ARTIGO ORIGINAL
COSTA, Erik Feldner [1]
COSTA, Erik Feldner. Curvas em V e curvas de capabilidade das máquinas síncronas. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano. 10, Ed. 04, Vol. 02, pp. 76-99. Abril de 2025. ISSN: 2448-0959, Link de acesso: https://www.nucleodoconhecimento.com.br/engenharia-eletrica/curvas-em-v, DOI: 10.32749/nucleodoconhecimento.com.br/engenharia-eletrica/curvas-em-v
Este trabalho tem como objetivo investigar os princípios físicos e matemáticos das máquinas síncronas, apresentar suas diversas aplicações e modos de operação, levantar a origem da curva de capabilidade e das curvas em V, assim como o método para se calcular e traçar os limites, tanto para máquinas de rotor cilíndrico quanto para máquinas com rotor de polos salientes e, finalmente, realizar um estudo de caso com um gerador com rotor de polos salientes real, definindo seus limites operacionais, comparando-o com um gerador de rotor cilíndrico. Para desenvolver o estudo teórico, os diagramas fasoriais foram abordados, partindo do circuito equivalente. Para realizar o estudo de caso e as comparações entre configurações rotóricas, foi desenvolvido um código em MATLAB para cálculo e desenho das curvas. Concluiu-se que os geradores com rotor cilíndrico apresentam mais estabilidade com aumentos de ângulo de carga e uma melhor qualidade de energia em sua geração, por conta da ausência do segundo harmônico proveniente da potência de relutância, enquanto os geradores com rotor de polos salientes, por conta da presença da potência de relutância, têm ganhos de potências ativas e reativas com ângulos de carga menores.
Palavras-chave: Gerador síncrono, Curva de capabilidade, Curvas em V, Rotor de polos salientes, Rotor cilíndrico.
As máquinas síncronas são alimentadas com tensão alternada no estator e tensão contínua no rotor, possibilitando a operação sincronizada entre rotor e campo magnético girante. Através de análises físicas e diagramas fasoriais, que surgem do circuito equivalente da máquina, traça-se as curvas em V e curvas de capabilidade, que definem os limites operacionais da máquina. Serão traçadas as curvas de uma máquina real, utilizando ferramentas computacionais. As curvas também serão traçadas para uma máquina genérica com rotor de polos lisos para comparações qualitativas entre ambas as configurações.
Para analisar a máquina, deve-se estabelecer à priori seu tipo de operação. As máquinas que operam conectadas ao barramento infinito são conectadas diretamente no sistema elétrico. O barramento infinito pode ser representado por uma fonte de frequência e tensão constantes (Umans, 2014). Assim, apenas potências reativas e ativa serão variáveis de saída.
Para desenvolver o diagrama fasorial, o circuito elétrico equivalente por fase será usado.
Imagem 1 – Circuito equivalente da máquina síncrona
‘Êaf’ representa a tensão induzida na armadura pelo rotor. ‘Îa’ representa a corrente de armadura. ‘Va’ representa a tensão terminal, que será igual à tensão da rede. ‘Ra’ representa a resistência da armadura, que é praticamente desprezível. ‘Xal’ representa a reatância de dispersão, originada da indutância própria dos enrolamentos das fases da armadura. ‘Xφ’ representa a reatância de magnetização, originada das indutâncias mútuas entre os enrolamentos da armadura e do rotor. A reatância síncrona é o somatório de ambas, representada por ‘Xs’. A indutância síncrona é a indutância efetiva vista pela fase quando a máquina está funcionando em regime permanente e condições trifásicas equilibradas (Umans, 2014).
A tensão terminal é o somatório da tensão induzida com a queda de tensão na impedância da armadura, definida como FEM (força eletromotriz) de reação da armadura, e será referida como Êra.
Visto que as três tensões são frutos de forças magnetomotrizes e respectivos fluxos magnéticos, conclui-se que:
Sabendo que, pela Lei de Faraday, as tensões induzidas por variações de fluxos magnéticos são defasadas de 90º dos que às originaram, é possível traçar o diagrama para três condições da máquina síncrona: flutuando, gerador e motor.
Imagem 2 – Diagrama fasorial da máquina síncrona flutuando
Quando a máquina síncrona opera flutuando, não há fluxo de potências, havendo potência mecânica suficiente apenas para suprir suas perdas e com excitação mínima suficiente para induzir tensão da barra nos terminais de saída da armadura. A corrente de armadura é nula. Pela relação entre corrente e torque, o torque também é nulo, comprovado pelo ângulo de carga δ = 0º. As grandezas fundamentais no sistema mecânico são o torque e a velocidade, ao passo que as grandezas análogas no sistema elétrico são a corrente e a tensão, respectivamente (Del Toro, 1994).
Quando a máquina deixa de operar flutuando, surgem fluxos de potência, correntes e torques. Na operação geradora, as grandezas rotóricas se adiantam das grandezas resultantes, pois o sistema ganha potência mecânica e, consequentemente, acelera. O conjugado eletromagnético surge frenante como resposta, reestabelecendo o sincronismo da máquina. O ângulo δ que aparece entre ΦR e Φer é o ângulo de carga da máquina. O mesmo ângulo δ aparece entre a tensão induzida pelo rotor e a tensão terminal.
A corrente de armadura surge, indo da máquina à rede, indicando fornecimento de potência elétrica. Ao acrescentar potência mecânica sem alterar a corrente de excitação, surge o ângulo Ѳ de fator de potência entre a corrente de armadura e a tensão terminal, entre 0° e 90°. Neste caso, o gerador está fornecendo potência ativa e potência reativa capacitiva.
A operação motora é um espelho da operação geradora. O fluxo de energia se inverte. Ao diminuir o fornecimento de potência mecânica o rotor se atrasa e o torque surge acelerante para recuperar o sincronismo. A corrente de armadura muda de sentido e vai da rede à máquina. Surge novamente o ângulo Ѳ, porém, com sinal invertido, indicando um fator de potência indutivo.
A partir deste momento, pode-se avaliar os efeitos da manipulação da corrente de excitação. No diagrama do gerador, nota-se que, aumentando a corrente de excitação, a corrente de armadura se atrasa cada vez mais, tornando a máquina mais indutiva. Uma máquina síncrona superexcitada (motor ou gerador), produz energia reativa e se comporta como um capacitor shunt na perspectiva da rede. (Elgerd, 1981). Existe também um ponto de equilíbrio, onde a máquina opera resistivamente, sem fornecer nenhum reativo, onde tem-se a menor FEM de reação da armadura.
Imagem 3 – Diagrama do gerador síncrono com potência ativa constante e variações da corrente de excitação
As curvas em V correspondem à relação Îa = Îe e à curva cosѲ = Îe para P e Va constantes (Kostenko e Piotrovsky, 1979), onde Îe é a corrente de excitação. Visto que a impedância síncrona é constante, conclui-se que a relação entre Îa e Êra é linear e diretamente proporcional. No diagrama nota-se que, para uma potência ativa constante, quando o ângulo Ѳ é igual à 0º têm-se o menor módulo do vetor Êra e, consequentemente, o menor módulo de Îa. Estes módulos crescem à medida que aumentamos ou diminuímos a corrente de excitação. Conclui-se que a curva em V terá uma forma em “V”, como o nome sugere, sendo seu ponto mínimo onde a corrente de excitação torna o fator de potência unitário.
Para traçar a família de curvas, deve-se variar a potência ativa da máquina. À medida que esta aumenta, para manter o fator de potência unitário, o vetor Êaf cresce para acompanhar o crescimento do vetor Êra sem mudar sua inclinação. Isto significa que, à medida que a potência ativa aumenta, deve-se aumentar a corrente de excitação para que não haja variações de reativos.
Imagem 4 – Diagrama do gerador síncrono com fator de potência unitário constante e variações da potência ativa e ângulo de carga
Para uma típica família de curvas em V, uma linha é traçada conectando os pontos mínimos de cada curva, denominada como corrente de excitação normal. Sua inclinação à direita indica seu ligeiro crescimento com acréscimos de potência ativa. À direita é a região superexcitada, onde reativos são fornecidos pela máquina (Boukarim et al., 2001). À esquerda é a região subexcitada, onde reativos são consumidos. Em ambas a corrente de armadura cresce, pois a potência aparente da máquina aumenta.
Imagem 5 – Forma típica das curvas V de um gerador síncrono
A curva de capabilidade da máquina síncrona pode ser definida como os contornos de superfícies, no plano P x Q (Bertineti, 2017). Partindo do diagrama de tensões desenvolve-se o diagrama de potências multiplicando os vetores de tensão por uma corrente, obtendo vetores de potência. Para isto, os vetores serão multiplicados pelo termo ‘(Va / Xs)’.
Imagem 6 – Desenvolvimento do diagrama de potências do gerador síncrono
O produto do vetor ‘Êra’ e o termo ‘(Va / Xs)’ origina o vetor potência aparente.
Como o vetor ‘Îa’ está em fase com o vetor ‘∅ra’, que está defasado de 90° do vetor ‘Êra’, conclui-se que o vetor ‘Îa’ e o vetor ‘(Îa * Va)’, originado do vetor ‘Êra’, são ortogonais.
Imagem 7 – Relações trigonométricas do diagrama de potências do gerador síncrono
Nota-se um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o vetor ‘(Îa * Va)’. O segmento vertical deste triângulo representa a potência ativa (P), proporcional ao cosseno de θ (ângulo de fator de potência), e ao seno de δ (ângulo de carga), originando a equação de potência ativa do gerador síncrono.
O segmento horizontal é proporcional ao seno de θ e ao cosseno de δ. Este segmento representa a potência reativa da máquina.
A partir do ponto de encontro dos vetores traçam-se os eixos P na vertical e Q na horizontal, originando o plano P x Q.
Imagem 8 – Plano P x Q do gerador síncrono
Os rotores de polos salientes são constituídos de sapatas, que torna a relutância do circuito magnético variável. Isto dificulta a análise pelo método matemático desenvolvido anteriormente.
O método das duas reações de Blondel decompõe as grandezas eletromagnéticas do rotor, passando a utilizá-lo como referência, simplificando a análise da máquina.
A utilidade desse conceito origina-se no fato de que, embora cada uma das fases de estator veja uma indutância variável no tempo devido às saliências do rotor, as grandezas transformadas giram com o rotor e vêem, portanto, caminhos magnéticos constantes. (Umans, 2014, p.664).
Imagem 9 – Eixo direto e eixo em quadratura do rotor de polos salientes
Para observar o efeito dos polos salientes é necessário analisar a lei de Ohm magnética:
Nota-se que o fluxo magnético depende da relutância e da força magnetomotriz. Para máquinas com rotor cilíndrico, a força magnetomotriz é variável mas a relutância é constante. Para máquinas com rotor de polos salientes, ambas são variáveis. Existirá, portanto, uma variação do fluxo magnético relacionada à variação de ambos.
Em um rotor de 2 polos têm-se duas sapatas polares e duas concavidades. Isto significa que, em um ciclo elétrico completo, neste caso, 360° mecânicos, têm-se a passagem de duas sapatas de baixa relutância e duas concavidades de grande relutância intercaladamente. Conclui-se que o fluxo associado à variação de relutância tem o dobro da frequência do fluxo de excitação fundamental. Este efeito é análogo para o sinal de potência. A potência de excitação fundamental é uma senoide de 60Hz enquanto o sinal de potência de relutância é uma senoide de 120Hz (2° harmônico), e o sinal de potência resultante, o somatório das duas.
Imagem 10 – Característica de ângulo de potência da máquina síncrona de polos salientes
A potência de relutância distorce a senoide fundamental e prejudica a qualidade da energia. Aumentando a quantidade de polos do rotor diminui-se a relutância de eixo em quadratura e, consequentemente, aumenta-se a reatância de eixo em quadratura (Xq), diminuindo a distorção harmônica, pois a potência de relutância depende de uma diferença (Xd – Xq).
Os polos salientes interferem na curva de capabilidade. O limite de estabilidade está associado com o ângulo de escape e é determinado solucionando a equação dP(δ) / dδ = 0 (Ammar et al., 2012). Para rotores cilíndricos, este ângulo é 90°, pois a potência de excitação fundamental é uma senoide pura, função que se maximiza com este ângulo. Para máquinas de polos salientes há um ganho de potência para ângulos de carga menores que 90°, pois o 2° harmônico é aditivo nesta região, e o oposto ocorre para ângulos de carga acima de 90°. Este efeito diminui o ângulo de escape da máquina, tornando-o menor que 90°.
O limite de excitação mínima (ANSI C50.12, 2005) ou subexcitação da máquina de polos salientes é inferior ao da máquina de rotor cilíndrico. Isto por conta da potência de relutância. A máquina pode operar com correntes de excitação ínfimas, praticamente apenas fornecendo a potência de relutância. Nestas condições, o ângulo de escape da máquina se aproxima de 45°, pois a potência de relutância é proporcional ao seno de 2δ.
Desenvolvendo o diagrama da máquina de polos salientes, demonstra-se que a tensão induzida no estator é descrita pela seguinte equação:
Quando Xd e Xq são iguais, o rotor é cilíndrico. Assim obtêm-se a definição inicial da tensão induzida, partindo do circuito equivalente, portanto, esta equação é genérica para ambas configurações rotóricas. O termo |Id * (Xd – Xq)| representa a tensão induzida pela variação de relutância. A parte restante do vetor Êaf origina o vetor de tensão induzida de eixo em quadratura (Êq). Este vetor, apesar de estar em fase com a corrente de eixo em quadratura, fisicamente está associada à corrente de eixo direto, estando 90° adiantado dela.
Imagem 11 – Diagrama fasorial da máquina de rotor de polos salientes
O vetor Êq pode ser descrito pela equação:
Fazendo o mesmo procedimento utilizado para desenvolver o diagrama de potências do rotor cilíndrico, origina-se a equação de potência de excitação fundamental:
O vetor (Êq * (Va/Xq)), é associado à potência de excitação fundamental e representa o limite térmico de campo para máquinas de polos salientes. A curva, que tem forma y = a*cos x + b, passa a ter o formato de caracol de Pascal.
Para o estudo de caso será utilizado um gerador ASEA. Os limites serão calculados utilizando MATLAB.
Tabela 1 – Dados do gerador
| Elemento do circuito | Valor |
| Reatância de eixo direto (Xd) | 0,99 pu |
| Reatância de eixo em quadratura (Xq) | 0,53 pu |
| Potência (S) | 15,5 MVA / 1 pu |
| Tensão terminal (Va) | 6,6 kV / 1 pu |
| Fator de potência nominal (FP) | 0,8 |
| Número de polos | 40 |
| Potência da turbina hidráulica (W) | 14,7 MW / 0,948 pu |
| Corrente de excitação nominal CC (A) | 225 A / 1 pu |
Fonte: Autor (2025).
Com FP e S nominais, encontra-se o ponto de operação nominal no plano P x Q, onde a máquina opera em ambos os limites térmicos (armadura e campo).
O limite térmico de armadura é dado pela máxima corrente conduzida pelo enrolamento do estator, se mantendo dentro da referida classe de temperatura (Ammar et al., 2012). É associado ao vetor ‘(Îa * Va)’, vetor potência aparente. Sendo a tensão terminal constante, a única variável é a corrente de armadura. Este limite é definido por uma semicircunferência centrada na origem com raio igual a 1.
Utilizando a equação da potência de excitação fundamental, calcula-se o limite térmico de campo. A função será igual a ‘(0,877 * cos δ + Êaf)’. O ponto de origem do vetor de potência rotórica será na origem da curva de saliência, à uma distância de -0,877 da extremidade negativa do vetor ‘(Va²/Xd)’, no ponto [-1.8871, 0]. O vetor de potência rotórica é traçado para a condição nominal de operação da máquina com origem na curva de saliência e fim no ponto de operação nominal. O ângulo desta reta é o ângulo de carga nominal do gerador.
A componente do vetor de potência rotórica que inicia na intersecção com a curva de saliência e termina no ponto de operação nominal representa a potência de excitação fundamental, que tem módulo constante enquanto for constante a corrente de excitação. Para traçar o limite térmico de campo, o ângulo de carga é variado de 0° a 180°, variando a potência de relutância, associada à componente interna à curva de saliência, somada à parcela constante da potência de excitação fundamental. Como a potência de relutância varia de módulo com variação do ângulo de carga, para traçar a curva, utiliza-se como referência o raio da curva de saliência, que tem módulo constate, variando com 2δ, enquanto a componente de excitação fundamental varia com 1δ.
O limite de subexcitação é associado ao mesmo vetor, porém, é um limite inferior, definindo a curva crítica onde qualquer ponto abaixo desta faça com que a máquina perca o acoplamento magnético e, consequentemente, seu sincronismo. É traçada outra curva de mesmo formato, porém com um percentual do módulo máximo da componente constante, ou seja, uma condição da máquina operando com mínima corrente de excitação. Foi adotado um valor de 10%.
O limite de estabilidade teórico é calculado através de uma rotina, traçando curvas de potência rotórica para diversos valores de corrente de excitação, e conectando os pontos de máxima transferência de potência, ou seja, os pontos onde qualquer aumento do ângulo de carga faça com que a máquina perca potência ativa e entre em stall. Para traçar o limite de estabilidade prático desloca-se o limite teórico para o meio da curva de saliência, mantendo sua forma.
O limite de potência ativa é definido pela capacidade do órgão primário. A turbina deste gerador tem potência nominal de 0.948 pu. O limite de potência ativa, portanto, é definido por uma reta perpendicular ao eixo P com altura 0.948.
Observa-se todos os limites definidos, com o limite térmico de campo em azul, o limite térmico de armadura em vermelho, o limite de potência ativa em verde, o limite de subexcitação em magenta e o limite de estabilidade prática em laranja.
Imagem 12 – Limites operacionais do gerador ASEA calculados no Matlab
Para traçar as curvas em V, é fixado um valor de potência ativa qualquer, eixo P, variando valores de potência reativa, eixo Q, indo da região de superexcitação até a região de subexcitação, ou seja, indo de 1 pu com reativos indutivos até 1 pu com reativos capacitivos (Kostenko e Piotrovsky, 1979). O módulo do vetor ‘(Va * Ia)’ inicia máximo quando indutivo, decresce à medida que o fator de potência se aproxima do unitário e cresce quando se torna capacitivo. Como Va é constante da barra infinita, esta variação mostra a variação da corrente de armadura.
O vetor de potência rotórica também varia seu módulo, sendo máximo quando indutivo e mínimo quando capacitivo, porém, para traçar as curvas em V é necessário relacionar ‘Ia’ com ‘If’, que não está associado com o vetor de potência rotórica em sua totalidade, visto que parte dele é a potência de relutância. É necessário então, para cada ponto de operação que é definido ao variar os reativos da máquina mantendo a potência ativa constante, traçar o caracol de pascal, encontrar sua componente constante, associada à potência de excitação fundamental e corrente de excitação If, e calcular a razão entre esta componente constante e a componente constante nominal da máquina, calculado ao traçar o limite térmico de campo, para que se obtenha o valor em pu. Associando esta razão entre as componentes de corrente de excitação com o módulo do vetor ‘(Va*Ia)’, obtêm-se uma curva em V.
Para traçar a família de curvas é necessário repetir o processo para diversos valores de potência ativa. A família de curvas foi traçada variando a potência ativa de 0 à 1 pu com incrementos de 0,2 pu. A curva de corrente de excitação normal é traçada conectando os pontos críticos. Para um carregamento de 1 pu a curva em V se torna um ponto, visto que qualquer acréscimo de reativo aumenta a corrente de armadura, ultrapassando o limite térmico de armadura. Observa-se as curvas em V do gerador em vermelho, assim como a curva de corrente de excitação normal em preto tracejado.
Imagem 13 – Curvas em V do gerador ASEA calculadas no Matlab
A tabela mostra os valores de corrente de excitação normal do gerador para os diversos carregamentos da máquina. A corrente de excitação normal para carregamento de 0 pu representa a corrente de excitação necessária para que a máquina opere com corrente de armadura nula, ou seja, flutuando na barra.
Tabela 2 – Valores de corrente de excitação normal do gerador real calculados no Matlab
| Carregamento da máquina | Corrente de excitação normal |
| 0 pu. / 0 MW | 0,5682 pu. / 127,8 A |
| 0.2 pu. / 3,1 MW | 0,5769 pu. / 129,8 A |
| 0.4 pu. / 6,2 MW | 0,6025 pu. / 135,6 A |
| 0.6 pu. / 9,3 MW | 0,6438 pu. / 144,9 A |
| 0.8 pu. / 12,4 MW | 0,6988 pu. / 157,2 A |
| 1 pu. / 15,5 MW | 0,7655 pu. / 172, 2 A |
Fonte: Autor (2025).
A região interna aos limites operacionais forma a curva de capabilidade do gerador. Nota-se que o limite de estabilidade sumiu. Isto significa que, ao subexcitar esta máquina, antes que sejam apresentadas instabilidades a máquina já estaria ultrapassando seu limite térmico de armadura ou de subexcitação.
Imagem 14 – Curva de capabilidade do gerador de polos salientes real calculada no Matlab
Para traçar os limites operacionais e a curva de capabilidade da máquina de rotor cilíndrico, os mesmos procedimentos foram realizados, igualando Xd e Xq. Nota-se que os limites mudaram de forma nesta configuração.
Imagem 15 – Limites do gerador de rotor cilíndrico calculada no Matlab
Os limites de potência ativa e térmico de armadura permanecem iguais, visto que não são associados ao rotor. O limite térmico de campo torna-se uma circunferência, com seu módulo proporcional apenas à corrente de excitação, não influenciada pelo ângulo de carga. O limite de subexcitação transforma-se de maneira análoga. O limite de estabilidade torna-se uma reta, invariável com relação à corrente de excitação, pois o ângulo que maximiza o sinal de potência de excitação fundamental é 90°, que será sempre o ângulo de escape do gerador síncrono com rotor cilíndrico. As curvas em V não apresentaram mudanças significativas entre ambas as configurações.
As curvas em V mostram-se úteis no controle da corrente de excitação, definindo, para cada carregamento, o fator de potência do gerador e, consequentemente, o seu fluxo de potência reativa. A curva em V para carregamento nulo pode ser utilizada para controle de potência dos “reatores síncronos” e “capacitores síncronos”, além de prever de forma precisa a corrente de excitação necessária para fazer a máquina flutuar na barra infinita. Utilizando a ferramenta computacional, concluiu-se que geradores de rotor cilíndrico apresentam ângulos de escape maiores e uma estabilidade notavelmente maior, além de produzirem um sinal de potência senoidal puro, com maior qualidade de energia. Os geradores de rotor de polos salientes, entretanto, conseguem um ganho considerável de potência ativa e reativa com baixos ângulos de carga, conseguem operar com menor corrente de excitação por conta da potência de relutância e são muito adequados para geração hídrica, que compõe a maior parte da matriz de energia elétrica no Brasil, por conta das baixas velocidades de rotação das turbinas. Não seria adequado dizer que uma configuração é melhor que a outra, porém, são notáveis as vantagens de cada uma e, dada a aplicação, deve ser avaliado qual das configurações será a mais adequada.
AMMAR, A.; BERBECEA, A. C.; GILLON, F.; BROCHET, P. Influence of the Ratio of Hybridization on the Performances of Synchronous Generator with Hybrid Excitation. Marseille: 2012 XXth International Conference on Electrical Machines, 2012.
ANSI C50.12-2005; IEEE Standard for Salient-Pole 50 Hz and 60 Hz Synchronous Generators and Generator/Motors for Hydraulic Turbine Applications
Rated 5 MVA and Above. New York: Institute of Electrical and Electronics Engineers Inc, 2005.
BERTINETI, D. P. Levantamento da Curva de Capabilidade de um Gerador Síncrono de Polos Salientes. Fortaleza: Revista Científica Semana Acadêmica, 2017.
BOUKARIM, G. E.; D’ANTONIO, M. J.; GOTT, B. E.; LAWSON, R. A.; MURDOCH, A. Generator Over Excitation Capability and Excitation System Limiters. CoIumbus: IEEE/PES 2001 WPM, 2001.
DEL TORO, V. Fundamentos de Máquinas Elétricas. Rio de Janeiro: LTC, 1994.
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UMANS, S. D. Máquinas Elétricas de Fitzgerald e Kingsley. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2014.
[1] Pós-graduação lato sensu em Máquinas Elétricas pela PUC-MG. Bacharelado em Engenharia Elétrica pela PUC-MG. ORCID: 0009-0005-3090-1795.
Material recebido: 09 de janeiro de 2025.
Material aprovado pelos pares: 27 de janeiro de 2025.
Material editado aprovado pelos autores: 16 de abril de 2025.
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