ARTÍCULO ORIGINAL
RAMOS, Gilberto Pereira [1]
RAMOS, Gilberto Pereira. Propuesta de Enseñanza de Coordenadas Polares con la ayuda del Software GrafEq. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Año 05, Ed. 09, vol. 04, pág. 35-75. Septiembre 2020. ISSN: 2448-0959, Enlace de acceso: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/educacion-es/de-coordenadas-polares
RESUMEN
Este trabajo tiene como objetivo presentar una propuesta de introducción y exploración de los principales conceptos presentes en el estudio de las coordenadas polares, que forma parte del contenido de la asignatura Matemáticas de Bachillerato según los PCN[2]. Esta propuesta fue elaborada a partir de la constatación, a través de estudios preliminares, de la existencia de dificultades relacionadas con la comprensión y aprendizaje de los conceptos asociados a esta temática. Considerando la importancia del estudio de las coordenadas polares en el currículo escolar y en la comprensión de los fenómenos naturales y en las diversas áreas de la ciencia, las actividades que componen esta propuesta parten de la idea de que el aprendizaje se da a través de un proceso de construcción del conocimiento. Además, creyendo que la contextualización de contenidos contribuye al aprendizaje significativo de las matemáticas, este trabajo propone una secuencia de actividades que, a partir de problemas reales, pretende explorar los principales conceptos presentes en el estudio del sistema de coordenadas polares. Para ayudar a los estudiantes a resolver problemas y explorar estos conceptos, usamos el software GrafEq. Creemos que esta propuesta puede contribuir a mejorar la calidad de la enseñanza de las matemáticas y más concretamente de la enseñanza de las coordenadas polares. Además, este trabajo puede servir de inspiración a los profesores de matemáticas para la creación de nuevas metodologías de enseñanza.
Palabras clave: GrafEq, Didáctica, Matemáticas, Coordenadas, Polares.
1. INTRODUCCIÓN
El tema del software matemático es bastante desafiante y el uso creciente de medios computacionales como herramienta para la educación matemática lo hace de gran relevancia para el proceso de enseñanza-aprendizaje en la actualidad. Además de este factor motivador, también fui llevado a pensar sobre el tema al estudiar la asignatura Informática en la Educación, una de las asignaturas del plan de estudios del curso de Matemáticas de la Universidade Estácio de Sá, donde se encuentran algunas herramientas para ayudar a la enseñanza y se presentó el aprendizaje de las matemáticas. Al investigar más sobre el tema, descubrí la herramienta GrafEq, que ayuda en el tratamiento visual de conceptos y estructuras algebraicas matemáticas. Me interesó trabajar el tema ‘coordenadas polares’ porque aún no está muy presente en las clases de secundaria y porque no encontré en mi investigación la relación entre el contenido propuesto y la herramienta adecuada. Por ello, presento este trabajo tomando con impulso este enfoque didáctico y el hecho de que esta propuesta didáctica se adecue a las directrices de las PCN.
El Ministerio de Educación (MEC) a través del documento “Parámetros curriculares nacionales – Enseñanza Media (PCNEM) – Tomo 2”, Capítulo 3, orienta a docentes y escuelas sobre cómo abordar los contenidos matemáticos, metodologías a utilizar, uso de la tecnología, organización curricular y proyecto político-pedagógico.
Con esto, propondremos algunos contenidos que se pueden desarrollar con el fin de complementar la formación matemática de los estudiantes. Después de buscar en bases de datos de artículos de Educación Matemática, como Bolema y Revemat, y en Internet, no se encontraron enfoques de coordenadas polares utilizando el software matemático GrafEq versión 2.13, lo que sirvió como factor motivador para la elaboración de este trabajo.
2. ¿CÓMO FAVORECER EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE EN EL AULA?
La pregunta que genera la motivación de este trabajo es la siguiente: “Dada la dificultad de aprendizaje del contenido matemático ”transformación de sistemas de coordenadas cartesianas a un sistema de coordenadas polares“, ¿cómo podemos favorecer el proceso de enseñanza-aprendizaje en el aula? El presente trabajo parte de la premisa de que existe una dificultad en el aprendizaje de contenidos matemáticos algebraicos en cuanto a las transformaciones del sistema cartesiano en sistemas de coordenadas polares, y busca proponer un enfoque que pretende facilitar este aprendizaje y que pretende ser respondido en este trabaja. Este tema, aunque previsto en los PCN, todavía está ausente en las clases de la enseñanza media, apareciendo sólo en la universidad en los primeros períodos de las ciencias exactas y afines. Hacer transformaciones siempre ha sido un problema en la enseñanza de las matemáticas, porque una vez que el alumno se acostumbra a un universo, las matemáticas vienen y lo llevan a otro con más posibilidades.
El alumno es retado a ampliar la abstracción, es conducido a la novedad y esto le genera malestar. El concepto de transformaciones del sistema de coordenadas se usa ampliamente en matemáticas y forma la base de los sistemas informáticos, con énfasis en el álgebra lineal en gráficos por computadora.
Para encontrar la respuesta a esta interrogante, este trabajo realiza una investigación bibliográfica fundamentada en las teorías del aprendizaje constructivista-interaccionista, el uso del software educativo como recurso didáctico y finalmente propone el uso en el aula del software matemático GrafEq 2.13. como ayuda en la enseñanza del contenido de los sistemas de coordenadas polares.
3. EDUCACIÓN MATEMÁTICA Y TECNOLOGÍA COMPUTACIONAL
É uma verdade dizer que as tecnologias de informação e comunicação tem sido introduzidas na educação de forma crescente, isso vem a exigir dos alunos uma nova visão e postura nos modos de conceber e trabalhar com os problemas propostos, requerendo destes, novas estratégias cognitivas para solucionar un problema. También es necesario mencionar la importancia de la formación docente en este proceso. Para Valente (1999, p. 19) “el tema de la formación docente se muestra de fundamental importancia en el proceso de introducción de las tecnologías de la información en la educación, exigiendo soluciones innovadoras y nuevos enfoques que subyacen a los cursos de formación”.
Stahl (2008, p. 307), menciona que “la educación requiere un enfoque diferente en el que no se puede ignorar el componente tecnológico”. Los docentes deben comprender que la entrada de la sociedad en la era de la información requiere habilidades que no han sido desarrolladas en la escuela, y que la capacidad de las nuevas tecnologías para proporcionar una adquisición de conocimiento individual e independiente implica un currículo más exigente, desafía el currículo tradicional y la filosofía educativa imperante, y les corresponde a ellos realizar los cambios necesarios (STAHL, 2008).
Según Papert (1994), la enseñanza de las matemáticas puede liberarse de la pedagogía del entrenamiento y volcarse a la formación del hombre como ser pensante y creador. El software matemático aparece como una propuesta de medio complementario para el proceso de enseñanza-aprendizaje.
Según Vieira (1999), el software educativo también se puede clasificar según el nivel de aprendizaje del alumno en:
- Secuencial – donde el objetivo es la transferencia de información, presentación de contenidos y postura pasiva del estudiante;
- Relacional – donde el objetivo es adquirir ciertas habilidades, permite al estudiante relacionarse con otros hechos u otra información;
- Creativo – donde se relaciona con la creación de nuevos esquemas mentales, posibilitando la interacción entre las personas y la tecnología, una postura más participativa y activa del estudiante.
La educación matemática está fuertemente influenciada por los avances tecnológicos, ya que los recursos TIC pueden ayudar con las dificultades de aprendizaje de los estudiantes, además de proponer una nueva dinámica en la enseñanza de las matemáticas. Los estudiantes en general tienen dificultades en relación al proceso de aprendizaje, muchas veces provocadas por falta de motivación o por clases ajenas a la vida cotidiana. Considerando estos factores, este trabajo analizó el uso del software matemático GrafEq 2.13 como ayuda en el aprendizaje de las matemáticas, teniendo como propuesta de contenido el concepto de coordenadas polares, presentándolo como una alternativa para hacer las clases más agradables para los estudiantes.
En palabras de Baranauskas et al. (1999) la tecnología informática ha cambiado la práctica de casi todas las actividades, desde científicas hasta empresariales. Y el contenido y la práctica educativa también siguen esta tendencia. Podemos decir que la creación de sistemas informáticos con fines educativos ha seguido la historia y evolución de las computadoras.
“El gran desafío es encontrar opciones que contribuyan a superar las dificultades encontradas por docentes y estudiantes en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas” (SOUZA, 2001, p. 24).
En términos pedagógicos, el uso de ambientes computarizados, utilizando software educativo previamente evaluado por el docente, acompañado de una didáctica constructiva y evolutiva, puede ser una solución interesante a los diversos problemas de aprendizaje en los diferentes niveles. (MAGEDANZ, 2004)
Para el docente, el uso de software educativo posibilita una mayor comprensión de los contenidos por parte de los estudiantes, distinguiendo aquellos que se prestan más a trabajos destinados a probar conocimientos de aquellos que buscan que el estudiante interactúe con el programa para construir conocimiento. (PCN, BRASIL, 1997)
La elección del software GrafEq 2.13 se debió a que es un programa gratuito, de fácil acceso, en el que es posible construir gráficos y figuras geométricas a partir de ecuaciones, desigualdades e intervalos numéricos, utilizando coordenadas cartesianas o polares.
Un factor motivador fue también el hecho de que aún no existen artículos publicados que relacionen el uso del software matemático GrafEq 2.13 con el concepto de transformaciones en coordenadas polares. “En las construcciones con GrafEq son necesarios los conceptos de función, ecuación, desigualdad y sus representaciones gráficas, […]” (GRAVINA; BASSO, 2012, p. 113).
Como consecuencia, se convierte en una buena alternativa para el proceso de enseñanza-aprendizaje, por todas las posibilidades y funciones que brinda este programa. Según Valente (1994 y 1999), el uso de la computadora en la educación apunta a su integración en el proceso de aprendizaje de los conceptos curriculares en todas las modalidades y niveles educativos, pudiendo jugar un papel de facilitador entre el estudiante y la construcción de su conocimiento.
El autor defiende la importancia de abrir la mente a nuevos enfoques computacionales para mejorar la calidad de las clases impartidas. También busca a través de este trabajo proponer una vía a ser explorada por el docente en el tratamiento visual de los conceptos y estructuras matemáticas para una mejor presentación del contenido matemático para los estudiantes.
4. MATERIALES Y MÉTODOS
Este trabajo consiste en una investigación bibliográfica sobre las teorías de aprendizaje que sustentan el tema, así como el estudio investigativo del software matemático GrafEq 2.13, su potencial y su aplicación en la enseñanza de las matemáticas para el contenido de sistemas de coordenadas polares. La investigación también aborda los medios de trabajar con software educativo como recurso didáctico en las clases de matemáticas.
Según Fonseca (2002) apud Gerhardt y Silveira (2009),
A pesquisa bibliográfica é feita a partir do levantamento de referências teóricas já analisadas, e publicadas por meios escritos e eletrônicos, como livros, artigos científicos, páginas de web sites. Qualquer trabalho científico inicia-se com uma pesquisa bibliográfica, que permite ao pesquisador conhecer o que já se estudou sobre o assunto. Existem porém pesquisas científicas que se baseiam unicamente na pesquisa bibliográfica, procurando referências teóricas publicadas com o objetivo de recolher informações ou conhecimentos prévios sobre o problema a respeito do qual se procura a resposta (FONSECA, 2002, p. 32 apud GERHARDT e SILVEIRA, 2009, p. 37).
Al conjeturar el tema, la investigación partió buscando materiales/artículos que pudieran servir de base y referencia para el proyecto de investigación, con esto se logró identificar cuáles son los puntos importantes a trabajar durante la investigación, así como los estructura que debe seguir el trabajo. Esto proporcionó al estudiante investigador un aporte teórico para fundamentar su trabajo. La investigación bibliográfica se basó en estudios sobre el uso de software educativo en la enseñanza de las matemáticas.
De esta manera, se realizó una búsqueda de artículos científicos, disertaciones y sitios web que trataran el tema en cuestión. A partir de la lectura de los materiales considerados relevantes para el trabajo, se constituyó la fundamentación teórica. Los resultados obtenidos serán presentados en cuatro etapas, en las cuales se hablará primero de las teorías de aprendizaje que sustentan el tema, qué son los software educativos, luego de su uso como recurso didáctico en la enseñanza de las matemáticas y finalmente , cómo trabajar con el software matemático GrafEq 2.13 para ayudar a enseñar el contenido de los sistemas de coordenadas polares para la educación secundaria y superior.
Esta propuesta de trabajo e investigación pretende establecer un plan de acción que favorezca el proceso de enseñanza-aprendizaje en el aula para el tema específico “aprendizaje en coordenadas polares”.
Todas las actividades se pueden desarrollar con algunos conocimientos sobre funciones, contenidos expuestos en la escuela primaria. Además, el conocimiento también está relacionado con conjuntos numéricos, representación de puntos en el plano cartesiano y reglas básicas del álgebra.
El docente, a su vez, debe aprender los principales comandos del software GrafEq, lo cual puede realizar leyendo algunos tutoriales disponibles en internet y a los que se hará referencia más adelante.
Sabemos que la metodología que se utiliza en el aula para enseñar los contenidos matemáticos es uno de los recursos más importantes para conseguir que el alumno los aprenda de forma eficaz.
El desarrollo de la primera actividad utilizando GrafEq tiene como objetivo construir un círculo tanto en sistemas cartesianos como polares. El alumno podrá con este ejemplo tener una noción intuitiva del sistema polar y verá lo fácil que es esta transformación.
Para llevar a cabo la segunda actividad, proponemos otra situación-problema. En esta situación, el objetivo es conocer la ecuación general de la espiral y construir su gráfica.
La tercera actividad se desarrollará con el objetivo de explorar e introducirse en el estudio de una categoría de curvas denominadas rosetas, conocer su ecuación general y construir su gráfica.
La cuarta actividad presenta una categoría de curvas llamadas cardioides, que se llaman así porque tienen forma de corazón.
En los dos primeros problemas, los estudiantes tendrán la oportunidad de discutir la representación gráfica de situaciones y así desarrollar su creatividad y criticidad.
A continuación, comenzaremos a explorar la representación gráfica de diferentes tipos de funciones en coordenadas polares, con el objetivo de que el alumno perciba la relación entre la ley de formación y su representación gráfica, destacando la propiedad que caracteriza a este tipo de funciones y algunas aspectos importantes relacionados con sus coeficientes.
Al permitir que la computadora genere un gráfico en la pantalla a través de la herramienta, y poder modificar este gráfico tantas veces como desee y probar posibilidades, la actividad se vuelve más agradable y enriquecedora para el alumno, ya que brinda oportunidades de descubrimiento.
5. ACERCA DEL SOFTWARE GRAFEQ
El software Grafeq es un software que trabaja con ecuaciones y desigualdades, en coordenadas cartesianas y polares. Este software canadiense genera gráficos de ecuaciones y desigualdades de figuras planas basándose en una forma generalizada de aritmética de intervalos desarrollada por Jeff Tupper. La “aritmética de Tupper”, como se le llama, está magistralmente expuesta en su tesis Graphing Equations with Generalized Interval Arithmetic (disponible en su página personal). El uso de GrafEq4 no requiere ningún conocimiento de la aritmética de intervalos, pero es interesante leer el hermoso trabajo de Tupper como un ejemplo importante de cómo la abstracción y la sofisticación matemática pueden producir resultados prácticos.
6. UNA PROPUESTA PARA LA ENSEÑANZA DE LAS COORDENADAS POLARES
En este capítulo presentamos una secuencia didáctica con el objetivo de utilizar diferentes actividades para la introducción y desarrollo del estudio de las coordenadas polares para estudiantes del 3° año de secundaria. Las preguntas presentes en esta propuesta pretenden que el estudiante sea parte del proceso de construcción del conocimiento. El docente tiene así el rol de liderar las actividades, y realizarlas de manera que involucre a los estudiantes a través de debates y cuestionamientos, lo que, creemos, conducirá al desarrollo escalable de los conceptos que rodean el estudio de las coordenadas polares y sus aplicaciones.
7. COORDENADAS POLARES
De acuerdo al extracto tomado del Libro Cálculo Vetorial e Geometria Analítica, según el autor, tenemos la siguiente definición de coordenadas polares:
Dado o par ordenado 
de números reais, com 
, o par 
, com 
, é dito uma representação de em coordenadas polares. Costuma-se dizer, embora 
esteja definido apenas a menos de um múltiplo inteiro de 
, que 
são as “coordenadas polares” de . (ACKER, 2016, p.103)
Ejemplo:
Figura 1 – Coordenadas cartesianas y coordenadas polares
Figura 2 – gráfico de ejemplo de coordenadas cartesianas
Figura 3 – gráfico de ejemplo de coordenadas polares
Figura 4 – eje polar
El punto fijo O se llama polo y el rayo se llama eje polar.
Vale la pena recordar que el mismo punto 
no se refiere solo a un par ordenado, sino a una clase de pares ordenados.
Ejemplo 1: 
Figura 5 – ejemplo 1
Denotamos P por 
, para 
positiva, si 
, es decir, consideramos 
. Así, 
es la simétrica de 
con respecto al polo.
Figura 6 – simetría
Ejemplo 2: 
Figura 7 – ejemplo 2
Tenga en cuenta que un ángulo θ se puede representar mediante 
, para cada entero k. Así, 
Ejemplo. 
8. CAMBIO DE COORDENADAS
Consideremos un punto P en el plano, podemos representar este punto en coordenadas cartesianas por
o por 
, en coordenadas polares. Para simplificar, consideremos que el punto O coincide con el origen del sistema cartesiano y la parte no negativa del eje x representará el rayo.
Realizando la transformación de coordenadas polares a coordenadas cartesianas.
Dado un punto P con coordenadas polares 
.
Para 
y 
Obtenemos las siguientes relaciones sobre el triángulo rectángulo OPx.
Figura 8 – cambio de coordenadas
y 
b) Realizando la transformación de coordenadas cartesianas a coordenadas polares
Dado un punto P, con coordenadas cartesianas 
. Como vimos anteriormente, considerando P con coordenadas 
, tenemos las relaciones 
y 
Como 
, tenemos que 
.
Si 
, es decir, 
, entonces podemos tomar cualquiera.
Si 
es tal que 
y sen 
.
Ejemplo:
Si P tiene coordenadas polares 
, entonces 
y 
.
Con esto, 
y 
, por lo que se sigue que P tiene coordenadas cartesianas 
Ejemplo:
Con P teniendo coordenadas cartesianas 
entonces 
, es decir, 
Como cos 
y sen 
, entonces 
.
Entonces resulta que P tiene coordenadas polares: 
9. PRIMERA ACTIVIDAD
La primera actividad de nuestra secuencia busca introducir a los estudiantes a una idea intuitiva del concepto de coordenadas polares.
Ejemplo. La circunferencia con centro en el origen y radio 3 tiene ecuación cartesiana 
. Como 
e 
, entonces 
, es decir, 
es la polar ecuación de esta circunferencia.
Usando GrafEq para trazar el círculo citado en ambos sistemas de coordenadas:
En el sistema de coordenadas cartesianas:
Figura 9 – Circunferencia del radio r = 3
Figura 10 – Circunferencia de radio r = 3, en coordenadas polares.
10. SEGUNDA ACTIVIDAD
Resuelve en coordenadas polares la gráfica de 
.
La gráfica de 
se refiere a los puntos 
donde 
, es decir, todos los puntos P, donde tenemos la distancia de P al polo igual al propio ángulo
, en radianes, entre el segmento OP y el eje polar. La ecuación general de la espiral vendrá dada por 
, donde 
y un número entero.
Usando GrafEq trace las gráficas de 
y 
, para 
.
Respuesta:
Información sobre herramientas: Configuración de GrafEq para Polar Style:
Figura 11: elemento de menú Nueva vista
Figura 12-Leyenda
Sugerencia: al hacer doble clic en la fórmula, se abre el cuadro de botones rápidos.
Figura 13-Botones rápidos
Figura 14-Solución 1-a
Figura 15-Solución 1-b
11. TERCERA ACTIVIDAD
Usando GrafEq, resuelve en coordenadas polares la gráfica de 
Solución:
Figura 16-Rosácea
Nótese que toda ecuación del tipo 
o 
para cualquier n entero y positivo, representa el conjunto de curvas de tipo rosetas.
12. CUARTA ACTIVIDAD
Conociendo a los cardioides
Usando GrafEq, resuelve la gráfica de 
, 
Figura 17-Cardioide
Tenga en cuenta que cada ecuación del tipo 
representa un conjunto de curvas de tipo cardioide, llamadas así porque tienen la forma de un corazón.
13. CONSIDERACIONES FINALES
El presente trabajo tuvo como objetivo elaborar una propuesta para la introducción de exploración de conceptos presentes en el estudio de las coordenadas polares con un enfoque en el aprendizaje de estudiantes de secundaria y quizás el primer año de educación superior en las cátedras de ciencias exactas.
Creemos que la propuesta aquí presentada responde a estas necesidades y puede contribuir a la apropiación del conocimiento matemático por parte de los estudiantes. Esta creencia puede basarse en las elecciones metodológicas y en el enfoque en el que se diseñaron las actividades. La elección del software y la metodología de resolución de problemas permitió una mayor exploración de los aspectos involucrados en el estudio de los sistemas de coordenadas polares de una manera atractiva y significativa.
Esta propuesta es una aproximación a la enseñanza de las coordenadas polares sujeta a correcciones y adaptaciones. Durante la estructuración de las actividades, nos dimos cuenta que una simple situación-problema podía generar una gran oportunidad para el desarrollo de los contenidos escolares aquí discutidos. Así, entendemos que muchos de los cambios sugeridos y esperados para la enseñanza de las matemáticas pueden surgir de ideas simples sumadas a la disposición del docente para enfrentar nuevos desafíos y tratar de experimentar con nuevas metodologías y estrategias diferenciadas.
Hoy en día, cada vez más las escuelas están aprovechando las computadoras y las tecnologías de la información y la comunicación. El docente, en este contexto, debe buscar prepararse para utilizar estos recursos con el fin de sacar provecho de la enseñanza y también contribuir como mediador en el proceso de enseñanza-aprendizaje y lograr que estas estrategias promuevan el aprendizaje de nuevos conocimientos. Nuestra propuesta encaja perfectamente en esta perspectiva.
Finalmente, esperamos que este trabajo pueda contribuir a la enseñanza de las matemáticas con un enfoque en la enseñanza de las coordenadas polares. Y además de ofrecer a los docentes una nueva metodología para la enseñanza de las coordenadas polares, nuestra propuesta también pretende brindar un momento de reflexión sobre la práctica pedagógica y la búsqueda de alternativas para mejorar la educación a través de las matemáticas.
14. REFERENCIAS
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ACKER, Felipe. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica: Livro 1: O Plano. Instituto de Matemática, UFRJ, Rio de Janeiro, 2016. Disponível em http://www.im.ufrj.br/cvga/problemas/exercicios/oplanolista1.pdf. Acesso em 03 de Setembro de 2020.
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BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 3.ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2007.
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MAGEDANZ, Adriana. Computador: Ferramenta de trabalho no Ensino (de Matemática). 2004. 14f. Curso de Pós-Graduação Lato Sensu. Especialização em ensino de Matemática – UNIVATES – Centro Universitário, Lajeado, 2004. Disponível em http://ensino.univates.br/magedanza/pos/artigo_final_adriana_magedanz.pdf Acesso em 29 de Setembro de 2016.
PAPERT, Seymour. A máquina das crianças: repensando a escola na era digital. Porto Alegre: Artes Médicas, 1994.
PIAGET, Jean. Seis estudos de psicologia. Trad. Maria Alice Magalhães D’Amorim e Paulo Sérgio Lima Silva. Rio de Janeiro: Forense, 1964.
STAHL, Marimar M. A formação de professores para o uso das novas tecnologias de comunicação e informação. In: CANDAU, Vera Maria (org). Magistério: construção cotidiana. 6 ed. Petrópolis, RJ: Vozes, 2008. p. 292-317.
SILVA, José Orlando. FERNANDES, Natal Lania Roque. Tecnologias da Informação e Comunicação na Educação de Jovens e Adultos. Disponível em http://portal.mec.gov.br/setec/arquivos/pdf3/tcc_tecnologias.pdf. Acesso em 29 de Setembro de 2016.
VALENTE, José Armando (org). O computador na sociedade do conhecimento. Campinas: UNICAMP/NIED, 1999.
VIEIRA, F. (1999) Avaliação de software Educativo: Reflexões para uma análise Criteriosa.
APÉNDICE – NOTA AL PIE
2. Parámetros curriculares nacionales.
[1] Licenciatura en Informática/Ciencias de la Computación – UFRJ. Licenciado en Matemáticas – Universidad Estácio de Sá – UNESA – RJ. MBA en Gestión de TI – Escuela Politécnica de la UFRJ.
Enviado: Agosto de 2020.
Aprobado: Septiembre de 2020.
