Decomposições estritas em Goldbach: mínimo e máximo distintos, construção via CRT e algoritmos

ARTIGO ORIGINAL

PEDROSO, Rafael Muhd ^[1], CARVALHO, Catiane Rodrigues ^[2]

PEDROSO, Rafael Muhd. CARVALHO, Catiane Rodrigues. Decomposições estritas em Goldbach: mínimo e máximo distintos, construção via CRT e algoritmos. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano. 10, Ed. 12, Vol. 01, pp. 153-171. Dezembro de 2025. ISSN:2448-0959. Link de acesso: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/sem-categoria/decomposicoes-estritas, DOI: 10.32749/nucleodoconhecimento.com.br/matematica/decomposicoes-estritas

RESUMO

O artigo estuda decomposições de inteiros pares n como soma de dois primos distintos, n = p + q com p < q. Para um dado n, tal decomposição pode não existir; quando existir, chamamos o menor primo que aparece em alguma decomposição desse tipo e o maior. Mostramos, de forma construtiva, que, fixado um primo ímpar p₀, existem infinitos pares n em que o menor primo é exatamente p₀. Além disso, podemos direcionar o maior primo para uma classe aritmética específica r₀ (mod M), com gcd(r₀,M) = 1. As ideias combinam o Teorema Chinês dos Restos (CRT) com o Teorema de Dirichlet para progressões aritméticas. Para tornar isso utilizável, apresentamos dois algoritmos simples: um decide para um n dado (ou certifica ausência de decomposição); o outro gera famílias infinitas de n com . Para aplicar Dirichlet corretamente, explicitamos escolhas dos módulos auxiliares que garantem r ímpar e gcd(r,L) = 1: tomamos π_s todos ímpares, coprimos a Mp₀ e tais que π_s ∤ (s − p₀). Incluímos provas curtas e exemplos numéricos claros, e situamos os resultados no contexto clássico (Chen, Montgomery–Vaughan, a forma ternária de Helfgott e as verificações de Oliveira e Silva e colab). Não provamos a forma binária de Goldbach; nossa contribuição está em dar controle explícito sobre o menor primo e, simultaneamente, sobre a aritmética do maior, produzindo famílias infinitas onde esse controle é possível, sem assumir a validade geral da conjectura.

Palavras-chave: Teoria aditiva dos números, Conjectura de Goldbach, Primos em progressões aritméticas, Teorema de Dirichlet, Teorema Chinês dos Restos.

1. INTRODUÇÃO

A Conjectura de Goldbach (na forma binária) afirma que todo inteiro par n ≥ 4 pode ser escrito como soma de dois primos. Há um corpo de evidências forte a seu favor: Chen mostrou que inteiros pares suficientemente grandes são soma de um primo e de um semiprimo [1]; Montgomery e Vaughan provaram que quase todos os pares satisfazem a conjectura, no sentido de que o conjunto excepcional tem densidade zero [2]; a forma ternária foi demonstrada por Helfgott [4, 5]; e verificações computacionais atingiram 4 · 10¹⁸ [3].

Aqui focamos nas decomposições estritas n = p+q com p < q. Para um n dado, definimos somente se existir ao menos uma decomposição estrita; caso contrário, consideramos indefinido. Mostramos que é possível prescrever o valor de : para qualquer primo ímpar p₀, existem infinitos pares n com (Teorema 4). Além disso, conseguimos direcionar para uma classe modular r₀ (mod M) (Teorema 5). O mecanismo é clássico e direto: CRT + Dirichlet [7, 6]. No caminho, damos uma caracterização simples do mínimo via proibições sucessivas (Teorema 3).

2. TRABALHOS RELACIONADOS

Esta seção posiciona nossos resultados em relação a avanços analíticos (Chen; Montgomery–Vaughan), à resolução da forma ternária (Helfgott), a verificações computacionais em larga escala (Oliveira e Silva, Herzog e Pardi) e aos fundamentos (Davenport; Ireland–Rosen). Em cada caso, indicamos o que é provado e como dialoga com nossa proposta (fixar e controlar a classe de via CRT+Dirichlet).

Chen [1] provou que todo par suficientemente grande é soma de um primo e de um semiprimo (produto de dois primos). O resultado, sustentado por crivos finos e estimativas em progressões, aproxima a forma binária de Goldbach ao permitir um relaxamento no segundo somando. Mostra que “binária” admite aproximações construtivas. Nosso trabalho não relaxa os somandos (ambos primos); em vez disso, impõe estrutura sobre a decomposição: determinamos o mínimo e a classe modular do máximo.

Os trabalhos de [2] mostram que o conjunto de pares que violam Goldbach (se existir) tem densidade zero, via método do círculo e controle de somas exponenciais. Nosso trabalho reforça que para “quase todo” n.

Quando S_n^̸= não é vazio, nossos métodos selecionam o mínimo e dirigem o máximo para uma classe r₀ mod M.

Helfgott [4, 5] provou que todo ímpar suficientemente grande é soma de três primos, completando casos pequenos por computador. A técnica combina versão refinada do método do círculo, majorantes/minorantes e verificação numérica. Embora “ternária” esteja resolvida, a “binária” segue em aberto. Nosso enfoque é aritmético-construtivo: CRT para alinhar congruências e Dirichlet para garantir infinitos primos na progressão desejada.

A verificação maciça [3] apoia fortemente a veracidade empírica da forma binária. Empregam peneiras segmentadas, Miller–Rabin/Baillie–PSW e HPC. Nosso trabalho apoia a expectativa de em ampla faixa e inspira as decisões implementacionais nos nossos algoritmos (varredura q = r + kL, testes de primalidade).

Davenport [6] e Ireland–Rosen [7] consolidam: Dirichlet para progressões (gcd(a,M) = 1 ⇒ infinitos primos a mod M com contagem ∼ x/(φ(M)logx)), aritmética modular (CRT, unicidade do resíduo) e notações assintóticas. Utilizamos as mesmas como a base teórica do nosso esquema “proibir s < p₀ + liberar q ≡ r₀ (modM)” e da Proposição de contagem.

3. PRELIMINARES E NOTAÇÕES

Nesta seção fixamos a linguagem e os objetos usados no restante do texto e tornamos a notação auto-suficiente.

Definição 1 (Decomposição estrita e conjunto admissível). Para n ∈ 2N, uma decomposição estrita é n = p+q com p,q ∈ P e p < q. Defina o conjunto de mínimos candidatos

.

Quando , dizemos que n não admite decomposição estrita. Definição 2 (Mínimo e máximo estritos) , escrevemos

,

de modo que .

Definição 3 (Congruência e classe aritmética). Para a,b ∈ Z e M ≥ 1, escrevemos a ≡ b (mod M) quando M | (a − b). A classe r (mod M) é o conjunto {r + kM : k ∈ Z}.

Definição 4 (Notação assintótica e equivalência). Para funções f,g : (1,∞) → (0,∞):

• f(x) = O(g(x)) (ou f(x) ≪ g(x)) se existem constantes C,x₀ > 0 tais que |f(x)| ≤ C g(x) para todo x ≥ x₀.
• f(x) ≫ g(x) significa g(x) ≪ f(x).
• f(x) ∼ g(x) significa .

Observação. As relações f ≪ g e g ≪ f não implicam f ∼ g. Por exemplo, f(x) = 2x e g(x) = x satisfazem f ≪ g e g ≪ f, mas f(x)/g(x) = 2 ̸→ 1, logo f ̸∼ g.

Definição 5 (Função totiente de Euler). Denotamos por φ(M) a quantidade de inteiros 1 ≤ a ≤ M coprimos a M; isto é, φ é a função totiente de Euler.

Teorema 1 (Teorema Chinês dos Restos (CRT)). Se m₁,…,m_t são dois a dois coprimos, para quaisquer resíduos a₁,…,a_t existe um único resíduo r (mod M) (com M = ^Q_i m_i) tal que r ≡ a_i (mod m_i) para todo i. Refs.: [7, Cap. 1], [6, Cap. 4].

Teorema 2 (Dirichlet em progressões aritméticas). Se gcd(a,M) = 1, existem infinitos primos na classe a (mod M) e

# .

Refs.: [6, Cap. 4–5], [7, §5].

4. RESULTADOS PRINCIPAIS

Caracterizamos o menor primo possível por proibições sucessivas; em seguida, mostramos que qualquer primo ímpar fixo ocorre como esse mínimo em infinitas ocasiões; por fim, controlamos a classe aritmética do maior primo via CRT+Dirichlet.

Teorema 3 (Caracterização por proibições sucessivas). Seja n ≥ 6 par e p₀ primo ímpar. Então

é composto para todo primo s < p₀.

Demonstração. , nenhum primo s < p₀ pode aparecer numa decomposição estrita, isto é, para todo s < p₀ vale n−s /∈ P, logo n−s é composto.

(⇐) Suponha que para todo primo s < p₀ valha n−s composto. Se S_n^̸= = ∅, nada há a provar. Caso contrário, por definição S_n^̸= contém exatamente os primos p < n/2 tais que n − p é primo; como todos os menores que p₀ foram excluídos por hipótese, o mínimo elemento de satisfaz .

Exemplo 1. Para .

Para n = 136, p₀ = 7: 136 − 3 = 133 (comp.), 136 − 5 = 131 (primo)

⇒ p^̸=_min(136) = 5 < 7.

Teorema 4 (Mínimo prescrito infinitas vezes). Fixe p₀ primo ímpar. Existem infinitos pares n tais que, quando n admite decomposição estrita,

      e .

Demonstração. Seja S = {s : s primo, s < p₀}. Escolha um conjunto finito P de primos ímpares e distintos, nenhum dividindo Mp₀, e uma injeção S → P, s 7→ π_s, tal que, para todo s ∈ S,

π_s ∤ (s − p₀).

(Se também desejarmos controlar a classe de q, fixe M ≥ 1 e r₀ com gcd(r₀,M) = 1; caso contrário, tome M = 1.)

Considere o sistema

q ≡ r₀      (mod M),        q ≡ s − p₀     (mod π_s)    ∀s ∈ S.

Como M e os π_s são dois a dois coprimos, o CRT fornece resíduo único r

(mod L) com L = lcm M, . Pelas escolhas acima, para todo primo ℓ | L vale r ̸≡ 0 (mod ℓ); além disso, como cada π_s é ímpar e gcd(r₀,M) = 1, segue que r é ímpar e

gcd(r,L) = 1.

Pelo Teorema de Dirichlet em progressões aritméticas, existem infinitos primos q ≡ r (mod L). Escolha q primo satisfazendo

q > max{π_s} + (p₀ − 3). s∈S

Defina n = q +p₀. Para cada s ∈ S, n−s ≡ 0 (mod π_s) e, pela desigualdade, n − s > π_s, logo n − s é múltiplo próprio de π_s, portanto composto. Pelo Teorema 3, . Como n − p₀ = q é primo, conclui-se e

. Como há infinitos q assim, há infinitos n.

Observação 1 (Sobre o requisito de Dirichlet e um contraexemplo). A exigência gcd(r,L) = 1 é essencial para aplicar Dirichlet. Se, por exemplo, p₀ = 5 e alguém escolhe π₃ = 2 (forçando q ≡ 0 (mod 2)), a progressão contém apenas números pares, inviabilizando a obtenção de primos ímpares. Por isso, impomos π_s ímpares e ainda π_s ∤ (s − p₀) para todo s < p₀; assim, r ̸≡ 0 (mod π_s) para cada π_s e também r ̸≡ 0 (mod ℓ) para ℓ | M (pois gcd(r₀,M) = 1), garantindo gcd(r,L) = 1 e r ímpar.

Exemplo 2 (CRT resolvido). Tome p₀ = 13, M = 10, r₀ = 3.              Escolha

P = {7,17,19,23} e associe (s,π_s) = (3,7),(5,17),(7,19),(11,23). O sistema

q ≡ 3 (mod10),    q ≡ 4 (mod7),    q ≡ 9 (mod17),    q ≡ 13 (mod19),

q≡ 21 (mod23) tem, pelo CRT, solução única q ≡ r (mod L) com L = lcm(10,7,17,19,23) = 520030 e r = 237703. Procurando q = r + kL até o primeiro primo com q > 33, obtém-se q = 4917973 (k = 9). Então n = q+13

e .

Teorema 5 (Controle aritmético do primo maior). Fixe p₀ primo ímpar,

M ≥ 1 e r₀ com gcd(r₀,M) = 1. Existem infinitos pares n tais que, quando n admite decomposição estrita,

.

Demonstração. No arranjo do Teorema 4, imponha explicitamente q ≡ r₀

(mod M) e escolha π_s ímpares, coprimos a Mp₀ e tais que π_s ∤ (s − p₀).  e, pelo CRT, há resíduo único r (mod L) com

L = lcm M, satisfazendo simultaneamente todas as congruências.

Pelas escolhas, r é ímpar e gcd(r,L) = 1. Por Dirichlet, há infinitos primos q ≡ r (mod L). Tomando q suficientemente grande (mesma desigualdade do Teorema 4), obtemos n = q + p₀ com p^̸=_min(n) = p₀ e q_max^̸= (n) = q ≡ r₀ (mod M).

Exemplo 3. Para p₀ = 11, M = 12, r₀ = 5 (coprimos). Escolha P = {7,13,17} para s = 3,5,7. O CRT produz q ≡ r (mod L) com q ≡ 5 (mod12) e q ≡

s−11 ( mod π_s). Buscando q = r+kL até um primo com q > max{7,13,17}+

(11 − 3) = 25, o primeiro q encontrado gera e ̸ .

Proposição 1 (Contagem grosseira). Fixados p₀,M,r₀ coprimos, para X grande vale

#{n ≤ X : n par,

, onde L = ^Q_s<p0 π_s é o módulo auxiliar do CRT.

Demonstração. Cada n contado é n = q + p₀ com q primo na classe fixa r (mod ML) (CRT). A restrição n ≤ X equivale a q ≤ X − p₀. Por Dirichlet,

# . Para tais q, o argumento

dos Teoremas 4 e 5 garante p^̸=_min(q + p₀) = p₀ e q_max^̸= (q + p₀) ≡ r₀ (mod M). Daí a cota inferior reclamada.

5. ALGORITMOS E GARANTIAS

Passamos da teoria à prática. O primeiro algoritmo decide  (ou certifica ^S_n^̸= = ∅); o segundo gera n com mínimo prescrito e máximo em classe modular, com critério de parada operacional.

Teorema 6 (MinPrimeEstrito). Se o Alg. 1 retorna p, então e q = n − p > p é primo. Se retorna “vazio”, não há decomposição estrita de n.

Demonstração. Ao retornar, o algoritmo encontrou o primeiro p < n/2 (em ordem crescente) tal que n−p é primo; logo p é o mínimo de . Se nenhum p < n/2 produz n − p primo, então pela Definição 1 .

Exemplo 4. Para n = 112: 112−3 = 109 é primo

109.

Entrada: p₀ primo ímpar; M ≥ 1 com gcd(M,p₀) = 1; r₀ com gcd(r₀,M) = 1; parâmetro de parada K_max ∈ N

Saída: Uma lista (possivelmente vazia) de pares n com as propriedades desejadas

(I) Primos de controle. Escolha um conjunto P finito de primos distintos e ímpares, nenhum dividindo Mp₀. Associe a cada primos < p₀ um π_s ∈ P distinto tal que π_s ∤ (s − p₀).

(II) Sistema de congruências. Imponha q ≡ r₀ (modM), q ≡ s − p₀ (modπ_s) ∀s < p₀ primo.

Pelo CRT, existe resíduo único r (mod L) com L = lcm M, que satisfaz o sistema.

(III) Busca em progressão (critério de parada). Para k = 0,1,…,K_max, teste q = r + kL. Se q é primo e

,

registre n = q + p₀.

(IV) Saída. Devolva todos os n (Aumentar K_max amplia a busca; sob hipóteses fortes como GRH/Linnik efetivo, é possível obter cotas para o primeiro primo, mas não as assumimos aqui.)

6. HEURÍSTICAS, LIMITAÇÕES E PRÁTICA

Em média, tende a ser pequeno (3, 5, 7). O filtro modular sobre q afeta a constante de densidade, não a ordem. As provas são existenciais; sem hipóteses adicionais, não há cota determinística para o menor k tal que r+kL seja primo, justificando o parâmetro K_max. Na prática, combina-se peneira segmentada com Miller–Rabin/Baillie–PSW para explorar a progressão.

7. DISCUSSÃO E CONCLUSÃO

Os resultados mostram como separar, de forma programável, as duas pontas da soma n = p+q com p ≠ q: é possível fixar o mínimo e controlar modularmente o máximo, em famílias infinitas, sem assumir Goldbach.

REFERÊNCIAS

1. Chen, J. R. (1973). On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. Scientia Sinica, 16(2), 157–176. DOI: 1360/ya1973-16-2-157.
2. Montgomery, H. L.; Vaughan, R. C. (1975). The exceptional set in Goldbach’s problem. Acta Arithmetica, 27, 353–370. DOI: 10.4064/aa27-1-353-370.
3. Oliveira e Silva, T.; Herzog, S.; Pardi, S. (2014). Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4·10¹⁸. Mathematics of Computation, 83(288), 2033–2060. DOI: 1090/S00255718-2013-02787-1.
4. Helfgott, H. A. (2014). The Ternary Goldbach Problem. Snapshot (IMAGINARY). DOI: 14760/SNAP-2014-003-EN.
5. Helfgott, H. A. (2015). The ternary Goldbach problem. arXiv: 05438. DOI: 10.48550/arXiv.1501.05438.
6. Davenport, H. (2000). Multiplicative Number Theory (3rd ed., revised by H. L. Montgomery). DOI: 10.1007/978-1-4757-5927-3.
7. Ireland, K.; Rosen, M. (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory (2nd ed.). DOI: 10.1007/978-1-4757-2103-4.
8. Jaeschke, G. (1993). On strong pseudoprimes to several bases. Mathematics of Computation, 61(204), 915–926. DOI: 2307/2153262.

INFORMAÇÕES SOBRE OS AUTORES

^[1] Mestrado (Stricto Sensu) em Matemática (Universidade Federal de Santa Maria –UFSM, 2024); Graduação em Licenciatura em Matemática (Instituto Federal Farroupilha – Câmpus Alegrete, 2021). ORCID: https://orcid.org/0009-0009-0656-7685. Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/2517031337550462.

^[2] Mestrado (Stricto Sensu) em andamento em Geografia (Programa de Pós-Graduação em Geografia – PPGEO, Universidade Federal de Santa Maria – UFSM); Graduação em Geografia – Bacharelado (Universidade Federal de Santa Maria – UFSM). ORCID: https://orcid.org/0009-0008-3488-0428. Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/4087246926665993.

Contribuição dos autores:

Rafael Muhd Pedroso: Conceituação, metodologia, demonstrações formais, escrita.

Catiane Rodrigues Carvalho: Verificação, experimentos conceituais, revisão.

INFORMAÇÕES SOBRE O MATERIAL

Conflito de interesse:

Não há conflito de interesse.

Agradecimentos e Financiamento:

Não há financiamento.

Dados e Reprodutibilidade:

Códigos simples (CRT, busca em progressões, Miller–Rabin) serão disponibilizados mediante solicitação; não há dados proprietários.

Apêndice A – Códigos em Python (Reprodutibilidade):

Teste de primalidade (Miller–Rabin determinístico para 64 bits), peneira simples e utilitários.

Apêndice B – Nota de Rodapé:

MSC 2020: 11P32, 11N13, 11A41, 68W40.

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• ISSN (versão eletrônica): 2448-0959
• Licença Creative Commons: Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons – Atribuição 4.0 Internacional.

Histórico da Publicação:

Material recebido: 14 de setembro de 2025.

Material aprovado pelos pares: 09 de outubro de 2025.

Material editado aprovado pelos autores: 04 de dezembro de 2025.