Neue mathematische Formulierung des Prozesses der molekularen Diffusion und Elektrodiffusion in Zellmembranen

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ARTIGO ORIGINAL

SOUZA, Nathan Rodrigues Serpa [1]

SOUZA, Nathan Rodrigues Serpa. Neue mathematische Formulierung des Prozesses der molekularen Diffusion und Elektrodiffusion in Zellmembranen. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Jahrgang 06, Ed. 04, Vol. 15, S. 34-63. April 2021. ISSN: 2448-0959, Zugangslink: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/fisica-de/molekularen-diffusion

ZUSAMMENFASSUNG

Molekulare Diffusion ist ein im Alltag beobachtbares physikalisch-chemisches Phänomen, als einfache Parfümgase, die sich durch einen geschlossenen Raum ausbreiten, sowie im mikroskopischen Bereich die Aufnahme von Ionen durch Pflanzen und Tiere durch Zellen über offene Ionenkanäle der Plasmamembran. Dieser physikalische Artikel schlägt die Formulierung einer neuen Gleichung vor, die vom Autor von “Nathans Gleichung” als Erweiterung des bekannten 1. Fick-Gesetzes genannt wird, die darauf abzielt, das natürliche Phänomen der Diffusion als Funktion der Variable Resulting Force zu beschreiben des Systems , die eine allgemeine Analyse der wirkenden Kräfte ermöglicht, die dieses Phänomen beeinflussen können, sowie die Erweiterung dieser Formulierung, um den Transport von Ionen durch die Zellmembran zu beschreiben, eine Formulierung mit dem Namen “Nathans Gleichung für die Elektrodiffusion in Zellmembranen”. Durch eine explorative Methode, bibliographische Recherchen und mathematische Hilfsmittel war es möglich, solche Formulierungen durchzuführen und zu interpretieren. Aus der Dimensionsanalyse und den Postulaten des 1. Fick-Gesetzes und des Graham-Gesetzes zur Diffusion in Form von Graphen auf der Grundlage experimenteller und hypothetischer Daten zum Vergleich der Ähnlichkeiten der Graphenkurven konnte die mathematische und physikalische Validierung für . bestätigt werden eine solche Gleichung, die zeigt, dass die Einheiten erhalten bleiben und positiv mit den Postulaten übereinstimmen, die von diesen anderen Gesetzen aufgestellt werden, die bereits in der physikalisch-chemischen Umgebung aufgestellt wurden.

Schlüsselwörter: Diffusion, Zellmembran, Fick-Gesetz, Nathan Gleichung, Elektrodiffusion.

1. EINLEITUNG

Die molekulare Diffusion ist ein physikalisch-chemisches Phänomen, das im Alltag beobachtbar ist, als einfache Gase eines Parfüms, das sich durch einen geschlossenen Raum ausdehnt, sowie mikroskopisch die Absorption von Ionen durch Gemüse und Tiere durch Zellen, über ionische Kanäle der Plasmamembran. Dieser Transportprozess besteht aus der spontanen und irreversiblen Bewegung von Molekülen in Regionen mit hoher Konzentration (Hypotonisch) zu anderen mit niedrigeren Konzentrationen (Hypotonisch), die treibende Kraft dafür sind die chemischen oder thermischen Potenziale der Lösung und im Falle von Zellmembranen elektrostatische Kräfte zusammen (DA SILVA, 2013).

Laut Alberts (2009) präsentiert die Membran gewebe von amphiphilem Charakter, gebildet durch Phospholipide mit einem polaren Ende (Phosphatradikal) und einem weiteren unpolaren (Fettsäureschwanz). Einige polare oder geladene Moleküle wie Ionen haben Schwierigkeiten, sich durch einfache Diffusion zu Lipid-Bilayerzugeben, Verschiebung durch den Transport von Proteinen oder kanalbildenden Proteinen, wie ionischen Kanälen, zu kreuzen. Neben der Darstellung einer Polarität zwischen den extrazellulären Medien mit Akkumulation positiver Ladungen und dem intrazellulären Medium mit Akkumulation negativer Ladungen, verhalten Sie sich wie ein einheitliches elektrisches Feld (MOREIRA, 2014).

Dieser explorative Artikel mit einer theoretisch-mathematischen Analysemethode zielt darauf ab, eine neue mathematische Formulierung zur Beschreibung des Prozesses der molekularen Diffusion und des Ionentransports über Ionenkanäle von Zellmembranen zu etablieren, die die Resultierende Kraft des Systems (FR) berücksichtigt. die eine allgemeine Analyse der auf die Teilchen wirkenden Wirkungen ermöglicht. Die exponierten Thesen hatten als theoretische Grundlage die Zusammenstellung einer diversifizierten bibliographischen Sammlung auf den Gebieten der biologischen, chemischen und physikalischen Wissenschaften sowie die Analyse ihrer Thesen aus dem physikalischen und mathematischen Verständnis der Ergebnisse unter dem Spektrum anderer Gesetze die einen bestimmten Aspekt des gleichen untersuchten Phänomens beschreiben, wie zum Beispiel das Fick-Gesetz und das Graham-Gesetz.

2. ENTWICKLUNG

2.1 MATERIALIEN UND METHODEN

Dieser explorativ ausgerichtete Artikel zielt darauf ab, mathematische Formulierungen zu erstellen, um den molekularen Diffusionsprozess und den Ionenfluss über offene Ionenkanäle von Zellmembranen als Funktion nicht nur des Konzentrationsgradienten oder des elektrischen Potenzials der Membran zu beschreiben, sondern auch konstante Kräfte wirken, werden diese mathematischen Formulierungen vom Autor genannt: Nathan-Gleichung und Nathan-Gleichung für Elektrodiffusion in Zellmembranen.

Für die mathematische Konstruktion war die Sammlung bibliografischen Materials verschiedener Wissenschaften von großer Bedeutung, wie: Zellbiologie, Chemie und Physik. Zusätzlich zur Materialüberprüfung wurde nach der mathematischen Konstruktion die Maßanalyse der Gleichung durchgeführt, um die Erhaltung der Einheiten und ihre Gültigkeit sowie ihre positive oder negative Reaktion auf die Postulate der Fick und GrahamGesetze zur Beschreibung des Diffusionsprozesses zu überprüfen, basierend auf Graphiken, die auf experimentellen und hypothetischen Daten basieren. , um die diagramme zu vergleichen, die aus den mathematischen Beziehungen erstellt wurden. Das verwendete Wissen wird unten verfügbar gemacht:

2.2 BIOLOGISCHE ENTWICKLUNG

Die Zellen sind in drei Teile gegliedert: die Plasmamembran, das Zytoplasma und der Zellkern. Einer der Schwerpunkte dieser wissenschaftlichen Arbeit liegt im Verständnis des Primärfachs, der Zellmembran, mit ca. 8 Nanometern (nm) oder 8 x 10-9 Metern (m), die durch Elektronenmikroskoplicht beobachtbar sind. Die Membran ist nicht vollständig durchlässig, bestehend aus ihrer Hauptfunktion, da es sich um ein selektives Barrea handelt, das die Trennung ermöglicht, sowie den Austausch von Substanzen zwischen extra und intrazellulären Medien (JUNQUEIRA und CARNEIRO, 2012).

Seine selektive Permeabilität ist jedoch auf die chemisch-strukturelle Zusammensetzung der Zellmembranen zurückzuführen, die aus einer Doppelschicht aus Phospholipiden, Proteinen und Kohlenhydraten bestehen. Phospholipide sind amphiphile Gewebe, das heißt, sie enthalten polare und unpolare Anteile, der hydrophile Kopf (Phosphatradikal) ist nach außen gerichtet und bildet eine elektrostatische Wechselwirkung mit den polaren Wassermolekülen. Seine hydrophobe Region besteht aus seinen langen apolaren Fettsäureketten, die leicht mit anderen fettlöslichen Substanzen interagieren können, diesmal ist es vorteilhafter, den Schwanz zur intrazellulären Region zu zeigen. Somit können nicht alle Substanzen die Zellmembran durchdringen und durch einfache Diffusion in die Zelle eindringen, jedoch wird ein solcher Diffusionstransport durch Trägerproteine ​​oder ionenkanalbildende Proteine ​​erleichtert, wenn sie geöffnet sind (ALBERTS, 2009).

2.3 CHEMISCHE ENTWICKLUNG

Diffusion ist nach Taiz und Zeiger (2006) ein Phänomen des Stofftransports, bei dem es zur Förderung des Gleichgewichtszustandes oder auch als Homöostase bezeichnet wird, Teilchen von Regionen mit höheren Konzentrationen in Regionen mit niedrigeren Konzentrationen strömen. Die mathematische Beschreibung eines solchen Prozesses wird durch das Erste Ficksche Gesetz ausgedrückt, das vom Arzt und Physiologen Adolf Eugen Fick (1829 – 1901) vorgeschlagen wurde, einer Differentialgleichung, bei der die Flussdichte (J) direkt proportional zum Konzentrationsgradienten ist ( ) und den Diffusionskoeffizienten (D), der vom untersuchten chemischen Element abhängt, wie unten angegeben (siehe Gleichung 2.1):

Diese homogenisierende Strömung ist eine statistische Folge der zufälligen Bewegung von Teilchen, bekannt als Brownsche Bewegung, die Moleküle bewegen sich spontan von den hypertonischen Regionen (höhere Konzentrationen) in die hypotonischen Regionen (niedrigere Konzentrationen). Das negative Vorzeichen im Fick-Gesetz zeigt an, dass die Strömung in entgegengesetzter Richtung zum Konzentrationsgradienten verläuft, da es sich um ein lineares Gesetz handelt, egal wie groß die Konzentrationsdifferenz zwischen zwei Punkten ist, die Strömung bleibt proportional zum Gradienten.

Andere wichtige Details über das Fick-Gesetz sind die folgenden: Beziehung direkt proportional zur Diffusionsfläche (A) und umgekehrt proportional zwischen Partikelgröße und Diffusionsgeschwindigkeit oder ihrer Molekularmasse (M). Das heißt, je größer die Fläche, desto höher die Transportgebühr; sowie, je kleiner die molekulare Masse des Teilchens, desto größer seine Transportrate und desto schneller seine Diffusionsgeschwindigkeit.

Nach Brady und Huminston (1995) stellt das Grahamsche Gesetz (siehe Gleichung 2.2), das der Chemiker Thomas Graham (1805 – 1869) nach seinen Studien zur Diffusion und Effusion von Flüssigkeiten formuliert hat, fest, dass die Geschwindigkeit (u) von Effusion und Diffusion von zwei Gase (δ1) und (δ2) unter den gleichen Temperatur- und Druckbedingungen umgekehrt proportional zur Quadratwurzel ihrer Dichten (d) oder ihrer Molekulargewichte (MM), wie unten ausgedrückt:

 oder

oder

2.4 PHYSISCHE ENTWICKLUNG

Eines der Grundbegriffe für diesen Artikel ist das bekannte “Grundprinzip der Dynamik” oder “Newtons zweites Gesetz”, das besagt: Die resultierende Kraft, die unter einem Körper wirkt, ist das Produkt seiner Masse durch Beschleunigung (FR = m. a). Halliday (2016) erklärt, dass es zuerst die Stelle wählen muss, die man untersuchen möchte, und die resultierende Kraft als Summe aller Kräfte anwenden muss, die in dem betreffenden Körper wirken.

Laut Tipler (2009) ist Labor (W) die Energie, die durch eine Kraft, die auf das Objekt selbst wirkt, auf ein Objekt übertragen wird. Um die Arbeit zu berechnen, die eine Kraft für ein Objekt ausführt, wenn es einen Offset durchläuft, verwenden wir nur die Kraftkomponente parallel zum Objektversatz, die Kraftkomponente senkrecht zum Offset führt keine Arbeit aus. Die Arbeit (W) einer konstanten Kraft, als Funktion von parallelen Kräften (- = 0°, 180°), kann durch diese Gleichung beschrieben werden:

W = F. d. cosθ

Als [Cos(0°, 180°) = 1]; Sie können die Arbeitsgleichung als Integral oder als Funktion der Abstandsänderung ΔX (siehe Gleichung 2.3) umschreiben, wir haben:

Laut Halliday (2016) ist Energie ein schwer zu definierendes Konzept. Wir verstehen jedoch intuitiv, was Energie ist, wenn wir die Effekte in den verschiedenen Formen davon analysieren, wie z. B.: Kinetische Energie und potentielle Energien. Konzeptionell für Tipler (2009) ist Kinetische Energie mit allen Körpern verbunden, die Masse haben und sich bewegen. Seien Sie (m) die Masse eines Materialpunktes und (u) seine Skalargeschwindigkeit relativ zu einem gegebenen Bezug. Die kinetische Energie des Materialpunktes wird durch gegeben (siehe Gleichung 2.4):

Für uniformly Varied Motion, die Arbeit der resultierenden Kraft durch den Körper, die kinetische Energievariation des Körpers selbst anzuschaffen. Aus dem Arbeits-Energie-Theorem (W = K) können wir den Ausdruck erhalten, der dem Werk einer konstanten Kraft (W) entspricht, mit der kinetischen Energievariation (ΔK), wie die Gleichungen (2.5) und (2.6) zeigen:

Die gleichmäßig variierte Bewegung nach Marques (2016) ist eine Bewegung, bei der ein Teilchen aufgrund einer konstanten Kraft eine Geschwindigkeitsänderung (u0) zu einem anderen (u) erfährt, die eine ebenfalls konstante Beschleunigung (a) fördert und auch eine Verschiebung (ΔX) . Diese Bewegungsart kann ohne Berücksichtigung der Zeit gleichgesetzt werden, die sogenannte „Torricelli-Gleichung“ (2.7):

Laut Pimentel (2004) ist die treibende Kraft diffusiver Prozesse im zellulären flüssigen Medium das sogenannte chemische Potential jeder Lösung, das als die Fähigkeit einer solchen Lösung konfiguriert ist, unter den gelösten Partikeln Arbeiten durchzuführen, in Bezug auf den Konzentrationsgradienten wäre eine Formulierung für das maximale chemische Potenzial von Wasser (2.8):

 

WQ – Chemisches Potenzial der Lösung (J)

R – Allgemeine Gaskonstante (R = 8,31 J Mol-1 K-1)

T – Absolute Temperatur (K)

[ YA ] – Konzentration von Stoff Y an Punkt A (Mol)

[ YB ] – Konzentration von Stoff Y an Punkt B (Mol)

α – Chemische Tätigkeit

3. ERGEBNISSE UND DISKUSSIONEN

3.1 ENTWICKLUNG VON NATHANS GLEICHUNG

Um den Prozess der Diffusion und des Transports von Ionen über Ionenkanäle in der Plasmamembran als Funktion des Konzentrationsgradienten und des elektrischen Feldes, die an den extrazellulären und intrazellulären Enden der Membran erzeugt werden, mathematisch zu beschreiben, betrachten wir x, y und z Koordinatensystem, in dem jede Achse ihre jeweilige Beschleunigung darstellt, die durch Kräfte erzeugt wird, die auf das untersuchte isolierte System (ax, ay e az) wirken, wie in Abbildung 1 gezeigt.

 Abbildung 1: Koordinatensystem (X, Y, Z).

Quelle: Der Autor.

Laut Halliday (2016) kann die resultierende Kraft, die auf ein Teilchen als Ionen einwirkt, die die Membran über ionische Kanäle kreuzen, in jeder x, y und z, Achse in ihre Komponenten zerlegt werden, wobei sie direkt mit Beschleunigungen in den jeweiligen Achsen in Verbindung gebracht wird. Durch Newtons Grundprinzip der Dynamik oder des Zweiten Gesetzes und Newtons Prinzip der Kraftüberlappung kann eine physikalische Analyse für die resultierenden Kräfte auf jeder Achse erhalten werden, die Einfluss auf das Ion ausüben (siehe Gleichung 3.1):

FR – Resultierende Gesamtkraft (N – Kg m s-2)

FR(X) – Resultierende Kraft auf der X-Achse (N – Kg m s-2)

FR(Y) – Resultierende Kraft auf der Y-Achse (N – Kg m s-2)

FR(Z) – Resultierende Kraft auf der Z-Achse (N – Kg m s-2)

 

Die Massen der Ionen bleiben erhalten, so dass die Faktoren, die direkt proportional zu den Kräften in jeder Richtung sind, ihre Beschleunigungen in den jeweiligen Richtungen sind:

FR(X) = m . ax / FR(Y) = m . ay / FR(Z) = m . az

Durch die Komnadierung zwischen den elektrostatischen und Gravitationskonstanten (k = 9 x 109 und G = 6,67 x 10-11 )     , laut Halliday³ (2016) zeigen solche Werte, dass die Gravitationskraft viel schwächer ist als die elektrische Kraft. Daher kann in einem isolierten Teilchensystem, in dem nur Gravitations- und elektrische Kräfte wirken, die Gravitationskraft vernachlässigt werden, da die elektrische Kraft etwa 1,5 x 1020 mal größer ist als die Gewichtskraft. Da die Gravitationsbeschleunigung auf das Teilchen vernachlässigt wird und die Kraft auf die Z Komponente ebenfalls null ist, da die Beschleunigung az vernachlässigt wird, werden wir die Gleichung für die gegebene Studie neu formulieren:

FR = m . a+ m . a+ m . az

FR = m . a+ m . a+ m . 0

FR = m . a+ m . ay

Wenn man die hauptsächlich aktiven Kräfte, diejenigen, die Einfluss auf die X-Achse ausüben, ohne mechanische Schocks und andere Kräfte in Komponente y, da sich die Solutes im Sinne der Homogenisierung bewegen, von hypertonischen zu hypotonischen Regionen, werden wir zu einer solchen Vereinfachung der resultierenden Kraft kommen:

FR = m . a+ m . 0

FR = m . ax

Ein weiterer Punkt ist, dass das untersuchte System als stationär oder dauerhaft betrachtet wird, in dem seine Eigenschaften im Verhältnis zur Zeit unveränderlich sind. Dies impliziert, dass jede P-Eigenschaft des Systems, die partielle Ableitung in Bezug auf die Zeit Null ist  , wenn man bedenkt, dass die variable Zeit kein Parameter in der Untersuchung des betreffenden Membransystems ist.

Zellmembranen haben eine bestimmte Disposition, analog zum Uniform Electric Field, so dass es die Konzentration positiver Ladungen meist auf der extrazellulären Seite und eine Anhäufung negativer Ladungen auf der intrazellulären Seite gibt. Es gibt auch einen Unterschied in der Konzentration zwischen dem äußeren und inneren Enden von Zellen (CE und CI),in dem das System eine treibende Kraft ausübt, um die Translokation von Partikeln durch ionische Kanäle von Zellmembranen zu fördern, wie in Abbildung 2 dargestellt.

Abbildung 2: Darstellung der Ionenverschiebung über Ionenkanal.

Quelle: Der Autor.

Die Strecke, die das dargestellte Molekül zurücklegt, entspricht dem Verdrängungselement (dx), das auch die bereits erwähnte Dicke der Zellmembran ist. Das erste Fick-Gesetz kann als Funktion des Gesamtkonzentrationsgradienten (∇D) und der Diffusionskonstante (D) beschrieben werden, wie unten ausgedrückt (siehe Gleichung 3.2):

Wir werden jedoch nur das bereits erwähnte Längenelement (∂x) berücksichtigen, um die eindimensionale Bewegung von Gelösten aus Regionen mit hoher Konzentration auf niedrigere Konzentrationen zu bewerten. Daher werden die Konzentrationsgradienten ( und  ) aus der Gleichung entfernt, von der wir zu Gleichung 2.1 zurückkehren:

Indem wir das Element (x) von Erstem Gesetz isolieren, erhalten wir:

Die gelösten Teilchen bewegen sich entlang einer Verschiebung (𝞉x) aufgrund der Kraft, die aus dem chemischen Potenzial des Systems (WQ) kommt, da nach dem von Tipler (2009) beschriebenen 2. Hauptsatz der Thermodynamik der Stoff- oder Energiefluss von starts die Regionen mit den höchsten Stoff- oder Energiewerten auf die niedrigsten. Werden Teilchen Kräften ausgesetzt und bewegen sich dadurch ein bestimmtes Distanzelement (𝞉x), kann davon ausgegangen werden, dass solche Körper Arbeit (W) leisten, die durch die folgende Gleichung beschrieben wird (siehe Gleichung 2.3):

Die Arbeit einer konstanten Kraft kann auch durch die Variation der kinetischen Energie des Systems (ΔK) beschrieben werden, die durch den Satz der kinetischen Energie ausgedrückt wird (siehe Gleichung 2.5):

Unter Berücksichtigung der eindimensionalen Bewegung von gelösten Teilchen in Lösung bewegen sich die Teilchen in einem bestimmten Anfangsmoment in Bezug auf ein bestimmtes Element (x) nicht, so dass ihre Anfangsgeschwindigkeit (u0) als null angesehen werden kann, so dass das Werk wie folgt beschrieben wird:

Für ein System, in dem wir eine n Anzahl von Partikeln haben, die sich ausbreiten, von denen jedes eine bestimmte Masse (m(i)) und Beschleunigung (a(i)) hat, haben wir, dass die resultierende Kraft in den Teilchen wie:

Da das System eine Konstante Kraft hat, wird diese Bewegung auch mit einer Konstantenbeschleunigung für alle Teilchen nach gleichmäßig variierter Bewegung beschrieben, die es ermöglicht, die Beschleunigung der Summation aus den Eigenschaften der Somators zu entfernen:

Um Nathans Gleichung zu erreichen, werden die beiden Gleichungen der Arbeit ausgeglichen, und weil es darum geht, die Bewegung von Molekülen wie gezeigt zu behandeln, wird die Masse (m) als Gesamtmasse (M) einer bestimmten Menge von Molekülen betrachtet, die in dem untersuchten System vorhanden sind, und ersetzt auch das Element (dx) durch (x) von Erstem Gesetz.

In dem Wissen, dass (F, D, J) Konstanten in Bezug auf das zu integrierende Element (𝞉C) sind, können aus der Eigenschaft der Konstanten der Integrale die Terme aus dem Integral entfernt werden:

Umschreiben der Integrationsgrenzen in Bezug auf die (𝞉C), haben wir:

Da [C2 – C1 = ΔC] Sie das wissen, können Sie den Wert in der Gleichung ersetzen:

Durch die Isolierung der variablen Strömungsdichte (J) erhalten wir Nathans Gleichung (siehe Gleichung 3.3):

J – Flussdichte (Mol m-2 s-1)

D – Diffusionskoeffizient (m² s-1)

ΔC – Konzentrationsvariation (Mol m-3)

FR – Resultierende Kraft (Kg m s-2)

M – Gesamtmasse der diffundierenden Partikel (kg)

u – Partikeldiffusionsrate (m s-1)

 

3.2 MATHEMATISCHE UND PHYSISCHE BEWERTUNG VON NATHANS GLEICHUNG

Um die Validierung der Nathan-Gleichung auf mathematische Weise zu bestätigen, war es notwendig, die von Halliday (2016) beschriebene Dimensionsanalyse durchzuführen, die überprüft, ob die Einheiten des ersten Fick-Gesetzes erhalten bleiben, die die Einheiten des Nathan Gleichungsäquivalents sind. Die Dimensionsanalyse ist ein in der Physik verwendetes Werkzeug, um die Maßeinheit einer bestimmten Größenordnung zu bestimmen. Die Dimensionsanalyse ist ein Werkzeug, das die Vorhersage, Überprüfung und Anpassung der physikalischen Einheiten ermöglicht, die zur Lösung von Gleichungen verwendet werden.

 

Ficksches Gesetz:

J – (Mol m-2 s-1)

Nathans Gleichung:

J – (Mol m-2 s-1)

Im Allgemeinen werden die grundlegenden physikalischen Größen ausgedrückt als: Länge (L), Masse (M), Zeit (T), Temperatur (θ), Elektrischer Strom (A), Menge der Materie (Mol) und Lichtstärke (I). Die Dimensionsanalyse von Nathans Gleichung (3.3) kann dann mit solchen Darstellungen der fundamentalen physikalischen Größen durchgeführt werden, entsprechend dem Äquivalent jeder Variablen der exponierten Formulierung, wie Marques (2016) betont.

J – Durchflussdichte (Mol L-2 T-1)

D – Diffusionskoeffizient (L2 T-1)

C – Konzentrationsvariation (Mol L-3)

FR – resultierende Kraft (M L T-2)

M – Gesamtmasse der difitierenden Partikel (M)

u – Partikeldiffusionsgeschwindigkeit (L T-1)

Jetzt, indem wir eine Dimensionsanalyse mit den allgemeinen Darstellungen der grundlegenden physikalischen Größen durchführen, haben wir:

 

Ficksches Gesetz:

J – (Mol L-2 T-1)

Nathans Gleichung:

J – (Mol L-2 T-1)

Die Gleichung von Nathan demonstriert die Erhaltung von Einheiten und folgt einigen Aussagen, die das Erste Gesetz von Fick und das Gesetz von Graham demonstrieren, um bestimmte Variablen direkt oder umgekehrt proportional in Beziehung zu setzen und eine solche mathematische Formulierung für den Prozess physikalisch zu validieren. unabhängig von den für die Grundgrößen gewählten Einheiten, solange sie im allgemeinen Umfang kohärent sind.

Die erste Beziehung, die die Gleichung von Nathan zeigt, ist die direkt proportionale Beziehung zwischen der Flussdichte (J) und der Konzentrationsvariation zwischen zwei Punkten (ΔC). Wenn man feststellt, dass eine Zunahme der Konzentrationsdifferenz zwischen zwei beliebigen Punkten im System direkt mit der Zunahme ihrer Flussdichte zusammenhängt, gehorcht eine solche Beziehung dem Fick-Gesetz.

Die zweite wichtige Beziehung ist die direkte Proportionalität zwischen der Strömungsdichte (J) und der resultierenden Kraft (FR), die auf die Teilchen (γ) einwirkt, aus denen das betreffende System besteht. Dies impliziert, dass eine Erhöhung der variablen resultierenden Kraft, die unter den Molekülen wirkt, die diffundieren, auch den Partikelfluss direkt proportional erhöhen wird.

Die dritte wichtige Beziehung ist die umgekehrte Proportionalität zwischen der Flussdichte (J) und der Gesamtmasse aller Gammaelemente (γ), die das untersuchte System bilden. Dies impliziert, dass, wenn man für jedes Molekül und nur seine Molekülmasse betrachtet, je größer die Molekülmasse des zu diffundierenden Elements ist, desto niedriger seine Transportrate ist.Diese Beziehung gehorcht dem Fick-Gesetz und dem Graham-Gesetz.

Die vierte wichtige Beziehung ist die umgekehrte Proportionalität zwischen Molekularmasse (M) und Diffusionsgeschwindigkeitsquadrat (u). Oder es kann als die umgekehrte Beziehung zwischen Diffusionsgeschwindigkeit und der Quadratwurzel der Molekülmasse des Elements (γ verstanden werden. Diese Beziehung gehorcht Grahams Gesetz der Effusion und Diffusion von Gasen und zeigt eine Korrelation von Velocity mit der Umkehrung der Quadratwurzel der molekularen Masse.

Die Strömungsdichte (J) ist umgekehrt proportional zum Produkt zwischen der Molekularmasse (M) – wenn für ein Teilchen – und dem Diffusionsgeschwindigkeitsquadrat (u):

 

Wenn (J) konstant (K) ist, gilt:

Durch Isolieren der Variablen Diffusionsrate (u) erhält man:

Ab der Excel Software Version 2016 war es auch möglich, die graphische Modellierung von 20 hypothetischen Daten für den Molekulargewicht (M)-Wert durchzuführen, mit einem Intervall von (0 < M < 21) in aufsteigender Reihenfolge, korreliert mit seinem jeweiligen Wert von perform Diffusionsgeschwindigkeit (u) in dem Wissen, dass die Diffusionsgeschwindigkeit eines gegebenen Elements umgekehrt proportional zur Quadratwurzel seiner jeweiligen Masse ist, wie durch das Graham-Gesetz und die Nathan-Gleichung gezeigt, wenn die Transportgeschwindigkeit (J) konstant gehalten wird und nur die Masse berücksichtigt wird eines einzelnen Teilchens. Somit können wir die Ähnlichkeit der später mit solchen Daten erstellten Graphen sehen (siehe Graph 1).

Abbildung 1: Diffusionsgeschwindigkeit versus die Umkehrung der Quadratwurzel der Molekularmasse.

Es wird bemerkt, dass beide Formulierungen, sowohl Grahams Gesetz als auch Nathans Gleichung, die gleiche Proportionalität haben und auf der gleichen Art von Funktion basieren: F(x) =  . Durch die grafische Projektion mit Molekularmassenwerten, IUPAC-Daten und der jeweiligen Diffusionsgeschwindigkeit von 20 verschiedenen Gasen bei gleichen Drücken und Temperaturen, die in der folgenden Tabelle aufgeführt sind (siehe Tabelle 1), können Sie ein zweites Diagramm projizieren (siehe Schaubild 2).

Tabelle 1: Molekulare Massen und ihre jeweiligen Diffusionsgeschwindigkeiten.

Gas Molekularmasse (g/mol) Diffusionsgeschwindigkeit (cm/s)
H2 2 0,7
He 4 0,5
O2 16 0,25
CH4 16 0,25
Ne 20 0,22
H2S 34 0,17
Ar 40 0,15
CO2 44 0,15
NO2 46 0,14
O3 48 0,13
C4H10 58 0,12
NO3 63 0,12
SO2 64 0,12
CS2 76 0,11
SO3 80 0,11
Kr 84 0,10
FeS 88 0,10
Xe 131 0,08
PCl3 137 0,08
Rb 222 0,06

Quelle: Der Autor.

Abbildung 2: Diffusionsgeschwindigkeit versus die Umkehrung der Quadratwurzel der Molekularmasse.

Quelle: Der Autor.

Nach Zeiger und Taiz (2006) kann die durchschnittliche Diffusionszeit als das Verhältnis zwischen dem Quadrat der Entfernungsvariation (ΔX2) und dem Diffusionskoeffizienten des Elements (D) definiert werden, ausgedrückt durch die folgende mathematische Formulierung (siehe Gleichung 3.4):

Aus der Definition der durchschnittlichen skalaren Geschwindigkeit (u) der Kinematik und dem Ersetzen des Zeitwerts durch die Variable Average Time (TM) erhalten wir:

oder

 

Durch algebraische Manipulationen können Sie die Gleichung zur Berechnung der Diffusionsgeschwindigkeit (u) eines beliebigen Elements erhalten:

Durch Ersetzen (3.5) in nathans Gleichung (3.3) können wir die Beziehung zwischen dem Quadrat der Entfernungsvariation (ΔX) und der Konzentrationsvariation (ΔC) erhalten.

Durch die Dimensionalanalyse der Gleichung (3.6) zur Bestätigung der Erhaltung der Einheiten des Fick-Gesetzes haben wir:

Validiert die Erhaltung von Einheiten aus der Dimensionsanalyse, kann man eine wichtige und gemeinsame Beziehung in der Nathan-Gleichung und Fick-Gesetz wahrnehmen, es ist die umgekehrte Proportionalität zwischen der Konzentrationsvariation (ΔC) und dem Quadrat der Entfernungsvariation (ΔX²). Damit diese Anweisung gültig ist, betrachten wir die Transportrate (J) als konstant und analysieren nur diese beiden Variablen: Variation der Konzentration und Entfernung.

In Anbetracht der konstanten Flussdichte (J) haben wir:

 

Gezeigt wird die umgekehrte Proportionalität zwischen der Konzentrationsvariation (ΔC) und dem Quadrat der Entfernungsvariation (ΔX²). Diese Aussage stimmt mit Gesetz überein, denn bei der Analyse der Korrelation zwischen diesen beiden Variablen beschreiben beide Formulierungen, Nathans Gleichung und Fickes Gesetz, dasselbe Diagramm, das der Funktion folgt: F(x) =   . Im Folgenden finden Sie eine Graphenformatdemonstration (Gaußsche Kurve), Konzentrationsvariation versus Entfernungsquadratvariation (siehe Abbildung 3):

Abbildung 3: Graphische Variation der Konzentration versus Quadrat der Entfernungsvariation.

Quelle: Der Autor.

Für den Fall, dass nur die Konzentrationsvariation (ΔC) im Diffusionsprozess eines gegebenen Elements eine bestimmende Variable ist, dann unter der Annahme, dass es sich um eine Teilchenbewegung mit konstanter Geschwindigkeit und nicht um eine durch eine konstante Kraft verursachte gleichförmig variierte Bewegung handelt, ersetzen Sie einfach (2.7) in (3.3), die Torricelli-Gleichung, die die mathematische Beschreibung liefert, bekannt als: 1. Fick-Gesetz.

Setzt man (2.7) in (3.3) ein und betrachtet die Anfangsgeschwindigkeit (u0) als null, erhält man:

Streicht man die Terme Resultierende Kraft (FR), mit den Termen im Nenner Gesamtmasse der Teilchen (M) und Beschleunigung (a), sowie den Konstanten im Zähler und Nenner (2), so erhält man wieder die lineare Formulierung: Das erste Ficksche Gesetz ( 2.1).

3.3 ENTWICKLUNG DER NATHAN-GLEICHUNG FÜR DIE ELEKTRODIFFUSION IN ZELLMEMBRANEN

 

Die Nathan-Gleichung kann erweitert werden, um den Prozess der Ionendiffusion durch die Zellmembran mathematisch zu beschreiben, unter Berücksichtigung der folgenden mathematischen Formulierungen. Nach Pimentel (2004) ist die treibende Kraft diffusiver Prozesse in biologischen Systemen das sogenannte Chemische Potenzial des Systems, und im vorliegenden Beispiel findet ein Stofftransfer von einem Punkt A zu einem anderen statt B , kann ein solches chemisches Potential aus der folgenden Gleichung (2.8) ausgedrückt werden:

Dies bedeutet zu sagen, dass eine Lösung von einer Region mit höherem chemischen Potenzial in eine kleinere Region oder im Falle von Lösungsmitteln wie Wasser aus der Osmose bewegt sich aus den Regionen mit niedrigeren Konzentrationen von gelösten zu größeren. Der Partikelstrom hört jedoch auf, wenn die chemischen Potenziale beider Phasen gleich sind, wodurch der Endzustand des Gleichgewichts erreicht wird (HENEINE, 2004).

Ein solches Lösungspotential, das die resultierende Kraft des Systems erzeugt, weil es die Fähigkeit eines bestimmten Systems darstellt, Arbeit auszuführen, kann unter Berücksichtigung des Beitrags anderer wichtiger Faktoren beschrieben werden, wie z. B.: Gravitationswirkung und elektrischer Einfluss auf Partikel aufgrund ihrer Lasten und des Unterschieds im elektrischen Potential. So kann die maximale Potentialgleichung durch die Formulierung des elektrochemischen Potentials ausgedrückt werden, unten (siehe Gleichung 3.7):

Wird der Beitrag des Gravitationspotentials (m.g.h) nicht berücksichtigt, so wird die Gleichung nur auf den chemischen und elektrischen Beitrag reduziert, d. h. die Kräfte, die im Satz von ionischen Teilchen wirken, um sich durch die ionischen oder molekularen Kanäle durch die Lipid-Bilayer zu bewegen und in die intrazelluläre Umgebung einzutreten (ALBERTS, 2009).

Nathans Gleichung beschreibt den Diffusionsprozess, und das natürliche Phänomen des Ionentransports über die Zellmembran kann in ähnlicher Weise durch nathans Gleichung ausgedrückt werden, wobei als Resulting Force (FR) nur das chemische Potential der Lösung und der elektrische Beitrag verwendet wird, wobei der Gravitationsbeitrag außer Acht gelassen wird.

Das wissen (W = FR. Δx), ersetzen die Gleichung (2.3) erhalten wir:

Durch die Dimensionalanalyse der resultierenden Kraft (3.8), die sie in ihre chemischen und elektrischen Parzellen aufteilt, kann man die Entstehung der Joule (J) Energieeinheit nicht mehr wahrnehmen, sondern die Einheit der Kraft im Internationalen Messsystem, Newton (N):

Bei der Analyse des chemischen Beitragsanteils (FQ) haben wir:

In dem Wissen, dass die Joule-Energieeinheit (J – N. m) in der Dimensionsanalyse ersetzt werden kann, erhält man:

Bei der Analyse des elektrischen Beitragsanteils (FE) haben wir:

Da wir wissen, dass die Valenz (Z) eine dimensionslose Variable ist, haben wir:

In dem Wissen, dass die Spannungseinheit Volt (V – J. C-1) in der Dimensionsanalyse ersetzt werden kann, erhält man:

Da die Mol-Einheit als adimensional betrachtet wird, weil sie nur mit Entitäten verwandt ist, die ein bestimmtes System bilden, wie: Atome, Moleküle, Ionen oder Elektronen; wir können eine solche Einheit in der Analyse außer Acht lassen und sie vereinfachen:

In dem Wissen, dass die Joule (J – N.m) Energieeinheit in der Dimensionsanalyse ersetzt werden kann, erhalten:

Aus der Dimensionsanalyse der beiden chemischen und elektrischen Parzellen, aus denen die resultierende Kraft (FR) des untersuchten Systems besteht, wird gezeigt, dass sie für die Berechnung dieser Kraft gültig ist. Schreiben der Verhältnisse zwischen der Variation des chemischen Potentials (Δµ) und der Entfernungsvariation (ΔX), der Variation des elektrischen Potentials (ΔV) und der Entfernungsvariation (ΔX), in Form von Grenzwerten von (ΔX  0) und dann in Differentialform, mit der resultierenden Sofortkraft, erhalten wir:

Für eine Situation, in der die elektrochemischen Potentiale zweier Phasen (A) und (B) eines gegebenen Systems gleich sind, d. h. in einer Gleichgewichtssituation kann der Wert der Variation des elektrischen Potentials an den Enden von Zellmembranen ermittelt werden, was sich auf die Nernst-Gleichung bezieht.

Wenn die Potentiale identisch sind, weist diese Aussage darauf hin, dass die arbeit von den Teilchen ausgeführte Arbeit null ist, so dass die resultierende Kraft in ihnen auch null ist, da es keinen Transit von Molekülen zwischen den beiden Phasen des Systems gibt:

Sie können die Elemente (dx) abbrechen, die auf beiden Seiten der Gleichheit angezeigt werden, und den Begriff (dV) isolieren und dann entsprechend den Variationen neu schreiben, was sich ergibt:

Anstelle des chemischen Potentials (2.3) stellen wir die Berechnung des elektrischen Potentials für eine Gleichgewichtssituation in biologischen Systemen (3.10) wieder her, die als Nernst-Gleichung bekannt ist (HENEINE, 2004).

Sie können die resultierende Kraft des Systems (3.9) in der oben beschriebenen Nathan-Gleichung ersetzen (siehe Gleichung 3.3):

Abgesehen von den Begriffen in der Klammer haben wir nathans Gleichung für Elektrodiffusion in Zellmembranen (3.11):

J – Transportrate oder Ionendurchflussdichte in der Membran (Mol m-2 s-1)

D – Solute Diffusionskoeffizient (m2 s-1)

ΔC – Konzentrationsvariation (Mol m-3)

M – Gesamtmasse der difitierenden Partikel (Kg)

u2 – Partikeldiffusionsgeschwindigkeit (m s-1)

Z – Ion Valencia

F – Faraday konstante (F = 9.648 x 104 C mol-1)

𝞉µ/𝞉x – Abgeleitet vom chemischen Potential in Relation zu dx (Kg m s-2)

𝞉V/𝞉x – Abgeleitet vom elektrischen Potential in Bezug auf dx (V m-1)

Laut Halliday (2016) für Thermodynamik, Innere Energie (U) oder Interne Energievariation (ΔU) ist es die Summe der kinetischen und potentiellen Energien aller Moleküle, die ein System enthält. Diese Beziehung kann mit der folgenden mathematischen Beschreibung (siehe Gleichung 3.12) unter Berücksichtigung der durchschnittlichen Geschwindigkeit für alle konstanten Teilchen ausgedrückt werden:

[M – Gesamtmasse der Systempartikel]

 

 

Durch Ersetzen von Gleichung (3.13) in Nathans Gleichung (3.3) ist es möglich, einen konstanten Term zu bestimmen, der vom Autor mit dem griechischen Buchstaben omega (ω) bezeichnet wird:

Wenn wir jetzt den Grund betrachten als jede Konstante (ω), da sich die Werte solcher Variablen zeitlich nicht ändern, da die partielle Ableitung eines Termes null ist . Zu wissen, dass (ω) sich als Einheit präsentiert , ein Verhältnis zwischen der Menge an konzentrierter Materie und der inneren Energie eines Systems, entspricht diese Beziehung dem folgenden Ausdruck (3.15):

Und zu wissen, dass das Paket auf die Resultierende Stärke des Systems (FR) bezieht, kann man diese Formulierung noch in ihre allgemeine Form (3.15) umschreiben:

Da die Terme (D) und (ω) konstant sind, kann man nun feststellen, dass die Flussdichte (J) direkt proportional zur resultierenden Kraft des Systems (FR) ist, was bedeutet, dass bei einer Zunahme von einer dieser Variablen wird auch die andere proportional zunehmen.

Die Gleichung von Nathan für die Elektrodiffusion in Zellmembranen beschreibt den Fluss von Ionen durch die Membran über Ionenkanäle, wenn sie geöffnet sind, beeinflusst durch den Konzentrationsgradienten der extrazellulären und intrazellulären Medien sowie das elektrische Potenzial oder elektrische Feld unter den Ionen, die erzeugt werden durch die Zellmembran selbst. Diese Formulierung berücksichtigt die Gesamtpartikelmasse des diffundierenden Elements, die chemischen und elektrischen Triebkräfte, die beim Phänomen des Ionentransports über die Zellmembran vorhanden sind, jedoch, wenn andere externe Faktoren aufgrund der Zunahme der resultierenden Kraftvariable kann die Analyse in einem verallgemeinerten Umfang durchgeführt werden, abgesehen von der Übereinstimmung mit den bestehenden und vorgestellten physikalischen Konzepten.

4. ENDGÜLTIGE ÜBERLEGUNGEN

Kurz gesagt, dieser Artikel schlug die Formulierung der “Nathan-Gleichung” als Erweiterung des 1. Fickschen Gesetzes vor, das den diffusiven Fluss von Teilchen in Lösungen nicht nur als Funktion der Konzentrationsdifferenz (ΔC) beschreibt, sondern mit dem Ziel die Materieflussdichte (J) als Funktion der konstanten Resultierenden Kraft (FR) zu betrachten, die auf die Teilchen eines gegebenen Systems einwirkt (siehe Gleichung 3.3).

Eine solche Formulierung zeigte die direkte Proportionalität zwischen der auf die Teilchen wirkenden Kraft und der Flussdichte (J), daher gilt: je größer die auf das System ausgeübte Kraft, desto größer der Stofftransport. Die gleiche mathematische Beschreibung der natürlichen Prozesse der Moleküldiffusion, die eine allgemeine Analyse aller Kräfte ermöglicht, die bestimmte untersuchte Systeme beeinflussen können, kann auch erweitert werden, um den Transport von Ionen durch die Zellmembran zu erklären, wenn die Resultierende Kraft unter den Partikeln des fraglichen Systems berücksichtigt das chemische Potential und das elektrische Potential sowie eine Beziehung zwischen der Menge an konzentrierter Materie und der inneren Energie eines Systems (ω), die vom Autor “Nathans Gleichung für die Elektrodiffusion in Zellmembranen” (siehe Gleichung 3.11) oder auch in seiner allgemeinen Formulierung (siehe Gleichung 3.15).

Die Validierung der Gleichungen wurde aus der Dimensionsanalyse und den direkten und umgekehrt proportionalen Beziehungen zwischen den Variablen in Bezug auf die im 1. Fick-Gesetz und Grahams Gesetz vorgeschlagenen Postulate in Form von Graphen mit Kurven bewertet, die durch bestimmte Funktionen beschrieben werden, die die Proportionalitäten zwischen: Diffusionsgeschwindigkeit versus Molekularmasse eines Elements demonstrieren (siehe Schaubild 1) und die Konzentrationsvariation im Vergleich zum Quadrat der Entfernungsvariation (siehe Schaubild 3); sich als eine gültige Formulierung physisch und mathematisch für eine solche Beschreibung des Naturphänomens zu zeigen, weil die Einheiten des Fick-Gesetzes in der Nathan-Gleichung erhalten bleiben und so positiv in Bezug auf die Sätze solcher bereits etablierten physikalisch-chemischen Gesetze und ihrer grafischen Darstellungen übereinstimmen, nach Proportionalitäten, die von bestimmten zuvor vorgestellten Funktionen beschrieben werden. Die nächsten Artikel aus physikalischen Experimenten oder mit spezifischer Modellierungssoftware können die Praktikabilität und Kohärenz von Nathans Gleichung mit der natürlichen Realität bewerten und sich auf die Untersuchung des Diffusionsphänomens beziehen, um die Genauigkeit und Allgemeinheit der von ihr aufgeworfenen Konzepte zu analysieren.

 

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[1] Abschluss.

Eingereicht: Dezember 2020.

Genehmigt: April 2021.

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