Рассмотрение пустого множества в свете определения включения между множествами

DOI: ESTE ARTIGO AINDA NÃO POSSUI DOI
SOLICITAR AGORA!
5/5 - (1 голос)
Facebook
Twitter
LinkedIn
Pinterest
WhatsApp
Email

CONTEÚDO

ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ

PEREIRA, Olavo de Carvalho [1]

PEREIRA, Olavo de Carvalho. Рассмотрение пустого множества в свете определения включения между множествами. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Год 05, эд. 01, Vol. 01, с. 39-45. Январь 2020 года. ISSN: 2448-0959, Ссылка доступа: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/математические-олимпиады/пустого-множества

СВОДКА

В статье анализируется пустое множество с точки зрения его включения в любое множество, которое имеет элемент, при этом приходит к выводу, расходящемуся с установленным, то есть о том, что пустое множество не может содержаться ни в одном множестве, которое имеет элементы.

Ключевые слова: Пустое множество, теория множеств.

1. ЗНАКОМСТВО

Целью настоящей статьи является пересмотр утверждения о том, что пустое множество является подмножеством любого множества, которое имеет элемент, в свете того, что является подмножеством определений, содержащихся в теории множеств, с целью установления его правильной формулировки, указывающей на реальную ситуацию, которую необходимо рассмотреть.

1.1 ПУСТОЙ НАБОР

Прежде чем начать с определений, которые появятся в этой статье, подчеркнем, что все они, а также теория, представленная здесь, имеют одинаковую запись в книгах Giovanni и Bonjorno (2005), Lima (1978), Dante (2011), а также Iezzi и Murakami (1991):

«Это называется пустым множеством, которое не имеет элемента. Обычным символом пустой сборки является Ø. Мы получаем пустое множество, когда описываем множество через логически ложное свойство P. (стр. 22А)»

Согласно текущему преподаванию математики, здесь, в Бразилии, пустое множество, которое является множеством, не имея элемента, содержится в любом множестве, которое имеет элемент (Ø⊂ A, любое множество A).

Отношение включения утверждает, что множество A содержится в множестве B (A⊂B), когда все элементы A также являются элементами B, то есть когда A является подмножеством B.

Пример: быть A={a,b,c} и B={a,b,c,d,e}

Элементами A являются a, b и c;

Элементами B являются a, b, c, d и e;

Мы видим, что элементы A – a, b и c – являются элементами B. Но не только это мы наблюдаем, что некоторые элементы B – a, b и c – являются элементами A.

В заключение: если A ⊂ B, то A и B имеют общий элемент, в приведенном примере элементы a, b и c, которые являются элементами A и B одновременно.

Из определения включения можно сделать вывод, что если все элементы А являются элементами В, то некоторые или некоторые элементы В являются элементами А (именно те элементы В, которые также являются элементами А).

Вывод: Чтобы включить множество A в множество B, необходимо, чтобы оба имели элемент или элементы в общем (на самом деле, A и B должны иметь все элементы A в общем).

Мы заметили, что определение включения между множествами «требует», чтобы у них был элемент.

Усиление: Если А содержится в В (А ⊂ В), то А и В имеют элемент общий.

Используя определение включения над пустым множеством, мы приходим к выводу, что оно не может содержаться ни в одном множестве, имеющем элемент, который имеет элемент, общий с множеством, в котором он содержался, что не может произойти, потому что у него нет элемента.

Вывод: Пустое множество не может содержаться в любом множестве, которое имеет элемент, то есть пустое множество не может быть подмножеством любого множества, содержащего элемент.

Армирование: Ø ⊄ A, независимо от A ≠Ø.

Аргументы, используемые для обоснования преобладающей позиции в преподавании математики, помимо того, что они не рассматривают последствия приведенного выше определения включения, также не подтверждаются другими результатами, вытекающими также из определений, присутствующих в теории множеств.

Ниже мы разоблачим такие аргументы с соответствующей критикой.

Мы знаем, что множество А, поскольку оно имеет элементы, общие с множеством В, если хотя бы один из элементов А не принадлежит В, мы говорим, что А не содержится в В.

Пример: если A={a, b, c, d, e} и B={a, b, c, d, f, g, h, i}

Элементы A, кроме элемента e, принадлежат множеству B, поэтому в этом случае, поскольку один из элементов A не принадлежит B, мы имеем, что A не содержится в B (A⊄B).

Итак, данные A и B множеств не пусты, если ответ на вопрос «есть ли какой-либо элемент A, кроме элемента B?» да, мы заключим, что A не содержится в B; в противном случае, то есть, если ответ отрицательный, мы приходим к выводу, что все элементы А являются элементами В и в этом случае А содержится в В.

Используя то же вопросительное выражение, теперь с пустым множеством, мы не можем сделать те же выводы, то есть, если зададим вопрос «есть ли какой-либо элемент пустого множества, кроме элемента B?», мы будем иметь «нет» в качестве ответа, просто потому, что пустое множество не имеет элемента.

Этот факт никогда не может привести нас к выводу, как в случае выше, когда оба множества имели элементы, что все элементы пустого множества являются элементами множества B, потому что пустое множество не имеет элемента.

Мы могли бы также задать следующий вопрос: «Есть ли в пустом множестве какой-либо элемент, который является элементом B?»; поскольку ответ на этот вопрос также отрицательный, мы можем заключить, также в этом случае, что пустое множество не может содержаться в B.

Более того, по самому определению пустого множества мы не можем говорить об элементе по отношению к такому множеству.

Вопросительный знак, подобный тому, который был сделан выше, становится бессмысленным, когда связан с пустым множеством.

Строго говоря, выражение «есть ли какой-либо элемент пустого множества, который является (или не является) элементом B?» пришлось бы разделить на две части: 1) «есть ли какой-либо элемент пустого множества» и 2) «который является (или не является) элементом B?».

Ответ на первую часть 1) — нет, так как по отношению к пустому множеству мы не можем говорить об элементе.

Как только на первую часть дан ответ, вторая бессмысленна, потому что мы больше не можем говорить об «элементе».

Другое определение теории множеств гласит, что два множества A и B не связаны, когда у них нет общего элемента, то есть когда пересечение между A и B равно пустому множеству:

Если A∩B = Ø, то A и B не будут разделены.

Пример: A={a, b, c} и B={d, и, f, g}

Мы видим, что А и В не имеют общего элемента.

Это означает, что не может быть никакой связи включения между А и В, скорее, А не может содержаться в В, и В не может содержаться в А.

Если A∩B = Ø → A ⊄ B и B ⊄ A

Из теории множеств мы знаем, что пересечение между пустым множеством и множеством B, а не пустым, равно пустому множеству.

Ø ∩ B = Ø

Строго говоря, мы должны сравнивать только множество, которое имеет элемент, с множеством, которое имеет элемент, а не множество, которое имеет элемент с пустым множеством, у которого нет элемента.

Таким образом, наряду с определением несвязаных множеств можно сказать, что пустое множество и множество B разные. Это означает, что пустое множество не может содержаться в B, потому что оно не имеет элемента, общего с B.

Если Ø ∩ B = Ø → Ø ⊄ B

Мы видим, что этот вывод самой теории множеств лежит в основе того факта, что пустое множество не может быть подмножеством любого множества, которое имеет элемент.

Теперь давайте посмотрим на пустое множество под другим углом, когда оно контекстуализировано в данном множестве.

Из того, что было видно выше, если A и B являются множествами, такими, что A ∩ B = Ø и как Ø ∩ B = Ø, мы можем идентифицировать множество A как пустое множество для множества B и наоборот, в смысле, указанном в примере ниже, когда речь идет о числовых множествах.

Пример. Если A={a, b, c} и B={d, и, f, g}, такие как A ∩ B = Ø, мы можем сказать, что A является пустым множеством для B и наоборот, то есть что элементы множества A не принадлежат множеству B и что элементы множества B не принадлежат множеству A, и поэтому если мы решим уравнение в множестве A и получим в результате элемент из множества B, то в этом случае B будет пустым множеством для A, точно так же, как описано в следующем примере с числовыми множествами.

Другой пример, если мы работаем над множеством натуральных чисел, и если наш контекст является множеством N и мы хотим решить уравнение x + 5 = 0, мы знаем, что ответ -5 не принадлежит рассматриваемому множеству. Поэтому мы говорим, что решение пустое. Тогда мы можем, без ущерба для какой-либо логики определения пустого множества, примененного в данном случае к контексту естественного, сказать, что -5 принадлежит пустому множеству.

Обобщая, любое число вне контекста натуральных чисел будет рассматриваться как принадлежащее пустому множеству. Таким образом, отрицательные целые числа, рациональные и иррациональные, то есть объединение этих множеств, сформирует пустое множество натуральных. Таким образом, мы понимаем, что пустое множество, в данном случае, в контексте натуральных чисел, с точки зрения пустоты, потому что оно не имеет элемента, принадлежащего естественному, имеет бесконечные элементы.

Если бы контекстом было целое целое числа, пустое множество решений было бы объединением рационального, кроме целых чисел, с иррациональным и имело бы, в данном случае, бесконечные элементы.

И так далее, по мере увеличения множества, соответствующее пустое множество уменьшается до тех пор, пока мы не достигнем множества комплексов, для которых пустое множество должно быть действительно пустым, не содержащим элемента.

Теперь, возвращаясь к приведенному примеру, x+5 = 0, в множестве натуралов, имеющих в качестве ответа -5, принадлежащих пустоте; если бы пустое множество было подмножеством любого множества, то -5 принадлежало бы к натуральным, а при этом решение не было бы пустым, то есть принадлежащим пустому множеству.

Под этим мыподразумеваем, что, если бы пустое множество было подмножеством некоторого множества, оно было бы иметь все свои «элементы» общие с этим множеством, то есть его элементы принадлежали бы этому множеству, и при этом оно не было бы пустым множеством.

2. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В приведенном выше мы показываем, что пустое множество не содержится ни в одном множестве, которое имеет элемент.

Тезис основывался на самой устоявшейся теории, не используя для ее обоснования ничего странного.

Мы сообщаем об этом наблюдении, чтобы исправить тему, составляющую основы математики, а также придать ей последовательность.

Результаты, полученные в результате этого вывода, должны быть пересмотрены.

3. ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

DANTE, Luiz Roberto, Matemática, Volume Único, 2011.

GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto, Coleção Matemática Completa, 1ª Série, Ensino Médio, 2005.

IEZZI, Gelson e MURAKAMI, Carlos, Fundamentos de Matemática Elementar, volume 1, 1991.

LIMA, Elon Lages. Curso de Análise, vol. 1, 1978.

[1] Степень бакалавра математики Университета Brasília.

Представлено: Ноябрь 2019.

Утверждено: Январь 2020 года.

5/5 - (1 голос)

Leave a Reply

Your email address will not be published.

DOWNLOAD PDF
RC: 96595
POXA QUE TRISTE!😥

Este Artigo ainda não possui registro DOI, sem ele não podemos calcular as Citações!

Solicitar Registro DOI
Pesquisar por categoria…
Este anúncio ajuda a manter a Educação gratuita
WeCreativez WhatsApp Support
Temos uma equipe de suporte avançado. Entre em contato conosco!
👋 Здравствуйте, Нужна помощь в отправке научной статьи?