Cálculo de limite de uma função sem a utilização de ε e δ

ARTIGO ORIGINAL

PEREIRA, Olavo de Carvalho ^[1]

PEREIRA, Olavo de Carvalho. Cálculo de limite de uma função sem a utilização de e . Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano. 06, Ed. 08, Vol. 04, pp. 05-31. Agosto 2021. ISSN: 2448-0959, Link de acesso: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/matematica/calculo-de-limite, DOI: 10.32749/nucleodoconhecimento.com.br/matematica/calculo-de-limite

RESUMO

A bibliografia consultada não apresenta, em nenhum dos casos analisados, cálculo de limite de uma função, mas apenas “mostra” que os valores apresentados como sendo o “limite” satisfazem a definição de limite de uma função expressa através de desigualdades envolvendo e , havendo, portanto, uma lacuna nesse tema, que o presente artigo vem preencher utilizando-se fundamentalmente do conceito de função definida, bem como pela identificação da expressão “ tende a certo número” com uma igualdade correspondente.

Palavras-Chave: limite de uma função, cálculo de limite, limites laterais, limites infinitos, limites no infinito.

1. INTRODUÇÃO

Esse artigo apresenta o “cálculo de limite de uma função” no intuito de preencher uma lacuna existente nesse assunto.

A apresentação do cálculo mencionado na solução de diversos limites é o objetivo principal do artigo.

De forma suplementar, intencionamos esclarecer sobre a real necessidade de se calcular, ou não, o limite de uma função.

Também discorreremos, de uma maneira bem singela, sobre o caso em que uma função simples, definida em certo número, é contínua nesse número.

Embora a interpretação geométrica seja sempre importante, faremos aqui uma abordagem apenas algébrica do “cálculo de limite” apresentado.

1.1 CÁLCULO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO

A definição de limite de uma função é apresentada nos livros de matemática através de uma estimativa.

Por exemplo: Leithold (1994) apresenta a definição de limite de uma função da seguinte forma:

Seja uma função definida para todo número em algum intervalo aberto contendo , exceto possivelmente no próprio número  O limite de  quando tende a  será , escrito como  se a seguinte afirmativa for verdadeira:

Dado qualquer, existe um , tal que, se então .‘‘

A definição acima afirma que os valores de  tendem a um limite quando tende a um número , se o valor absoluto da diferença entre e puder se tornar tão pequeno quanto desejarmos, tomandosuficientemente próximo de , mas não igual a .

Já Lezzi, Murakami e Machado (1991) assim se expressam sobre a mesma definição:

Seja um intervalo aberto ao qual pertence o número real . Seja uma função definida para Dizemos que o limite de , quando tende a , é , e escrevemos se para todo , existir tal que se

então .

Munem e Foulis (1982) usam a seguinte definição:

Se é uma função e é um número, entende-se a notação   como “o limite de ” quandotende a é isto é,  se aproxima do número quando se aproxima de .

Como se depreende das definições acima, é apresentado um limite apenas para satisfazer a própria definição.

Não se apresenta em nenhum momento o cálculo de tal limite.

O presente artigo apresenta o “cálculo de limite” de uma função que pode ser utilizado em todos os casos em que seja necessário efetuar-se tal operação.

Vamos, então, ao argumento.

Para algumas funções, não definidas em certo número, no intuito de saber, com a máxima precisão possível, qual seria seu valor naquele número, costuma-se fazer a avaliação das mesmas em valores próximos daquele número para o qual não estão definidas.

Exemplo:definida para todo exceto .

Se substituirmos o por 1, teremos a indeterminação .

Como a função não está definida, isto é, não existe para o valor 1, avaliamos, então, seu valor próximo de 1, pois nosso objetivo é conhecer o valor da função, pelo menos, próximo de 1, uma vez que ela não existe para .

Para valores de , diferentes de 1, maiores ou menores que 1, porém bem próximos de 1, , pois será igual a 1, e terá valores próximos de 5, como veremos abaixo:

Vamos atribuir a os valores, isto é, estamos tomando valores de cada vez mais próximos de 1, porém menores do que 1. Os valores de  encontrados são:

Agora vamos atribuir a os valores , isto é, estamos tomando valores de cada vez mais próximos de 1, porém maiores que 1. Os valores de encontrados são:

Como se observa, em ambos os casos, à medida que se aproxima de 1,  se aproxima de 5, levando-nos a crer que seja esse o limite de .

Entretanto, não foi feito aqui nenhum “cálculo” de limite, mas apenas uma avaliação de , quando  assume valores bem próximos de 1.

De forma que o valor 5 é “candidato” a ser o limite que, ainda, precisamos calcular.

Os autores consultados estruturam a definição de limite em termos de desigualdades a partir de exemplos como esse e assumem o valor estimado, no caso o 5, como realmente o limite da função.

A esse propósito, afirmam que , pois para qualquer , não importa o quão pequeno ele seja, existe um , tal que se então .

A definição de limite dada no início, que não possui nenhum cálculo de limite, é utilizada para “provar” que números fornecidos, sem nenhuma indicação de onde foram tirados, são limites de funções.

Evidenciaremos que a definição de limite não prova, não demonstra, que dado número é o limite de uma função, mas apenas “mostra” que o número fornecido é o limite.

Vamos usar um exemplo para tornar clara a diferença entre uma “mostração” e uma “demonstração”.

• Mostre que 2 é raiz da equação .

Isto significa que, se substituirmos o pelo 2, teremos zero como resultado da equação.

Vejamos .

Esse foi exemplo de “mostração”, isto é, apenas se mostrou alguma coisa, não se demonstrou nada, não se calculou nada, apenas se substituiu o valor fornecido.

Diferente é quando se diz: demonstre que 2 é raiz, é solução da equação .

Nesse caso, temos que calcular, resolver a equação, e ver se obtemos .

Bem, resolvendo, temos: , logo , e extraindo a raiz quadrada em ambos os lados temos: , isto é, ou .

Logo um dos valores de realmente é 2.

Com isto, ficou “demonstrado” que realmente 2 é raiz da equação .

Veremos, nos exemplos dados a seguir, que não existe uma demonstração, mas apenas uma “mostração” de que o número fornecido é limite da função dada.

Exemplo. Use a definição de limite para “provar” que .

Aqui não se fala como se chegou à conclusão de que o limite é 5, nem se diz de onde esse número foi tirado.

Abordaremos, em linhas gerais, a solução apresentada nos livros consultados:

A primeira exigência da definição é que seja definida em todo número de algum intervalo aberto contendo 3, exceto possivelmente em 3. Como está definida para todos os números reais, qualquer intervalo aberto contendo 3 irá satisfazer esse requisito. Precisamos mostrar agora que para todo existe um , tal que se então temos que

, logo e

Temos, então, e

Essa afirmativa indica que é um delta satisfatório.

Com essa escolha de temos o seguinte argumento:, então , então , então então , pois

Isso apenas “mostra”, a partir da definição de limite, que

Como vimos, não houve uma demonstração, mas apenas uma “mostração”, uma vez que, fornecido o número 5, fizemos simplesmente a substituição dele e da função dada, na definição de limite de uma função.

Vamos a mais um exemplo: use a definição para “provar” que .

Novamente é fornecido um número, no caso o 4, como sendo o limite, mas não se diz de onde esse número foi tirado.

Vamos à solução apresentada, em linhas gerais:

Como está definido para todos os números reais, qualquer intervalo aberto contendo 2 satisfará o primeiro requisito da definição.

Precisamos mostrar que para todo , existe um , tal que

Se então

Logo então

Precisamos colocar uma restrição sobre que nos dê uma desigualdade envolvendo . Tal restrição é feita para selecionarmos o intervalo aberto requerido pela definição. Escolhemos o intervalo e isto implica que . Então e , então então então então .

Agora temos e , então Como nossa meta é obter , devemos requerer  Com isto

Usando esse concluímos a chamada “prova”.

Como vimos acima, novamente não se provou nada, mas apenas se mostrou que o número fornecido como sendo o limite, no caso o 4, satisfaz à definição de limite.

Não houve nenhum cálculo para evidenciar que o número 4 é realmente o limite.

Faremos, a partir deste ponto, a apresentação do cálculo de limite de uma função.

Antes de apresentar o “cálculo” propriamente dito, vamos avaliar  nos mesmos valores de fornecidos acima, porém considerando-os como compostos do número 1.

Isto mostrará, em linhas gerais, o raciocínio utilizado para fazer o cálculo de limite da função.

A função é , válida para todo .

Para ou , temos que

Para ou , temos que Para ou  temos que

Para ou temos que Para ou , temos que

Para ou , temos que

Para ou  temos que

Para ou , temos que

Para ou , temos que

Testamos alguns valores de  menores que 1.

Agora faremos a avaliação de  em valores maiores que 1, porém próximos de 1.

Para ou , temos que

Para ou temos que

Para ou temos que

Para ou , temos que

Para ou , temos que

Para ou temos que

Para ou , temos que

Para ou , temos que

Para ou , temos que

Pelo exposto acima, percebemos que, quanto mais se aproxima de 1, tanto mais se aproxima de 5, isto é, quando tende a 1,  tende a 5.

Observamos nos cálculos acima, em todos os valores atribuídos a , o aparecimento de uma constante à qual se somou ou se subtraiu um valor que ia tendendo a zero, à medida que  ia se aproximando de 1.

Essa constante é, portanto, “candidata” a ser o “limite” mencionado acima, isto é, há um indicativo de que poderemos ter .

Expressaremos agora, a situação acima, de uma forma semi genérica para apresentar o “cálculo do limite” propriamente dito.

A expressão “ tende a 1″, representada por , é equivalente a , ou , quando tende a zero, , e .

Com isto, a expressão , substituindo  por ou , é equivalente a , ou , isto é,  , ou .

A partir da igualdade acima, é possível “calcular” o valor do limite de quando  tende a 1, pois basta calcular o valor de , ou .

Faremos, agora, utilizando a mesma função anterior, o cálculo para , quando .

Dessa forma, ficamos com:

pois independe de , e tende a zero quando , isto é, é tão pequeno que se aproxima de zero, tanto quanto desejarmos.

O cálculo para , isto é, , é análogo e produz o mesmo resultado.

Vejamos:

Calcularemos, agora, uma série de limites de funções, para exemplificar a aplicação do “cálculo” mencionado.

• Calculemos .

Como , podemos fazer, por exemplo, , e .

Ficamos com termos em que tendem todos a zero.

Logo o resultado será

• Calculemos

Como , podemos fazer, por exemplo, ,  e .

Ficamos com, pois o numerador tende para 4 e o denominador tende para .

• Calculemos .

Como vimos acima, no final ficaremos com

• Calculemos conforme abaixo.

.

Devemos calcular , pois não importa o que acontece com  quando .

Como , podemos fazer, por exemplo, e .

Ficamos com ,  pois.

Seja , definida para todo , exceto .

Consideremos isto é, , para o qual se reduz a .

• Calculemos o  . Temos que , uma vez que, quando , a expressão tende a zero.

Então

Agora consideremos o seguinte exemplo: , definida para todo , e calculemos o seu limite quando  tende a 2.

Para  condição de existência da função, , e quando podemos fazer, por exemplo, , com e teremos que calcular o limite.

Como , a expressão tende a , e o limite será, então, .

Concluindo, ficamos com: .

Observação.

Poderíamos ter aplicado o “cálculo” diretamente sobre a função, sem antes dividir o fator comum ao numerador e ao denominador.

Vejamos

Aliás, podemos aplicar o “cálculo” diretamente sobre a função, sem antes fazer uma “preparação” sobre ela.

Daremos agora alguns exemplos de cálculo de limite envolvendo função trigonométrica e exponencial no intuito de exemplificar o consolidado acima.

Consideremos a função , definida para todo , exceto

Recordando: significa, por exemplo, que, onde , .

Substituindo esse valor de x na equação original acima, temos:

Pois, e  são independentes de e o

, enquanto o .

Outro exemplo: consideremos a função  definida para todo , exceto .

• Calculemos o
• Fazendo a substituição por, por exemplo, , com , . Temos: , pois o é 1 e independe de.

Agora vamos calcular o limite das funções dadas no início para confirmar os valores dos limites fornecidos.

• Calculemos

Como , podemos fazer, por exemplo, , e e ficamos com

• Calculemos

Como , podemos fazer, por exemplo, , e e ficamos com

Como se depreende dos “cálculos” acima, os limites fornecidos nos exemplos anteriores estavam corretos.

Vamos demonstrar apenas um teorema sobre limites para exemplificar o cálculo aqui exposto.

Teorema. Se e forem constantes quaisquer, então .

Basta calcular o limite fazendo, por exemplo, e

Ficamos com: , pois tende para zero, uma vez que  tende para zero.

Nota-se uma simplicidade imensa no “cálculo” apresentado.

Nesse caso não resta dúvida de que o limite é .

Agora utilizaremos o “cálculo de limite” apresentado para calcular limites de funções em diversas circunstâncias.

• Calculemos

Como , então podemos fazer, por exemplo, , e

Ficamos com , uma vez que tende para 11 e  tende para 9.

• Calculemos .

Como x → 5, então podemos fazer, por exemplo, , e

Ficamos com 

Observa-se que não foi necessário “preparar” a função para aplicar o “cálculo”, isto é, não foi necessário escrever a função como e, finalmente, como

• Calculemos .

Nos casos envolvendo radicais, ao qual estão somados ou subtraídos um número real, quando a substituição direta do valor de conduz à indeterminação  temos que preparar a equação, pois a aplicação direta do “cálculo” não desfaz a indeterminação, como veremos abaixo.

O que ocorre nesse caso é que existe um fator comum ao numerador e ao denominador, mas que só é expresso quando efetuamos a divisão, seja do numerador pelo denominador, seja do denominador pelo numerador.

Isso se traduz atualmente em matemática como racionalização.

Vejamos no exemplo acima: se dividirmos o denominador pelo numerador, uma vez que o expoente de no denominador é 1 e o expoente de no numerador é menor, isto é, vale  teremos: e substituindo, ficaremos com  .

Conseguimos, com isso, expressar o fator comum ao numerador e ao denominador.

A outra maneira é dividirmos o numerador pelo denominador, mas, nesse caso, devemos fazer mesmo é a racionalização, uma vez que o expoente de no numerador é menor que o expoente de no denominador, necessitando, por isso, de ser multiplicado por um fator em  para tornar o seu expoente, pelo menos, igual ao expoente do denominador.

Essa é a famosa racionalização que fazemos.

Faremos primeiro o cálculo, sem preparação.

Como , podemos fazer, por exemplo, , e .

Ficamos com   Observamos a necessidade de racionalizar, pois o limite ainda fica indeterminado quando no numerador e no denominador, tendendo para

Multiplicaremos e dividiremos, então, por , e ficaremos com

Agora faremos o cálculo, preparando a função antes de aplicá-lo.

.

Como a substituição direta de 4 conduz à indeterminação , significa que o numerador e o denominador têm como fator comum ou

Nesse caso, como se trata de um radical menos um número real, a maneira utilizada para “liberar” o fator comum é através de racionalização.

Antes de calcular o limite, multiplicaremos e dividiremos o numerador o denominador da função por

Ficamos com .  Nessa função, já podemos aplicar o cálculo. Vejamos:

Como podemos fazer, por exemplo, , e

Ficamos com

1.2 LIMITES LATERAIS

Nos casos em que uma função está definida para todo número real, exceto um número real , quando calculamos seu limite com a variável independente tendendo a , como nos exemplos dados acima, tanto faz utilizarmos quanto , e , uma vez que ela está definida para todos os números à esquerda e à direita de .

E é claro, não se tratando de uma função sentença.

Quando uma função não está definida à esquerda ou à direta de um número e tenhamos que calcular seu limite com  tendendo a, devemos utilizar o valor de conforme o caso.

Quando e fazemos  , ou , e , então indica que está se aproximando de  por valores maiores que , e, portanto, está se aproximando de  pela direita.

O cálculo feito com é, portanto, o limite quando tende a  pela direita.

É, por isso, o limite lateral direito.

Utilizamos  para calcular o limite lateral esquerdo.

Sabemos que o limite existe somente quando os limites laterais existem e são iguais.

• Calculemos √x – 4.

Sabemos que a função existe somente para , isto é,

Logo, não existe o limite lateral esquerdo e, com isto, não existe o limite em questão.

Mas existe o limite lateral direito que pode ser calculado substituindo por , e

• Calculemos os limites laterais.

Como são iguais,

No cálculo acima, fizemos , para calcular o limite lateral direito e  para calcular o limite lateral esquerdo.

Calculemos o limite de  definida por

• Calculemos

Devemos calcular, então,

Faremos, então, , e

Ficamos com

• Calculemos

Devemos calcular, então,

Faremos, então, , e

Ficamos com

• Calculemos

Como então o não existe.

• Calculemos .

Devemos calcular, então,

Faremos, então, , e

Ficamos com

• Calculemos

Devemos calcular, então,

Faremos, então, , e

Ficamos com

Calculemos

Como , então existe e é igual a zero.

1.3 LIMITES INFINITOS

Aqueles cujos valores funcionais aumentam ou diminuem sem limitação, quando a variável independente se aproxima cada vez mais de um número fixo, podem ser resolvidos igualmente pelo “cálculo” de limite aqui apresentado, com a vantagem de não precisar se preocupar com teoremas.

Antes de aplicar o “cálculo”, relembremos as seguintes situações:

• Calculemos o seguinte limite .

Como , devemos fazer , e

Ficamos com  .

• Calculemos agora .

Como , devemos fazer , e

Ficamos com .

• Calculemos .

Como , devemos fazer , e

Ficamos com , pois o numerador tende a 2, enquanto o denominador tende a zero através de valores positivos.

• Calculemos agora .

Como , devemos fazer ,  e  

Ficamos com  ,  pois o numerador tende a 2 e o denominador tende a zero através de valores negativos.

• Calculemos

Como , devemos fazer , e

Ficamos com pois o numerador tende para 14, enquanto o denominador tende a zero por valores positivos.

• Calculemos agora

Como , devemos fazer , e

Ficamos com  , pois o numerador tende para 14, enquanto o denominador tende a zero por valores negativos, uma vez que  tende a zero sempre por valores positivos.

Neste caso o denominador é sempre que, e como , o denominador é sempre negativo.

• Calculemos

Como , devemos fazer , e

Ficamos como  pois o numerador tende para 2 e o denominador tende para zero por valores positivos.

• Calculemos

Como , devemos fazer , e

Ficamos com  ,  pois o numerador tende para -2 e o denominador tende para zero por valores positivos.

Nesses dois casos pudemos passar o para dentro do radical porque ele é sempre positivo.

• Calculemos

Como , devemos fazer , e

Ficamos com   pois o numerador tende para 4, enquanto o denominador tende para zero por valores positivos.

Obs. Poderíamos ter substituído diretamente o valor de  na equação original.

• Calculemos

Como , devemos fazer , e

Ficamos com  ,  pois o numerador tende para 35, enquanto o denominador tende para zero por valores negativos, uma vez que  é negativo para < 1.

• Calculemos

Como , faremos , e

Ficamos com  , pois o numerador tende para e o denominador tende para por valores positivos.

1.4 LIMITES NO INFINITO

Da mesma forma que para os limites mencionados até aqui, a literatura consultada também não apresenta cálculo de limites no infinito, mas apenas faz uma avaliação da função quando a variável independente cresce ou decresce indefinidamente.

O resultado da avaliação é utilizado como sendo o limite.

Vejamos.

Dada a função , atribuímos a os valores e assim por diante, permitindo que aumente indefinidamente. Os valores funcionais correspondentes serão

Observamos que, quando  cresce, tomando valores positivos, os valores funcionais aproximam-se de 2.

Quando uma variável independente cresce indefinidamente, através de valores positivos, escrevemos o exemplo dado, foi tirada a conclusão de que

Conforme visto acima, do exemplo dado, não foi apresentado nenhum cálculo de limite da função, mas apenas se observou que, à medida que  aumentava, por valores positivos, a função se aproximava de 2.

Esse valor 2 foi, então, utilizado como sendo o limite da função.

Apresentaremos, abaixo, o “cálculo” de limite de funções quando a variável independente tende a ou a

Nos casos em que , faremos e , pois, como vimos acima, quando tende a zero por valores positivos, tende a , e, com isso, tende a

Nos casos em que , faremos e , pois, como vimos acima, quando φ tende a zero por valores positivos, tende a, e, com isso, tende a .

• Calculemos .

Como , faremos e

Ficamos com  pois o numerador tende para 2 e denominador tende para 1.

• Calculemos

Como , faremos e

Ficamos com , pois o numerador tende para 2 e o denominador tende para 1.

• Calculemos

Como , faremos e

Ficamos com ,  pois o numerador tende para 4 e o denominador tende para 2.

• Calculemos

Como , faremos e

Ficamos com pois o numerador tende a zero e o denominador tende a -4.

• Calculemos

Como , faremos e

Ficamos com , pois o numerador tende para 3 e o denominador tende para

• Calculemos

Como , faremos e

Ficamos com ,  pois o numerador tende para -3 e o denominador tende para √2.

• Calculemos

Como , faremos e

Ficamos com  pois o numerador é 1 e o denominador tende a zero por valores positivos.

• Calculemos

Como , faremos  =  φ > 0 e φ → 0.

Ficamos com  pois o numerador tende para -1 e o denominador tende para zero por valores positivos.

• Calculemos

Como  , faremos e

Ficamos com  pois o numerador é 1 e o denominador tende para 1.

• Calculemos agora

Como , faremos e

Ficamos com  ,  pois o numerador é -1 e o denominador tende para 1.

• Calculemos

Como , devemos fazer ,

Ficamos com  , pois o numerador tende para e o denominador tende para zero por valores positivos.

• Calculemos agora

Como , faremos e

Ficamos com  pois o numerador tende para 2 e o denominador tende para 1.

Observação.

Cálculo de limites no infinito não pode ser aplicado, por exemplo, às funções trigonométricas, uma vez que algumas delas variam em certo intervalo, e outras crescem ou decrescem indefinidamente, dependendo do valor considerado.

Por exemplo, se tentássemos calcular o , passaríamos infinitas vezes por todos os valores do intervalo , pois, para todo , , isto é, não chegaríamos a valor algum definido.

Realmente as funções polinomiais, ou funções expressas por razões entre polinômios, são as mais adequadas à aplicação de limites.

2. OBSERVAÇÕES

1) O cálculo de limite apresentado surgiu da identificação da expressão tende a um certo número com a igualdade , ou , com  e , uma vez que, realmente, quando ,  e tendem para e, com isso, tende para

No caso de limites no infinito, a substituição para a expressão tende para foi,  e a substituição para a expressão tende para foi , com e

A substituição faz o maior sentido, pois, realmente, quando , sempre por valores positivos, tende e tende a , fazendo com que tenda realmente a ou a , conforme o caso.

Se substituíssemos, no caso em que tende a ou a o por, ou e , o resultado seria o mesmo.

Um exemplo.

• Calculemos

Faremos e

Ficamos com

2. Como visto nos diversos exemplos, o “cálculo de limite” apresentado é bastante “fluente” e de aplicação direta, sem a necessidade de consultar teoremas ou de “organizar” a função antes de efetuar o cálculo, exceto quando temos que racionalizar.

Esse fato traz bastante tranquilidade na hora de calcularmos o limite de uma função, pois o “cálculo” apresentado constitui uma verdadeira síntese desse assunto.

Por exemplo, o “cálculo” pode ser utilizado diretamente sobre a função , sem a necessidade de organizá-la, isto é, de expressá-la como

Vejamos.

Como, podemos fazer, por exemplo, e

Ficamos com

Isso traz uma enorme vantagem em relação à atual apresentação desse assunto que, além de não apresentar nenhum cálculo de limite, se mostra bastante “engessada” pela quantidade imensa de teoremas que devem ser considerados nas “avaliações” dos limites, bem como das “organizações” que devem ser feitas sobre as funções antes de “estimar” o seu limite.

3) Gostaria de acrescentar, ao “cálculo de limite” apresentado, umas avaliações de natureza prática.

a) Só tem sentido calcular o limite de uma função próximo de um valor para o qual ela não esteja definida.

Se a função está definida para certo valor, isto é, se a função existe para certo valor, não tem nenhum sentido calcular o limite próximo desse valor, uma vez que conhecemos quanto vale a função naquele valor.

Por exemplo, seja

Esta função é definida para todo , ela existe para todo

Logo, seria fora de propósito calcularmos, por exemplo, , uma vez que a função existe para , isto é, para que calcularmos esse limite se podemos simplesmente substituir por 3 em e obtermos o valor da função em 3, isto é,

Com isto, centenas de exercícios deixam de ter razão de existir.

Obviamente as funções consideradas nesse artigo são de

b) Por se utilizar do conceito de limite, faremos aqui uma observação sobre continuidade de uma função.

Conforme livro de cálculo de Lethold (1994), a definição de função contínua num ponto assim se traduz:

Dizemos que a função  é contínua no número a se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:

(i)  existe;

(ii) existe;

(iii)

Se uma ou mais de uma dessas condições não forem verificadas em , a função será descontínua em

Assim Lima (1978) define continuidade de uma função:

Uma função diz-se contínua no ponto quando é possível tornar arbitrariamente próximo de desde que se tome suficientemente próximo de

Em termos precisos, diremos que é contínua no ponto quando, para todo dado arbitrariamente, pudermos achar tal que e impliquem

Sabemos que, se uma função está definida num certo intervalo, isto é, se ela existe para todo número contido num certo intervalo, então não há sentido algum em calcularmos o limite dessa função para algum número desse intervalo, uma vez que podemos simplesmente avaliar a função em todo número desse intervalo.

Em termos mais simples: se uma função, representada por apenas uma expressão, por apenas uma sentença, existe para certo número , então é totalmente desnecessário calcularmos o limite da função para , uma vez que, simplesmente, podemos calcular o valor da função em

É claro que, se calculássemos esse limite, como fizemos acima, ele seria

Como foi dito acima, só tem sentido calcular o limite de uma função em torno de um número para o qual ela não esteja definida.

Sendo assim, se estamos analisando funções representadas por apenas uma expressão, dizer que uma função existe para um certo número , significa dizer que existe o limite dessa função em sendo esse limite o valor da função em , e com isso não precisamos calcular o limite dessa função nesse número

Aplicando isso à definição acima, de função contínua, os itens (ii) e (iii) da definição se tornarão desnecessários, uma vez que no item (i) se afirmar que  existe.

Logo, para funções representadas por “apenas uma expressão”, a simples afirmação de que ela, a função , está definida num número , isto é, a simples afirmação de que existe é o suficiente para concluir que a função é contínua naquele número

Da mesma forma, com essa observação sobre funções contínuas, centenas de exercícios perdem a razão de existir.

Exemplo: seja a função que é definida para todo número real, isto é, existe para todo  real.

Com isto, não há necessidade de se calcular o limite de para nenhum valor de , pois neste caso, estar definida em é sinônimo de possuir limite em e que esse limite é igual ao valor da função no considerado.

Logo a função é contínua para todo

3. CONCLUSÃO

No exposto, mostramos que, realmente, a teoria de limites é deficitária em relação a um cálculo de limite e, por isso, se cerca de uma série de argumentos baseados na definição de limite no intuito de preencher tal lacuna.

Apresentamos, então, o “cálculo de limite de uma função” e mostramos que ele sintetiza todo o assunto mencionado, tendo, por isso, aplicação direta.

Esperamos estar contribuindo para uma melhor compreensão de um assunto tão fundamental em matemática.

REFERÊNCIAS

IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos et all. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 8, 1991.

LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, 1994.

LIMA, Elon Lages. Curso de Análise, vol. 1, 1978.

MUNEM, Mustafa A. e FOULIS, David J. Cálculo, vol. 1, 1982.

^[1] Graduação, bacharelado em matemática, pela Universidade de Brasília.

Enviado: Junho, 2021.

Aprovado: Agosto, 2021.