ARTICOLO ORIGINALE
RAMOS, Gilberto Pereira [1]
RAMOS, Gilberto Pereira. Proposta per l’insegnamento delle coordinate polari con l’aiuto del software GrafEq. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Anno 05, ed. 09, vol. 04, pag. 35-75. Settembre 2020. ISSN: 2448-0959, Link di accesso: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/formazione-it/coordinate-polari
RIEPILOGO
Questo lavoro si propone di presentare una proposta per l’introduzione e l’esplorazione dei principali concetti presenti nello studio delle coordinate polari, che fa parte dei contenuti del corso di Matematica delle Scuole Superiori secondo i PCN[2]. Questa proposta è stata elaborata dalla verifica, attraverso studi preliminari, dell’esistenza di difficoltà legate alla comprensione e all’apprendimento dei concetti legati a questo tema. Considerata l’importanza dello studio delle coordinate polari nel curriculum scolastico e nella comprensione dei fenomeni naturali e nei vari ambiti della scienza, le attività che compongono questa proposta si basano sull’idea che l’apprendimento avviene attraverso un processo di costruzione della conoscenza. Inoltre, ritenendo che la contestualizzazione dei contenuti contribuisca all’apprendimento significativo della matematica, questo lavoro propone una sequenza di attività che, sulla base di problemi reali, intende esplorare i concetti principali presenti nello studio del sistema di coordinate polari. Per aiutare gli studenti a risolvere problemi ed esplorare questi concetti, utilizziamo il software GrafEq. Riteniamo che questa proposta possa contribuire a migliorare la qualità dell’insegnamento della matematica e più specificatamente all’insegnamento delle coordinate polari. Inoltre, questo lavoro può servire da ispirazione agli insegnanti di matematica per la creazione di nuove metodologie di insegnamento.
Parole chiave: GrafEq, Didattica, Matematica, Coordinate, Polare.
1. INTRODUZIONE
L’argomento del software matematico è piuttosto impegnativo e l’uso crescente di mezzi computazionali come strumento per l’insegnamento della matematica lo rende di grande rilevanza per il processo di insegnamento-apprendimento al giorno d’oggi. Oltre a questo fattore motivante, sono stato anche portato a riflettere sull’argomento durante il corso Informatics in Education, una delle materie del curriculum del corso di Matematica presso l’Universidade Estácio de Sá, dove alcuni strumenti per aiutare l’insegnamento e l’apprendimento di matematica sono stati presentati. Durante la ricerca di più sull’argomento, ho scoperto lo strumento GrafEq, che aiuta nel trattamento visivo di concetti e strutture algebriche matematiche. Mi interessava lavorare sul tema ‘coordinate polari’ perché ancora poco presente nelle classi delle scuole superiori e perché non ho trovato nella mia ricerca il rapporto tra il contenuto proposto e lo strumento appropriato. Pertanto, presento questo lavoro prendendo questo approccio didattico con slancio e il fatto che questa proposta didattica è adeguata alle linee guida dei PCN.
Il Ministero dell’Istruzione (MEC) attraverso il documento “Parametri curriculari nazionali – Scuola superiore (PCNEM) – Volume 2”, Capitolo 3, guida insegnanti e scuole su come affrontare i contenuti matematici, le metodologie da utilizzare, l’uso della tecnologia, organizzazione del curriculum e progetto politico-pedagogico.
Con questo, proporremo alcuni contenuti che possono essere sviluppati per completare la formazione matematica degli studenti. Dopo aver cercato nei database degli articoli di Educazione alla Matematica, come Bolema e Revemat, e su Internet, non è stato trovato alcun approccio alle coordinate polari utilizzando il software matematico GrafEq versione 2.13, che è servito come fattore motivante per l’elaborazione di questo lavoro.
2. COME FAVORIRE IL PROCESSO DIDATTICO-APPRENDENTE IN AULA?
La domanda che genera la motivazione di questo lavoro è la seguente: “Data la difficoltà di apprendere il contenuto matematico ”trasformazione dei sistemi di coordinate cartesiane in un sistema di coordinate polari”, come possiamo favorire il processo di insegnamento-apprendimento in classe? ?” Il presente lavoro parte dal presupposto che esiste una difficoltà nell’apprendimento del contenuto matematico algebrico relativo alle trasformazioni del sistema cartesiano in sistemi di coordinate polari, e cerca di proporre un approccio che miri a facilitare questo apprendimento e che intende trovare risposta in questo opera. Questo tema, seppur previsto nei PCN, è ancora assente nelle classi delle scuole superiori, comparendo solo all’università nei primi periodi delle scienze esatte e materie affini. Fare trasformazioni è sempre stato un problema nell’insegnamento della matematica, perché una volta che lo studente si è abituato a un universo, la matematica arriva e lo porta in un altro con più possibilità.
Lo studente è sfidato ad ampliare l’astrazione, è portato alla novità e questo genera disagio. Il concetto di trasformazioni del sistema di coordinate è ampiamente utilizzato in matematica e costituisce la base dei sistemi informatici, con particolare attenzione all’algebra lineare nella computer grafica.
Per trovare la risposta a questa domanda, il presente lavoro svolge una ricerca bibliografica basata sulle teorie dell’apprendimento costruttivista-interazionista, sull’uso del software didattico come risorsa didattica e propone infine l’uso in classe del software matematico GrafEq 2.13 come ausilio nell’insegnamento del contenuto dei sistemi di coordinate polari.
3. EDUCAZIONE MATEMATICA E TECNOLOGIA COMPUTAZIONALE
È vero che le tecnologie dell’informazione e della comunicazione sono state introdotte sempre più nell’istruzione, il che richiede agli studenti una nuova visione e attitudine nei modi di concepire e lavorare con i problemi proposti, richiedendo nuove strategie cognitive per risolverli. È inoltre necessario menzionare l’importanza della formazione degli insegnanti in questo processo. Per Valente (1999, p. 19) “il tema della formazione degli insegnanti si rivela di fondamentale importanza nel processo di introduzione delle tecnologie dell’informazione nella formazione, richiedendo soluzioni innovative e nuovi approcci che stanno alla base dei percorsi formativi”.
Stahl (2008, p. 307), ricorda che “l’educazione richiede un approccio diverso in cui la componente tecnologica non può essere ignorata”. Gli insegnanti devono capire che l’ingresso della società nell’era dell’informazione richiede competenze che non sono state sviluppate a scuola e che la capacità delle nuove tecnologie di fornire l’acquisizione di conoscenze individuali e indipendenti implica un curriculum più impegnativo, sfida il curriculum tradizionale e la filosofia educativa prevalente , e spetta a loro apportare le modifiche necessarie (STAHL, 2008).
Secondo Papert (1994), l’insegnamento della matematica può liberarsi dalla pedagogia della formazione e rivolgersi alla formazione dell’uomo come essere pensante e creativo. Il software matematico appare come una proposta per un mezzo complementare al processo di insegnamento-apprendimento.
Secondo Vieira (1999), il software educativo può anche essere classificato in base al livello di apprendimento dello studente come:
- Sequenziale – dove mira al trasferimento di informazioni, alla presentazione dei contenuti e alla postura passiva dello studente;
- Relazionale – laddove mira ad acquisire determinate abilità, consente allo studente di relazionarsi con altri fatti o altre informazioni;
- Creativo – dove è correlato alla creazione di nuovi schemi mentali, consentendo l’interazione tra persone e tecnologia, una postura più partecipativa e attiva dello studente.
L’insegnamento della matematica è fortemente influenzato dai progressi tecnologici, poiché le risorse TIC possono aiutare con le difficoltà di apprendimento degli studenti, oltre a proporre una nuova dinamica nell’insegnamento della matematica. Gli studenti in generale hanno difficoltà in relazione al processo di apprendimento, spesso causate da mancanza di motivazione o classi estranee alla vita quotidiana. Considerando questi fattori, questo lavoro ha analizzato l’uso del software matematico GrafEq 2.13 come ausilio nell’apprendimento della matematica, avendo come proposta di contenuto il concetto di coordinate polari, presentandolo come un’alternativa per rendere le lezioni più piacevoli per gli studenti.
Nelle parole di Baranauskas et al. (1999) la tecnologia informatica ha cambiato la pratica di quasi tutte le attività, da quella scientifica a quella aziendale, a quella aziendale. E anche i contenuti e le pratiche educative seguono questa tendenza. Possiamo dire che la creazione di sistemi informatici per scopi didattici ha seguito la storia e l’evoluzione dei computer.
“La grande sfida è trovare opzioni che contribuiscano a superare le difficoltà incontrate da insegnanti e studenti nell’insegnamento e nell’apprendimento della matematica” (SOUZA, 2001, p. 24).
Dal punto di vista pedagogico, l’utilizzo di ambienti informatizzati, mediante l’utilizzo di software didattici preventivamente valutati dal docente, accompagnati da didattica costruttiva ed evolutiva, può rappresentare un’interessante soluzione ai vari problemi di apprendimento a diversi livelli. (MAGEDANZA, 2004)
Per il docente, l’utilizzo di software didattici consente una maggiore comprensione dei contenuti da parte degli studenti, distinguendo quelli che si prestano maggiormente a lavorare finalizzati alla verifica delle conoscenze da quelli che cercano di far interagire lo studente con il programma al fine di costruire conoscenze. (PCN, BRASIL, 1997)
La scelta del software GrafEq 2.13 è dovuta al fatto che si tratta di un programma gratuito, di facile accesso, in cui è possibile costruire grafici e figure geometriche utilizzando equazioni, disuguaglianze e intervalli numerici, utilizzando coordinate cartesiane o polari.
Un fattore motivante è stato anche il fatto che non ci sono ancora articoli pubblicati relativi all’uso del software matematico GrafEq 2.13 con il concetto di trasformazioni in coordinate polari. “Nelle costruzioni con GrafEq sono necessari i concetti di funzione, equazione, disuguaglianza e le loro rappresentazioni grafiche, […]” (GRAVINA; BASSO, 2012, p. 113).
Di conseguenza, diventa una buona alternativa per il processo di insegnamento-apprendimento, grazie a tutte le possibilità e funzioni che questo programma fornisce. Secondo Valente (1994 e 1999), l’uso del computer in didattica mira alla sua integrazione nel processo di apprendimento dei concetti curriculari in tutte le modalità e livelli di istruzione, potendo svolgere un ruolo di facilitatore tra lo studente e la costruzione di la sua conoscenza.
L’autore difende l’importanza di aprire la mente a nuovi approcci computazionali al fine di migliorare la qualità delle lezioni impartite. Attraverso questo lavoro cerca inoltre di proporre un modo per essere esplorato dall’insegnante nel trattamento visivo di concetti e strutture matematiche per una migliore presentazione del contenuto matematico per gli studenti.
4. MATERIALI E METODI
Questo lavoro consiste in una ricerca bibliografica sulle teorie dell’apprendimento che supportano il tema, nonché nello studio investigativo del software matematico GrafEq 2.13, delle sue potenzialità e della sua applicazione nell’insegnamento della matematica per il contenuto dei sistemi di coordinate polari. La ricerca affronta anche le modalità di lavoro con il software educativo come risorsa didattica nelle classi di matematica.
Secondo Fonseca (2002) apud Gerhardt e Silveira (2009),
A pesquisa bibliográfica é feita a partir do levantamento de referências teóricas já analisadas, e publicadas por meios escritos e eletrônicos, como livros, artigos científicos, páginas de web sites. Qualquer trabalho científico inicia-se com uma pesquisa bibliográfica, que permite ao pesquisador conhecer o que já se estudou sobre o assunto. Existem porém pesquisas científicas que se baseiam unicamente na pesquisa bibliográfica, procurando referências teóricas publicadas com o objetivo de recolher informações ou conhecimentos prévios sobre o problema a respeito do qual se procura a resposta (FONSECA, 2002, p. 32 apud GERHARDT e SILVEIRA, 2009, p. 37).
Nella congettura del tema, la ricerca ha iniziato a cercare materiali/articoli che potessero fungere da base e riferimento per il progetto di ricerca, con questo è stato possibile identificare quali sono i punti importanti su cui lavorare durante la ricerca, nonché le struttura che il lavoro dovrebbe seguire. Ciò ha fornito allo studente ricercatore un contributo teorico a supporto del proprio lavoro. La ricerca bibliografica si è basata su studi sull’uso dei software didattici nell’insegnamento della matematica.
In questo modo sono stati ricercati articoli scientifici, dissertazioni e siti web che trattassero l’argomento in questione. Dalla lettura dei materiali ritenuti rilevanti per l’opera si è costituita la base teorica. I risultati ottenuti verranno presentati in quattro fasi, in cui si parlerà, dapprima, delle teorie dell’apprendimento che supportano il tema, di cosa sono i software didattici, poi del loro utilizzo come risorsa didattica nell’insegnamento della matematica, ed infine , come lavorare con il software matematico GrafEq 2.13 per insegnare il contenuto dei sistemi di coordinate polari per l’istruzione secondaria e superiore.
La presente proposta di lavoro e di ricerca intende definire un piano d’azione che favorisca il processo di insegnamento-apprendimento in aula per il tema specifico “apprendimento in coordinate polari”.
Tutte le attività possono essere sviluppate con una certa conoscenza delle funzioni, dei contenuti esposti nella scuola elementare. Inoltre, la conoscenza riguarda anche gli insiemi numerici, la rappresentazione dei punti nel piano cartesiano e le regole di base dell’algebra.
L’insegnante, a sua volta, dovrebbe apprendere i principali comandi del software GrafEq, cosa che si può fare leggendo alcuni tutorial disponibili su internet e ai quali si farà riferimento in seguito.
Sappiamo che la metodologia utilizzata in classe per insegnare il contenuto matematico è una delle risorse più importanti per garantire che lo studente lo apprenda efficacemente.
Lo sviluppo della prima attività che utilizza GrafEq mira a costruire un cerchio sia nel sistema cartesiano che in quello polare. Lo studente sarà in grado con questo esempio di avere una nozione intuitiva del sistema polare e vedrà quanto sia facile questa trasformazione.
Per svolgere la seconda attività, proponiamo un’altra situazione-problema. In questa situazione, l’obiettivo è conoscere l’equazione generale della spirale e costruirne il grafico.
La terza attività sarà sviluppata con l’obiettivo di esplorare e introdurre allo studio di una categoria di curve chiamate rosette, conoscerne l’equazione generale e costruirne il grafico.
La quarta attività presenta una categoria di curve dette cardioidi, così chiamate perché hanno la forma di un cuore.
Nei primi due problemi gli studenti avranno l’opportunità di discutere la rappresentazione grafica delle situazioni e sviluppare così la propria creatività e criticità.
Successivamente, inizieremo ad esplorare la rappresentazione grafica di diversi tipi di funzioni in coordinate polari, con l’obiettivo di far percepire allo studente il rapporto tra la legge di formazione e la sua rappresentazione grafica, evidenziando la proprietà che caratterizza questo tipo di funzione e alcune aspetti importanti relativi ai loro coefficienti.
Consentendo al computer di generare un grafico sullo schermo attraverso lo strumento, e potendo modificare questo grafico tutte le volte che vuoi e testare le possibilità, l’attività diventa più piacevole e arricchente per lo studente, poiché offre opportunità di scoperta.
5. INFORMAZIONI SUL SOFTWARE GRAFEQ
Il software Grafeq è un software che lavora con equazioni e disequazioni, in coordinate cartesiane e polari. Questo software canadese genera grafici di equazioni e disequazioni di figure piane basate su una forma generalizzata di aritmetica degli intervalli sviluppata da Jeff Tupper. “L’aritmetica di Tupper”, come viene chiamata, è magistralmente esposta nella sua tesi Graphing Equations with Generalized Interval Arithmetic (disponibile nella sua pagina personale). L’uso di GrafEq4 non richiede alcuna conoscenza dell’aritmetica degli intervalli, ma è interessante leggere il bellissimo lavoro di Tupper come un importante esempio di come l’astrazione e la sofisticazione matematica possano produrre risultati pratici.
6. UNA PROPOSTA PER L’INSEGNAMENTO DELLE COORDINATE POLARI
In questo capitolo presentiamo una sequenza didattica volta ad utilizzare diverse attività per l’introduzione e lo sviluppo dello studio delle coordinate polari per gli studenti del 3° anno di scuola superiore. Le domande presenti in questa proposta mirano a garantire che lo studente sia parte del processo di costruzione della conoscenza. L’insegnante ha quindi il ruolo di condurre le attività, e di svolgerle in un modo che coinvolga gli studenti attraverso dibattiti e domande, che, crediamo, porteranno allo sviluppo scalabile dei concetti che circondano lo studio delle coordinate polari e le loro applicazioni.
7. COORDINATE POLARI
Secondo l’estratto tratto dal Book Cálculo Vetorial e Geometria Analítica, secondo l’autore, abbiamo la seguente definizione di coordinate polari:
Dado o par ordenado 
de números reais, com 
, o par 
, com 
, é dito uma representação de em coordenadas polares. Costuma-se dizer, embora 
esteja definido apenas a menos de um múltiplo inteiro de 
, que 
são as “coordenadas polares” de . (ACKER, 2016, p.103)
Esempio:
Figura 1 – Coordinate cartesiane e coordinate polari
Figura 2 – grafico di esempio di coordinate cartesiane
Figura 3 – grafico di esempio di coordinate polari
Figura 4 – Asse polare
Il punto fisso O è chiamato polo e il raggio è chiamato asse polare.
Vale la pena ricordare che lo stesso punto 
non si riferisce solo ad una coppia ordinata, ma ad una classe di coppie ordinate.
Esempio 1:
Figura 5 – esempio 1
Indichiamo P con 
, per
positivo, se 
, cioè consideriamo
. Pertanto, 
è il simmetrico di 
rispetto al polo.
Figura 6 – simmetria
Esempio 2: 
Figura 7 – esempio 2
Si noti che un angolo θ può essere rappresentato da 
, per ogni intero k. Quindi,
Esempio. 
8. CAMBIO DI COORDINATE
Consideriamo un punto P nel piano, possiamo rappresentare questo punto in coordinate cartesiane con
o con 
, in coordinate polari. Per semplicità consideriamo il punto O coincidente con l’origine del sistema cartesiano e la parte non negativa dell’asse x rappresenterà il raggio.
- Esecuzione della trasformazione da coordinate polari a coordinate cartesiane.
Dato un punto P con coordinate polari 
.
Per 
Otteniamo le seguenti relazioni sul triangolo rettangolo OPx.
Figura 8 – cambio di coordinate
e 
b) Trasformare le coordinate cartesiane in coordinate polari.
Dato un punto P, con coordinate cartesiane 
. Come abbiamo visto sopra, considerando P con coordinate 
, abbiamo le relazioni 
Poiché 
, abbiamo 
.
Se 
, cioè 
allora possiamo prendere qualsiasi.
Se 
è tale che 
e sin 
.
Esempio:
Se P ha coordinate polari 
, allora 
e 
.
Con ciò, 
e
, da cui segue che P ha coordinate cartesiane
Esempio:
Con P avente coordinate cartesiane 
allora 
, cioè 
Poiché cos 
e sin 
, allora 
.
Quindi risulta che P ha coordinate polari: 
9. PRIMA ATTIVITÀ
La prima attività della nostra sequenza cerca di introdurre gli studenti a un’idea intuitiva del concetto di coordinate polari.
Esempio. Il cerchio con centro all’origine e raggio 3 ha equazione cartesiana 
. Poiché 
e 
, allora 
, cioè 
è la polare equazione di questa circonferenza.
Usando GrafEq per tracciare il cerchio quotato in entrambi i sistemi di coordinate:
Nel sistema di coordinate cartesiane:
Figura 9 – Circonferenza del raggio
Figura 10 – Circonferenza del raggio r = 3, in coordinate polari
10. SECONDA ATTIVITÀ
Risolvi in coordinate polari il grafico di 
.
Il grafico di 
riguarda i punti 
dove 
, cioè tutti i punti P, dove abbiamo la distanza da P al polo uguale all’angolo
stesso, in radianti, tra il segmento OP e l’asse polare. L’equazione generale della spirale sarà data da 
, dove 
e un intero.
Utilizzando GrafEq tracciare i grafici di 
e 
, per 
.
Rispondere:
Descrizione comando: Configurazione di GrafEq per lo stile polare:
Figura 11-Nuova voce di menu Visualizza
Figura 12-Didascalia
Suggerimento: facendo doppio clic sulla formula si apre la casella dei pulsanti rapidi.
Figura 13-Pulsanti rapidi
Figura 14-Soluzione 1-a
Figura 15-Soluzione 1-b
11. TERZA ATTIVITÀ
Usando GrafEq, risolvi in coordinate polari il grafico di 
Soluzione:
Figura 16-Rosacea
Si noti che ogni equazione del tipo 
o 
per ogni intero e n positivo, rappresenta l’insieme di curve del tipo rosacea.
12. QUARTA ATTIVITÀ
Conoscere i cardioidi
Usando GrafEq, risolvi il grafico di 
, 
Figura 17-cardioide
Si noti che ogni equazione del tipo
rappresentano un insieme di curve cardioidi, così dette perché hanno la forma di un cuore.
13. CONSIDERAZIONI FINALI
Il presente lavoro mirava ad elaborare una proposta per l’introduzione e l’esplorazione dei concetti presenti nello studio delle coordinate polari con un focus sull’apprendimento degli studenti delle scuole superiori e forse del primo anno di istruzione superiore nelle materie di scienze esatte.
Riteniamo che la proposta qui presentata soddisfi queste esigenze e possa contribuire all’appropriazione delle conoscenze matematiche da parte degli studenti. Questa convinzione può basarsi sulle scelte metodologiche e sull’approccio con cui le attività sono state progettate. La scelta del software e della metodologia di problem solving ha consentito una maggiore esplorazione degli aspetti coinvolti nello studio dei sistemi di coordinate polari in modo attraente e significativo.
Questa proposta è un approccio all’insegnamento delle coordinate polari soggetto a correzioni e adattamenti. Durante la strutturazione delle attività, ci siamo resi conto che una semplice situazione-problema poteva generare una grande opportunità per lo sviluppo dei contenuti scolastici qui discussi. Quindi, capiamo che molti dei cambiamenti suggeriti e attesi per l’insegnamento della matematica possono derivare da semplici idee aggiunte alla disposizione dell’insegnante ad affrontare nuove sfide e provare a sperimentare nuove metodologie e strategie differenziate.
Al giorno d’oggi, sempre più scuole sfruttano i computer e le tecnologie dell’informazione e della comunicazione. L’insegnante, in questo contesto, dovrebbe cercare di prepararsi a utilizzare queste risorse per trarre vantaggio dall’insegnamento e anche per contribuire come mediatore nel processo di insegnamento-apprendimento e garantire che queste strategie promuovano l’apprendimento di nuove conoscenze. La nostra proposta si inserisce perfettamente in questa prospettiva.
Infine, speriamo che questo lavoro possa contribuire all’insegnamento della matematica con particolare attenzione all’insegnamento delle coordinate polari. E oltre a offrire agli insegnanti una nuova metodologia per l’insegnamento delle coordinate polari, la nostra proposta mira anche a fornire un momento di riflessione sulla pratica pedagogica e la ricerca di alternative per migliorare l’istruzione attraverso la matematica.
14. RIFERIMENTI
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ACKER, Felipe. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica: Livro 1: O Plano. Instituto de Matemática, UFRJ, Rio de Janeiro, 2016. Disponível em http://www.im.ufrj.br/cvga/problemas/exercicios/oplanolista1.pdf. Acesso em 03 de Setembro de 2020.
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais – Ensino Médio. Brasília. Ministério da Educação, 2002.
BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 3.ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2007.
CAMPOS, Márcia de Borba. Construtivismo. Disponível em http://penta.ufrgs.br / marcia/piaget.htm Acesso em 28 de Setembro de 2016.
DUARTE, Sinara. Fazendo as pazes com o bicho papão: A Matemática e o SL. In: Revista Espírito Livre, n.002, p. 74-78, maio. 2009. 89 p.
GERHARDT, T. E. & SILVEIRA, D. T. Métodos de pesquisa. 1. ed. Porto Alegre: UFRGS, 2009.
GRAVINA, Maria Alice. . . [et al.]. Matemática, Mídias Digitais e Didática: tripé para a formação de professores. Porto Alegre: Evangraf, 2012.
MAGEDANZ, Adriana. Computador: Ferramenta de trabalho no Ensino (de Matemática). 2004. 14f. Curso de Pós-Graduação Lato Sensu. Especialização em ensino de Matemática – UNIVATES – Centro Universitário, Lajeado, 2004. Disponível em http://ensino.univates.br/magedanza/pos/artigo_final_adriana_magedanz.pdf Acesso em 29 de Setembro de 2016.
PAPERT, Seymour. A máquina das crianças: repensando a escola na era digital. Porto Alegre: Artes Médicas, 1994.
PIAGET, Jean. Seis estudos de psicologia. Trad. Maria Alice Magalhães D’Amorim e Paulo Sérgio Lima Silva. Rio de Janeiro: Forense, 1964.
STAHL, Marimar M. A formação de professores para o uso das novas tecnologias de comunicação e informação. In: CANDAU, Vera Maria (org). Magistério: construção cotidiana. 6 ed. Petrópolis, RJ: Vozes, 2008. p. 292-317.
SILVA, José Orlando. FERNANDES, Natal Lania Roque. Tecnologias da Informação e Comunicação na Educação de Jovens e Adultos. Disponível em http://portal.mec.gov.br/setec/arquivos/pdf3/tcc_tecnologias.pdf. Acesso em 29 de Setembro de 2016.
VALENTE, José Armando (org). O computador na sociedade do conhecimento. Campinas: UNICAMP/NIED, 1999.
VIEIRA, F. (1999) Avaliação de software Educativo: Reflexões para uma análise Criteriosa.
APPENDICE – NOTA A PIEDI
2. Parametri curriculari nazionali.
[1] Laurea in Informatica/Informatica – UFRJ. Laurea in Matematica – Università Estácio de Sá – UNESA – RJ. MBA in IT Management – Politecnico di UFRJ.
Inviato: Agosto 2020.
Approvato: Settembre 2020.
