Aplicação de modelos matemáticos para flotação

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ARTIGO ORIGINAL

GONTIJO, Marcos Delgado [1], CANÇADO, Raul Zanoni Lopes [2]

GONTIJO, Marcos Delgado. CANÇADO, Raul Zanoni Lopes. Aplicação de modelos matemáticos para flotação. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano 05, Ed. 05, Vol. 11, pp. 111-124. Maio de 2020. ISSN: 2448-0959, Link de acesso: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/engenharia-quimica/modelos-matematicos

RESUMO

A análise da operação unitária de flotação, por uso de modelos matemáticos, proporciona grandes vantagens devido à mínima intervenção nos processos, bem como traz uma melhor compreensão dos fenômenos envolvidos, implicando em minimização de custos e maximização de desempenho. Atualmente, os modelos matemáticos mais adequados para flotação são modelos cinéticos, especialmente os de primeira ordem, com níveis de complexidade variados, utilizados conforme os objetivos de trabalho e características específicas de cada processo. Após amostragem cuidadosa célula a célula, balanço de massa e análise dos modelos matemáticos aplicáveis, notou-se que, para a flotação de minério de ferro (Mina do Cauê – Vale), os modelos que levam em consideração a existência de três subpopulações de partículas (não flotáveis, lentamente flotáveis e rapidamente flotáveis) são os mais adequados e oferecem calibrações mais eficientes.

Palavras-chaves: Modelos, otimização de processo, flotação.

1. INTRODUÇÃO

Baseado em Peres (1994) e Gontijo (2000), a flotação em espuma é um processo de separação de partículas sólidas, dispersas em polpa, que explora as diferenças nas características de superfície entre as várias espécies presentes e o grau de hidrofobicidade (molhabilidade ou rejeição à água). No processo, as partículas com maior afinidade com o ar, e menor afinidade com a água, tendem a ser arrastadas por bolhas injetadas na polpa podendo ser coletadas por transbordo na superfície, enquanto as partículas com maior afinidade com a água tendem a sedimentar-se, permitindo sua retirada na parte inferior da célula.

A flotação de minério de ferro da planta de beneficiamento da Mina do Cauê (Usina Cauê) é do tipo catiônica reversa, em que o flotado corresponde à fração mais pobre, feita por células mecânicas convencionais com aeração controlada. Essa operação unitária produz o chamado pellet-feed, usado nas usinas de produção de pelotas para alto-forno e redução direta. O bom controle da dosagem de reagentes, dos tempos de residência, aeração, níveis de espuma e outros parâmetros são importantes para assegurar as qualidades dos produtos, ao menor custo e com a máxima recuperação metalúrgica e em massa possível. (GONTIJO, 2000)

Conforme Martins (1997) e Gontijo (2000), equipamentos em geral podem ser representados por modelos matemáticos, normalmente de diferentes níveis de complexidade, que podem receber valores de parâmetros, a partir de dados amostrados e empíricos. Modelos matemáticos considerados de baixa complexidade são geralmente usados para análise de fluxos e balanço de massa. Modelos tidos como médios e avançados podem ser usados para se prever, com bom grau de confiança, o comportamento do processo a partir das variáveis que envolvem os equipamentos e acessórios.

Os modelos matemáticos, sejam empíricos, fenomenológicos ou semiempíricos são ferramentas poderosas para o tratamento de minérios. Dentre as aplicações destas metodologias, temos: o dimensionamento de novas plantas, projetos de expansão, modificações de circuitos existentes, análises de performances, detecção de gargalos e ociosidade, otimização de consumo de reagentes, água e energia, bem como aperfeiçoamento do sistema de controle (GONTIJO, 2000, baseado em GUILLANEAU, 1993).

2. OBJETIVOS

O presente artigo traz um estudo de aplicação de modelos matemáticos, para bancos de células de flotação da Usina Cauê, tendo em vista a calibração dos modelos para o circuito de modo a fornecer uma base confiável para trabalhos posteriores de otimização.

São relevantes também os aprimoramentos dos conhecimentos da operação unitária, análises de variáveis do processo, domínio das técnicas de balanço de massa, geração de informações para controle, melhorias operacionais, bem como auxílio no desenvolvimento de controles otimizantes por modelos matemáticos, dentre outros benefícios.

3. CIRCUITO DE FLOTAÇÃO

O circuito de flotação da Usina Cauê, conforme pode ser visualizado na figura a seguir, é composto de duas etapas principais: uma etapa cleaner e uma etapa scavenger. O processo scavenger é feito em duas etapas (scavenger 1 e scavenger 2).

Figura 1 – Fluxograma da Flotação Cauê

Fonte: Gontijo (2000).

4. MODELOS MATEMÁTICOS

Chama-se modelo matemático um conjunto de equações ou representação lógica e quantitativa das inter-relações entre as variáveis de um sistema, de forma que, baseado nos princípios de funcionamento e mecanismos intrínsecos de cada operação, são capazes de reproduzir e predizer condições mediante entradas de dados de amostragem, testes ou mesmo empíricos. (GONTIJO, 2000, baseado em MARTINS, 1997)

De outro modo, Possa (1995) define o modelamento matemático como sendo uma equação, um conjunto de equações ou representação lógica e quantitativa das inter-relações entre as variáveis de um sistema, que transforma uma entrada de dados (input) em uma saída de resultados (output), ou seja, é uma descrição matemática criteriosamente simplificada de um fenômeno e que expressa os mecanismos envolvidos, a partir de conhecimentos previamente adquiridos ou estimados.

4.1 CALIBRAÇÃO DE MODELOS

De acordo com Gontijo (2000) e Jacoby (1980), os parâmetros genéricos (ou default) dos modelos matemáticos podem gerar resultados e coerência totalmente diferentes da realidade. Isso porque os valores dos parâmetros não são universais e não estão corretamente determinados para as substâncias ou condições específicas, ou seja, os modelos “de fábrica” não estão calibrados. Assim, modelos matemáticos não calibrados são simuláveis, mas a harmonia criada é diferente da esperada, podendo não permitir interações e convergência ou mesmo levar a interpretações falhas. Por isso, a calibração, com adequação dos modelos para cada caso, é etapa fundamental antes da simulação de processo.

Um modelo calibrado representará a realidade do equipamento ou do processo, quando a simulação envolver um circuito com mais equipamentos. As etapas envolvidas para calibração de modelos estão na Figura 2. (GONTIJO, 2018).

Figura 2 – Etapas para calibração de modelos

Fonte: Gontijo (2018)

Após a obtenção de modelos e circuitos calibrados, dando respostas similares à realidade, formando um sistema virtual, podem ser estudadas modificações teóricas nas variáveis, nos quantitativos ou capacidades dos equipamentos, assim como modificações nos direcionamentos de fluxos e demais possibilidades. (GONTIJO, 2018)

5. MODELOS MATEMÁTICOS PARA FLOTAÇÃO

O processo de flotação a modelar pode ser esquematizado da seguinte forma:

Figura 3 – Esquematização do processo de Flotação

Fonte: baseado em Machado, 1990

Conforme Sepulveda (1986), no modelamento do processo de flotação, o balanço total de massas (alimentação, concentrado e rejeito) pode ser descrito da seguinte maneira:

No balanço acima, o termo da esquerda se refere a mudanças que ocorreram dentro da célula, enquanto os termos da direita representam os fluxos através dos limites ou fronteiras da célula. Pode-se rescrever a equação acima como uma equação diferencial para o componente i. A equação resultante é a base do modelo dinâmico da flotação:

, onde cada termo corresponde ao definido na equação (1.1).

Dentro de um sistema em equilíbrio ou estacionário, as propriedades em qualquer ponto não são alteradas com o passar do tempo (não há variação de massa no sistema, ). Para tal situação, a equação anterior se reduz a: (1.3)

5.1 MODELOS CINÉTICOS

Baseado em Sepulveda (1986) e Gontijo (2000), os modelos cinéticos são aqueles que se baseiam na suposição de que cada partícula ou conjunto de partículas possuem uma taxa ou velocidade de flotação, característica dependente de inúmeros fatores, entre os quais se salientam: taxas de reagentes, hidrofobicidade, pH, granulometria, etc.

Para a flotação de semibatelada, a equação cinética é dada pela seguinte equação diferencial de primeira ordem:

(1.4), onde: C é a concentração das partículas com propriedades idênticas de flotação no tempo t. A constante cinética de flotação k é relacionada às condições de flotação, tais como concentração de coletor e nível de polpa.

A integração da equação diferencial acima leva à seguinte expressão, onde Co é a concentração no tempo t = 0: (1.5)

5.2 NÍVEIS DE MODELOS (GONTIJO, 2000 BASEADO EM BRGM, SA)

Os modelos podem ser classificados, segundo seu grau de complexidade, conforme se segue:

Nível 0 – são modelos que trazem as características básicas do processo, sem levar em conta o equipamento em uso. Por exemplo: classificador hidráulico, concentrador gravimétrico, misturador, etc.;

Nível 1 – são modelos simples, porém extremamente úteis e, muitas vezes, suficientes.  Levam em conta os principais mecanismos envolvidos, dimensões, número de equipamentos, porcentagem de sólidos e outros parâmetros de importância;

Nível 2 – são modelos complexos, úteis para estudos mais elaborados, podendo dar os mesmos resultados dos modelos de nível 1, embora com melhores controles. Levam em conta os principais mecanismos envolvidos, dimensões, número de equipamentos, porcentagem de sólidos, cinética de quebra, cinética de reações, tempos de residência e outros;

Nível 3 – têm praticamente as mesmas características dos modelos de nível 2, porém são mais complexos e destinados a estudos específicos.

5.3 MODELO DE NÍVEL 1 PARA FLOTAÇÃO (GONTIJO, 2000 BASEADO EM BRGM, SA)

Este é um modelo de flotação por banco que considera dois fluxos de saída. É baseado na representação da flotação de cada partícula por um fenômeno cinético de primeira ordem. Cada célula é representada por um misturador perfeito (perfect mixer), caracterizado pela medida da metade do tempo de residência (t) da polpa.

Para cada tipo de partícula de minério, tem-se:

, onde:

QFi = vazão em massa das partículas do tipo i na alimentação,

QFRi = vazão em massa das partículas do tipo i no flotado,

Ki = constante cinética da flotação das partículas do tipo i,

t = metade do tempo de residência.

A constante Ki caracteriza a cinética de flotação de cada partícula do tipo i.

Parâmetros de Entrada:

  •  número de bancos em paralelo,
  • número de células por banco,
  • volume de polpa em uma célula (m3),
  • porcentagem de água na espuma,
  • Metade do tempo de flotação (min).

5.4 MODELOS DE NÍVEL 2 PARA FLOTAÇÃO (GONTIJO 2000 BASEADO EM BRGM, SA)

1) Modelo 2A

Assim como no modelo de nível 1, este modelo de flotação é por banco, considera dois fluxos de saída e é baseado na representação da flotação como fenômeno cinético de primeira ordem. Porém, é considerada a existência de três subpopulações para cada tipo i de partícula. Estas subpopulações são diferenciadas pelo seu comportamento de flotabilidade:

  • uma subpopulação de partículas rapidamente flotáveis, caracterizadas por uma constante cinética de velocidade KF,
  • uma subpopulação de partículas lentamente flotáveis, com uma constante cinética KS,
  • uma subpopulação de partículas não flotáveis.

Desde que cada célula possa ser representada por um misturador perfeito, temos para cada célula:

(1.7)

Onde:

QRFi = fluxo de partículas do tipo i no flotado,

QFi = fluxo de partículas do tipo i na alimentação,

Rinfi = máxima possibilidade de recuperação das partículas do tipo i no flotado,

PHIsi = proporção de partículas do tipo i capazes de flotar e com comportamento lentamente flotável,

t = metade do tempo de residência na célula, calculado pelo volume da célula e a alimentação da célula.

Rinf: corresponde à porcentagem de partículas flotáveis de cada tipo de partícula após um tempo infinito,

PHIs: corresponde à porcentagem de partículas lentamente flotáveis para cada tipo de partícula flotável.

Parâmetros de entrada

  •  número de bancos em paralelo,
  •  número de células por banco,
  • volume de polpa em uma célula (m3),
  •  porcentagem de água na espuma,
  • constante cinética de flotação lenta (1/min),
  •  constante cinética de flotação rápida (1/min).

2) Modelo 2B

Assim como nos modelos 2A e de nível 1, este modelo é desenvolvido por banco, considera dois fluxos de saída e é baseado na representação da flotação como fenômeno cinético de primeira ordem. Porém, é considerada a existência de duas subpopulações para cada tipo de partícula. Essas subpopulações são diferenciadas pelo comportamento de flotabilidade:

  • um tipo flotável,
  • um tipo não flotável.

Essas subpopulações são expressas por uma máxima possibilidade de recuperação Rinfi para cada tipo i. Este modelo considera que a máxima possibilidade de recuperação é dependente da distribuição granulométrica.

A constante cinética é calculada para cada tipo i de partícula em uma classe j, de acordo com a fórmula:

(1.8), onde:

αi =  parâmetro de ajuste para partículas tipo i,

Dj = tamanho médio na fração j,

Dmaxi = tamanho máximo de partícula flotável do tipo i,

Dopti = tamanho de partícula facilmente flotável do tipo i,

Desde que cada célula possa ser representada por um misturador perfeito, temos para cada célula:

(1.9), onde:

Qfri,j = fluxo de partículas do tipo i e classe de tamanho j no flotado, Rinfi = máxima possibilidade de recuperação das partículas do tipo i no flotado,

Ki,f = Constante cinética para partículas do tipo i e classe de tamanho j,

t = metade do tempo de residência na célula, calculado pelo volume da célula e a alimentação da célula.

Parâmetros de entrada

  •  número de bancos em paralelo,
  • número de células por banco,
  • volume de polpa em uma célula (m3),
  • porcentagem de água na espuma,
  •  maior tamanho de partícula flotável por componente (mm),
  • tamanho de partícula facilmente flotável por componente (mm),
  • parâmetro de ajuste por componente.

6. RESULTADOS E DISCUSSÕES

6.1 AMOSTRAGEM E BALANÇO DE MASSA

Após amostragem, seguindo os princípios de conservação de massa, técnicas de reconciliação de dados e considerando-se erros relativos, foi feito um balanço de massa usando programa com sistemas de multivariáveis por multiplicadores de Lagrange. Ver fluxograma do circuito de flotação com resultados para vazão (t/h) e teores (%) de Fe e SiO2.

Figura 4 – Balanço de Massa

Fonte: Gontijo (2000).

Destacam-se os seguintes pontos, conforme apresentado nos fluxogramas de resultados a seguir:

  •  15 e 16      –           produtos finais,
  • 25              –           rejeito final,
  •   21              –           carga circulante,
  •  5, 9, 13      –           rejeitos cleaner da Usina 2,
  • 6, 10, 14    –           rejeitos cleaner da Usina 1,
  • 18, 20        –           rejeitos scavenger 1 (1o scavenger)

Após o balanço de massa, no entanto, para a simulação e estimativas de desempenho das células, faz-se necessário “calibrar os modelos”, ou seja, ajustar os modelos para obterem desempenhos similares aos casos reais.

6.2 CALIBRAÇÃO DE MODELOS (BASEADO EM GONTIJO, 2000)

Para se determinar os valores adequados de calibração fez-se uma metodologia de retro-cálculo, com alternância entre dois algoritmos de simulação: a simulação direta e a simulação reversa.

Com a simulação direta, pode-se avaliar quão próximos os valores padrões, ou iniciais, dos parâmetros dos modelos estão do balanço de massa. Caso haja diferenças, o que normalmente ocorre nas primeiras simulações (já que os valores iniciais são meras estimativas), faz-se a simulação reversa.

Na simulação reversa, os valores e características dos fluxos, assim como parâmetros não ajustáveis (tamanho dos equipamentos, número de equipamentos em paralelo, porcentagem de sólidos e outros) permanecem constantes, enquanto os parâmetros de ajuste são variáveis, dentro de faixas predefinidas. Este algoritmo de retro-cálculo determina valores possíveis dos parâmetros de ajuste, compatíveis com os parâmetros de entrada (os fixados), de forma a adequar as variáveis para a simulação direta e melhor calibração.

Quando um modelo matemático está calibrado, com parâmetros determinados corretamente, ele fornece resultados parecidos com os do balanço de massa e, assim, pode ser considerado representativo do equipamento no circuito em análise.

Para calibração, foram testados os modelos de níveis 0, 1 e 2. A tabela a seguir mostra os valores melhor calibrados (calibre), reproduzindo boa aproximação dos dados do balanço de massa.

Tabela 1 – Resumo comparativo do Balanço de Massa e Calibração

Fonte: Gontijo (2000)

A melhor calibração foi obtida usando-se os modelos 2A para os bancos de flotação.

6.2.1 ANÁLISE DE CONSISTÊNCIA DA CALIBRAÇÃO

A distribuição de SiO2 no circuito, como controle de calibração, é apresentada no gráfico a seguir, em que se verifica boa correlação entre os dados amostrados e simulados:

Figura 5 – Gráfico do teor de SiO2 no circuito

Fonte: Gontijo (2000)

6.3 PARÂMETROS DE CALIBRAÇÃO

A partir dos resultados, parâmetros de calibração foram determinados para todo o circuito, sendo que os parâmetros do cleaner da Usina 2 estão listados a seguir:

Tabela 2 – Parâmetros de Calibração – Cleaner

Fonte: Gontijo (2000)

7. CONCLUSÕES

A partir dos trabalhos desenvolvidos e dos resultados obtidos, conclui-se que:

  • A amostragem foi realizada numa condição estável da usina, enquanto a flotação produzia um pellet feed com sílica baixa (< 0,8%), o que representa uma situação adequada para análise de projeto;
  • A calibração apresentou resultados consistentes com balanço de massa, fornecendo dados confiáveis para análises posteriores do circuito;
  • A metodologia adotada demonstrou-se adequada para avaliar possibilidades de otimizações da flotação da Usina Cauê, tendo em vista a boa calibração e compatibilidade dos modelos disponíveis com os equipamentos e circuito;
  • O cleaner se mostrou eficiente para reduzir o teor de SiO2, enquanto o scavenger (1o e 2o), pelas diferenças de teores dos rejeitos, apontou possibilidades de melhorias;
  • O estudo do processo de flotação, observando-se controles tais como: tempos de residência, constantes cinéticas e sílica grossa, levou a uma aprendizagem importante desta operação unitária e do tratamento de minérios;
  • A tecnologia de uso de modelagem matemática, para simulação de processo, mostrou-se adequada ao caso em estudo, sendo uma importante ferramenta para desenvolvimento de trabalhos futuros de otimização de processo.

8. REFERÊNCIAS

BRGM. USIM PAC 2.1 for Windows: User’s Guide. Sd. Vol. 2, 145 p.

GONTIJO, M. D. Desenvolvimento e otimização de projetos para mineração. Editora Espaço Acadêmico. Goiânia, 2018, 294 p.

GONTIJO, M. D. Flotação da Usina Cauê (CVRD): otimização por modelos matemáticos e simulação de processo. Dissertação (Mestrado). Curso de Pós-Graduação em Engenharia Metalúrgica e de Minas, Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG). Belo Horizonte: 2000, 111p.

GUILLANEAU, J.C., DURANCE, M.V., VILLENEUVE, J.G.O. Computer aided optimization of mineral processing plant: Usim Pac 2.0 for Windows: Advanced Technologies for Mineral Processes, three years of innovation, Orléans, 1993.

JACOBY, S. L., KOWALIK, J. S. Mathematical modeling with computers, Prentice Hall, 1980.

MACHADO, A. F. Simulação de circuitos de flotação por meio de modelos matemáticos. Belo Horizonte: Curso de Pós-Graduação em Engenharia Metalúrgica e de Minas – Escola de Engenharia da UFMG. Belo Horizonte, 1990, pp. 1-50.

MARTINS, M.A.S. Simulação e otimização de processos minerais no Brasil. In: WORKSHOP “Mining Best Performance”, Belo Horizonte: Instituto Brasileiro de Mineração – IBRAM, 1997.

POSSA, M. V. Estudos da modelagem matemática da moagem com seixos para talco de diversas procedências. Dissertação (Mestrado). São Paulo, USP, 1995. Disponível em: < http://repositorio.ufop.br/bitstream/123456789/3119/1/DISSERTA%C3%87%C3%83O_Simula%C3%A7%C3%A3oMoagemImplementada.pdf> Acesso em 10 dez. 2017

SEPULVEDA, J.E., GUTIERREZ, R.L. Dimensionamiento y optmizacion de plantas concentradoras mediante técnicas de modelacion matemática. Santiago: Centro de Investigacion Minera Y Metalúrgica – CIMM, 1986. pp.11-13.

[1] Mestrado em Engenharia Metalúrgica e de Minas. Especialização em Meio Ambiente, desenvolvimento e sustentabilidade. Especialização em Gestão de projetos. Graduação em Engenharia de minas.

[2] Doutorado em Engenharia Metalúrgica e de Minas. Mestrado em Engenharia Metalúrgica e de Minas. Graduação em Engenharia de Minas.

Enviado: Setembro, 2018.

Aprovado: Maio, 2020.

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