conjectura dos números primos gêmeos.

Neste artigo, mostra-se que foi possível provar a conjectura dos primos gêmeos por meio de uma abordagem e conteúdos não muito densos,  como, sequências, função quadrática vinculada à progressão aritmética, uma relação que levou com originalidade à formação de um grupo de equações quadráticas que determinam pares de números primos, sendo que uma delas determina de forma sistemática todos os números primos e semiprimos, entre os quais estão os pares de primos gêmeos. Outros conteúdos também determinantes e acessíveis para estudantes do ensino médio ao superior, foram: a progressão geométrica determinando a média geométrica que nos levou a uma das provas mencionadas anteriormente, além de pares de quadrados perfeitos consecutivos, derivada básica e logaritmo natural, ambos determinantes em outras duas provas da infinidade de primos gêmeos.

2. REFERENCIAL TEÓRICO

Uma das referências utilizadas nesta proposta dentro da teoria dos números é a Conjectura Forte de Goldbach (Costa, 2024), onde se percebeu um referencial insofismável de localização dos números primos na sequência dos naturais, que são os múltiplos de 6, fora deles não existe número primo, entre um par de primos gêmeos tem sempre um múltiplo de 6, exceto para 3 e 5. A linha de raciocínio, os conteúdos e as ferramentas utilizadas para essa prova coincidem com as usadas na prova da Conjectura de Goldbach, já mencionada, As evidências indicam que a Conjectura dos Primos Gêmeos é um corolário da Conjectura Forte de Goldbach.

Outras referências utilizadas são de, Ávila (2010): história, primos de 2 a 1033  e a prova da infinidade dos números primos provada por Euclides há 2300 anos. Courant e Robbins, (2000): teoria dos números, história, distribuição dos primos e aproximação de Gauss. Domingues e Iezzi, (2003): Conceito de primos, formas de demonstrações e funções proposicionais.  Crilly (2021): primos, primos gêmeos e semiprimos e um pouco de história sobre os primos. Malta, Pesco e Lopes, (2015): sequências de números, funções contínuas e deriváveis. Existe também uma abordagem e uma linha de raciocínio bem originais, com algo de novo, como a função quadrática vinculada a uma progressão aritmética e a equação geral da diferença de duas raízes da função quadrática específica para números primos, entre outras. Apresentando três  abordagens de provas diretas e indutivas, determinando como verdadeira a conjectura dos primos gêmeos.

3. EVIDÊNCIAS DE QUE A SEQUÊNCIA DE PRIMOS GÊMEOS É INFINITA

Números primos são números inteiros diferentes de zero e ± 1 que possuem apenas os divisores triviais, ou seja, entre os naturais são divisíveis apenas por 1 e ele mesmo (Domingues e Iezzi, 2003).

Os pares de primos gêmeos são aqueles cuja a diferença do maior pro menor é exatamente 2, como a sequência de primos gêmeos a seguir:

(3, 5); (5, 7); …;(101, 103); (107, 109); …, (1019, 1021); (1031, 1033); (Ávila, 2010).

Sabemos que todo número par maior que 2 é a soma de dois primos. Vale ressaltar também que a diferença de dois primos também é um número par, só que maior ou igual a zero. Se x₂ e x₁ são primos então x₂ + x₁ = -b > 2 (inteiro par) e x₂ – x₁ = 2a_n ≥ 0, equação geral da diferença de duas raízes, sendo x₂ ≥ x₁ e a_n termo de uma PA vinculada a função quadrática f(x) = x² – (-b)x + (-b/2)² = a_n².

A equação geral da diferença de duas raízes x₂ e x₁ de f(x) é x₂ – x₁ = 2a_n, sendo x₂ ≥ x₁ e a_n naturais. Para os primos gêmeos, tem-se x₂ > x₁ ≥ 3 naturais ímpares e   a_n = 1.

Demonstração

Derivando f(x) = x² – (-b)x + (-b/2)² = a_n²,  tem-se que, f’(x) = 2x – (-b) = 2a_n,  sendo, x = x₂ e –b = x₂ + x₁, vem:

2x₂ – (x₂ + x₁) = 2a_n,  logo, x₂ – x₁ = 2a_n.

• As sequências de primos e de primos gêmeos são infinitas.

Quanto a geração de números primos pelo princípio de M(6)±1, existem 3 casos sobre múltiplos de 6 M(6):

• Os M(6) que não geram nenhum número primo, um caso raro em comparação com 2 e 3 a seguir. No geral estes M(6) geram semiprimos, números que representam o produto de dois primos.
• Os M(6) que geram apenas um número primo. A maioria são M(6) terminados em 4 ou 6. No geral o outro número é um semiprimo.
• Os M(6) que geram primos gêmeos. São os geradores de primos gêmeos (gpg). Entre dois primos gêmeos sempre existe um múltiplo de 6, que é um número par, o principal referencial de localização de primos. Fora dele não existe número primo ou primos gêmeos, exceto para 3 e 5.

Quanto a localização de um número primo na sequência de números naturais, tem se:

Os números primos são encontrados entre um M(6) gerador de primos e seu antecessor par, M(6)-2 ou entre um M(6) e seu sucessor par, M(6)+2, ou nos dois intervalos, no caso de primos gêmeos. Considerando p₁ e p₂, números primos e 2n um M(6) gerador de primos, tem-se:

• (2n-2, p₁, 2n) ou (2n, p₂, 2n+2), sendo p₁ ou p₂, um número primo.
• (2n-2, p₁, 2n+2) e (2n, p₂, 2n+2), sendo p₁ e p₂, primos gêmeos.

Exemplos:

(4, 5, 6), (6, 7, 8), onde se tem 5 e 7, primos gêmeos

(40, 41, 42), (42, 43, 44), onde tem 41 e 43, primos gêmeos.

(166, 167, 168), (172, 173, 174), sendo 167 e 173 primos não gêmeos.

Podemos notar que em cada terno o primo é média aritmética ou por aproximação, média geométrica dos extremos. Estes fatos ocorrem infinitamente, pois fazem parte de uma sequência infinita de M(6).

• A sequência de pares de primos da qual os primos gêmeos fazem parte também é infinita, provada no artigo sobre a Conjectura Forte de Goldbach.
• Expressões da forma 2n ± a_n, n ≥ 2, exceto para 2n = 4, onde todo 2n é M(6), ou, 6n ± a_n, sendo n ≥ 1, nos dois casos n natural,  com a_n = 1. As duas expressões geram pares de primos gêmeos, sendo que 2n e 6n geradores de primos gêmeos (gpg), formam duas sequências, irregulares mas, infinitas de M(6).

4. TRÊS FORMAS DE PROVAR A CONJECTURA DOS PRIMOS GÊMEMOS

Como já foi dito aqui, a conjectura diz que os primos gêmeos são infinitos, só falta provar a sua veracidade. A proposta demonstrada neste artigo, prova que sim.

4.1 A FUNÇÃO QUADRÁTICA GERADORA DE PA E PARES DE PRIMOS

Consideremos os n pares (x₂, x₁) de números ímpares, onde se incluem os pares de primos e os primos gêmeos. Esses pares são soluções de n equações quadráticas, cada equação equivale ao quadrado de um termo de uma PA limitada com valor máximo de a_n = -b/2 -1, para cada valor de –b dado, sendo:

f(x) = x² – (-b)x + (-b/2)² = a₁², a₂², a₃², … a_n²

Onde a_n é o termo geral da PA(a₁, a₂, a₃,…, a_n) de razão 2, onde se tem f(x) = a_n² com –b/2 números ímpares e –b/4 pares de ímpares, inclusos os pares de primos e primos gêmeos evidentemente, sendo –b>4 um número par (excluído o par de primos 2), já que, o que interessa são os primos ímpares. Sendo f(x) uma função derivável então ela é contínua, o que é fundamental neste artigo, já que as funções contínuas são aquelas com as quais podemos fazer cálculos aproximados (Malta, Pesco e Lopes, 2015). O que é muito pertinente a esta prova.

Demonstração de f(x) vinculada a PA.

Sejam S e P, onde:

S = x₂ + x₁ = -b     (1)

P = x₂ • x₁ =  c      (2)

De (1) e (2)  temos,  x² – (b)x + c = 0    (3)

Existe também a equação geral da diferença de duas raízes, x₂ – x₁ = 2a_n  (4), com x₂ ≥ x₁, a_n ≥ 1, n ≥ 1, naturais. Portanto, cada diferença depende do valor de a_n. Para os primos gêmeos temos a₁ = 1 e x₂ > x₁.

Fazendo (x₂ + x₁)² = (-b)² , obtemos:

X₂² + x₁² = (-b)² – 2x₂x₁        (5)

Da mesma maneira, temos, de (4):

(x₂ – x₁)² = (2a_n)² , obtendo: x₂² + x₁² = 4a_n² +2x₂x₁   (6).

Substituindo (6) em (5), temos,

4a_n² + 2x₂x₁ = (-b)² – 2x₂x₁, de onde decorre:

x₂x₁ = (-b/2)² – a_n² = c     (7).

Substituindo (7) em (3) e fazendo f(x) = a_n², temos:

f(x) = x₂² – (-b)x + (-b/2)² = a_n² = a₁², a₂², a₃²,…, a_n²    (8), de onde decorrem  n equações com  n pares de soluções de números ímpares, com pelo menos uma de primos.

Um par de primos gêmeos vem de x = -b/2 ± a₁  =  2n ± a₁  para a₁ = 1 sendo -b/2 = 2n, um inteiro positivo múltiplo de 6 M(6) e n um múltiplo de 3  M(3), exceto para o caso,  –b = 8. Para os demais pares de ímpares, primos ou não, temos:

x = -b/2 ± a₂,   x = -b/2 ± a₃, … , x = -b/2 ± a_n.

Outra forma de encontrar x = -b/2 ± a_n é pela solução conjunta das equações (1) e (4), um sistema de duas equações.

Sendo:

• n = -b/4 se –b é múltiplo de 4, ou –b/4 +1/2 se –b não é múltiplo de 4. Sendo n também o número de termos da PA de razão 2, e também o número de pares de ímpares formados entre zero e –b > 4.
• Se –b/2 = 2n é ímpar, os n termos da PA são números pares, com a₁ = 0, onde temos a PA(0, 2, 4, 6,…, -b/2 -1 = a_n) e os geradores de primos gêmeos, a partir de 4, inclusos.
• Se –b/2 = 2n é par, os n termos da PA são números ímpares, com a₁ = 1, onde temos a PA(1, 3, 5, 7,…, -b/2 -1 = a_n). É nesta PA que estão os pares de primos gêmeos.

4.2 ESTIMATIVA DO NÚMERO DE PARES DE PRIMOS GÊMEOS (Eg) A PRIMEIRA PROVA

A primeira forma de provar a Conjectura dos primos gêmeos será feita por meio da estimativa de pares de primos gêmeos (Eg) e sua localização na sequência. Para isso serão utilizadas três sequências: uma de múltiplos de 12, M(12), representada por –b = 4n, uma de múltiplos de 6, M(6), representada por –b/2 = 2n, geradores de primos gêmeos (gpg) e uma de múltiplos de 3, M(3), representada por –b/4 = n, de onde será determinado um teorema que prova a conjectura.

• Primeira forma

Consideremos a sequência de números ímpares, (1, compostos e primos), exceto 0, 2n um M(6),  e 4n um M(12) que, incluindo a unidade, se constituem em referenciais cruciais para a determinação do teorema de prova da conjectura dos primos gêmeos.

 0, 1, 3, 5, …, 2n – 3, 2n – 1,  2n,  2n +1, 2n + 3, … ,4n-1, 4n, sendo o M(6)  2n o termo médio com todos os pares de ímpares equidistantes dele.

A estimativa de pares de primos gêmeos (Eg) é também uma estimativa da localização de (gpg) na sequência. Eg é determinada entre 1 e 2n que por sua vez estão entre zero e 4n pela equação, Eg = √2n ≥ 2, sendo 2n um M(6) (gpg), a raiz positiva de 2n, representando uma estimativa do número de pares de primos gêmeos ((Eg). Cada (gpg) determina 1 par de primos gêmeos (ppg), de modo que √2n é a soma do número de (ppg) a partir de 4, o único (gpg) não M(6).

Teorema

Entre 1 e 2n, existe Eg = √2n localização e número de pares de primos gêmeos.

Demonstração:

1,  Eg  e  2n, sendo Eg ≥ 2 e n ≥ 3, números naturais, são tais que:

Eg / 1 = 2n / Eg de onde decorre Eg² = 2n, logo temos,

Eg = √2n , como 2n = -b/2, então Eg = √2n  =  √-b/2.

Exemplos: 2n = 4, 6, 12, 18, 30,… Exceto 4 um gpg, caso particular, todos são M(6) geradores de primos gêmeos (gpg), onde temos, a partir de 6:

Eg = √2n = √6 ≈ 2 ppg referentes a soma de 4 (1º termo) e 6 (2º termo) da sequência de gpg.

Eg = √12 ≈ 3 (3º termo); Eg = √18 ≈ 4 (4º termo); Eg = √30 ≈ 5 (5º termo) e assim por diante. Cada Eg é uma estimativa do número de termos da sequência, que em alguns casos é exatamente o valor real de pares de primos gêmeos gerados a partir de 4.

De acordo com essa propriedade, a estimativa Eg para o milésimo (gpg) deve ser 1000 que vem de um M(6) próximo de 1000² = 10⁶ e assim sucessivamente. Como se trata de uma estimativa em uma sequência muito peculiar e irregular, Eg tende a ser menor, mas igual em alguns casos, ao valor real para um M(6). Entretanto, vale ressaltar o fator mais relevante, Eg mostra que a sequência de primos gêmeos não é finita. Para tornar ainda mais insofismável essa prova, consideremos a sequência de primos gêmeos:

5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, 29 e 31, 41 e 43, 59 e 61, 71 e 73, …. Considerando agora somente o primeiro primo de cada gêmeos, temos:

5, 11, 17, 29, 41, 59, 71,… .a_n. Além de primos, cada primo representa o último termo (a_n) de uma determinada PA de n termos. Neste padrão, existem infinitos grupos de PA que juntas determinam uma PA infinita, gerada da equação (8). Podemos notar que somando 1 a cada primo (a_n), temos exatamente 2n, um múltiplo de 6 gerador de primos gêmeos, ou seja, 6, 12, 18, 30, 42, 60, 72,…, 2n = a_n + 1, um M(6) gpg, uma sequência infinita que comprova a infinidade dos primos gêmeos.

4.3 ESTIMATIVA DO TERMO MÉDIO (Tm), UM M(6) ENTRE DOIS QUADRADOS PERFEITOS CONSECUTIVOS, SEGUNDA PROVA

• Segunda forma de prova da conjectura dos primos gêmeos

Os primos gêmeos são pares de números primos consecutivos, com o módulo da diferença entre eles, igual a 2. De acordo com a equação (8) geradora de primos x² – (-b)x + (-b/2)² = a_n², existe um termo médio Tm igual ou próximo de um M(6) gerador de primos gêmeos, entre (–b/2)² e a_n², sendo a_n = -b/2 -1 ≥ 2 um número natural, o último termo de uma PA conforme a equação (8). Portanto, (-b/2-1)² e (-b/2)²  ou (2n-1)² e (2n)² nessa ordem, são dois quadrados perfeitos consecutivos. A solução da equação x² – (-b)x + (-b/2)² = (-b/2-1)² é sempre –b/2±(-b/2-1), ou seja, 1 e –b/2 + (-b/2-1) = -b-1, de modo que, se –b-1 não é primo, -b+1, com algumas exceções, o será. Sendo primos -b-1 e –b+1, então os dois são primos gêmeos. Existem exceções, mas com a continuidade da sequência os primos gêmeos reaparecem. Com base em (8) será determinado Tm um M(6) gpg.

Teorema

Sendo, -b = 4n, -b/2= 2n e –b/2-1 ≥ 2 então, entre (-b/2-1)² e (-b/2)² existe um valor Tm = (-b/2)•(-b/2-1), um M(6) gpg ou o mais próximo dele, de modo que em média existe pelo menos um M(6) gpg por dupla de quadrados perfeitos consecutivos.

Demonstração:

(-b/2-1)², Tm e (-b/2)², sendo Tm ≥ 6, -b/2-1 ≥ 2 e –b/2 ≥ 3, naturais, são tais que Tm / (-b/2-1)² = (-b/2)² / Tm, de onde decorre,

(Tm)² = (-b/2-1)²• (-b/2)², logo, Tm = (-b/2-1)•(-b/2), sendo portanto, Tm uma média geométrica dos 2 quadrados perfeitos consecutivos dados.

Exemplos que mostram a veracidade da estimativa de Tm como M(6) gpg.

Valores de Tm = (-b/2-1) • (-b/2), dados, (-b/2-1)² e (-b/2)²

• (2², 3²)        =>       2 • 3 = 6, gerando os primos gêmeos 5 e 7
• (3², 4²),       =>       3 • 4 = 12, gerando os primos gêmeos 11 e 13. O mesmo, com raríssimas exceções, ocorre com os outros a seguir:
• (4², 5²)        =>       4 • 5 = 20 ≈ 18
• (5², 6²)        =>       5 • 6 = 30
• (6², 7²)        =>       6 • 7 = 42
• (7², 8²)        =>       7 • 8 = 56 ≈ 60
• (8², 9²)        =>       8 • 9 = 72
• (9², 10²)      =>       9 • 10 = 90 ≈ 102 que está entre 10² e 11²
• (10², 11²)    =>      10 • 11 = 110 ≈ 102 e 108, dois gpg neste caso
• (11², 12²) =>       11 • 12 = 132 ≈ 138
• (12², 13²) =>       12 • 13 = 156 ≈ 150
• (13², 14²) =>         13 • 14 = 182 ≈ 180 e 192, dois gpg
• (14², 15²) =>       14 • 15 = 210 ≈ 198
• (15², 16²) =>       15 • 16 = 240
• (16², 17²) =>       16 • 17 = 272 ≈ 270 e 282
• (17², 18²) =>       17 • 18 = 306 ≈ 312
• (18², 19²) =>       18 • 19 = 342 ≈ 348
• (19², 20²) =>       19 • 20 = 380 ≈ 420 que está entre 20² e 21²
• (20², 21²) =>       20 • 2  = 420  e 432
• (21², 22²) =>       21 • 22 = 462
• (22², 23²) =>       22 • 23 = 506 ≈ 522
• (23², 24²) =>       23 • 24 = 552 ≈ 570
• (24², 25²) =>       24 • 25 = 600 e 618
• (25², 26²) =>       25 • 26 = 650 ≈ 642
• (26², 27²) =>       26 • 27 = 702 ≈ 660
• (27², 28²) =>       27 • 28 = 756 ≈ 810 que está entre 28² e 29²
• (28², 29²) =>       28 29 = 812 ≈ 810, 822 e 828
• (29², 30²) =>       29 • 30 = 870 ≈ 858 e 882
• (30², 31²) =>       30 • 31 = 930 ≈ 882 que está entre 29 e 30
• (31², 32²) =>       31 • 32 = 992 ≈ 1020
• (32², 33²) =>       32 • 33 = 1056 ≈ 1032.

Além desses 31 pares de quadrados perfeitos consecutivos, sendo os M(6) gpg em negrito num total de 35, ainda existe o par 1² e 2², que é um caso particular que produz o gpg 4. Portanto, dos primeiros 32 pares de quadrados perfeitos consecutivos são determinados 36 geradores de primos gêmeos (gpg), apenas o 4 não é M(6). Apesar de quatro deles não determinarem gpg, em compensação alguns dos outros  determinam 2 ou 3 gpg, de modo que, em média existe pelo menos 1 gpg por dupla de quadrados perfeitos consecutivos. Como os Múltiplos de 6 M(6) gpg ou não, são infinitos, logo, os primos gêmeos se constituem em uma sequência infinita de números.

4.4 ESTIMATIVA DE PARES DE PRIMOS GÊMEOS (Eg) A PARTIR DA APROXIMAÇÃO DE GAUSS O Ӆ(x), TERCEIRA PROVA

• Terceira forma.

A terceira forma de provar a Conjectura dos primos gêmeos decorre de uma aproximação de números primos já consagrada, a de Gauss (1777 – 1855) de onde foi enunciado o teorema dos números primos (Courant e Robbins, 2000),uma das descobertas mais notáveis da matemática na teoria dos números. Deste feito de Gauss se determina uma estimativa de números primos por meio da aproximação de Ӆ(x) e x / lnx. Esta aproximação ficou a um passo da Estimativa de pares de primos, de onde se determina uma estimativa (Eg) de pares de primos gêmeos, com resultados equivalentes ou muito próximos da primeira forma, como prova da infinidade dos primos gêmeos.

Quando se trata de uma sequência regular com q números de mesma natureza e deseja-se calcular a quantidade de pares desses números, é simples, pode-se usar a divisão por 2, o que dá q/2. por exemplo se a sequência tem 6 números distintos, 3 pares desses números com elementos distintos são formados. Quando se trata de números primos, sabemos que o processo para determinar o número de pares de primos é bem mais complexo. Uma das alternativas é o uso do logaritmo natural como divisor de Ӆ(x) uma estimativa de números primos, conjecturado por Gauss e provada de forma independente por Hadamard (1896) e La Vallée Poussin (1896) (Courant e Robbins, 2000).

Por meio de um processo indutivo por associação da Estimativa de pares de primos e também de primos gêmeos Eg = √2n, com a estimativa de primos pela aproximação de Ӆ(x) e x / lnx, conclui-se que, ao dividir Ӆ(x) por lnx, tem-se uma estimativa de pares de primos e também de primos gêmeos, distribuídos de forma distinta mas com resultados iguais, de modo que Ӆ(x)/lnx ≈ √2n.

Fazendo x = -b = 4n, que é um múltiplo de 12, de onde vem os M(6) (gpg), temos:

• Ӆ(-b) ≈ -b / ln(-b), estimativa de números primos entre 0 e –b, conforme a aproximação de Gauss.
• Ӆ(-b) / ln(-b) ≈ -b / [ln(-b)]², uma estimativa de pares de primos, equivalente a estimativa de pares de primos gêmeos (Eg) entre 0 e –b = 4n.

Portanto, temos a estimativa de pares de primos gêmeos Eg, entre zero e –b = 4n, uma outra prova da infinidade dos primos gêmeos, determinada pela aproximação a seguir:

Eg ≈ -b / [ ln(-b)]².

Exemplos:

Utilizando a primeira e a terceira formas de estimativas mostradas, quantos pares de primos existem entre zero e os M(12), – b = 4n, a seguir?

a) –b = 60

Primeira: Se 4n = 60, então 2n = 30, logo Eg = √2n = √30 ≈ 5.

Terceira: sendo –b = 60, temos, Eg ≈ 60 / (ln60)² ≈ 60 / 4²  ≈ 60 / 16, logo:  Eg ≈ 4.

O valor real de (ppg) entre zero e 60 são 5ppg.

b) –b = 216

Primeira: Se 4n = 216, 2n = 108, logo Eg = √108 ≈ 10.

Terceira: Se 4n = 216, logo, Eg ≈ 216 / (ln216)² ≈ 9.

O valor real são 10ppg.

c) –b = 840

Primeira: Se 4n = 840, 2n = 420, logo Eg = √420 ≈ 20

Terceira: Se 4n = 840, logo, Eg ≈ 840 / (ln840)² ≈ 20.

O valor real, são 21ppg.

d) –b = 2064

Primeira: Se 4n = 1656, 2n = 828, logo Eg = √828 ≈ 29

Terceira: Se 4n = 1656 , logo temos, Eg ≈ 1656  / (ln1656)² ≈ 30.

O valor real, são 32 ppg.

Nestes quatro exemplos fica perceptível que até 4n = 840, Eg = √2n ficou mais próxima do valor real, enquanto que, para –b = 4n ≥ 840, Eg ≈ -b / [ln(-b)]² ficou mais próxima do valor real. Além da estimativa é determinada também a localização do (gpg) na sequência.

Portanto, entre zero e qualquer M(6) (gpg), existem √2n ou –b / [ln(-b)]² pares de primos gêmeos, provando favoravelmente a conjectura que diz: os primos gêmeos são infinitos.

Para confirmar essa prova, será apresentada uma tabela de valores que confirma e dá legitimidade às três formas de prova da conjectura dos primos gêmeos.

A partir de –b = 12 podemos formar três sequências primordiais para determinação de pares de primos gêmeos, com valores de –b = 4n, -b/2 = 2n e –b/4 = n, sendo n o número de termos de uma PA vinculada à f(x) já mencionada, eq. (8). Vejamos alguns desses valores na tabela a seguir:

Tabela 1: Valores de 4n M(12), 2n M(6) e n M(3), formando sequências irregulares mas, infinitas

4n	12	24	36	60	84	120	144	204	216
2n	6	12	18	30	42	60	72	102	108
n	3	6	9	15	21	30	36	51	54

 

276	300	360	384	396	480	540	564	624	696
138	150	180	192	198	240	270	282	312	348
69	75	90	96	99	120	135	141	156	174

 

840	864	924	1044	1140	1200	1236	1284	1320	1620
420	432	462	522	570	600	618	642	660	810
210	216	231	261	285	300	309	321	330	405

 

1644	1656	1716	1764	2040	2064	…
822	828	858	882	1020	1032	…
411	414	429	441	510	516	…

Fonte: Autor (2024).

Exemplos:

Determinar os pares de primos gêmeos, sendo:

a) –b = 84.

Temos, -b/2 = 42, como x = -b/2 ± 1, então vem,

x = 42 ± 1 = 41 ou 43, onde, p₂+ p₁= 84 e  p₂ – p₁ = 2 , logo 41 e 43 são primos gêmeos.

b) –b = 216.

Temos, -b/2 = 108, então, x = 108 ± 1 = 107 ou 109, sendo a soma igual a 216 e a diferença 2. Como 107 e 109 são primos, logo são primos gêmeos.

c) –b = 1764

Temos, -b/2 = 882, então, x = 882 ± 1 = 881 ou 883, sendo a soma 1764 e a diferença 2. Como 881 e 883 são primos, logo são primos gêmeos.

Podemos perceber que cada gerador de primos gêmeos (gpg) 2n um M(6), é o produto de 2 peio número de termos n um M(3), de uma PA vinculada à f(x) = [x – (-b/2)]² = a_n² = 1, sendo –b/2 = 2n, Uma sequência irregular infinita.

A sequência é infinita porque depois de um M(6) (gpg) sempre vem  outro M(6) (gpg), que é a soma do último M(6) (gpg) com um ou mais, dos M(6) (gpg) anteriores a ele, ou seja, cada 2n é o resultado da soma do 2n que o antecede com um ou mais, dos 2n anteriores a ele.

Exemplos:

• 2n = 30 decorre de 2n = 18 somado com 2n = 12, ou seja:

18 + 12 = 30, onde temos,  x = 30 ± 1 = 29 ou 31, primos gêmeos de soma 60.

• 2n = 810, decorre de 2n = 660 somado com 2n = 150, ou seja:

660 + 150 = 810, onde temos, x = 810 ± 1 = 809 ou 811, primos gêmeos de soma 1620.

• 2n = 1032, decorre de 2n = 1020 somado com 2n = 12, ou seja:

1020 + 12 = 1032, onde temos, x = 1032 ± 1 = 1031 ou 1033, primos gêmeos de soma 2064.

Como vimos, todos os valores de 2n são geradores de primos gêmeos. Este padrão ocorre sucessivamente. Excluindo os múltiplos de 6 que não geram primos gêmeos, temos uma sequência de M(6) irregular, porém infinita, como ocorre com os números primos. Logo, de acordo com as três provas apresentadas, os primos gêmeos são gerados por uma sequência infinita de determinados múltiplos de 6, ou seja, não é qualquer M(6). Ora se os referidos múltiplos de 6 são infinitos, então a sequência de primos gêmeos gerada por eles também é infinita. Portanto, os primos gêmeos são sim, infinitos.

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Como se sabe a Conjectura da infinidade dos primos gêmeos desafia os estudiosos faz séculos, alguns especulam que sim outros que não, mas ninguém até aqui provou, se é verdadeira ou não. Até pouco tempo atrás se tinha conhecimento de 27.412.679 primos gêmeos (Crilly, 2021), não é uma prova de infinidade, mas é um indício forte de que os primos gêmeos não são finitos.

Nas três formas diferentes de provar a Conjectura dos primos gêmeos, foram apresentados metodologia e conteúdos acessíveis a um número de estudantes e professores bem diversificados, de níveis médio e superior, sem deixar de lado o rigor que sempre é inerente à matemática, sua lógica e suas propriedades. Como pudemos notar houve inovação com o uso da função quadrática vinculada à progressão aritmética, de forma indireta à progressão geométrica e também a da equação geral da diferença entre as raízes de f(x), propiciando de forma bem transparente, fatos que comprovaram a veracidade da conjectura.

A linha de raciocínio e a abordagem de métodos utilizados para essa prova, a conjectura dos primos gêmeos, contribuem sem dúvida nenhuma para o ensino da matemática com relação ao estudo dos números primos e em consequência com o estudo da teoria dos números. Como disse Gauss: “A Matemática é a rainha das Ciências e a teoria dos números é a rainha da Matemática” (Courant e Robbins, 2000). Portanto, tá provado, os primos gêmeos são infinitos.

REFERÊNCIAS

ÁVILA, Geraldo. Várias Faces da Matemátca. Editora Blucher, São Paulo, 2010.

COSTA, Bibiano Silva. Artigo Científico: Conjectura Forte de Goldbach (CFG). Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento, São Paulo 2024.

COURANT, Richard; ROBBINS, Herbert. O que é Matemática? Editora Ciência Moderna, Rio de Janeiro, 2000.

CRILLY, Tony. Ideias de Matemática. Editora Planeta, São Paulo, 2021.

DOMINGUES, Higino H.; IEZZI, Gelson. Álgebra Moderna. Editora Atual, São Paulo, 2003.

MALTA, Iaci; PESCO, Sinésio; LOPES, Hélio. Cálculo a uma variável, volume 2: derivada e integral. Elsevier: PUC Rio, Rio de Janeiro, 2015.

^[1] Pós-graduado (Lato sensu) em Metodologia de Ensino de Matemática e Graduado em Eletrônica (Licenciatura plena) – UFCE (1981). ORCID: 0009-0005-0490-0043.

Material recebido: 05 de março de 2024.

Material aprovado pelos pares: 17 de julho de 2024.

Material editado aprovado pelos autores: 30 de julho de 2024.