Предложение по обучению полярным координатам с помощью Software GrafEq

ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ

RAMOS, Gilberto Pereira ^[1]

RAMOS, Gilberto Pereira. Предложение по обучению полярным координатам с помощью Software GrafEq. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Год 05, Изд. 09, Том. 04, стр. 35-75. Сентябрь 2020 г. ISSN: 2448-0959, Ссылка для доступа: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/образование-ru/полярным-координатам

СВОДКА

Эта работа направлена ​​на то, чтобы представить предложение по введению и изучению основных понятий, присутствующих в изучении полярных координат, которое является частью содержания курса математики средней школы в соответствии с PCN[2]. Это предложение было разработано на основе проверки посредством предварительных исследований существования трудностей, связанных с пониманием и изучением понятий, связанных с этой темой. Учитывая важность изучения полярных координат в школьной программе и для понимания явлений природы и в различных областях науки, мероприятия, составляющие это предложение, основаны на идеях о том, что обучение происходит в процессе построения знаний. Кроме того, полагая, что контекстуализация содержания способствует значительному изучению математики, эта работа предлагает последовательность действий, которая на основе реальных проблем предназначена для изучения основных концепций, присутствующих при изучении полярной системы координат. Чтобы помочь учащимся решать проблемы и изучать эти концепции, мы используем программное обеспечение GrafEq. Мы считаем, что это предложение может способствовать повышению качества преподавания математики и, в частности, преподавания полярных координат. Кроме того, эта работа может послужить источником вдохновения для учителей математики при создании новых методик обучения.

Ключевые слова: GrafEq, Обучение, Математика, Координаты, Полярные.

1. ВВЕДЕНИЕ

Тема математического software является довольно сложной, и все более широкое использование вычислительных средств в качестве инструмента математического образования делает ее очень актуальной для процесса преподавания и обучения в настоящее время. В дополнение к этому мотивирующему фактору меня также заставили задуматься об этом предмете при прохождении курса «Информатика в образовании», одного из предметов учебной программы курса математики в Университет Estácio de Sá, где есть некоторые инструменты, помогающие преподаванию и обучению были представлены математики. Изучая эту тему, я обнаружил инструмент GrafEq, который помогает в визуальной обработке математических алгебраических понятий и структур. Мне было интересно работать над темой «полярные координаты», потому что она еще не очень представлена ​​в школьных классах и потому что я не нашел в своем исследовании связи между предлагаемым содержанием и соответствующим инструментом. Поэтому я представляю эту работу, взяв за основу этот подход к обучению и тот факт, что это предложение по обучению соответствует руководящим принципам PCN.

Министерство образования (MEC) в документе, озаглавленном «Параметры Национальной Учебной Программы — Высшая Школа (PCNEM) — Том 2», глава 3, дает учителям и школам рекомендации по работе с математическим содержанием, используемым методологиям, использованию технологий, организация учебной программы и политико-педагогический проект.

При этом мы предложим некоторый контент, который можно разработать, чтобы дополнить математическую подготовку студентов. После поиска в базах данных статей Mathematics Education, таких как Bolema и Revemat, а также в Интернете не было обнаружено подходов в полярных координатах с использованием математического software GrafEq версии 2.13, что послужило мотивирующим фактором для разработки этой работы.

2. КАК ОБЕСПЕЧИТЬ ПРОЦЕСС ПРЕПОДАВАНИЯ-ОБУЧЕНИЯ В КЛАССЕ?

Вопрос, который порождает мотивацию данной работы, заключается в следующем: «Учитывая сложность изучения математического содержания «преобразование декартовых систем координат в полярную систему координат», как мы можем способствовать процессу обучения на уроках?» Настоящая работа начинается с предположения о том, что изучение алгебраического математического содержания, связанного с преобразованиями декартовой системы в полярные системы координат, сопряжено с трудностями, и пытается предложить подход, который направлен на облегчение этого обучения и на который предполагается ответить в этой статье. Эта тема, хотя и предусмотрена в PCN, до сих пор отсутствует в старших классах школы, появляясь только в университете на первых этапах точных наук и смежных предметов. Выполнение преобразований всегда было проблемой при обучении математике, потому что, как только ученик привыкает к одной вселенной, приходит математика и переносит его в другую, с большими возможностями.

Ученику бросают вызов расширить абстракцию, подводят к новизне, и это порождает дискомфорт. Концепция преобразования системы координат широко используется в математике и составляет основу компьютерных систем с упором на линейную алгебру в компьютерной графике.

Чтобы найти ответ на этот вопрос, в данной работе проводится библиографическое исследование, основанное на теориях конструктивистско-интеракционистского обучения, использовании образовательного программного обеспечения в качестве дидактического ресурса и, наконец, предлагается использование в классе математического software  GrafEq 2.13. как пособие в обучении содержанию полярных систем координат.

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

Верно сказать, что информационные и коммуникационные технологии все больше внедряются в образование, что требует от учащихся нового видения и отношения к способам осмысления и работы с предлагаемыми проблемами, требует новых когнитивных стратегий для их решения. Также необходимо упомянуть о важности подготовки учителей в этом процессе. Для Valente (1999, стр. 19) «показано, что вопрос подготовки учителей имеет принципиальное значение в процессе внедрения информационных технологий в образование, требуя инновационных решений и новых подходов, лежащих в основе учебных курсов».

Stahl (2008, стр. 307) отмечает, что «образование требует другого подхода, при котором нельзя игнорировать технологический компонент». Учителя должны понимать, что вступление общества в информационный век требует навыков, которые не были развиты в школе, и что способность новых технологий обеспечивать индивидуальное и независимое получение знаний предполагает более требовательную учебную программу, бросает вызов традиционной учебной программе и преобладающей образовательной философии, и именно они должны внести необходимые изменения (STAHL, 2008).

Согласно Papert (1994), преподавание математики может освободиться от педагогики обучения и обратиться к формированию человека как мыслящего и творческого существа. Математическое software появляется как предложение в качестве дополнительной среды для процесса преподавания-обучения.

Согласно Vieira (1999), образовательное softwares также можно классифицировать в зависимости от уровня обучения учащегося как:

• Последовательный – где он направлен на передачу информации, изложение содержания и пассивную позу учащегося;
• Относительный – когда он направлен на приобретение определенных навыков, он позволяет учащемуся относиться к другим фактам или другой информации;
• Творческий – там, где он связан с созданием новых ментальных схем, обеспечивающих взаимодействие между людьми и технологиями, более активное участие и активность учащегося.

На математическое образование сильно влияют технологические достижения, поскольку ресурсы ИКТ могут помочь учащимся справиться с трудностями в обучении, а также предложить новую динамику в преподавании математики. Студенты в целом испытывают трудности в отношении учебного процесса, часто вызванные отсутствием мотивации или занятиями, не связанными с повседневной жизнью. Принимая во внимание эти факторы, в этой работе было проанализировано использование математического software GrafEq 2.13 в качестве вспомогательного средства в обучении математике, в качестве содержания которого была предложена концепция полярных координат, представленная в качестве альтернативы для того, чтобы сделать занятия более приятными для учащихся.

По словам Baranauskas et al. (1999) компьютерные технологии изменили практику почти всех видов деятельности, от научной до деловой. Образовательный контент и практика также следуют этой тенденции. Можно сказать, что создание компьютерных систем для образовательных целей последовало за историей и эволюцией компьютеров.

«Большая задача состоит в том, чтобы найти варианты, которые будут способствовать преодолению трудностей, с которыми сталкиваются учителя и ученики при преподавании и изучении математики» (SOUZA, 2001, стр. 24).

С педагогической точки зрения использование компьютеризированной среды с использованием образовательного softwares, предварительно оцененного учителем, в сочетании с конструктивной и эволюционной дидактикой может быть интересным решением различных проблем обучения на разных уровнях. (MAGEDANZ, 2004)

Для учителя использование образовательного software позволяет лучше понять содержание учащимися, Что касается образовательного softwares, важно, чтобы учитель научился выбирать его в соответствии с целями, которых он хочет достичь, и своей собственной концепцией знаний и обучения, отличая те, которые больше поддаются работе, направленной на проверку знаний, от тех, которые стремятся заставить студента взаимодействовать с программой для накопления знаний. (PCN, BRASIL, 1997 г.)

Выбор software GrafEq 2.13 был обусловлен тем, что это бесплатная программа с легким доступом, в которой можно строить графики и геометрические фигуры с помощью уравнений, неравенств и числовых интервалов, используя декартовы или полярные координаты.

Мотивирующим фактором послужило и то, что до сих пор нет опубликованных статей, касающихся использования математического software GrafEq 2.13 с концепцией преобразований в полярных координатах. «В построениях с GrafEq необходимы понятия функции, уравнения, неравенства и их графическое представление […]» (GRAVINA; BASSO, 2012, стр. 113).

Как следствие, она становится хорошей альтернативой процессу обучения, благодаря всем возможностям и функциям, которые предоставляет эта программа. Согласно Valente (1994 и 1999), использование компьютера в образовании направлено на его интеграцию в процесс изучения учебных понятий на всех модальностях и уровнях образования, будучи способным играть роль посредника между учащимся и построением его знания.

Автор отстаивает важность открытия новых вычислительных подходов для повышения качества преподаваемых занятий. С помощью этой работы он также стремится предложить учителю способ визуальной обработки математических понятий и структур для лучшего представления математического содержания для учащихся.

4. МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Эта работа состоит из библиографического исследования о теориях обучения, которые поддерживают тему, а также исследовательского исследования математического software GrafEq 2.13, его потенциала и его применения в преподавании математики для содержания полярных систем координат. В исследовании также рассматриваются средства работы с образовательными softwares как дидактическим ресурсом на уроках математики.

Согласно Fonseca (2002) apud Gerhardt и Silveira (2009),

A pesquisa bibliográfica é feita a partir do levantamento de referências teóricas já analisadas, e publicadas por meios escritos e eletrônicos, como livros, artigos científicos, páginas de web sites. Qualquer trabalho científico inicia-se com uma pesquisa bibliográfica, que permite ao pesquisador conhecer o que já se estudou sobre o assunto. Existem porém pesquisas científicas que se baseiam unicamente na pesquisa bibliográfica, procurando referências teóricas publicadas com o objetivo de recolher informações ou conhecimentos prévios sobre o problema a respeito do qual se procura a resposta (FONSECA, 2002, p. 32 apud GERHARDT e SILVEIRA, 2009, p. 37).

При определении темы исследование начало поиск материалов/статей, которые могли бы послужить основой и ссылкой для исследовательского проекта, благодаря чему стало возможным определить, какие важные моменты необходимо проработать в ходе исследования, а также структура, которой должна следовать работа. Это дало студентам-исследователям теоретический вклад в поддержку их работы. Библиографическое исследование было основано на исследованиях об использовании образовательного softwares в обучении математике.

Таким образом, был проведен поиск научных статей, диссертаций и веб-сайтов, посвященных рассматриваемой теме. Из прочтения материалов, признанных значимыми для работы, была составлена ​​теоретическая база. Полученные результаты будут представлены в четыре этапа, на которых мы сначала поговорим о теориях обучения, поддерживающих тему, что такое образовательные softwares, затем об их использовании в качестве дидактического ресурса при обучении математике и, наконец, , как работать с математическим software GrafEq 2.13, чтобы помочь преподавать содержание полярных систем координат для среднего и высшего образования.

Это рабочее и исследовательское предложение направлено на разработку плана действий, который способствует процессу преподавания и обучения в классе по конкретной теме «обучение в полярных координатах».

Все виды деятельности могут быть разработаны с некоторыми знаниями о функциях, содержание которых представлено в начальной школе. Кроме того, знания также связаны с числовыми наборами, представлением точек на декартовой плоскости и основными правилами алгебры.

Преподаватель, в свою очередь, должен изучить основные команды software GrafEq, что можно сделать, прочитав несколько руководств, доступных в Интернете и на которые мы ссылаемся позже.

Мы знаем, что методология, используемая в классе для преподавания математического материала, является одним из наиболее важных ресурсов, обеспечивающих эффективное его изучение учащимися.

Разработка первого задания с использованием GrafEq направлена ​​на построение круга как в декартовой, так и в полярной системах. С помощью этого примера учащийся сможет получить интуитивное представление о полярной системе и увидит, насколько легко происходит это преобразование.

Для выполнения второго задания мы предлагаем еще одну проблемную ситуацию. В этой ситуации задача состоит в том, чтобы узнать общее уравнение спирали и построить ее график.

Третье задание будет разработано с целью изучения и введения в изучение категории кривых, называемых rosáceas, знания ее общего уравнения и построения ее графика.

Четвертое упражнение представляет категорию кривых, называемых кардиоидами, которые названы так потому, что имеют форму сердца.

В первых двух задачах у учащихся будет возможность обсудить графическое изображение ситуаций и, таким образом, развить свою креативность и критичность.

Далее мы приступим к изучению графического изображения различных типов функций в полярных координатах с целью заставить учащегося осознать взаимосвязь между законом образования и его графическим представлением, выделив свойство, характеризующее этот тип функции, и некоторые важные аспекты, связанные с их коэффициентами.

Позволяя компьютеру генерировать графику на экране с помощью инструмента и иметь возможность изменять эту графику столько раз, сколько вы хотите, и проверять возможности, деятельность становится более приятной и обогащающей для ученика, поскольку она предоставляет возможности для открытий.

5. О SOFTWARE GRAFEQ

Software Grafeq — это software, которое работает с уравнениями и неравенствами в декартовых и полярных координатах. Это канадское software генерирует графики уравнений и неравенств плоских фигур на основе обобщенной формы интервальной арифметики, разработанной Jeff Tupper. «Арифметика Tupper», как ее называют, мастерски изложена в его диссертации «Graphing Equations with Generalized Interval Arithmetic» (доступна на его личной странице). Использование GrafEq⁴ не требует никаких знаний интервальной арифметики, но интересно прочитать прекрасную работу Таппера как важный пример того, как абстракция и математическая изощренность могут давать практические результаты.

6. ПРЕДЛОЖЕНИЕ ДЛЯ ОБУЧЕНИЯ ПОЛЯРНЫМ КООРДИНАТАМ

В этой главе мы представляем дидактическую последовательность, направленную на использование различных видов деятельности для введения и развития изучения полярных координат для учащихся 3-го класса средней школы. Вопросы, представленные в этом предложении, направлены на то, чтобы учащийся участвовал в процессе построения знаний. Таким образом, учитель играет роль руководителя деятельности и выполняет ее таким образом, чтобы вовлечь учащихся посредством дебатов и вопросов, что, как мы полагаем, приведет к масштабируемому развитию концепций, связанных с изучением полярных координат и их приложений.

7. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ

Согласно выдержке из книги «Cálculo Vetorial e Geometria Analítica», по мнению автора, мы имеем следующее определение полярных координат:

Dado o par ordenado  de números reais, com , o par , com , é dito uma representação de  em coordenadas polares. Costuma-se dizer, embora esteja definido apenas a menos de um múltiplo inteiro de , que são as “coordenadas polares” de . (ACKER, 2016, p.103)

Пример:

Рисунок 1 – Декартовы координаты и полярные координаты

Рисунок 2 – пример диаграммы декартовых координат

Рисунок 3 – пример графика полярных координат

Рисунок 4 – полярная ось

Неподвижная точка O называется полюсом, а луч называется полярной осью.

Стоит помнить, что одна и та же точка относится не только к упорядоченной паре, но и к классу упорядоченных пар.

Пример 1:

Рисунок 5 – пример 1

Обозначим P через для положительного r, если  , т. е. считаем  . Таким образом, симметрично относительно полюса.

Рисунок 6 – симметрия

Пример 2:

Рисунок 7 – пример 2

Обратите внимание, что угол θ может быть представлен как для любого целого числа k. Таким образом,

Пример.

8. ИЗМЕНЕНИЕ КООРДИНАТ

Рассмотрим точку P на плоскости, мы можем представить эту точку в декартовых координатах через   или через , в полярных координатах. Для простоты давайте рассмотрим точку O, совпадающую с началом декартовой системы, а неотрицательная часть оси x будет представлять собой луч.

1. Выполнение преобразования координат полярный для координат картезианский.

Дана точка P с полярными координатами  .

При и

На прямоугольном треугольнике OPx получаем следующие соотношения.

Рисунок 8 – изменение координат

и

b) Преобразование декартовых координат в полярные координаты

Дана точка P с декартовыми координатами . Как и выше, рассматривая P с нашими соотношениями , соотношения и

Поскольку , мы имеем, что .

Если  , то есть , то можно взять любой из них.

Если таково, что и sin .

Пример:

Если P имеет полярные координаты и .

При этом   и , отсюда следует, что P имеет декартовы координаты

Пример:

Если P имеет декартовы координаты  то , или

Поскольку cos   и sin , то .

Итак, получается, что P имеет полярные координаты:

9. ПЕРВАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ

Первое задание в нашей последовательности направлено на то, чтобы познакомить учащихся с интуитивным представлением о концепции полярных координат.

Пример. Окружность с центром в начале координат и радиусом 3 имеет декартово уравнение  . Поскольку   и , то , то есть   является полярным уравнение этой окружности.

Использование GrafEq для построения указанного круга в обеих системах координат:

В декартовой системе координат:

Рисунок 9 – Окружность радиусом  

Рисунок 10 – Окружность радиусом   в полярных координатах

10. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ

Решите в полярных координатах график .

График касается точек  , где  , то есть всех точек P, где мы имеем расстояние от P до полюса, равное самому углу в радианах между отрезок OP и полярная ось. Общее уравнение спирали будет иметь вид  , где и целое число.

Используя GrafEq, постройте графики     и для .

Отвечать:

Подсказка: настройка GrafEq для полярного стиля:

Рис. 11. Элемент меню «Новый вид»

Рисунок 12-Подпись

Совет: Двойной щелчок по формуле открывает окно быстрых кнопок.

Рисунок 13-Кнопки быстрого доступа

Рисунок 14-Решение 1-а

Рисунок 15-Решение 1-b

11. ТРЕТИЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ

Используя GrafEq, решите в полярных координатах график

Решение:

Рисунок 16-Rosácea

Заметим, что каждое уравнение вида   или же для любого целого и положительного n представляют набор кривых типа rosáceas.

12. ЧЕТВЕРТОЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ

Знание кардиоид

Используя GrafEq, решите график  ,

Рисунок 17-Кардиоида

Заметим, что каждое уравнение вида или же представляют собой набор кривых типа кардиоида, так называются, потому что имеют форму сердца.

13. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ

Настоящая работа была направлена ​​на разработку предложения по введению и исследованию концепций, присутствующих в изучении полярных координат, с упором на обучение старшеклассников и, возможно, на первом курсе высшего образования по предметам точных наук.

Мы считаем, что представленное здесь предложение отвечает этим потребностям и может способствовать усвоению математических знаний учащимися. Это убеждение может быть основано на методологическом выборе и на подходе, в котором были разработаны мероприятия. Выбор software и методологии решения задач позволил более подробно изучить аспекты, связанные с изучением полярных систем координат, привлекательным и важным способом.

Это предложение представляет собой подход к обучению полярным координатам с учетом корректировок и адаптаций. При структурировании деятельности мы поняли, что простая проблемная ситуация может создать прекрасную возможность для развития обсуждаемого здесь школьного содержания. Итак, мы понимаем, что многие из предлагаемых и ожидаемых изменений в преподавании математики могут возникнуть из-за простых идей, добавленных к настроению учителя решать новые задачи и пытаться экспериментировать с новыми методологиями и дифференцированными стратегиями.

В настоящее время все больше и больше школ используют компьютеры и информационно-коммуникационные технологии. В этом контексте учитель должен стремиться использовать эти ресурсы, чтобы извлечь выгоду из обучения, а также внести свой вклад в качестве посредника в процессе преподавания-обучения и обеспечить, чтобы эти стратегии способствовали изучению новых знаний. Наше предложение идеально вписывается в эту перспективу.

Наконец, мы надеемся, что эта работа может внести свой вклад в преподавание математики с упором на обучение полярным координатам. И помимо того, что мы предлагаем учителям новую методику обучения полярным координатам, наше предложение также направлено на то, чтобы предоставить момент размышлений о педагогической практике и поиске альтернатив для улучшения образования с помощью математики.

14. ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

ALMEIDA, FJ; Fonseca Junior, F.M. Projetos e ambientes inovadores. Brasília: Secretaria de Educação a Distância – Seed/ Proinfo- Ministério da Educação, 2000.

ACKER, Felipe. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica: Livro 1: O Plano. Instituto de Matemática, UFRJ, Rio de Janeiro, 2016. Disponível em http://www.im.ufrj.br/cvga/problemas/exercicios/oplanolista1.pdf.  Acesso em 03 de Setembro de 2020.

BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais – Ensino Médio. Brasília. Ministério da Educação, 2002.

BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 3.ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2007.

CAMPOS, Márcia de Borba. Construtivismo. Disponível em http://penta.ufrgs.br / marcia/piaget.htm  Acesso em 28 de Setembro de 2016.

DUARTE, Sinara. Fazendo as pazes com o bicho papão: A Matemática e o SL. In: Revista Espírito Livre, n.002, p. 74-78, maio. 2009. 89 p.

GERHARDT, T. E. & SILVEIRA, D. T. Métodos de pesquisa. 1. ed. Porto Alegre: UFRGS, 2009.

GRAVINA, Maria Alice. . . [et al.]. Matemática, Mídias Digitais e Didática: tripé para a formação de professores. Porto Alegre: Evangraf, 2012.

MAGEDANZ, Adriana. Computador: Ferramenta de trabalho no Ensino (de Matemática). 2004. 14f. Curso de Pós-Graduação Lato Sensu. Especialização em ensino de Matemática – UNIVATES – Centro Universitário, Lajeado, 2004. Disponível      em http://ensino.univates.br/magedanza/pos/artigo_final_adriana_magedanz.pdf Acesso em 29 de Setembro de 2016.

PAPERT, Seymour. A máquina das crianças: repensando a escola na era digital. Porto Alegre: Artes Médicas, 1994.

PIAGET, Jean. Seis estudos de psicologia. Trad. Maria Alice Magalhães D’Amorim e Paulo Sérgio Lima Silva. Rio de Janeiro: Forense, 1964.

STAHL, Marimar M. A formação de professores para o uso das novas tecnologias de comunicação e informação. In: CANDAU, Vera Maria (org). Magistério: construção cotidiana. 6 ed. Petrópolis, RJ: Vozes, 2008. p. 292-317.

SILVA, José Orlando. FERNANDES, Natal Lania Roque. Tecnologias da Informação e Comunicação na Educação de Jovens e Adultos. Disponível em http://portal.mec.gov.br/setec/arquivos/pdf3/tcc_tecnologias.pdf.  Acesso em 29 de Setembro de 2016.

VALENTE, José Armando (org). O computador na sociedade do conhecimento. Campinas: UNICAMP/NIED, 1999.

VIEIRA, F. (1999) Avaliação de software Educativo: Reflexões para uma análise Criteriosa.

ПРИЛОЖЕНИЕ – СНОСКИ

2. Параметры Национальной Учебной Программы.

^[1] Бакалавр информатики/компьютерных наук – UFRJ. Степень по математике – Университет Estácio de Sá – UNESA – RJ. MBA в области ИТ-менеджмента — Политехническая школа UFRJ.

Отправлено: Август 2020 г.

Утверждено: Сентябрь 2020 г.