ARTÍCULO ORIGINAL
PEREIRA, Olavo de Carvalho [1]
PEREIRA, Olavo de Carvalho. Limite el cálculo de una función sin usar
La bibliografía consultada no presenta, en ninguno de los casos analizados, un cálculo del límite de una función, sino que sólo “muestra” que los valores presentados como “límite” satisfacen la definición de límite de una función expresada a través de desigualdades implicando
Palabras clave: Límite De Una Función, Cálculo De Límites, Límites Laterales, Límites Infinitos, Límites En El Infinito.
Este artículo presenta el “cálculo del límite de una función” con el fin de llenar un vacío existente en este tema.
La presentación del cálculo mencionado en la solución de varios límites es el objetivo principal del artículo.
De forma complementaria, pretendemos aclarar la necesidad real de calcular, o no, el límite de una función.
También discutiremos, de manera muy simple, el caso en que una función simple, definida en un cierto número, es continua en ese número.
Aunque la interpretación geométrica siempre es importante, aquí solo tomaremos un enfoque algebraico del “cálculo límite” presentado.
La definición del límite de una función se presenta en los libros de texto de matemáticas como una estimación.
Por ejemplo: Leithold (1994) presenta la definición de límite de una función de la siguiente manera:
Ser
Ya
La definición anterior establece que los valores de
Lezzi, Murakami y Machado (1991) se expresan de la siguiente manera en la misma definición:
Sea
Munem y Foulis (1982) utilizan la siguiente definición:
Si
Como puede verse en las definiciones anteriores, se presenta un límite
En ningún momento se presenta el cálculo de este límite.
Este artículo presenta el “cálculo del límite” de una función que se puede utilizar en todos los casos en los que es necesario realizar tal operación.
Ahora, vamos al argumento.
Para algunas funciones, no definidas en un número determinado, para saber, con la máxima precisión posible, cuál sería su valor en ese número, se acostumbra evaluarlas en valores cercanos a ese número para el que no están definido.
Ejemplo:
Si reemplazamos el
Como la función no está definida, es decir, no existe para el valor 1, evaluamos entonces su valor cercano a 1, ya que nuestro objetivo es conocer el valor de la función, al menos, cercano a 1, ya que no existe para
Para valores de
Vamos a asignar a
Ahora vamos a asignar el
Como puede verse, en ambos casos, como
Sin embargo, aquí no se hizo ningún “cálculo” límite, sino sólo una evaluación de
Entonces, el valor 5 es “candidato” a ser el límite que aún necesitamos calcular.
Los autores consultados estructuran la definición de límite en términos de desigualdades a partir de ejemplos como este y asumen el valor estimado, en este caso 5, como realmente el límite de la función.
En este sentido, afirman que
La definición de límite dada al principio, que no tiene cálculo de límite, se usa para “probar” que números dados, sin indicación de dónde fueron tomados, son límites de funciones.
Mostraremos que la definición de límite no prueba, no demuestra, que un número dado sea el límite de una función, sino que sólo “muestra” que el número proporcionado es el límite.
Usemos un ejemplo para aclarar la diferencia entre un “espectáculo” y una “demostración”.
Esto significa que si reemplazamos el
Veamos
Este fue un ejemplo de “demostración”, es decir, solo se mostró algo, no se demostró nada, no se calculó nada, solo se reemplazó el valor proporcionado.
Es diferente cuando dices: prueba que 2 es una raíz, es una solución de la ecuación
En ese caso, tenemos que calcular, resolver la ecuación y ver si obtenemos
Bueno, resolviendo tenemos:
Entonces uno de los valores de
Con esto se “demostró” que 2 es realmente la raíz de la ecuación
Veremos, en los ejemplos dados a continuación, que no hay prueba, sino solo una “muestra” de que el número dado es el límite de la función dada.
Ejemplo. Use la definición de límite para “probar” que
Aquí no se dice cómo se llegó a la conclusión de que el límite es 5, ni se dice de dónde se tomó ese número.
Discutiremos, en términos generales, la solución presentada en los libros consultados:
El primer requisito de la definición es que
Tenemos entonces,
Esta declaración indica que
Con esta elección de
Esto simplemente “muestra”, a partir de la definición de límite, que
Como hemos visto, no había demostración, sino sólo un “show”, ya que, dado el número 5, simplemente lo sustituíamos y la función dada, en la definición del límite de una función.
Vayamos a un ejemplo más: usa la definición para “probar” que
De nuevo, se da un número, en este caso el 4, como límite, pero no se dice de dónde se tomó este número.
Aquí está la solución, en términos generales:
Como
Tenemos que demostrar que para todos
Si
Luego
Tenemos que poner una restricción a
Ahora tenemos
Usando esto
Como vimos anteriormente, de nuevo no se probó nada, sino solo que el número dado como límite, en este caso 4, satisface la definición de límite.
No hubo ningún cálculo que mostrara que el número 4 es realmente el límite.
A partir de aquí, presentaremos el cálculo límite de una función.
Antes de presentar el “cálculo” en sí, evaluemos
Esto mostrará, en términos generales, el razonamiento utilizado para calcular el límite de la función.
la funcion es
Para
Para
Para
Para
Para
Para
Para
Para
Probamos algunos valores de
Ahora evaluaremos
Para
Para
Para
Para
Para
Para
Para
Para
Para
De lo anterior, nos damos cuenta de que cuanto más
Observamos en los cálculos anteriores, en todos los valores asignados a
Esta constante es, por tanto, una “candidata” a ser el “límite” mencionado anteriormente, es decir, hay un indicio de que podemos tener
Ahora expresaremos la situación anterior de una manera semigenérica para presentar el “cálculo del límite” en sí.
La expresion “
Con esto, la expresión
A partir de la igualdad anterior, es posible “calcular” el valor del límite de
Ahora haremos, usando la misma función que antes, el cálculo para
De esta forma, nos quedamos con:
El calculo de
Veamos:
Calcularemos ahora una serie de límites de funciones, para ejemplificar la aplicación del mencionado “cálculo”.
Cómo
Quédamonos con
Cómo
Quédamonos con
Como vimos arriba, al final nos quedaremos con
Debemos calcular
Cómo
Quédamonos con
Sea
Consideremos
Entonces
Ahora consideremos el siguiente ejemplo:
Para
Cómo
En conclusión, nos quedamos con:
Observación.
Podríamos haber aplicado “cálculo” directamente a la función, sin dividir primero el factor común al numerador y al denominador.
Veamos
De hecho, podemos aplicar el “cálculo” directamente sobre la función, sin antes hacer una “preparación” sobre ella.
Ahora daremos algunos ejemplos de cálculo de límites que involucran funciones trigonométricas y exponenciales para ejemplificar el consolidado anterior.
Consideremos la función
Recordando:
Sustituyendo este valor de x en la ecuación original anterior, tenemos:
Entonces,
Outro exemplo: consideremos a função
Ahora calculemos el límite de las funciones dadas al principio para confirmar los valores de los límites dados.
Cómo
Cómo
Como se puede ver en los “cálculos” anteriores, los límites dados en los ejemplos anteriores eran correctos.
Demostraremos solo un teorema sobre los límites para ejemplificar el cálculo que se muestra aquí.
Teorema. Si
Simplemente calcule el límite haciendo, por ejemplo,
Quédamonos con:
Hay una inmensa sencillez en el “cálculo” presentado.
En este caso, no hay duda de que el límite es
Ahora usaremos el “cálculo de límites” presentado para calcular los límites de las funciones en varias circunstancias.
Cómo
Quédamonos con
Cómo x → 5, por lo que podemos hacer, por ejemplo,
Quédamonos con
Se observa que no fue necesario “preparar” la función para aplicar el “cálculo”, es decir, no fue necesario escribir la función como
En los casos de radicales, a los que se suma o resta un número real, cuando la sustitución directa del valor de
Lo que pasa en este caso es que hay un factor común tanto al numerador como al denominador, pero eso solo se expresa cuando dividimos, o el numerador por el denominador, o el denominador por el numerador.
Esto actualmente se traduce en matemáticas como racionalización.
Veamos en el ejemplo anterior: si dividimos el denominador por el numerador, ya que el exponente de
Por lo tanto, podemos expresar el factor común al numerador y al denominador.
La otra forma es dividir el numerador por el denominador, pero en este caso debemos hacer lo mismo es la racionalización, ya que el exponente de
Esta es la famosa racionalización que hacemos.
Primero haremos el cálculo, sin preparación.
Cómo
Quédamonos con
Luego multiplicaremos y dividiremos por
Ahora haremos el cálculo, preparando la función antes de aplicarla.
Cómo la sustitución directa de 4 conduce a la indeterminación
En este caso, al tratarse de un radical menos un número real, la forma que se utiliza para “liberar” el factor común es a través de la racionalización.
Antes de calcular el límite, multiplicaremos y dividiremos el numerador y el denominador de la función por
Quédamonos con
Cómo
Quédamonos con
En los casos en que se define una función para cada número real excepto un número real
Y, por supuesto, esta no es una función de oración.
Cuando una función no está definida a la izquierda o a la derecha de un número
Cuando
El cálculo realizado con
Es, por tanto, el límite de la derecha.
Usamos
Sabemos que el límite existe solo cuando los límites unilaterales existen y son iguales.
Sabemos que la función existe sólo para
Por tanto, no hay límite por la izquierda y, por tanto, el límite en cuestión no existe.
Pero existe el límite de la mano derecha que se puede calcular sustituyendo
como son iguales,
En el cálculo anterior, hicimos
Calculamos el límite de
Entonces debemos calcular
entonces haremos
Entonces debemos calcular
Lo haremos entonces,
Quédamonos con
Cómo
Entonces debemos calcular,
Lo haremos entonces,
Quédamonos con
Entonces debemos calcular,
lo haremos entonces,
Quédamonos con
Cómo
Aquellos cuyos valores funcionales aumentan o disminuyen sin limitación, cuando la variable independiente se acerca cada vez más a un número fijo, pueden ser resueltos igualmente por el “cálculo” de límite aquí presentado, con la ventaja de no tener que preocuparse por teoremas.
Antes de aplicar el “cálculo”, recordemos las siguientes situaciones:
Cómo
Quédamonos con
Cómo
Quédamonos con
Cómo
Quédamonos con
Cómo
Quédamonos con
Cómo
Quédamonos con
Cómo
Quédamonos con
En este caso el denominador es
Cómo
Quédamonos con
Cómo
y
Quédamonos con
En estos dos casos, pudimos
Cómo
Quédamonos con
Nota Podríamos haber sustituido directamente el valor de
Cómo
Quédamonos con
Cómo
Quédamonos con
Al igual que para los límites mencionados hasta ahora, la literatura consultada tampoco presenta un cálculo de límites en el infinito, sino que solo evalúa la función cuando la variable independiente crece o decrece indefinidamente.
El resultado de la evaluación se utiliza como umbral.
Veamos.
Dada la función
Observamos que cuando
Cuando una variable independiente
Como se vio anteriormente, del ejemplo dado, no se presentó ningún cálculo de límite de la función, pero solo se observó que, como
Este valor 2 se usó luego como el límite de la función.
Presentaremos, a continuación, el “cálculo” de límite de funciones cuando el variable independiente tiende a
En los casos en que
En los casos en que
Cómo
Quédamonos con
Cómo
Quédamonos con
Cómo
Quédamonos con
Cómo
Quédamonos con
Cómo
Quédamonos con
Cómo
Quédamonos con
Cómo
Quédamonos con
Cómo
Quédamonos con
Cómo
Quédamonos con
Cómo
Quédamonos con
Cómo
Quédamonos con
Cómo
Quédamonos con
Observación.
El cálculo de límites en el infinito no se puede aplicar, por ejemplo, a funciones trigonométricas, ya que algunas varían en un intervalo determinado, y otras aumentan o disminuyen indefinidamente, según el valor considerado.
Por ejemplo, si tratamos de calcular el
De hecho, las funciones polinómicas, o funciones expresadas por cocientes entre polinomios, son las más adecuadas para aplicar límites.
1) El cálculo del límite presentado surgió de la identificación de la expresión
En el caso de límites en el infinito, la sustitución de la expresión
La sustitución tiene más sentido, porque, en realidad, cuando
Si sustituimos, en el caso de que
Un ejemplo.
Haremos
Quédamonos con
2. Como se ve en los distintos ejemplos, el “cálculo límite” presentado es bastante “fluido” y de aplicación directa, sin necesidad de consultar teoremas ni de “organizar” la función antes de realizar el cálculo, salvo cuando tengamos que racionalizar.
Este hecho trae mucha tranquilidad a la hora de calcular el límite de una función, ya que el “cálculo” presentado es una verdadera síntesis de este tema.
Por ejemplo, “cálculo” se puede utilizar directamente sobre la función
Veamos.
Cómo
Quédamonos con
Esto trae una enorme ventaja sobre la presentación actual de este tema que, además de no presentar ningún cálculo de límites, se muestra bastante “atascado” por la inmensa cantidad de teoremas que deben ser considerados en las “evaluaciones” de límites, así como de las “organizaciones” que debe hacerse sobre las funciones antes de “estimar” su límite.
3) Me gustaría añadir, al “cálculo de límites” presentado, algunas valoraciones de carácter práctico.
a) Sólo tiene sentido calcular el límite de una función cerca de un valor para el que no está definido.
Si la función está definida para cierto valor, es decir, si la función existe para cierto valor, no tiene sentido calcular el límite cerca de ese valor, ya que sabemos cuánto vale la función en ese valor.
Por ejemplo, ser
Esta función está definida para todos
Por lo tanto, no sería razonable calcular, por ejemplo,
Con esto, cientos de ejercicios ya no tienen razón de existir.
Evidentemente las funciones consideradas en este artículo son de
b) Usando el concepto de límite, haremos aquí una observación sobre la continuidad de una función.
Según el libro de cálculo de Lethold (1994), la definición de una función continua en un punto se traduce de la siguiente manera:
Decimos que la función
(i)
(ii)
(iii)
Si una o más de estas condiciones no se verifican, la función
Entonces lima (1978) define la continuidad de una función:
una función
En términos precisos, diremos que
Sabemos que si una función está definida en cierto intervalo, es decir, si existe para cada número contenido en cierto intervalo, entonces no tiene sentido calcular el límite de esa función para algún número en ese intervalo, ya que podemos simplemente evalúe la función en cada número en ese rango.
En términos más simples: si una función, representada por una sola expresión, por una sola oración, existe para un cierto número
Por supuesto, si tuviéramos que calcular este límite, como lo hicimos anteriormente, sería
Como se indicó anteriormente, solo tiene sentido calcular el límite de una función alrededor de un número para el que no está definido.
Por lo tanto, si estamos analizando funciones representadas por una sola expresión, diciendo que existe una función para cierto número
Aplicando esto a la definición anterior de una función continua, los puntos (ii) y (iii) de la definición se volverán innecesarios, ya que en el punto (i) se establece que
Por lo tanto, para funciones representadas por “una sola expresión”, la simple declaración de que la función
Asimismo, con esta observación sobre las funciones continuas, cientos de ejercicios pierden su razón de ser.
Ejemplo: dejar que la función
Por lo tanto, no hay necesidad de calcular el límite de
Entonces la función
En lo anterior mostramos que, de hecho, la teoría de los límites es deficiente en relación con un cálculo de límite y, por lo tanto, se rodea de una serie de argumentos basados en la definición de límite para llenar este vacío.
A continuación presentamos el “cálculo del límite de una función” y demostramos que sintetiza todo el tema mencionado, teniendo, por tanto, aplicación directa.
Esperamos estar contribuyendo a una mejor comprensión de un tema tan fundamental en las matemáticas.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos et all. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 8, 1991.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, 1994.
LIMA, Elon Lages. Curso de Análise, vol. 1, 1978.
MUNEM, Mustafa A. e FOULIS, David J. Cálculo, vol. 1, 1982.
[1]Licenciado en Matemáticas por la Universidad de Brasilia.
Enviado: Junio de 2021.
Aprobado: Agosto de 2021.
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