ARTIGO ORIGINAL
ROCHA, Guilherme Augusto Dias Nascimento [1], VIEIRA, Leonardo Sarzedas do Carmo [2], PIRES, Breno Pimenta [3], RAMALHO JUNIOR, Tales [4], AGUIAR, João Pedro Campos do Amaral Costa [5]
ROCHA, Guilherme Augusto Dias Nascimento et al. Avaliação do Modelo de Quarter-Car com diferentes níveis de complexidade do sistema. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano. 10, Ed. 11, Vol. 01, pp. 05-26. Novembro de 2025. ISSN:2448-0959. Link de acesso: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/engenharia-mecanica/modelo-de-quarter-car, DOI: 10.32749/nucleodoconhecimento.com.br/engenharia-mecanica/modelo-de-quarter-car
O modelo quarter-car é uma ferramenta simplificada para estudar a dinâmica vertical do veículo. O estudo visa comparar soluções analíticas e numéricas, explorando como a adição de diferentes parâmetros influenciam a resposta dinâmica do veículo. Utilizando a Segunda Lei de Newton foram criados 5 casos que se tornam mais complexos conforme as variáveis são adicionadas. Ao longo dos testes foi percebido que independente da complexidade e do número de variáveis o sistema tende a ter um mesmo comportamento. Os resultados apresentam as variações no movimento vertical das massas suspensa e não suspensa, destacando a necessidade de uma modelagem mais robusta para obter simulações mais precisas a respeito do comportamento dinâmico da suspensão mais próxima da realidade.
Palavras-chave: Quarter-Car, Modelos Matemáticos, Cinemática, Dinâmica Veicular.
O sistema de suspensão veicular é o conjunto de componentes que garante o comportamento dinâmico dos veículos, sendo o responsável pela estabilidade, dirigibilidade e conforto dos ocupantes. Um dos principais objetivos deste sistema é manter o contato do pneu com o solo, mesmo que em condições extremas, como superfícies irregulares ou curvas acentuadas. Também tem responsabilidade em reduzir a transferência de energia mecânica para a carroceria, garantindo maior conforto aos passageiros [1]. Também desempenham um papel crucial na segurança, permitindo maior controle do veículo em diferentes situações de condução [2].
Modelar matematicamente este sistema é uma atividade desafiadora, já que envolve um número elevado de graus de liberdade e interações com outros subsistemas [3]. Essa complexidade demanda elevado poder computacional para obter soluções detalhadas. Como alternativa simplificada, o modelo quarter-car é amplamente utilizado quando o foco está nas respostas verticais que envolvem roda, suspensão e habitáculo [4]. Embora simplificado, esse modelo oferece uma abordagem eficiente para estudar a dinâmica vertical de veículos, ignorando efeitos como rolagem, arfagem e guinada [5].
Mesmo com sua natureza simplificada, o modelo quarter-car permite análises aprofundadas de sistemas mecânicos que apresentam comportamento não linear, como molas e amortecedores com características específicas [3][2]. Ele também se destaca em estudos de otimização, utilizando métodos baseados em algoritmos genéticos e técnicas probabilísticas, devido à sua eficiência em fornecer resultados rápidos e computacionalmente acessíveis [6][7].
A análise será fundamentada na aplicação da Segunda Lei de Newton, permitindo comparações entre modelos simplificados e aqueles de maior complexidade, destacando suas vantagens e limitações.
O objetivo deste trabalho é realizar uma análise comparativa entre as soluções analíticas e numéricas de diferentes modelagens do sistema quarter-car, avaliando como parâmetros adicionais influenciam a complexidade do modelo e a resposta dinâmica de veículos. A investigação abrange modelagens que vão desde configurações simplificadas até representações mais complexas, incorporando características não lineares. Além disso, busca-se explorar o impacto de parâmetros como rigidez e amortecimento, destacando as limitações e os benefícios de cada abordagem para o entendimento e aprimoramento do comportamento dinâmico do sistema.
Para realização do estudo, foram realizadas diferentes modelagens de um quarter-car considerando diferentes fatores, de acordo com o grau de refino do modelo. O acréscimo de diferentes considerações, da mesma que aproxima o modelo do real comportamento de um veículo (considerando a modelagem de apenas uma roda), dificulta a sua solução analítica, uma vez que o sistema passa a envolver cada vez mais variáveis, e seu comportamento tende a não ser mais linear.
Os casos considerados para esse estudo são:
O sistema mais simples para representar o veículo e sua suspensão. Considera-se apenas a rigidez 𝑘 de uma mola, que representa a rigidez do pneu e da suspensão, desconsiderando qualquer efeito de amortecimento e de batente. A força exercida pela mola será considerada como linear em relação à sua deformação.
Neste caso, toda a massa 𝑚 do veículo (suspensa e não-suspensa) está concentrada em um único bloco, que se movimenta verticalmente. A entrada 𝑈(𝑡) é considerada como sendo uma senoide com amplitude 𝐴, frequência angular 𝜔, e comprimento de onda 𝜆, e representa as irregularidades da pista.
A Figura 1 representa o quarter-car com essas características.
Figura 1: Sistema massa-mola com perturbação senoidal
Para esse sistema, a Equação 1.1 descreve o movimento vertical da massa 𝑚 [5,8]
que por sua vez se torna
Nesse caso, a relação entre a frequência angular 𝜔, o comprimento de onda 𝜆 e a velocidade do veículo 𝑣 pode ser dada pela equação 2 [5].
Aplicando a Equação 2 na Equação 1, tem-se a Equação 3, que representa a equação de movimento da massa para o caso 1 em função das variáveis do sistema.
Assim como no caso anterior, a massa do veículo está concentrada em um único bloco com massa 𝑚 e o sistema possui uma perturbação senoidal 𝑈(𝑡). Porém, neste caso, além da rigidez 𝑘 do conjunto pneu e suspensão, também será considerado seu amortecimento, com o fator linear 𝑐 entre a força de amortecimento exercida em função da sua velocidade. A Figura 2 representa esse caso.
Figura 2: Sistema massa-mola-amortecedor com perturbação senoidal
Da mesma forma como foi considerado no caso 1, apenas acrescentando o amortecimento, tem-se a Equação 4
que por sua vez se torna
Aplicando a Equação 2, tem-se que [5]
Diferente do caso anterior, para este caso a massa do veículo será dividida entre massa suspensa (𝑚𝑠) e massa não-suspensa (𝑚𝑛𝑠). Os efeitos de rigidez e amortecimento da suspensão e do pneu também foram considerados individualmente, e trabalhados em regime linear. A suspensão do veículo apresenta rigidez 𝑘𝑠 e amortecimento 𝑐𝑠, enquanto o pneu apresenta rigidez 𝑘𝑝 e amortecimento 𝑐𝑝. Além disso, é o sistema possuirá uma perturbação 𝑈(𝑡) na forma senoidal. A Figura 3 representa esse caso.
Figura 3: Modelo quarter-car considerando massa suspensa e não-suspensa com perturbação senoidal
Analogamente ao que foi feito nos dois últimos casos, as equações de movimento das massas suspensa e não-suspensa estão representadas pela Equações 5 e 6, respectivamente [7]. Nestas equações, já foi considerada a modificação apresentada pela Equação 2.
Semelhante ao caso anterior, o sistema será dividido entre massa suspensa e não suspensa, cada uma com o seu amortecimento e rigidez operando em regime linear. Porém, neste caso, a perturbação 𝑈(𝑡) será considerada como uma função complexa, composta por diversas funções senoidais, representando melhor as irregularidades das vias. A Figura 4 representa esse caso.
Neste caso, a função 𝑈 assumirá um valor que depende da posição horizontal do veículo na via. Considerando que o veículo se move na velocidade constante 𝑣, podese fazer 𝑈(𝑥) em função do tempo, fazendo 𝑡 = 𝑥/𝑣. A Equação 7 representa o valor de 𝑈(𝑥) a cada instante.
Figura 4: Modelo quarter-car considerando massa suspensa e não-suspensa com perturbação complexa
Neste caso, as Equações 5 descreve o movimento da massa suspensa. Para a massa não suspensa, utiliza-se a Equação 8. Esta equação é análoga à Equação 6, mas considerando a função de entrada 𝑈(𝑡) para cada intervalo de tempo
com 𝜆𝑖 variando em função de cada perfil assumido por 𝑈(𝑡) a cada momento.
Por fim, neste caso, o sistema massa-mola-amortecedor dividido entre massa suspensa e não-suspensa trabalhará em regime linear, possuindo uma função de perturbação 𝑈(𝑡) complexa como sinal de entrada. Entretanto, nesse caso será considerado uma rigidez adicional ao sistema após a suspensão atingir o seu batente. Esta rigidez 𝑘𝑏 é não-linear, e será considerada como uma função do deslocamento da suspensão apenas após o batente (para 𝑥𝑠 > 𝑥𝑠.𝑚á𝑥). 𝑥𝑠 representa o deslocamento da mola da suspensão, e é pode ser calculado através da relação 𝑥𝑠 = 𝑢𝑚𝑛𝑠 − 𝑢𝑚𝑠. Quando 𝑥𝑠 assume o valor de 𝑥𝑠.𝑚á𝑥, o conjunto mola-amortecedor começa a trabalhar como um bloco, e apenas a rigidez do batente atua sobre a massa suspensa. A Figura 5 representa esse caso.
O movimento da massa não-suspensa ainda pode ser descrito pela Equação 8. O da massa suspensa precisa ser adaptado, uma vez que foi introduzido a rigidez do batente. Enquanto 𝑥𝑠 < 𝑥𝑠.𝑚á𝑥, pode-se utilizar a Equação 5. A partir deste momento, utiliza-se a Equação 9
A força 𝑓𝑏 gerada pela rigidez do batente assumirá a forma de uma função polinomial em função de 𝑥𝑠 (𝑓𝑏 = 𝐹(𝑥𝑠)).
Figura 5: Modelo quarter-car considerando massa suspensa e não-suspensa com perturbação complexa e com rigidez não-linear adicional após a suspensão atingir o seu batente
Para cada um dos casos descritos acima, foi obtida sua solução. Para os dois primeiros casos, foi obtida a solução analítica, uma vez que são sistemas de simples resolução. Já nos casos 3, 4 e 5, foram obtidas apenas as soluções computacionais. O sistema de equações diferenciais de segunda ordem, a função de entrada 𝑈(𝑡) complexa e a rigidez não linear do batente são dois fatores que dificultam muito (ou até mesmo impossibilitam) encontrar uma solução analítica para estes casos.
Para a solução desses casos, utilizou-se a ferramenta Simulink do software MatLab. Também se utilizou o MatLab para construção dos gráficos de movimentação das massas em função do tempo para todos os casos.
Para execução dos cálculos, é necessário definir valores para as constantes de interesse e definir as funções de entrada e a função de rigidez do batente.
(para cada intervalo, será considerado que 𝑡𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 0 e 𝑡𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑡𝑛 − 𝑡𝑛−1:
Para compatibilidade dos cálculos, foi considerado que os deslocamentos e as velocidades verticais iniciais de ambas as massas e para todos os casos são nulos.
O caso 1 representa um sistema massa-mola não homogêneo, com perturbação causada pela via durante a rodagem, com formato senoidal. Substituindo os valores dos parâmetros na Equação 3 e utilizando os métodos de resolução de Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem, tem-se que a solução analíticas para a movimentação vertical da massa em função do tempo assume a forma:
O sistema também foi modelado no Simulink, e seu diagrama de blocos está representado na Figura 6.
Figura 6: diagrama de blocos do caso 1
A Figura 7 traz a resposta obtida a partir do Simulink.
Figura 7: Comportamento do caso 1 calculado pelo Simulink
O caso 2 apresenta uma estrutura parecida com o caso 1, mas com a presença de um elemento dissipador (amortecedor), sendo um sistema massa-mola-amortecedor. Substituindo os valores dos parâmetros na Equação 5, e utilizando as mesmas técnicas de solução que foram utilizadas para o caso 1, tem-se que a solução analítica para a movimentação vertical da massa em função do tempo é igual a:
Assim como no caso 1, o caso 2 também foi modelado no Simulink e a Figura 8 representa o diagrama de blocos.
Figura 8: diagrama de blocos do caso 2
A Figura 9 traz o resultado da solução modelada no Simulink.
Figura 9: comportamento do caso 2 calculado pelo Simulink
Neste caso a massa do veículo foi dividida entre massa suspensa e não suspensa, havendo agora uma rigidez da mola e amortecedor do veículo e uma rigidez do pneu e amortecimento do pneu. A perturbação de entrada será a mesma do caso 2.
O diagrama de blocos pelo Simulink fica conforme demonstrado na Figura 10:
Figura 10: diagrama de blocos do caso 3
A Figura 11 traz a resposta numérica encontrada no Simulink.
Figura 11: comportamento do caso 3 calculado pelo Simulink
Este caso é análogo ao caso 3, entretanto há uma mudança na perturbação de entrada U(t). A perturbação agora é considerada como uma função complexa, que varia conforme as alterações na pista. A função e variações conforme o tempo estão descritas na Equação 10.
O diagrama de blocos pelo Simulink conforme Figura 12:
Figura 12: diagrama de blocos do caso 4
A Figura 13 traz a resposta numérica encontrada no Simulink.
Figura 13: comportamento analítico caso 4
Considerando as mesmas premissas do caso 4, no caso 5 é considerado uma rigidez não linear adicional considerando que há um batente no sistema (dado pela Equação 9), que depende também da força do batente 𝑓𝑏 dada pela Equação 11.
O diagrama de blocos pelo Simulink conforme a Figura 14:
Figura 14: diagrama de blocos do caso 5
A Figura 15 traz a resposta numérica encontrada no Simulink.
Figura 15: diagrama de blocos do caso 5
Observa-se que devido o sistema dispor apenas de um elemento de rigidez para a dissipação de energia, ele não é capaz de estabilizar, transferindo o movimento para a massa suspensa. Ao observar o padrão oscilatório é possível notar também que a amplitude do movimento vertical tende a atingir o seu limite superior a cada 3,25 ciclos da entrada senoidal e atingir o seu limite inferior a cada 6 ciclos da entrada senoidal.
Ao comparar o caso 1 com o caso 2, é possível observar que com a adição do elemento de amortecimento o sistema tende a manter um padrão oscilatório senoidal ao longo do sinal de entrada, nota-se também que as amplitudes do movimento vertical da massa suspensa diminuíram, uma vez que a dissipação de energia foi mais eficaz devido ao amortecedor.
Para este caso nota-se duas características. A primeira, que semelhante ao caso 2 o padrão oscilatório tende a ser constante quando comparado ao caso 1, isto se dá ao fato do uso de elementos de amortecimento que contribuem com a dissipação de energia. A segunda característica é que houve uma singela diminuição da amplitude do sinal de resposta, movimento vertical da massa suspensa, isso ocorre, em maior grau, devido a contribuição de rigidez e amortecimento do pneu, e em menor grau, devido a separação dos elementos de massa suspensa e não suspensa.
Neste caso, observou-se ruído no sinal de resposta devido ao tipo de filtro de sinal de entrada utilizado. Entretanto, nada que pudesse comprometer a análise dos resultados. Também foi observado que o sinal de resposta, apesar do ruído, está comportando-se bem: objetivando a estabilidade em função do sinal de entrada complexo. Ao analisar as amplitudes dos ganhos e o padrão oscilatório é possível inferir que os inputs da suspensão compõem um conjunto criticamente amortecido. Sendo assim, para a alteração do padrão de resposta oscilatória para superamortecido ou sub-amortecido, faz-se necessário a alteração dos parâmetros de rigidez e amortecimento do modelo da suspensão, em maior grau, e do modelo de pneu para ajustes finos, em menor grau.
No último caso foi adicionado um elemento de batente ao final do amortecedor e da mola, o mesmo elemento de batente para ambos. O seu ganho de rigidez é não linear e em função do bump da suspensão. Batente negativo para atuação em rebound não foi considerado no modelo. Em outras palavras, de acordo com o deslocamento vertical positivo da massa não suspensa o ganho não linear do batente será considerado, caso atinja a condição desejada. A condição desejada é de 200mm ou 0,2m, conforme demonstra no bloco switch do diagrama no Simulink, ou seja, admitimos que o curso total do amortecedor e mola é de 0,2m e a partir desse valor haverá um ganho exponencial de rigidez até atingir o limite do batente. Por se tratar de um sistema de suspensão McPherson e ângulo de Caster nulo, assume-se que o deslocamento vertical da massa não suspensa é totalmente proporcional ao curso da suspensão. Caso o modelo fosse de outra geometria e o ângulo de Caster diferente de zero, o deslocamento vertical da massa não suspensa deveria ser decomposto, não sendo assim totalmente proporcional ao curso da suspensão.
O mesmo poderia ser feito para sistemas de passagem de fluído de amortecedores e coxins hidráulicos com sistema de compensação volumétrica (decoupler), quando consideramos o tuning de canal de inércia estamos alterando a condição de amplitude na qual haverá um ganho de rigidez em função do fluído. Já no caso de batentes, a condição de amplitude é trabalhada por meio do curso (deslocamento) que a suspensão pode atuar ainda em regime linear, enquanto seu comportamento não linear é alterado em função de sua geometria, que afeta sua progressividade consequentemente. Entretanto foi considerado apenas um elemento de borracha convencional para este modelo e devido a sua baixa ordem de rigidez não foi possível observar grandes diferenças na maior amplitude de deslocamento vertical da massa suspensa.
Por fim, ao agrupar os elementos do diagrama em modelos pode-se obter um sistema segmentado por uma função de entrada complexa e seus respectivos filtros de sinal, um modelo de pista, um modelo de pneu, um modelo de suspensão e um modelo do carro. A segmentação do sistema por modelos matemáticos para cada conjunto de elementos permite uma edição precisa de parâmetros de dados sem comprometer toda a estrutura.
O uso de ferramentas e métodos computacionais como auxílio na Engenharia tem se expandido cada vez mais devido às promessas de obtenção de resultados complexos em menor tempo hábil. Apesar de ser verdadeira a afirmativa de obter resultados complexos em menor tempo quando comparado ao método analítico manual, é importante frisar que ao longo do desenvolvimento deste trabalho foi necessário revisões sistemáticas nos cálculos e nos diagramas a fim de confirmar resultados, de modo a fazer uso dos conhecimentos matemáticos de trás do software. Não sendo possível assim, de se obter tais resultados caso não houvesse conhecimento prévio quanto ao sistema a ser analisado, bem como as ferramentas matemáticas pertinentes ao problema.
Ao comparar os resultados apurados no Simulink com os resultados obtidos por meio da modelagem matemática manual observa-se que quanto maior o grau de complexidade mais insatisfatória pode ser a resposta manual, sendo necessário o uso de solvers mais complexos para obter-se uma resposta satisfatória. O uso de um quarter-car é um exemplo clássico de fácil assimilação matemática, por esta razão foi selecionado, entretanto, no meio industrial e de pesquisa os sistemas tendem a ser mais complexos, considerando análises full vehicle e de graus de liberdade elevados, com dados de entrada mais complexos que necessitam de um trabalho analítico mais profundo. Portanto, o uso de ferramentas como o Simulink para apuração e comparação de resultados analíticos manuais e computacionais faz-se necessário à medida que o grau de complexidade aumenta.
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“Se admitimos que ao mesmo tempo em que a matemática é capaz de reger as leis universais, permitindo o equilíbrio para a Vida, ela também transcende o universo físico em sua natureza. Logo, a existência de Deus é tão factível, real, admissível e numericamente provável quanto a transcendentalidade da matemática. Por esta razão a Graça é expressa através da habilidade do conhecimento humano como meio de atrair a atenção para a Glória. – VIEIRA, L. S. C.”
[1] Mestrando em Engenharia Mecânica, Pós-graduado Lato Sensu em Gerenciamento de Projetos, Graduado em Engenharia Mecânica. ORCID: https://orcid.org/0009-0009-5683-0170. Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/4556979547132746.
[2] Graduado em Engenharia Mecânica, Pós-graduado Lato Sensu em Inteligência Artificial e Aprendizado de Máquinas, Pós-graduado Lato Sensu em Engenharia Automotiva e Pós-graduado Lato Sensu em Engenharia de Veículos Híbridos e Elétricos. ORCID: https://orcid.org/0009-0001-0776-5159. Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/7151423614104032.
[3] Mestrando em Engenharia Mecânica e Graduado em Engenharia Mecânica. ORCID: https://orcid.org/0009-0009-6719-8377. Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/3591084624385338.
[4] Mestrando em Engenharia Mecânica, Pós-graduado Lato Sensu em Projetos e Sistemas, Graduado em Engenharia Mecânica. ORCID: https://orcid.org/0009-0004-6839-8024. Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/2667158350489785.
[5] Mestrando em Engenharia Mecânica e Graduado em Engenharia Mecânica. ORCID: https://orcid.org/0009-0009-0186-0946. Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/6392525830251908.
Material recebido: 20 de janeiro de 2025.
Material aprovado pelos pares: 09 de abril de 2025.
Material editado aprovado pelos autores: 22 de setembro de 2025.
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