ARTICLE ORIGINAL
PEREIRA, Olavo de Carvalho [1]
PEREIRA, Olavo de Carvalho. Limiter le calcul d’une fonction sans l’utilisation de
La bibliographie consultée ne présente, dans aucun des cas analysés, un calcul de la limite d’une fonction, mais seulement « montre » que les valeurs présentées comme la « limite » satisfont à la définition de limite d’une fonction exprimée par des inégalités impliquant
Mots clés : Limite D’une Fonction, Calcul Des Limites, Limites Latérales, Limites Infinies, Limites À L’infini.
Cet article présente le « calcul de la limite d’une fonction » afin de combler une lacune existante dans ce sujet.
La présentation du calcul mentionné dans la solution de plusieurs limites est l’objectif principal de l’article.
De manière complémentaire, nous entendons préciser le réel besoin de calculer ou non la limite d’une fonction.
Nous aborderons aussi, de façon très simple, le cas où une fonction simple, définie à un certain nombre, est continue à ce nombre.
Bien que l’interprétation géométrique soit toujours importante, nous n’adopterons ici qu’une approche algébrique du « calcul limite » présenté.
La définition de la limite d’une fonction est présentée dans les manuels de mathématiques comme une estimation.
Par exemple : Leithold (1994) présente la définition de la limite d’une fonction comme suit :
Seja
Dado
A definição acima afirma que os valores de
En revanche, Lezzi, Murakami et Machado (1991) s’expriment à peu près sur la même définition :
Seja
Munem et Foulis (1982) utilisez la définition suivante :
Se
Comme on peut le voir à partir des définitions ci-dessus, une limite est présentée
Aucun calcul de cette limite n’est présenté à aucun moment.
Cet article présente le « calcul limite » d’une fonction utilisable dans tous les cas où il est nécessaire d’effectuer une telle opération.
Maintenant, passons à l’argumentation.
Pour certaines fonctions, non définies dans un certain nombre, afin de savoir, avec le maximum de précision possible, quelle serait leur valeur dans ce nombre, il est d’usage de les évaluer dans des valeurs proches de ce nombre pour lesquelles elles ne le sont pas défini.
Exemple:
Si nous remplaçons le
Comme la fonction n’est pas définie, c’est-à-dire qu’elle n’existe pas pour la valeur 1, nous évaluons alors sa valeur proche de 1, puisque notre objectif est de connaître la valeur de la fonction, au moins, proche de 1, puisque il n’existe pas
Pour les valeurs de
Attribuons à
Attribuons maintenant le
Trouvés sont : Comme on peut le voir, dans les deux cas, comme
Cependant, aucun « calcul » de limite n’a été effectué ici, mais seulement une évaluation de
prend des valeurs très proches de 1.
Les auteurs consultés structurent la définition de la limite en termes d’inégalités à partir d’exemples comme celui-ci et supposent la valeur estimée, dans ce cas 5, comme réellement la limite de la fonction.
À cet égard, ils prétendent que
La définition de limite donnée au début, qui n’a pas de calcul de limite, est utilisée pour « prouver » que des nombres donnés, sans indication de l’endroit où ils ont été pris, sont des limites de fonctions.
Nous allons montrer que la définition de limite ne prouve pas, ne démontre pas qu’un nombre donné est la limite d’une fonction, mais « montre » seulement que le nombre fourni est la limite.
Prenons un exemple pour bien faire la différence entre un « spectacle » et une « démonstration ».
Cela signifie que si nous remplaçons le
Voyons voir
C’était un exemple de « démonstration », c’est-à-dire que seulement quelque chose était montré, rien n’était démontré, rien n’était calculé, seule la valeur fournie était remplacée.
C’est différent quand on dit : prouver que 2 est une racine, c’est une solution de l’équation
Dans ce cas, nous devons calculer, résoudre l’équation et voir si nous obtenons
Bon, en résolvant, on a :
Alors une des valeurs de
Avec cela, il a été « démontré » que 2 est vraiment la racine de l’équation
Nous verrons, dans les exemples donnés ci-dessous, qu’il n’y a pas de preuve, mais seulement une « démonstration » que le nombre donné est la limite de la fonction donnée.
Exemple. Utilisez la définition de la limite pour « prouver » que
Ici, il n’est pas dit comment la conclusion a été atteinte que la limite est de 5, ni d’où ce nombre a été tiré.
Nous aborderons, de manière générale, la solution présentée dans les ouvrages consultés :
La première exigence de la définition est que
Nous avons alors,
Cette déclaration indique que
Avec ce choix de
Cela « montre » simplement, d’après la définition de la limite, que
Comme nous l’avons vu, il n’y avait pas de preuve, mais seulement un « spectacle », puisque, étant donné le nombre 5, nous l’avons simplement substitué ainsi que la fonction donnée, dans la définition de la limite d’une fonction.
Prenons un autre exemple : utilisez la définition pour « prouver » que
Encore une fois, un nombre est donné, dans ce cas 4, comme limite, mais il n’est pas dit d’où ce nombre a été tiré.
Voici la solution, en termes généraux :
Comment
Il faut montrer que pour tout
tel que
Si
Bientôt
Nous devons mettre une contrainte sur
Maintenant nous avons
En utilisant ceci
Comme nous l’avons vu plus haut, encore une fois rien n’a été prouvé, mais seulement que le nombre donné comme limite, dans ce cas 4, satisfait à la définition de limite.
Il n’y avait aucun calcul pour montrer que le nombre 4 est vraiment la limite.
A partir de ce point, nous présenterons le calcul limite d’une fonction.
Avant de présenter le « calcul » proprement dit, évaluons
Cela montrera, en termes généraux, le raisonnement utilisé pour calculer la limite de la fonction.
La fonction est
Pour
Pour
Pour
Pour
Pour
Pour
Pour
Nous avons testé quelques valeurs de
Nous allons maintenant évaluer
Pour
Pour
Pour
Pour
Pour
Pour
Pour
Pour
Pour
De ce qui précède, nous réalisons que plus
Nous avons observé dans les calculs ci-dessus, dans toutes les valeurs attribuées à
Cette constante est donc un « candidat » pour être la « limite » mentionnée ci-dessus, c’est-à-dire qu’il y a une indication que nous pouvons avoir
Nous allons maintenant exprimer la situation ci-dessus de manière semi-générique pour présenter le « calcul limite » lui-même.
L’expression«
Avec cela, l’expression
A partir de l’égalité ci-dessus, il est possible de « calculer » la valeur de la limite de
Nous allons maintenant faire, en utilisant la même fonction que précédemment, le calcul pour
De cette manière, il nous reste :
Le calcul pour
Voyons voir:
Nous allons maintenant calculer une série de limites de fonctions, pour illustrer l’application du « calcul » mentionné.
Comment
Rester avec
Comment
Rester avec
Comme nous l’avons vu plus haut, à la fin il nous restera
Nous devons calculer
Comment
Rester avec
Être
Considérons
Puis
Considérons maintenant l’exemple suivant :
Pour
Comment
En conclusion, il nous reste:
Observation.
Nous aurions pu appliquer le « calcul » directement à la fonction, sans d’abord diviser le facteur commun au numérateur et au dénominateur.
Vejamos
En fait, on peut appliquer le « calcul » directement sur la fonction, sans faire au préalable une « préparation » sur celle-ci.
Nous allons maintenant donner quelques exemples de calcul de limite impliquant des fonctions trigonométriques et exponentielles afin d’illustrer la consolidation ci-dessus.
Considérons la fonction
Se souvenir:
En remplaçant cette valeur de x dans l’équation d’origine ci-dessus, nous avons :
Puis,
, tandis que le
Autre exemple : considérons la fonction
Calculons maintenant la limite des fonctions données au début pour confirmer les valeurs des limites données.
Comment
Comment
Comme on peut le voir d’après les « calculs » ci-dessus, les limites données dans les exemples précédents étaient correctes.
Nous allons démontrer un seul théorème sur les limites pour illustrer le calcul présenté ici.
Théorème. Si
Calculez simplement la limite en faisant, par exemple,
Rester avec:
Il y a une immense simplicité dans le « calcul » présenté.
Dans ce cas, il ne fait aucun doute que la limite est
Nous allons maintenant utiliser le « calcul limite » présenté pour calculer les limites des fonctions dans diverses circonstances.
Comment
Rester avec
Comment x → 5, donc on peut faire par exemple,
Rester avec
On observe qu’il n’était pas nécessaire de « préparer » la fonction pour appliquer le « calcul », c’est-à-dire qu’il n’était pas nécessaire d’écrire la fonction comme
Dans les cas impliquant des radicaux, auxquels un nombre réel est ajouté ou soustrait, lorsque la substitution directe de la valeur de
Ce qui se passe dans ce cas, c’est qu’il existe un facteur commun au numérateur et au dénominateur, mais qui n’est exprimé que lorsque nous divisons, soit le numérateur par le dénominateur, soit le dénominateur par le numérateur.
Cela se traduit actuellement en mathématiques par la rationalisation.
Voyons dans l’exemple ci-dessus : si on divise le dénominateur par le numérateur, puisque l’exposant de
On peut ainsi exprimer le facteur commun au numérateur et au dénominateur.
L’autre façon est de diviser le numérateur par le dénominateur, mais dans ce cas, nous devons faire la même chose est la rationalisation, puisque l’exposant de
C’est la fameuse rationalisation que nous faisons.
Nous ferons d’abord le calcul, sans préparation.
Comment
Rester avec
On va alors multiplier et diviser par
Nous allons maintenant faire le calcul, en préparant la fonction avant de l’appliquer.
Comment la substitution directe de 4 conduit à l’indétermination
Dans ce cas, comme il s’agit d’un radical moins un nombre réel, le moyen utilisé pour « libérer » le facteur commun passe par la rationalisation.
Avant de calculer la limite, nous allons multiplier et diviser le numérateur et le dénominateur de la fonction par
Rester avec
Comment
Rester avec
Dans les cas où une fonction est définie pour chaque nombre réel sauf un nombre réel
Et bien sûr, ce n’est pas une fonction de phrase.
Lorsqu’une fonction n’est pas définie à gauche ou à droite d’un nombre
Lorsque
Le calcul fait avec
C’est donc la limite de droite.
Nous utilisons
Nous savons que la limite n’existe que lorsque les limites unilatérales existent et sont égales.
On sait que la fonction n’existe que pour
Il n’y a donc pas de limite à gauche et donc la limite en question n’existe pas.
Mais il y a la limite de droite qui peut être calculée en remplaçant
Comme ce sont les mêmes,
Dans le calcul ci-dessus, nous avons fait
On calcule la limite de
Il faut alors calculer,
On va le faire alors,
Rester avec
Il faut alors calculer ,
On va le faire alors,
Rester avec
Comment
Il faut alors calculer,
Nous ferons alors
Rester avec
Il faut alors calculer,
Nous ferons alors,
Rester avec
Comment
Ceux dont les valeurs fonctionnelles augmentent ou diminuent sans limitation, lorsque la variable indépendante se rapproche de plus en plus d’un nombre fixe, peuvent être résolus également par le « calcul » limite présenté ici, avec l’avantage de ne pas avoir à se soucier des théorèmes.
Avant d’appliquer le « calcul », rappelons les situations suivantes :
Comment
Rester avec
Comment
Rester avec
Comment
Rester avec
Comment
Rester avec
Comment
Rester avec
Comment
Rester avec
Dans ce cas, le dénominateur est
Comment
Nous sommes comme
Comment
Rester avec
Dans ces deux cas, nous avons pu
Comment
Rester avec
Noter Nous aurions pu remplacer directement la valeur de dans l’équation d’origine.
Comment
Rester avec
Comment
Rester avec
De la même manière que pour les bornes évoquées jusqu’ici, la littérature consultée ne présente pas non plus un calcul de bornes à l’infini, mais n’évalue la fonction que lorsque la variable indépendante croît ou décroît indéfiniment.
Le résultat de l’évaluation est utilisé comme seuil.
Voyons voir.
Compte tenu de la fonction
Nous observons que lorsque
Lorsqu’une variable indépendante
Comme vu ci-dessus, à partir de l’exemple donné, aucun calcul de limite de la fonction n’a été présenté, mais il a seulement été observé que, comme
Cette valeur 2 a ensuite été utilisée comme limite de la fonction.
Nous présenterons, ci-dessous, le « calcul » de limite de fonctions lorsque la variable indépendante tend vers
Dans les cas où
Dans les cas où
Comment
Rester avec
Comment
Rester avec
Comment
Rester avec
Comment
Rester avec
Comment
Rester avec
Comment
Rester avec
Comment
Rester avec
Comment
Rester avec
Comment
Rester avec
Comment
Rester avec
Comment
Rester avec
Comment
Rester avec
Observation.
Le calcul des limites à l’infini ne peut s’appliquer, par exemple, aux fonctions trigonométriques, puisque certaines d’entre elles varient dans un certain intervalle, et d’autres augmentent ou diminuent indéfiniment, selon la valeur considérée.
Par exemple, si nous essayons de calculer le
En effet, les fonctions polynomiales, ou fonctions exprimées par des rapports entre polynômes, sont les plus adaptées pour appliquer des limites.
1) Le calcul de limite présenté est issu de l’identification de l’expression
Dans le cas des limites à l’infini, la substitution de l’expression
La substitution a le plus de sens, parce que, vraiment, quand
Si on substitue, dans le cas où
Un exemple.
Nous ferons
Rester avec
2. Comme on le voit dans les différents exemples, le « calcul limite » présenté est assez « fluide » et d’application directe, sans qu’il soit nécessaire de consulter des théorèmes ou « d’organiser » la fonction avant d’effectuer le calcul, sauf lorsqu’il faut rationaliser.
Ce fait apporte beaucoup de tranquillité lors du calcul de la limite d’une fonction, car le « calcul » présenté est une véritable synthèse de ce sujet.
Par exemple, « calcul » peut être utilisé directement sur la fonction
Voyons voir
Comment
Rester avec
Cela apporte un énorme avantage par rapport à la présentation actuelle de ce sujet, qui, en plus de ne présenter aucun calcul de limite, se montre assez « coincée » par l’immense quantité de théorèmes qu’il faut considérer dans les « évaluations » de limites, ainsi que des « organisations » qu’il faut faire sur les fonctions avant « d’estimer » leur limite.
3) Je voudrais ajouter, au « calcul limite » présenté, quelques évaluations d’ordre pratique.
a) Cela n’a de sens que de calculer la limite d’une fonction proche d’une valeur pour laquelle elle n’est pas définie.
Si la fonction est définie pour une certaine valeur, c’est-à-dire si la fonction existe pour une certaine valeur, cela n’a aucun sens de calculer la limite près de cette valeur, puisque nous savons combien vaut la fonction à cette valeur.
Par exemple, être
Cette fonction est définie pour tous
Par conséquent, il serait déraisonnable de calculer, par exemple,
Avec cela, des centaines d’exercices n’ont plus de raison d’être.
Évidemment, les fonctions considérées dans cet article sont de
b) En utilisant la notion de limite, nous ferons ici une observation sur la continuité d’une fonction.
Selon le livre de calcul de Lethold (1994), la définition d’une fonction continue en un point se traduit comme suit :
Dizemos que a função
(i)
(ii)
(iii)
Se uma ou mais de uma dessas condições não forem verificadas em
Ainsi Lima (1978) définit la continuité d’une fonction :
Uma função
Em termos precisos, diremos que
Nous savons que si une fonction est définie sur un certain intervalle, c’est-à-dire si elle existe pour chaque nombre contenu dans un certain intervalle, alors il est inutile de calculer la limite de cette fonction pour un certain nombre dans cet intervalle, puisque nous pouvons évaluez simplement la fonction sur chaque nombre de cette plage.
En termes plus simples : si une fonction, représentée par une seule expression, par une seule phrase, existe pour un certain nombre
Bien sûr, si nous devions calculer cette limite, comme nous l’avons fait ci-dessus, ce serait
Comme indiqué ci-dessus, cela n’a de sens que de calculer la limite d’une fonction autour d’un nombre pour lequel elle n’est pas définie.
Par conséquent, si nous analysons des fonctions représentées par une seule expression, en disant qu’une fonction existe pour un certain nombre
En appliquant cela à la définition ci-dessus d’une fonction continue, les points (ii) et (iii) de la définition deviendront inutiles, car au point (i), il est indiqué que
Par conséquent, pour les fonctions représentées par « une seule expression », la simple déclaration qu’elle, la fonction
De même, avec ce constat sur les fonctions continues, des centaines d’exercices perdent leur raison d’être.
Exemple : laisser la fonction
Ainsi, il n’est pas nécessaire de calculer la limite de
Ensuite la fonction
Dans ce qui précède, nous montrons qu’en fait, la théorie des limites est déficiente par rapport à un calcul de limite et, par conséquent, elle s’entoure d’une série d’arguments basés sur la définition de la limite afin de combler cette lacune.
Nous présentons ensuite le « calcul de la limite d’une fonction » et montrons qu’il synthétise tout le sujet évoqué, ayant donc une application directe.
Nous espérons contribuer à une meilleure compréhension d’un sujet aussi fondamental en mathématiques.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos et all. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 8, 1991.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, 1994.
LIMA, Elon Lages. Curso de Análise, vol. 1, 1978.
MUNEM, Mustafa A. e FOULIS, David J. Cálculo, vol. 1, 1982.
[1] Licence en Mathématiques de l’Université de Brasilia.
Envoyé : Juin 2021.
Approuvé : Août 2021.
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