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A Noção de Equação em um Livro Didático de Matemática do 6º Ano

RC: 13796
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DOI: 10.32749/nucleodoconhecimento.com.br/educacao/nocao-de-equacao

CONTEÚDO

SILVA, José Edmilson Melo da [1]

SILVA, José Edmilson Melo da. A Noção de Equação em um Livro Didático de Matemática do 6º Ano. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano 03, Ed. 02, Vol. 04, pp. 57-69, Fevereiro de 2018. ISSN:2448-0959

Resumo

Este trabalho apresenta parte dos resultados do Trabalho de Conclusão de Curso de Licenciatura em Matemática do Centro Acadêmico do Agreste da UFPE, intitulado “Investigando a Noção de Equação no Livro Didático de Matemática”. O nosso objetivo foi investigar como a noção de equação é concebida no livro didático a partir dos contextos em que se insere e o tratamento que recebe. Após selecionada uma coleção de livro didático de Matemática do Ensino Fundamental II, nossos passos metodológicos contemplaram a análise das atividades presentes na coleção a partir de um perfil conceitual de equação, o que nos possibilitou compreender como as equações são abordadas no livro analisado. Durante a análise do volume do 6º ano, encontramos a presença da noção de equação em contextos pragmáticos (cotidianos), processuais e geométricos. A partir desses contextos, percebemos que as equações recebem diferentes tratamentos, sendo explorada de forma intuitiva, tecnicista e dedutiva. Assim, compreendemos que o volume do 6º ano da coleção analisada dá ênfase ao trabalho com diferentes formas de se conceber a ideia de equação e apresenta diversas situações pertinentes a exploração e desenvolvimento do Pensamento Algébrico ao passo que constrói uma pré-Álgebra.

Palavras-Chave: Álgebra, Equação, Livro Didático, Pensamento Algébrico.

INTRODUÇÃO

Com base na importância que as equações têm na vida cotidiana e na Matemática e refletindo sobre os inúmeros problemas que permeiam pelo seu ensino, surgiram inquietações sobre como as equações são abordadas durante o Ensino Fundamental II, em especial a partir da abordagem dada pelo livro didático, este que muitas vezes é o maior aliado do professor na condução da aula e as vezes é até direcionador do currículo. Assim nasceu a questão que nos guiou à pesquisa do nosso Trabalho de Conclusão de Curso de Licenciatura em Matemática intitulado “Investigando a Noção de Equação no Livro Didático de Matemática”, cujo objetivo era investigar como as equações eram concebidas no livro a partir do contexto em que se inserem e da forma como são tratadas.

A partir de uma revisão de literatura sobre História da Matemática e de algumas pesquisas sobre os significados concebidos a noção de equação, pudemos então iniciar uma investigação sobre como a coleção de livro didático de Matemática: “Praticando Matemática” contempla os diferentes significados apresentados na categorização das zonas de um perfil conceitual de equação elaborado por Ribeiro (2013).

Durante a análise do volume do 6º ano, nossos passos metodológicos contemplaram uma análise inicial de 1145 atividades dispostas no decorrer do volume, onde as mesmas foram inicialmente classificadas por serem pertinentes ou não a abordagem da noção de equação. Feita essa categorização, passamos a analisar mais a fundo as 73 atividades que identificamos trabalhar com a ideia de equação e, então, classificamos as mesmas quanto a sua pertinência com uma ou mais das zonas do perfil conceitual citado, a fim de explorar características importantes sobre os principais contextos em que o conceito de equação era abordado e a forma como as equações eram tratadas em sua interpretação e resolução.

Apresentamos, portanto, neste trabalho, como as diferentes zonas do perfil conceitual de equação se fazem presentes ao longo do volume do 6º ano da coleção de livro selecionada, a partir da análise das atividades presentes no volume e, assim, como são contemplados os diferentes contextos e tratamentos atribuídos à noção de equação.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A ideia de equação surgiu há milênios atrás a partir de indagações de grandes pensadores e da própria necessidade de desenvolvimento da humanidade e assim foi ganhando importância indiscutível na Matemática e no desenvolvimento científico e tecnológico de várias civilizações, estando hoje presente em inúmeras realidades cotidianas.

Existem várias definições distintas para a ideia de equação, porém, talvez a mais comum delas é que equação é “qualquer igualdade entre seres matemáticos que só é satisfeita para alguns valores dos respectivos domínios”. (FERREIRA, 2010, p. 818).

Viajando um pouco pela história da Matemáticas, percebemos que os registros mais antigos são capazes de nos mostrar que civilizações muito remotas já discutiam e resolviam problemas envolvendo equações, quase sempre extraídos do cotidiano. Assim eram os babilônios e os egípcios. Segundo Eves (2004) foram encontradas cerca de 400 tábulas escritas em escrita cuneiforme, datadas desde 2100 a.C. até 300 d.C., que comprovam que os antigos babilônios resolviam vários problemas com equações de primeiro e segundo grau e “discutiam algumas cúbicas (grau três) e algumas biquadradas (grau quatro)” (EVES, 2004, p. 61-62). Os egípcios, por sua vez, destacaram-se numa significativa Geometria aplicada à Engenharia de suas construções, especialmente das grandes e espetaculares pirâmides. Seus principais escritos matemáticos estão dispostos nos papiros de Rhind (1650 a.C.) e de Moscou (1850 a.C.). No trabalho com as equações, os egípcios discutiam resolução de equações lineares simples de uma incógnita, que eram solucionados normalmente pelo método da “falsa posição”.

Na Grécia antiga, grandes nomes como Tales, Pitágoras, Euclides, Diofanto e muitos outros deram um novo rumo à Matemática, ao passo que desenvolveram e demonstraram vários teoremas e mostraram a importância das justificativas lógicas na Matemática. Seus principais trabalhos com equação surgiam de deduções geométricas diversas. (EVES, 2004).

Os hindus e os árabes também foram povos de trabalho marcante na Matemática. Os hindus, considerados fracos em Geometria, foram grandes calculistas e também desenvolveram alguns importantes trabalhos sobre equações do segundo grau e diofantinas, tendo-se destacado pela sua busca por soluções cada vez mais gerais para as equações. Segundo Ribeiro e Cury (2015), Brahmagupta, teria sido o primeiro a encontrar todas as possíveis soluções inteiras da equação linear diofantina ax + by = c, com a, b e c inteiros. Os árabes, por sua vez, também se dedicaram ao estudo das equações de primeiro e segundo grau. Segundo Silva (2017, p. 33), “havia um cuidado com a resolução das equações não apenas para se encontrar soluções particulares quaisquer, mas objetivando-se encontrar todas as soluções possíveis (…)”. Além disso, os árabes já discutiam algumas equações cúbicas, das quais resolviam geometricamente.

Na Europa, especialmente no período do Renascimento, entre os séculos XIV e XVI, a Matemática evoluía fervorosamente nos estudos das equações. Scipione del Ferro, Cardano e Tartáglia foram nomes marcantes nos trabalhos com equações cúbicas e Ferrari na solução das equações de quarto grau. Mais a frente, Viète, Descartes e Fermat contribuem significativamente no desenvolvimento da linguagem algébrica, na Geometria Analítica, na formulação do sistema cartesiano e nos estudos sobre função. Durante os séculos XVIII e XIX, Eules, Gauss, Abel e Galois continuaram a desenvolver a Teoria das Equações Algébricas e a investigar as soluções dos inúmeros tipos de equações, inclusive as de quinto grau. (GARBI, 2010).

Durante esses momentos históricos que viveu a Matemática, percebemos que as equações surgiram dentro de diferentes contextos, iniciando de forma bastante intuitiva, a partir de contextos cotidianos até ser tratada de forma bastante generalista pelos europeus renascentistas, propiciando o desenvolvimento do simbolismo algébrico.

Diante disso e de outras investigações, Ribeiro (2013) elabora um perfil conceitual de equação em que categoriza cinco zonas que dizem respeito a diferentes significados atribuídos a noção de equação. A categorização adotada pelo autor relaciona de forma bastante forte as diferentes zonas com os contextos e também com os tratamentos dados às equações. Para mais, vejamos o quadro a seguir:

Quadro 1: Zonas (categorias) do perfil conceitual de equação proposto por Ribeiro (2013).

Categoria Breve descrição
Pragmática Equação interpretada a partir de problemas de ordem prática. Equação admitida como uma noção primitiva. Busca pela solução predominantemente aritmética.
Geométrica Equação interpretada a partir de problemas geométricos. Busca pela solução predominantemente geométrica.
Estrutural Equação interpretada a partir de sua estrutura interna. Busca pela solução predominantemente algébrica.
Processual Equação interpretada a partir de processos de resolução. Busca pela solução aritmética ou algébrica.
Aplicacional Equação interpretada a partir de suas aplicações. Busca pela solução aritmética ou algébrica.

Fonte: Ribeiro (2013, p. 69).

De acordo com essas categorias, pretende-se estabelecer os diferentes contextos com os quais as equações surgem e como as mesmas são tratadas. Assim, a zona pragmática refere-se às equações abstraídas do cotidiano, sendo a forma mais comum como as mesmas eram concebidas pelos babilônios e egípcios, onde prevalece o uso de técnicas de resolução intuitivas e soluções aritméticas. Já na zona geométrica, encontramos a caracterização das equações como eram concebidas pelos gregos, onde as mesmas originavam-se de contextos geométricos e eram abstraídas a partir de deduções das situações.

Quando observamos a característica bastante algébrica dada às equações na fase do Renascimento europeu, percebemos então a presença da zona estrutural, na qual as equações são manipuladas por si próprias, objetivando-se encontrar informações mais gerais sobre características e propriedades das equações e não soluções particulares. A zona processual relaciona a noção de equação à situações em que a equação é vista a partir de suas técnicas de resolução, ou seja, em situações que exploram apenas a aplicação de métodos para se encontrar o valor desconhecido. Já a zona aplicacional diz respeito a situações que normalmente se originam de contextos cotidianos, em que a ideia de equação surge a partir de uma aplicação para a resolução da situação, diferenciando-se assim da zona pragmática, em que as situações são tratadas de um ponto de vista mais intuitivo e não aplicacional.

Apresentamos, a seguir, a metodologia e a análise dos dados de nossa pesquisa, esta que se deu partir dessas cinco zonas do perfil conceitual de Ribeiro (2013), na qual buscamos compreender os diferentes contextos e tratamentos dados à noção de equação no livro didático de Matemática do 6º ano, momento em que a Álgebra e as equações entram em cena na Matemática escolar dos educandos.

METODOLOGIA

Selecionada a coleção de livro didático de Matemática aprovada no PNLD 2017 “Praticando Matemática”, nossos passos metodológicos para a análise do volume do 6º ano seguiram a seguinte ordem cronológica:

  • Leitura dos tópicos de conteúdos e das atividades dispostas em todo o volume;
  • Classificação das 1145 atividades encontradas quanto a sua pertinência ou não a ideia de equação;
  • Análise das atividades categorizadas como pertinentes a ideia de equação, classificando-as com relação às cinco zonas do perfil conceitual de Ribeiro (2013);
  • Levantamento da distribuição das zonas do perfil conceitual de Ribeiro (2013) no decorrer do volume da coleção a partir das atividades analisadas e classificadas anteriormente;
  • Discussão dos principais contextos em que as equações estão contempladas no volume e dos tratamentos que são objetivados a partir das atividades propostas.

Assim, pretendíamos estabelecer como as atividades que abordam equações no livro trabalham os diferentes contextos e tratamentos percebidos nas zonas do perfil conceitual adotado para a pesquisa. Portanto, apresentamos a seguir os resultados encontrados durante a análise do volume do 6º ano.

ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

 Durante a análise do livro foram encontradas e analisadas 1145 atividades, destas 73 abordavam algum trabalho ou problemática envolvendo a noção de equação. Esses pouco mais de 6% de atividades contemplavam uma abordagem introdutória sobre Álgebra e equações, onde trabalhavam situações que não exigiam domínio de técnicas algébricas, mas que poderiam ser solucionadas por meio de técnicas aritméticas e método das tentativas, assim como as equações normalmente eram tratadas pelos babilônios e egípcios antigos.

Zona Pragmática

Durante a análise do volume do 6º ano evidenciamos que a zona pragmática foi a mais frequente na abordagem das equações. Assim, tais atividades exploravam um tratamento intuitivo a partir de situações cotidianas variadas, onde o simbolismo algébrico ainda não se fazia tão presente. Das 73 atividades que abordaram a ideia de equação, 42 tratavam esse conceito sob a ótica da zona pragmática. Vejamos abaixo uma dessas situações:

Figura 1 - Atividade que contempla a zona pragmática. Fonte: adaptado de Andrini & Vasconcellos. V. 6. 2015, p. 39.
Figura 1 – Atividade que contempla a zona pragmática. Fonte: adaptado de Andrini & Vasconcellos. V. 6. 2015, p. 39.

 Na situação acima apresentam-se preços desconhecidos de camisa (c) e bola (b), que constituem-se como duas incógnitas em duas equações. Embora o problema possa ser resolvido por meio de sistemas de equação, entendemos, pela análise da abordagem do livro, que objetiva-se que o aluno utilize métodos mais intuitivos, como o método das tentativas e uso de operações e raciocínios aritméticos, visto inclusive que o conteúdo de equação ainda está sendo introduzido.

A maioria dessas 42 atividades buscava desenvolver uma ideia introdutória sobre a noção de equação e desenvolver elementos caracterizadores do pensamento algébrico, que incluem, segundo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993, p. 87), “(…) percepção de regularidades, percepção de aspectos invariantes em contraste com outros que variam, tentativas de expressar ou explicitar a estrutura de uma situação-problema e a presença do processo de generalização”.

Zona Geométrica

 A zona geométrica também se fez presente no volume, sendo identificada em 12 das 73 atividades que trabalhavam com equação. Novamente as ideias algébricas foram contempladas de forma introdutória, onde situações variadas envolvendo entes geométricos exigiam a percepção de um valor desconhecido a partir de deduções, normalmente exploradas visualmente por meio de figuras. O uso de técnicas aritméticas como o método das tentativas e o método da inversão para a resolução das situações permitiam encontrar o valor procurado da incógnita. Vejamos a seguir um exemplo de tal situação:

Figura 2 - Atividade que contempla a zona geométrica. Fonte: adaptado de Andrini & Vasconcellos. V. 6. 2015, p. 167
Figura 2 – Atividade que contempla a zona geométrica. Fonte: adaptado de Andrini & Vasconcellos. V. 6. 2015, p. 167

A ideia de equação é facilmente identificada nos três itens dessa atividade, que utilizando-se de um contexto geométrico explora a ideia de valor desconhecido e o uso de equações que modelem e solucionem o problema, visando encontrar soluções para medidas de alguns segmentos.

Em geral, as atividades que contemplam o trabalho com a zona geométrica abordaram a noção de equação de um ponto de vista pouco algébrico, atrelando principalmente para deduções geométricas e aplicação de métodos aritméticos para sua resolução, o que é bastante característico do 6º ano, onde o conteúdo de equação ainda não é algebricamente trabalhado.

Zona Estrutural

A zona estrutural diz respeito às situações mais algébricas e que conduzem ao trabalho com propriedades e características gerais das equações, onde as mesmas são operadas sobre si mesmas na busca de generalizações e não de soluções particulares. Diante dessa perspectiva, já esperávamos, de antemão, que fossem escassos ou talvez nulos os trabalhos com essa zona ao longo do volume do 6º ano, uma vez que o conteúdo de equação é formalmente trabalhado no 7º ano e as abordagens do 6º ano são mais voltadas para o desenvolvimento do pensamento algébrico e para a introdução à ideia de equação. Assim, durante a análise, percebemos que não se faziam presentes atividades que contemplassem a noção de equação pela ótica estrutural no volume do 6º ano.

Zona Processual

A zona processual aborda os trabalhos de equação em que o contexto presente é puramente matemático, ou seja, situações em que a noção de equação não é admitida a partir de problemas cotidianos ou geométricos. Em geral essas atividades apresentam a equação já estabelecida, não sendo necessário abstrair a mesma para modelar algum problema. Nessas situações processuais objetiva-se o trabalho mecânico e descontextualizado, em que as equações são compreendidas por meio de seus processos de resolução. Durante a análise, encontramos 19 atividades que abordam a ideia de equação sob o aspecto processual. Vejamos, a seguir, um exemplo de tal situação:

Figura 3 - Atividade que trabalha a zona processual. Fonte: adaptado de Andrini & Vasconcellos. V. 6. 2015, p. 90.
Figura 3 – Atividade que trabalha a zona processual. Fonte: adaptado de Andrini & Vasconcellos. V. 6. 2015, p. 90.

Na situação acima percebemos que a equação não é obtida a partir de qualquer interpretação, mas já é exposta no problema, onde objetiva-se manipular apenas mecanicamente para se chegar a alguma solução. Embora hajam processos mecânicos comumente utilizados na resolução de situações como essa, ainda é possível que o aluno possa optar por tentativas para solucionar a atividade, uma vez que trata-se de uma equação um tanto trivial para alunos que estudaram radiciação.

Atividades como a que acabamos de apresentar ou mesmo os famosos exercícios de “ache o valor de x” são grandes exemplos de atividades que contemplam a noção de equação do ponto de vista da zona processual. Além disso, essas atividades costumam ser muito trabalhadas em sala de aula e constituem a forma mais comum como as equações são compreendidas. (SILVA, 2017). Para Ribeiro e Cury (2015) mesmo após terem sido trabalhados vários conceitos algébricos, é comum que os alunos persistam em não reconhecer a estrutura matemática do conceito de equação, associando-as apenas aos seus procedimentos e técnicas mecânicas de resolução.

Zona Aplicacional

As atividades que trabalham a zona aplicacional caracterizam-se por explorar as equações em contextos normalmente cotidianos. Porém, diferentemente da zona pragmática, essas situações não permitem a abstração da equação intuitivamente, mas sim através de aplicações. Ou seja, as equações surgem na situação como aplicações para a resolução do problema.

Durante a análise dos resultados obtidos, não identificamos a presença de atividades dessa zona, uma vez que os trabalhos do 6º ano são voltados para a introdução às situações que envolvem noções triviais de equações e não permitem a exploração de problemas que exijam equações como aplicações, visto que os alunos normalmente não possuem domínio de equações ou fórmulas para tal.

Panorama Geral

Nesta seção apresentamos como se distribuíram de uma forma mais geral as cinco zonas do perfil conceitual de Ribeiro (2013) ao longo do volume do 6º ano. O gráfico a seguir apresenta como a noção de equação se deu com relação a essas zonas:

Gráfico 1: Frequência das zonas no volume do 6º ano. Fonte: O autor
Gráfico 1: Frequência das zonas no volume do 6º ano. Fonte: O autor

Diante das informações, apresentadas no gráfico acima, identificamos que o volume do 6º ano da coleção analisada destaca as atividades que trabalham a zona pragmática, essas que são importantes para a introdução de ideias algébricas e possibilitam o desenvolvimento do pensamento algébrico, dando condições para que a aprendizagem da Álgebra e das equações se dê de forma consistente, explorando raciocínios e não apenas técnicas mecânicas, capacitando os alunos para a compreensão do conceito de equação como um todo. Esse tipo de atividade possibilita que sejam construídas relações importantes entre a Matemática e o cotidiano e promove a introdução de elementos pré-algébricos. (BRASIL, 1997). Além disso, foram exploradas atividades que trabalham as zonas geométrica e processual, evidenciando, dentre outras coisas, a importância dada ao exercício de métodos e técnicas de resolução, além de interpretações das equações em diferentes situações.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Diante dos dados analisados pudemos perceber que o trabalho do livro com equações no 6º ano, por se tratar de uma abordagem inicial, não apresenta excesso de simbolismos algébricos, nem tampouco exige uso de técnicas muito sofisticadas. Em geral, as atividades trabalham noções mais intuitivas, estas que devem desencadear reflexões nos alunos, fazendo-os relacionar a Matemática escolar com o cotidiano e preparando o terreno para explorações mais formais que se seguem nos anos seguintes. Assim, justifica-se então a presença marcante do contexto cotidiano nas situações analisadas, do qual as equações são tratadas intuitivamente.

As atividades analisadas mostraram que os contextos geométrico e processual já são abordados no trabalho com equação, utilizando-se de tratamentos dedutivos e tecnicistas, respectivamente, porém em menor frequência que as situações pragmáticas (cotidianas). No caso do contexto geométrico, as principais atividades identificadas buscavam estabelecer uma problemática que guiasse os alunos a compreensão de valores desconhecidos e ao esboço de equações triviais que modelassem tais situações a partir da dedução de noções geométricas envolvendo ângulos, medidas de seguimentos, perímetros e áreas. Já as atividades processuais exploraram apenas os procedimentos mecânicos e técnicas de resolução, contextualizando-se apenas na própria Álgebra e assim visando um tratamento amplamente tecnicista e descontextualizado do ponto de vista cotidiano.

Por se tratar de uma abordagem introdutória, sentimos falta de situações que abordem o contexto estrutural e o aplicacional. No contexto estrutural, analisado a partir da zona estrutural do perfil conceitual de equação de Ribeiro (2013), as equações são tratadas genericamente e no contexto aplicacional as equações surgem como aplicações para problemas práticos. Entendemos que a ausência de situações que trabalham ambos os contextos se justificam pelo fato dos mesmos exigirem um tratamento que está além dos objetivos do trabalho algébrico para o 6º ano, de forma que talvez não seria uma abordagem adequada à maioria dos alunos nesse momento de construção de uma pré-álgebra.

Contudo, concluímos ainda que o livro aborda a noção de equação de forma diversificada, explorando-a a partir de contextos e tratamentos distintos, o que pode ser muito proveitoso na construção do conceito de equação. Além disso, as situações propiciam um ambiente construtivo para estimular o desenvolvimento do pensamento algébrico e da percepção das relações das equações com o cotidiano.

REFERÊNCIAS

ANDRINI, A; VASCONCELLOS, M. J. Coleção Praticando Matemática – Edição renovada (Manual do professor). 4 ed. renovada. 4 v. – São Paulo: Editora do Brasil, 2015.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática: ensino de primeira à quarta série. Brasília: MEC/SEF, 1997.

EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004.

FERREIRA, A. B. H. Dicionário Aurélio da língua portuguesa. 5. ed. – Curitiba: Positivo, 2010.

FIORENTINI, D.; MIORIM, M. A.; MIGUEL, A. Contribuição para um repensar…a educação algébrica elementar. Pro-Posições. Campinas, v. 4, n. 1(10), p. 78-90, mar. 1993.

GARBI, G. G. O romance das equações algébricas. 4. ed. – São Paulo: Editora Livraria da Física, 2010.

RIBEIRO, A. J.; CURY, H. N. Álgebra para a formação do professor. Explorando os conceitos de equação e de função. 1ª ed. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2015.

RIBEIRO, A. J. Elaborando um perfil conceitual de equações: desdobramentos para o ensino e a aprendizagem de matemática. Ciência & Educação, Bauru, v. 19, n. 1, p. 55-71, 2013.

SILVA, José Edmilson Melo da. Investigando a noção de equação no livro didático de matemática. Trabalho de Conclusão de Curso. Caruaru. UFPE, 2017.

[1] Pós-graduando em Matemática e professor do Ensino Médio e do Programa de Iniciação Científica em Matemática da OBMEP em PE.

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José Edmilson Melo da Silva

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