ORIGINALER ARTIKEL
PEREIRA, Olavo de Carvalho [1]
PEREIRA, Olavo de Carvalho. Grenzberechnung einer funktion ohne verwendung von
Die konsultierte Bibliographie enthält in keinem der analysierten Fälle eine Berechnung der Grenze einer Funktion, sondern „zeigt“ nur, dass die als „Grenze“ dargestellten Werte die durch Ungleichungen ausgedrückte Definition der Grenze einer Funktion erfüllen einbeziehen
Stichworte: Grenzwert einer Funktion, Grenzwertrechnung, Laterale Grenzwerte, Unendliche Grenzwerte, Grenzwerte im Unendlichen.
Dieser Artikel stellt die „Grenzwertberechnung einer Funktion“ vor, um eine bestehende Lücke in diesem Fachgebiet zu schließen.
Die Darstellung der in der Berechnung erwähnten Lösung mehrerer Grenzwerte ist das Hauptziel des Artikels.
Ergänzend wollen wir klären, ob es wirklich notwendig ist, den Grenzwert einer Funktion zu berechnen oder nicht.
Wir werden auch auf sehr einfache Weise den Fall diskutieren, in dem eine einfache Funktion, die bei einer bestimmten Zahl definiert ist, bei dieser Zahl stetig ist.
Obwohl die geometrische Interpretation immer wichtig ist, werden wir uns hier nur algebraisch mit dem vorgestellten „Grenzwertkalkül“ befassen.
Die Definition des Grenzwerts einer Funktion wird in Mathematiklehrbüchern als Schätzung angegeben.
Zum Beispiel: Leithold (1994) präsentiert die Definition der Grenze einer Funktion wie folgt:
Seja
Dado
A definição acima afirma que os valores de
Andererseits äußern sich Lezzi, Murakami und Machado (1991) zu derselben Definition:
Seja
Munem und Foulis (1982) verwenden die folgende Definition:
Se
Wie aus den obigen Definitionen ersichtlich ist, wird eine Grenze präsentiert
Eine Berechnung dieser Grenze wird zu keinem Zeitpunkt vorgelegt.
Dieser Artikel stellt die „Grenzwertberechnung“ einer Funktion vor, die in allen Fällen verwendet werden kann, in denen es notwendig ist, eine solche Operation durchzuführen.
Nun zur Argumentation.
Für einige Funktionen, die nicht in einer bestimmten Zahl definiert sind, ist es üblich, sie in Werten zu bewerten, die in der Nähe dieser Zahl liegen, für die sie es nicht sind, um mit der größtmöglichen Genauigkeit zu wissen, was ihr Wert in dieser Zahl wäre definiert.
Beispiel:
Wenn wir die ersetzen
Da die Funktion nicht definiert ist, das heißt, sie existiert nicht für den Wert 1, bewerten wir dann ihren Wert nahe 1, da unser Ziel darin besteht, den Wert der Funktion zu kennen, der mindestens nahe 1 liegt es existiert nicht
Für Werte von
Lassen Sie uns zuweisen
Lassen Sie uns nun die zuweisen
Wie ersichtlich, in beiden Fällen, wie
Allerdings wurde hier keine Grenzwert-„Berechnung“ vorgenommen, sondern nur eine Bewertung
Der Wert 5 ist also „Kandidat“, um die Grenze zu sein, die wir noch berechnen müssen.
Die konsultierten Autoren strukturieren die Definition des Grenzwerts in Bezug auf Ungleichungen aus Beispielen wie diesem und nehmen den geschätzten Wert, in diesem Fall 5, als wirklichen Grenzwert der Funktion an.
Diesbezüglich behaupten sie das
Die eingangs gegebene Grenzwertdefinition ohne Grenzwertrechnung dient dem „Beweis“, dass gegebene Zahlen ohne Hinweis darauf, wo sie genommen wurden, Grenzwerte von Funktionen sind.
Wir werden zeigen, dass die Definition von Grenzwert nicht beweist, nicht demonstriert, dass eine gegebene Zahl der Grenzwert einer Funktion ist, sondern nur „zeigt“, dass die gegebene Zahl der Grenzwert ist.
Lassen Sie uns anhand eines Beispiels den Unterschied zwischen einer „Show“ und einer „Demonstration“ verdeutlichen.
Das heißt, wenn wir die ersetzen
Mal schauen
Dies war ein Beispiel für „Demonstration“, dh es wurde nur etwas gezeigt, nichts demonstriert, nichts berechnet, nur der gelieferte Wert ersetzt.
Anders ist es, wenn Sie sagen: Beweisen Sie, dass 2 eine Wurzel ist, es ist eine Lösung der Gleichung
In diesem Fall müssen wir rechnen, die Gleichung lösen und sehen, ob wir sie bekommen
Nun, wir haben es gelöst:
Dann einer der Werte von
Damit wurde „bewiesen“, dass 2 wirklich die Wurzel der Gleichung ist
Wir werden in den unten angegebenen Beispielen sehen, dass es keinen Beweis gibt, sondern nur einen „Zeigen“, dass die gegebene Zahl der Grenzwert der gegebenen Funktion ist.
Beispiel. Verwenden Sie die Grenzwertdefinition, um das zu „beweisen“.
Hier wird nicht gesagt, wie der Schluss gezogen wurde, dass die Grenze 5 ist, noch wird gesagt, woher diese Zahl genommen wurde.
Wir werden allgemein die in den konsultierten Büchern vorgestellte Lösung diskutieren:
Die erste Anforderung der Definition ist die
, demnächst
Wir haben dann,
Darauf weist diese Aussage hin
Mit dieser Wahl von
Dies „zeigt“ nur, von der Definition der Grenze, dass
Wie wir gesehen haben, gab es keinen Beweis, sondern nur eine „Show“, da wir bei der gegebenen Zahl 5 einfach diese und die gegebene Funktion in der Definition des Grenzwerts einer Funktion eingesetzt haben.
Gehen wir zu einem weiteren Beispiel: Verwenden Sie die Definition, um das zu „beweisen“
Als Grenze wird wieder eine Zahl angegeben, in diesem Fall 4, aber es wird nicht gesagt, woher diese Zahl stammt.
Hier ist die Lösung, allgemein ausgedrückt:
Wie
Das müssen wir allen zeigen
Wenn
Demnächst
Wir müssen eine Einschränkung auferlegen
Jetzt haben wir
Mit diesem
Wie wir oben gesehen haben, wurde wieder nichts bewiesen, sondern nur, dass die als Grenze angegebene Zahl, in diesem Fall 4, der Definition von Grenze genügt.
Es gab keine Berechnung, um zu zeigen, dass die Zahl 4 wirklich die Grenze ist.
Ab hier stellen wir die Grenzwertrechnung einer Funktion vor.
Bevor wir die “Berechnung” selbst präsentieren, lassen Sie uns bewerten
Dies wird allgemein die Argumentation zeigen, die zur Berechnung des Grenzwerts der Funktion verwendet wurde.
Die Funktion ist
Zum
Zum
Zum
Zum
Zum
Zum
Zum
Wir haben einige Werte von getestet
Jetzt werten wir aus
Zum
Zum
Zum
Zum
Zum
Zum
Zum
Zum
Zum
Aus dem oben Gesagten erkennen wir das umso mehr
Wir beobachteten in den Berechnungen oben, in allen zugewiesenen Werten
Diese Konstante ist daher ein „Kandidat“ für die oben erwähnte „Grenze“, das heißt, es gibt einen Hinweis, den wir möglicherweise haben
Wir werden die obige Situation nun halb allgemein ausdrücken, um die „Grenzwertberechnung“ selbst darzustellen.
Der Ausdruck “
Damit der Ausdruck
Aus der obigen Gleichheit ist es möglich, den Wert der Grenze von zu „berechnen“
Wir werden nun mit der gleichen Funktion wie zuvor die Berechnung für durchführen
Auf diese Weise bleiben wir übrig:
Die Berechnung für
Mal schauen:
Wir werden nun eine Reihe von Grenzwerten von Funktionen berechnen, um die Anwendung des erwähnten „Kalküls“ zu veranschaulichen.
Wie
Bleib bei
Dann wird das Ergebnis sein
Wie
Bleib bei
Wie wir oben gesehen haben, werden wir am Ende bei uns bleiben
Wir müssen rechnen
Wie
Bleib bei
Sei
Lassen Sie uns überlegen
Dann
Betrachten wir nun das folgende Beispiel:
Zum
Wie
Als Fazit bleibt uns:
Überwachung.
Wir hätten „Kalkül“ direkt auf die Funktion anwenden können, ohne zuerst den gemeinsamen Faktor von Zähler und Nenner zu dividieren.
Mal schauen
Tatsächlich können wir den „Kalkül“ direkt auf die Funktion anwenden, ohne zuerst eine „Vorbereitung“ darauf zu treffen.
Wir werden nun einige Beispiele für die Berechnung von Grenzwerten mit trigonometrischen und Exponentialfunktionen geben, um das Obige zu veranschaulichen.
Betrachten wir die Funktion
Erinnern:
Setzen wir diesen Wert von x in die obige ursprüngliche Gleichung ein, erhalten wir:
Dann,
Ein weiteres Beispiel: Betrachten Sie die Funktion
Lassen Sie uns nun die Grenze der zu Beginn angegebenen Funktionen berechnen, um die Werte der angegebenen Grenzen zu bestätigen.
Wie
Wie
Wie aus den obigen “Berechnungen” ersichtlich ist, waren die in den vorherigen Beispielen angegebenen Grenzen korrekt.
Wir werden nur einen Satz über Grenzen demonstrieren, um den hier gezeigten Kalkül zu veranschaulichen.
Satz. Wenn
Berechnen Sie einfach die Grenze, indem Sie zum Beispiel tun,
Bleib bei:
Die dargestellte „Rechnung“ ist von ungeheurer Einfachheit.
In diesem Fall gibt es keinen Zweifel, dass die Grenze ist
Wir werden nun den vorgestellten „Grenzwertkalkül“ verwenden, um Grenzwerte von Funktionen unter verschiedenen Umständen zu berechnen.
Wie
Bleib bei
Wie x → 5, so können wir zb,
Bleib bei
Es wird beobachtet, dass es nicht notwendig war, die Funktion „vorzubereiten“, um den „Kalkül“ anzuwenden, das heißt, es war nicht notwendig, die Funktion als zu schreiben
In Fällen mit Radikalen, zu denen eine reelle Zahl addiert oder subtrahiert wird, wenn die direkte Substitution des Werts von
Was in diesem Fall passiert ist, dass Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor haben, der aber nur ausgedrückt wird, wenn wir entweder den Zähler durch den Nenner oder den Nenner durch den Zähler dividieren.
Dies wird derzeit in der Mathematik als Rationalisierung übersetzt.
Sehen wir uns das obige Beispiel an: Wenn wir den Nenner durch den Zähler dividieren, da der Exponent von
Damit können wir den gemeinsamen Faktor von Zähler und Nenner ausdrücken.
Die andere Möglichkeit besteht darin, den Zähler durch den Nenner zu dividieren, aber in diesem Fall müssen wir das Gleiche tun, da der Exponent von
Das ist die berühmte Rationalisierung, die wir machen.
Wir werden zuerst die Berechnung durchführen, ohne Vorbereitung.
Wie
Bleib bei
Wir werden dann multiplizieren und dividieren durch
Jetzt führen wir die Berechnung durch und bereiten die Funktion vor, bevor wir sie anwenden.
Wie die direkte Substitution von 4 zu Unbestimmtheit führto
Da es sich in diesem Fall um eine Wurzel minus einer reellen Zahl handelt, wird der gemeinsame Faktor durch Rationalisierung „freigegeben“.
Bevor wir den Grenzwert berechnen, multiplizieren und dividieren wir Zähler und Nenner der Funktion mit
Bleib bei
Wie
Bleib bei
In Fällen, in denen eine Funktion für jede reelle Zahl außer einer reellen Zahl definiert ist
Und natürlich ist dies keine Satzfunktion.
Wenn links oder rechts von einer Zahl keine Funktion definiert ist
Wann
Die Berechnung erfolgte mit
Es handelt sich also um die rechte Grenze.
Wir gebrauchen
Wir wissen, dass die Grenze nur existiert, wenn die einseitigen Grenzen existieren und gleich sind.
Wir wissen, dass die Funktion nur für existiert
Daher gibt es keine linke Grenze und daher existiert die betreffende Grenze nicht.
Aber es gibt die rechte Grenze, die durch Einsetzen berechnet werden kann
Wie sind sie gleich,
In der obigen Berechnung haben wir gemacht
Wir berechnen die Grenze von
Wir müssen dann rechnen,
Dann machen wir das,
Wir müssen dann rechnen,
Dann machen wir das,
Bleib bei
Wie
Wir müssen dann rechnen,
Dann machen wir das,
Bleib bei
Wir müssen dann rechnen,
Wir werden dann tun,
Bleib bei
Wie
Diejenigen, deren Funktionswerte ohne Begrenzung steigen oder fallen, wenn die unabhängige Variable immer näher an eine feste Zahl herankommt, können durch die hier vorgestellte Grenzwert-„Berechnung“ gleichermaßen gelöst werden, mit dem Vorteil, sich nicht um Theoreme kümmern zu müssen.
Bevor wir die „Berechnung“ anwenden, erinnern wir uns an die folgenden Situationen:
Wie
Bleib bei
Wie
Bleib bei
Wie
Bleib bei
Wie
Bleib bei
Wie
Bleib bei
Wie
Bleib bei
In diesem Fall ist der Nenner
Wie
Wir sind wie
Wie
Bleib bei
In diesen beiden Fällen konnten wir das
Wie
Bleib bei
Notiz Wir hätten den Wert von direkt ersetzen können
Wie
Bleib bei
Wie
Bleib bei
Ebenso wie bei den bisher erwähnten Grenzen stellt auch die herangezogene Literatur keine Berechnung von Grenzen im Unendlichen dar, sondern wertet die Funktion nur dann aus, wenn die unabhängige Variable unendlich zunimmt oder abnimmt.
Das Bewertungsergebnis wird als Schwellenwert verwendet.
Mal schauen.
Die Funktion gegeben
Wir beobachten das wann
Wenn eine unabhängige Variable
Wie oben zu sehen ist, wurde aus dem gegebenen Beispiel keine Grenzberechnung der Funktion präsentiert, sondern es wurde nur beobachtet, dass, as
Dieser Wert 2 wurde dann als Grenzwert der Funktion verwendet.
Wir werden im Folgenden die „Berechnung“ der Funktionsgrenze vorstellen, wenn die unabhängige Variable dazu tendiert
In Fällen wo
In Fällen wo
Wie
Bleib bei
Wie
Bleib bei
Wie
Bleib bei
Wie
Bleib bei
Wie
Bleib bei
Wie
Bleib bei
Wie
Bleib bei
Wie
Bleib bei
Wie
Bleib bei
Wie
Bleib bei
Wie
Bleib bei
Wie
Bleib bei
Überwachung.
Die Berechnung von Grenzen im Unendlichen kann beispielsweise nicht auf trigonometrische Funktionen angewendet werden, da einige von ihnen in einem bestimmten Intervall variieren und andere je nach betrachtetem Wert unbegrenzt zunehmen oder abnehmen.
Wenn wir zum Beispiel versuchten, die zu berechnen
Tatsächlich sind Polynomfunktionen oder Funktionen, die durch Verhältnisse zwischen Polynomen ausgedrückt werden, am besten zum Anwenden von Grenzen geeignet.
1) Die vorgestellte Grenzwertberechnung ergab sich aus der Identifikation des Ausdrucks
Bei Grenzen im Unendlichen die Substitution für den Ausdruck
Die Substitution macht am meisten Sinn, denn eigentlich wann
Wenn wir ersetzen, in dem Fall, wo
Ein Beispiel.
Wir werden das machen
Bleib bei
2. Wie in den verschiedenen Beispielen zu sehen ist, ist der vorgestellte „Grenzwertkalkül“ ziemlich „fließend“ und direkt anwendbar, ohne dass die Notwendigkeit besteht, Theoreme zu konsultieren oder die Funktion vor der Durchführung der Berechnung zu „organisieren“, außer wenn wir rationalisieren müssen.
Diese Tatsache bringt viel Ruhe bei der Berechnung des Grenzwertes einer Funktion, denn die vorgestellte „Berechnung“ ist eine wahre Synthese dieses Themas.
Beispielsweise kann „Berechnung“ direkt über der Funktion verwendet werden
Mal schauen
Wie
Bleib bei
Dies bringt einen enormen Vorteil gegenüber der derzeitigen Darstellung dieses Themas, das, abgesehen davon, dass es keine Grenzwertberechnung präsentiert, an der immensen Menge an Theoremen, die bei der „Auswertung“ von Grenzwerten berücksichtigt werden müssen, ziemlich „festgefahren“ ist, wie z sowie der „Organisationen“, die an den Funktionen durchgeführt werden müssen, bevor ihre Grenze „abgeschätzt“ wird.
3) Ich möchte der vorgestellten „Grenzwertrechnung“ einige Wertungen praktischer Natur hinzufügen.
a) Es ist nur sinnvoll, den Grenzwert einer Funktion in der Nähe eines Wertes zu berechnen, für den sie nicht definiert ist.
Wenn die Funktion für einen bestimmten Wert definiert ist, das heißt, wenn die Funktion für einen bestimmten Wert existiert, macht es keinen Sinn, die Grenze in der Nähe dieses Werts zu berechnen, da wir wissen, wie viel die Funktion bei diesem Wert wert ist.
Zum Beispiel sein
Diese Funktion ist für alle definiert
Daher wäre es unangemessen, beispielsweise zu berechnen,,
Damit haben Hunderte von Übungen keine Daseinsberechtigung mehr.
Offensichtlich sind die in diesem Artikel betrachteten Funktionen von
b) Unter Verwendung des Grenzwertbegriffs machen wir hier eine Beobachtung über die Stetigkeit einer Funktion.
Nach Letholds Kalkülbuch (1994) wird die Definition einer stetigen Funktion an einem Punkt wie folgt übersetzt:
Dizemos que a função
(i)
(ii)
(iii)
Se uma ou mais de uma dessas condições não forem verificadas em
So definiert Lima (1978) die Kontinuität einer Funktion:
Uma função
Em termos precisos, diremos que
Wir wissen, dass, wenn eine Funktion in einem bestimmten Intervall definiert ist, das heißt, wenn sie für jede Zahl in einem bestimmten Intervall existiert, es keinen Sinn macht, den Grenzwert dieser Funktion für eine Zahl in diesem Intervall zu berechnen, da wir dies können werten Sie einfach die Funktion für jede Zahl in diesem Bereich aus.
Einfacher ausgedrückt: wenn eine Funktion, repräsentiert durch nur einen Ausdruck, durch nur einen Satz, für eine bestimmte Zahl existiert
Wenn wir diese Grenze berechnen würden, wie wir es oben getan haben, wäre es natürlich so
Wie oben erwähnt, ist es nur sinnvoll, den Grenzwert einer Funktion um eine Zahl herum zu berechnen, für die sie nicht definiert ist.
Wenn wir also Funktionen analysieren, die nur durch einen Ausdruck repräsentiert werden, sagen wir, dass eine Funktion für eine bestimmte Zahl existiert
Wendet man dies auf die obige Definition einer kontinuierlichen Funktion an, werden die Punkte (ii) und (iii) der Definition unnötig, da in Punkt (i) angegeben ist, dass
Daher gilt für Funktionen, die durch „nur einen Ausdruck“ repräsentiert werden, die einfache Aussage, dass es sich um die Funktion handelt
Ebenso verlieren mit dieser Beobachtung über stetige Funktionen Hunderte von Übungen ihre Daseinsberechtigung.
Beispiel: let die Funktion
Daher ist es nicht erforderlich, die Grenze von zu berechnen
Dann die Funktion
Oben haben wir gezeigt, dass die Grenzentheorie in der Tat in Bezug auf eine Grenzenberechnung defizient ist und sich daher mit einer Reihe von Argumenten umgibt, die auf der Definition von Grenzen basieren, um diese Lücke zu füllen.
Wir stellen dann die „Berechnung des Grenzwerts einer Funktion“ vor und zeigen, dass sie alle genannten Themen synthetisiert und daher direkt anwendbar ist.
Wir hoffen, zu einem besseren Verständnis eines so grundlegenden Themas der Mathematik beizutragen.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos et all. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 8, 1991.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, 1994.
LIMA, Elon Lages. Curso de Análise, vol. 1, 1978.
MUNEM, Mustafa A. e FOULIS, David J. Cálculo, vol. 1, 1982.
[1] Bachelor-Abschluss in Mathematik von der Universität Brasília.
Gesendet: Juni 2021.
Genehmigt: August 2021.
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