ENSAIO TEÓRICO
CARNAVALE, Sidney Silva [1]
CARNAVALE, Sidney Silva. A ousadia do pi (π) ser racional. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano. 11, Ed. 08, Vol. 02, pp. 05-31. Agosto de 2026. ISSN: 2448-0959. Disponível em: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/matematica/a-ousadia-do-pi, DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.22119221
Pi (π) é usado para representar a constante matemática mais conhecida. Por definição, π é a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro. Em outras palavras, π é igual à circunferência dividida pelo diâmetro (π = c / d). Inversamente, a circunferência é igual a π vezes o diâmetro (c = π d). Não importa quão grande ou pequeno for um círculo, pi sempre será o mesmo número (3,15). O primeiro cálculo de π foi feito por Arquimedes de Siracusa (287 a.C – 212 a.C) que aproximou a área de um círculo usando o Teorema de Pitágoras para encontrar as áreas de dois polígonos regulares: o polígono inscrito dentro do círculo e o polígono dentro do qual o círculo foi circunscrito. Como a área real do círculo está entre as áreas dos polígonos inscritos e circunscritos, às áreas dos polígonos deram os limites superior e inferior para a área do círculo. Arquimedes de Siracusa sabia que não tinha encontrado o valor exato de π, porém, apenas uma aproximação dentro desses limites. Desta forma, Arquimedes de Siracusa mostrou que π está entre 3 1/7 (223/71) e 3 10/71 (22/7). Esta hipótese teórica demonstra que o valor de π é 3,15 (Três inteiros, com dois dígitos finitos depois da vírgula) e pode ser representado por uma fração de números inteiros, a/b, sendo, portanto, um número racional e irreversível. Também demonstra por meio de um exercício que π = 3,15 é exato em 100% no quesito matemático para todos os cálculos onde é usado esse enigmático número de pi.
Palavras-chave: Arquimedes de Siracusa, Número Racional, Frações.
O símbolo π é usado matematicamente para descrever a função da proporção da circunferência de um círculo para seu diâmetro. Os matemáticos começaram a usar a letra grega π no século XVIII. O uso do símbolo foi popularizado por Leonhard Euler que o adotou em 1737 (Cajori, 1926).
O primeiro cálculo de π foi feito por Arquimedes de Siracusa (287 a.C – 212 a.C), um dos maiores matemáticos e pensador do mundo antigo. Arquimedes de Siracusa; aproximou a área de um círculo usando o Teorema de Pitágoras para encontrar as áreas de dois polígonos regulares: o polígono inscrito dentro do círculo e o polígono dentro do qual o círculo foi circunscrito. Como a área real do círculo está entre as áreas dos polígonos inscritos e circunscritos, às áreas dos polígonos deram os limites superior e inferior para a área do círculo. Arquimedes de Siracusa sabia que não tinha encontrado o valor exato de π, porém, apenas uma aproximação dentro desses limites. Desta forma, Arquimedes de Siracusa mostrou que π está entre 3 1/7 (223/71) e 3 10/71 (22/7), ou seja 3,14085… ≤ π ≤ 3,142857…
Arquimedes de Siracusa, apresentou a prova de seu valor para π em seu tratado Sobre as Medidas dos Círculos que continha três proposições (Heath, 1981).
Esta hipótese teórica, retoma a “Teoria de Arquimedes de Siracusa”, e demonstra que π = 3,15, com 100% de exatidão, e pode ser escrito como a razão entre números a/b inteiros, portanto é um número racional e irreversível.
Em tempos passados na história da matemática, um dos desafios mais duradouros é o cálculo da razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo, que veio a ser conhecido pela letra grega pi (π). Desde a antiga Babilônia, passando pela Idade Média na Europa, até os dias atuais dos supercomputadores, os matemáticos têm se esforçado para calcular o número misterioso. Eles procuraram por frações exatas, fórmulas e, mais recentemente, padrões na longa sequência de números começando com 3,141592653 …, que é aproximado para 3,14. William L. Schaaf disse uma vez: “Provavelmente nenhum símbolo na matemática evocou tanto mistério, romantismo, concepção errada e interesse humano quanto o número π” (Blatner, 1997, p. 121).
Provavelmente jamais se saberá quem descobriu que a proporção entre a circunferência e o diâmetro de um círculo é constante, e jamais se saberá quem tentou primeiramente calcular essa razão. Os babilônicos e os egípcios foram os primeiros a iniciar a “busca” pelo enigmático número de π, há quase 4.000 anos atrás. Não ficou esclarecido como eles encontraram sua aproximação para π, porém uma fonte (Beckman) afirma que eles simplesmente fizeram um grande círculo e depois mediram a circunferência e o diâmetro com um pedaço de corda. Eles usaram esse método para descobrir que π era ligeiramente maior do que 3 e sugeriram o valor
Um famoso pedaço de papiro egípcio dá outra estimativa antiga para π;. Datado por volta de 1650 A.C., o papiro Rhind foi escrito por um escriba chamado Ahmes. Ahmes escreveu: “Corte 1/9 de diâmetro e construa um quadrado sobre o restante, que se tem a mesma área que o círculo” (Blatner, 1997, p. 8). Em outras palavras, ele sugeriu que π = 4* (8/9)² = 4*(0,8888888889*0,8888888889) =4*0,7901234568=3,1604938272(onde é um número aproximado, com dez dígitos finitos depois da vírgula) essas palavras não se espalharam para o Oriente, porém os chineses usaram o valor simplificado deste enigmático número de π = 3 (depois de anos mais tarde).
Cronologicamente, a próxima aproximação de π é encontrada no Antigo Testamento. Um versículo bastante conhecido, primeiro livro dos Reis 7:23, diz: “Fez mais o mar de fundição, de dez côvados de uma borda até à outra borda, perfeitamente redondo, e de cinco côvados de alto; e um cordão de trinta côvados o cingia em redor” (Blatner, 1997, p. 13). Isto implica que π = 3(foi simplificado). Os debates sobre este verso foram acalorados durante séculos. Segundo alguns, foi apenas uma aproximação simplificada e simples, enquanto outros dizem que “(…) o diâmetro talvez tenha sido medido por fora, enquanto a circunferência foi medida por dentro” (Tsaban e Garber, 1998, p. 76). No entanto, a maioria dos matemáticos e cientistas negligenciou uma aproximação muito mais precisa para π que se encontra profundamente dentro do “código” matemático da língua hebraica. Em hebraico, cada letra é igual a um certo número e o “valor” de uma palavra é igual à soma de suas letras. Curiosamente, em 1Reis 7:23, a palavra “cordão/linha” é escrita Kuf Vov Heh, mas o Heh não precisa estar lá e não é pronunciado. Com a letra extra, a palavra tem um valor de 111, mas sem ele, o valor é 106. (Kuf = 100, Vov = 6, Heh = 5). A razão de π simplificado para 3 não é muito próxima da razão de 111/106= 1,0471698113 Em outras palavras, π/3 = 3,15/3=1,05 em radianos; este valor é muito mais preciso do que qualquer outro valor que havia sido calculado até esse ponto, e será o cálculo mais preciso de tempos passados por vários séculos depois, felizmente, esta pequena joia matemática é praticamente um segredo, em comparação com a simplificação mais conhecida π = 3. Na era atual.
Quando os gregos resolveram o problema, tomaram duas medidas revolucionárias para encontrar π. Antifonte e Brison de Heracleia surgiram com a ideia inovadora de inscrever um polígono dentro de um círculo, encontrando sua área, e dobrando os lados repetidamente. “Mais cedo ou mais tarde (…) haveria tantos lados que o polígono (…) seria um círculo” (Blatner, 1997, p. 16). Mais tarde, Brison também calculou a área de polígonos circunscrevendo o círculo. Esta foi, provavelmente, a primeira vez que um resultado matemático foi determinado por meio da utilização de limites superior e inferior. Infelizmente, o trabalho reduziu-se a encontrar as áreas de centenas de minúsculos triângulos, o que era muito complicado, de modo que seu trabalho só resultou em alguns dígitos. (Blatner, 1997, p.16) Aproximadamente ao mesmo tempo, Anaxágoras de Clazômena começou a trabalhar em um problema que não seria conclusivamente resolvido por mais de 2.000 anos. Depois da prisão por pregar ilegalmente, Anaxágoras passou seu tempo tentando fazer a quadratura do círculo. Cajori (1926, p.17) escreveu: “Esta é a primeira vez, na história da matemática, que encontramos menção ao famoso problema da quadratura do círculo, a questão sobre a qual tantas reputações foram destruídas (…) Anaxágoras não oferece nenhuma solução, e parece ter, felizmente, escapado de paralogismos”. Desde aquela época, dezenas de matemáticos tentaram encontrar uma maneira de desenhar um quadrado com área igual a um dado círculo; alguns sustentariam que haviam encontrado métodos para resolver o problema, enquanto outros argumentavam que era impossível. O problema foi finalmente resolvido no século XIX.
O primeiro homem a realmente causar um impacto no cálculo de π foi o grego matemático e grande pensador, Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 212 a.C). Onde Antífona e Brison pararam com seus polígonos inscritos e circunscritos, Arquimedes de Siracusa assumiu o desafio. No entanto, ele usou um método ligeiramente diferente do que eles usaram. Arquimedes de Siracusa centrou-se no perímetro dos polígonos em oposição às suas áreas, de modo que ele aproximou a circunferência do círculo em vez da área. Começou com um hexágono inscrito e circunscrito, em seguida, dobrou os lados quatro vezes para terminar com dois polígonos 96 lados. Seu método foi o seguinte (O’connor e Robertson, 2001):
Dado um círculo com raio r = 1, circunscreva um polígono regular com de
Isto resulta em uma sequência decrescente
Usando a notação trigonométrica (que Arquimedes não tinha) para encontrar os dois semiperímetros, que são:
Tem-se também:
Resolvendo trigonometricamente:
Arquimedes começou com
Sua conclusão foi:
Atenção para o fato de que o uso da trigonometria aqui é ‘não-histórico’: Arquimedes de Siracusa não teve a vantagem de uma notação algébrica e trigonométrica e teve de derivar (1) e (2) por meios puramente geométricos. Além disso, ele nem sequer tinha a vantagem da notação decimal para números, de modo que o cálculo de a6 e b6 de (1) e (2) não foram de modo algum uma tarefa trivial. Foi uma façanha bastante ousada tanto de imaginação quanto de cálculo e a maravilha não é o fato dele ter parada com polígonos de 96 lados, porém o fato dele ter ido tão longe (O’connor e Robertson, 2001).
Este trabalho, quanto à sua natureza, classifica-se como hipótese teórica aplicada, pois tem como objetivo gerar conhecimentos para aplicação prática. No caso, demonstrar que π é um número racional e irreversível.
Quanto à abordagem esta hipótese teórica é qualitativa ao apresentar um panorama sobre a investigação do número π ao longo da história; bem como será uma hipótese teórica quantitativa, em sua maioria, ao interpretar os fenômenos e seus significados.
Do ponto de vista de seus objetivos, a hipótese teórica é exploratória, pois envolve levantamento bibliográfico, buscando relações entre os fenômenos, bem como é explicativa ao tentar identificar fatores que explique a ocorrência ou não do fenômeno.
Do ponto de vista dos procedimentos técnicos (Gil, 2002), esta hipótese teórica é bibliográfica, pois foi elaborada a partir de material já publicado, no caso o trabalho do matemático e pensador Arquimedes de Siracusa.
Cada biografia de tempos passados, muitos pensadores não tiveram tempo para saber como este enigmático número de pi, fosse tão impactante para aquela época, deixando o mais importante era saber se esse número fosse finito, digo no meu exemplo de pi=3,15(Três inteiros com dois dígitos finito depois da vírgula), porém os pensadores sempre procuraram pegar um pedaço da teoria de cada um, porém não tiveram sucesso, pois acabaram de deixar mais complicado possível, todos seguiram outros pensadores, porém o principal que foi o grande pensador e matemático Arquimedes de Siracusa, ficou esquecido até hoje, pois em muitas pesquisas este nome não é citado, citam outros pensadores e acabam deixando Arquimedes de Siracusa em segundo plano; os créditos a pensadores que não obtinham o conhecimento deste enigmático número de pi dando uma outra alternativa de sempre relatarem que ele não pode ser escrito com uma única fração, de números inteiros: como já é sabido que a NASA usa (3,141592653589793)(Três inteiros com quinze dígitos aproximado, não finito para encontrar uma precisão exata), na era atual, esse enigmático número de pi é a base fundamental dentro das teorias dos números, onde a Aritmética e a Álgebra são fatores muito importante na matemática básica, dentro de uma precisão com 100% de ser exatos os cálculos de cada enunciado onde esse enigmático número de pi é o principal em tudo o que se diz respeito ao enigmático número de pi uma abordagem lógica com sua estrutura sólida e blindada.
Pesquisando e investigando a “Teoria de Arquimedes de Siracusa”, desenvolvi várias frações de números inteiros, uma delas é igual à sua fração 22/7; onde a fração descoberta é 748/238 = 3,142857142857142857142857142857; onde acabei encontrando os mesmos resultados obtidos por Arquimedes de Siracusa. Ao me aprofundar nessa “Teoria” coloquei em prática várias frações, sendo todas elas exatas com 100% no quesito Matemática. A primeira fração foi a de 2.205/700 = 3,15, que é exata para o padrão de “Pi” e com um polígono de 1.134 lados, dentro de uma circunferência de 360° graus. Obtive o mesmo valor para “Pi”, 1.134/360 = 3,15 que é exato com 100% para o padrão de “Pi”. Desenvolvi, também, um total de 153 fórmulas, junto com as 220 frações provando que “Pi” é racional e irreversível, ele pode ser escrito sob frações de números inteiros.
Segue algumas frações onde:
Cito um exemplo de uma Praça Circular:
Em uma praça com diâmetro de 720 m2, é necessário construir uma área de lazer. Qual a sua área, seu comprimento e a área total a ser construída dentro do seu diâmetro?
Segue como foi feito essa resolução nas fórmulas citadas no exemplo do mesmo, quando trocar os números verá que todos são exatos para as fórmulas citadas no problema.
Legenda Geral:
Pi = 3,15
Raio =360 =
Área = 2.268 = Área do Diâmetro = 3,15×720 = 2.268
Diâmetro = 720 = 720×3,15 = 2.268 (π.D)
Área Total = 3,15×129.600 = 408.240 (π.
Diâmetro = 12,6
C = 6,3
C = 39,69
C = 1.632.960 = CxD = 2.268×720 = 1.632.960
O grande pensador e matemático Arquimedes de Siracusa chegou perto de um enigmático número de “Pi”; quando em suas Teorias usou um polígono de 96 lados dentro de uma circunferência, conforme seu relato quanto mais perto chegar mais exato será o número de “Pi”. Na era atual desenvolvi e padronizei o número de “Pi”, com um polígono de 1.134 lados dentro de uma circunferência de 360º graus e cheguei a 3,15, com total exatidão, sem arredondamento, sem aproximações, sem ser fatorado e sem ser simplificado, é exato racional e irreversível.
Desenvolvi um estudo, onde fui investigar e pesquisar esse enigmático número de “Pi”, porém os cálculos são exatos, nas frações citadas apresentadas, nesta hipótese teórica, ele é um número Racional e Irreversível com frações de números inteiros a/b, onde obtive um valor simples e exato, facilitando e melhorando o aprendizado do (a) aluno (a), enfim em geral na comunidade matemática.
BECKMAN, P. The History of Pi. New York: The Golem Press, 1971.
BLATNER, D. The Joy of Pi. New York: Walker Publishing Company, 1997.
CAJORI, F. A History of Mathematics. London: MacMillan and Co, 1926.
GIL, A. C. Como elaborar projetos de pesquisa. São Paulo: Atlas, 2002.
HEATH, T. A History of Greek Mathematics, Volume 1, From Thales to Euclid. New York: Dover Publications, 1981.
O’CONNOR, J.J.; ROBERTSON E.F. The MacTutor History of Mathematics Archive. Disponível em < http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/>. Acesso em 13 fev 2017.
TSABAN, B.; GARBER, D. On the Rabbinical Approximation of pi. Historia Mathematica 25: 75-84, 1998.
A Matemática andando na contra mão; com nome, sobrenome e denominação de origem, o passado jamais esteve tão presente por dentro da Ciências Exata, sendo a pioneira entre os pensadores e os(as) Matemáticos(as) em tempos passados, pois foi em cima de ombros de gigantes que enxerguei o horizonte na visão da Matemática, com esta grande única e majestosa descoberta sobre este enigmático número de π ,uma descoberta inovadora, com Três inteiros e quinze centésimos finito depois da vírgula(3,15) uma medida com total precisão para os cálculos de π onde poderá mudar a história do Universo da Matemática. A Matemática é estudada, pois, é uma criação humana, e ao estudá-la; ela nos fala sobre nós mesmos. “Matemática o saber do pensar” o autor Sr Sidney Silva, pois cada fórmula desenvolvida, tem que saber sua essência para ser tão bela com resultados surpreendentes. O Autor Sr Sidney Silva.
[1] Ensino Médio Completo. ORCID: 0009-0006-3921-3654.
Contribuição dos autores:
Sidney Silva Carnavale: Foi responsável por todas as contribuições do trabalho, incluindo concepção, planejamento, análise, interpretação e redação integral do manuscrito.
Conflito de interesse:
N/A.
Agradecimentos:
N/A.
Financiamento:
N/A.
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Histórico da Publicação:
Material recebido: 19 de julho de 2025.
Material aprovado pelos pares: 08 de junho de 2026.
Material editado aprovado pelos autores: 16 de julho de 2026.
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